重难点突破2.1平方根与立方根（2知识梳理+11题型解读+15拓展训练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

重难点突破2.1 平方根与立方根 （2知识梳理+11题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01 平方根和算术平方根 1．平方根 （1）平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果r²=a，那么r叫做a的平方根．如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根． （2）平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数． 0的平方根是0． 负数没有平方根， （3）平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用，符号“-”表示，故正数a的平方根可以用符号“”表示，读作“正、负根号a”"．如 =5． 2．算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0． 3．算术平方根的估算 要估算“ （a≥0）”的近似值， 第一步先确定估算数的整数范围，如．22<7<32，所以2< <3； 第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法” 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．例如：，，，． 知识02 立方根 1．立方根和开立方 （1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根． （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根． 2．立方根的表示方法 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”"，其中a是被开方数，3是根指数．如表示8的立方根， =2；表示-8的立方根， =-2，中的根指数3不能省略， 3．立方根的性质 （1）正数的立方根是正数． （2）负数的立方根是负数． （3）0的立方根是0． 4．平方根与立方根的联系与区别 （1）联系 都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算． 0的平方根和立方根都是它本身． （2）区别 ①在用符号表示平方根时，根指数2可以省略不写；而用符号表示立方根时，根指数3不能省略． ②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有． ③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有1个． 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．如：-8和8互为相反数，它们的立方根-2和2也互为相反数．即=--． 5.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．例如，，，，． 题型解读 【题型一 平方根的概念】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3 B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根 C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数 D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义；根据平方根的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ∵的平方是9，∴9的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵的平方是25，∴是25的一个平方根，故该选项正确，符合题意； C. 任何非零实数的平方都是正数，任何正数的算术平方根都是正数，故该选项不正确，不符合题意； D. 负数的平方是正数，负数没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【变式训练2】（2025·宁夏银川·一模）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了平方根，求代数式的值， 对于（1），根据平方根的定义得，再根据可得答案； 对于（2），由题意得，再根据求出m，即可求出a，然后分两种情况得出答案． 【详解】（1）解：x的平方根是m，， ∴， 即． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 即， ， ∴， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． ∴的值为或9． 【变式训练4】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：当如果与相等时，那么， 解得， 此时， 则， 所以这个正数为； 当如果与互为相反数时，那么 解得， 此时，， 则， 所以这个正数为， 答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 【题型二 利用平方根解方程】 【例2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）先移项，然后利用平方根的性质解方程； （2）先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ∴， 解得，； （2）解：， 或， 解得，． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）计算： 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴或， ∴或． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列式子中的值：． 【答案】或 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数解答即可． 本题考查了平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： 解得：或． 【变式训练3】（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 【变式训练4】（21-22八年级上·广东深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题．例如：，即，的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 ； （2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）4；（2）0或2 【思路点拨】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分； （2）根据的整数部分可求出9-和9+的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入（x-1）2=m+n求x的值即可． 【规范解答】解：（1）∵ ∴＜＜，即4＜＜5， ∴的整数部分为4， 故答案为：4． （2）∵4＜＜5 ∴-5＜-＜-4 ∴4＜9-＜5，13＜9+＜14 ∴9-的整数部分为4，9+的整数部分为13， ∴9-的小数部分m=（9-）-4=5-，9+的小数部分n=（9+）-13=-4， ∴（x-1）2=5-+-4=1， ∴x-1=±1， 解得x=2或x=0． ∴满足条件的的值是0或2 【题型三 算术平方根的概念】 【例3】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【变式训练1】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【详解】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级下·广西河池·期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，，z是9的算术平方根， ∴，，， ∴．　　 【变式训练4】（24-25七年级下·山东济宁·期中）中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．请解决下面问题： 已知一个正数的平方根是和， (1)求这个正数； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根的意义得到，求出即可求出答案； （2）把代入求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． ∴． ∴这个正数是． （2）当时，． ∵ ∴的算术平方根是2． 【题型四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）先化简再求值：，其中，满足． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号，然后合并同类项化简整式，再由被开方数大于等于求出的值，进而求出的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． ∵有意义， ∴， ∴，， ∴原式． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南三门峡·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，代数式求值，根据非负性求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）若则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式训练3】（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是相反数的性质，非负数的性质解平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键． （1）由相反数的性质得出，再根据非负数的性质建立方程求解即可； （2）根据（1）中所得、的值得出，再求出平方根即可得答案． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出a，b和c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以． 【题型五 算术平方根的估算】 【例5】（21-22七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及求代数式的值，求得、的值是解题的关键．依据被开放数越大对应的算术平方根越大，可求得、的值，然后再利用有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，是两个连续整数，若， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式训练3】（22-23七年级下·河南新乡·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【变式训练4】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 【题型六 算术平方根的实际应用】 【例6】（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）． 探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．） (1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．） (2)减速后的速度应降至约多少米/秒？ 【答案】(1)焦耳 (2)2828米/秒 【分析】本题考查了算术平方根的应用，科学记数法． （1）将相关数据代入求解，结果用科学记数法表示即可； （2）根据公式，列得方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：（焦耳）； ∴探测器进入火星轨道时的动能为焦耳； （2）解：由题意得：， 解得：（米/秒）， ∴减速后的速度应降至约2828米/秒． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体在地球上离地面与在月球上离月球表面自由下落的时间各是多少？ (2)物体在哪里自由下落得快？ 【答案】(1)秒，10秒 (2)物体在地球上自由下落快 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意求出时间是解题的关键． （1）分别将代入，将代入，求出时间比较大小即可； （2）设下降相同距离为，分别代入，，求出时间求出时间比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ， ， 解得：（舍负）； 在中，当时， ， ， 解得：（舍负）； （2）解：设下降相同距离为，在中，， ， 解得：（舍负）； 在中，， ， 解得：（舍负）， ∵， ∴物体在地球上自由下落快． 【变式训练3】（24-25七年级下·北京·期中）为助力北京“西山永定河文化带”生态保护宣传，某中学“京华墨韵”社团计划制作以“燕京八景”为主题的手工团扇挂件，赠予环保志愿者．扇面选用圆形和正方形两种风景画造型，面积均为300平方厘米．为传承“京作”裱糊技艺，需用苏绣缎带沿扇面边缘进行掐丝包边．（接口处长度忽略不计）（注：为简化计算，取3） (1)圆形团扇的半径为________厘米，正方形团扇的边长为________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)10， (2)圆包边较短 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可； （2）根据圆和正方形的周长公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为：厘米， 正方形团扇的边长为：厘米， 故答案为：10，； （2）解：∵圆形团扇的半径为10厘米， ∴圆形团扇的周长为：厘米， ∵正方形团扇的边长为厘米， ∴正方形团扇的周长为：厘米， ∵， ∴圆形团扇所用的包边长度更短． 【变式训练4】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识背景】 某学校开展科技节活动，在操场搭建一个科技展台，并安排了施工小组按设计图制作展板． 【步骤实施】请同学们完成以下四个任务． 任务一 （1）截取一个边长为的正方形，则这个正方形的面积为______． 任务二 （2）用4个相同的小正方形拼成一个面积为的大正方形，小正方形的边长为______． 任务三 （3）另有一块面积为的正方形板材，要从这块板材裁出一块面积为的长方形，使长方形的长与宽的比为，问能否裁出？请说明理由． 任务四 （4）任务一、任务二、任务三组合在一起，分别构成墙面、窗户和门（如下图），请用涂料涂满除门窗（正方形和长方形）外剩下的墙面．并用彩带装饰窗户的四周（即正方形的周长），在购买涂料和彩带时有以下两种方案可供选择（如下表），问哪种方案更划算？请说明理由．（） 【答案】（1）400（2）（3）能裁出，理由见解析（4）方案二更划算，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键： （1）直接利用面积公式进行计算即可； （2）根据面积公式求边长即可； （3）设长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程求出长和宽，与正方形的边长比较即可； （4）求出涂墙面积和彩带长度，分别计算出两种方案所需费用，判断即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：400； （2）； 故答案为：； （3）能裁出，理由如下： 正方形的边长为：， 设长方形的长为，宽为， ∴， 解得：（负值舍掉）； ∴长方形的长为，宽为； ∵， ∴能裁出； （4）方案二更划算，理由如下： 由题意，得：涂墙面积为：； 彩带长度为：， ∴方案一的费用为：元； 方案二的费用为：元； ∵， ∴方案二更划算． 【题型七 立方根的概念】 【例7】（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐句进行判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、1的平方根是，故A选项错误； B、若，则，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 【变式训练1】（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 【变式训练4】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 【题型八 已知一个数的立方根，求这个数】 【例8】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】题主要考查了立方根，平方根，算术平方根，正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先根据立方根和平方根的定义得到关于a、b的值，再由绝对值的性质可求出c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是绝对值最小的数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练1】（24-25八年级下·山西临汾·期中）已知的立方根4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，首先根据的立方根4，可以求出，把代入，可得：，根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解：的立方根是， ， 解得：， ， ． 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是的立方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，熟练掌握这定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值， （2）把a，b的值代入式子，进而计算即可． 【详解】（1）由题意的：的平方根是 ∴，解得： 的立方根是4 ∴解得： 故答案为：， （2）由， 得： 1的平方根为 故答案为： 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a的值为5，b的值为13 (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得a，b的值； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 又的立方根是3， ，即， 解得， ∴a的值为5，b的值为13． （2）解：由（1）知：， ， 的算术平方根为． 【变式训练4】（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知m＋8的算术平方根是3，m-n+4的立方根是-2，试求 的值． 【答案】 【思路点拨】根据算术平方根的定义及立方根的定义求出m及n即可． 【规范解答】∵m+8的算术平方根是3， ∴m+8=32=9，解得，m=1， ∵m-n+4的立方根是-2， ∴m-n+4=(-2)3=-8， 解得，n=13， ∴． 【题型九 算术平方根和立方根的综合应用】 【例9】（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【答案】(1)， (2)±4 (3)2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键； （1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可； （2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； （3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得， 因为的算术平方根是5， 所以，即， 解得． （2）解：的平方根是； （3）解：的立方根是． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 【变式训练2】（24-25七年级下·天津和平·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根是． 【变式训练3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根、立方根和算术平方根的定义．根据平方根和立方根的定义，求出、的值，再求，最后求其算术平方根． 【详解】解：的平方根是，的立方根是3， ，， 解得，， ， ， 的算术平方根为． 【变式训练4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 【答案】，，， 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，先分别根据对话内容，列式，求出；故，，所以，然后得出，且，得，因为为的立方根，故，即可作答． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ，， ， ，且， ； 为的立方根，， ， 即． 【题型十 平方根、算术平方根与立方根的相关规律问题】 【例10】（24-25七年级下·山东临沂·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数运算中的规律探究．由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求和即可． 【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个轮回，表示第3排第1个数，为， ∵前20排共有个数， ∴表示第21排第2个数即第212个数， ， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之和是； 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 【变式训练3】（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ，，， ． 【变式训练4】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵符合， ∴， ∴， ∴． 【题型十一 平方根、算术平方根与立方根的相关新定义题型】 【例11】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数 (3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． （1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）解： ． 【变式训练3】（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7 (2)4次之后结果为1． 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 【变式训练4】（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 拓展训练 一、选择题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是负数，没有平方根，故A不符合题意； B、，4的算术平方根是2，故B不符合题意； C、平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意； 故选：D． 2、（2025七年级下·全国·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 3、（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列说法中正确的个数是（   ） ①的算术平方根是3；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和的立方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根，平方根和立方根的性质，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质．根据算术平方根，平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】解：①的算术平方根是3，原说法正确； ②当时，有平方根，原说法错误； ③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误； ④负数没有平方根，说法正确； ⑤0和的立方根等于本身，原说法正确； 正确的为①④⑤， 故选C． 4、（20-21七年级上·浙江宁波·期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x-2，根据其面积为19得出（x-2）2=19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由AD=2x可得答案． 【规范解答】解：设木块的长为x， 根据题意，知：（x-2）2=19， 则， ∴或（舍去） 则， 故选：C． 5.（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 2、 填空题 6.（24-25七年级下·天津东丽·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 7.（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非负性求出，，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 8.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 9.若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键. 先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可. 【详解】解：∵， ，， ∴. 故选B. 10.（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．理解题目中的计算步骤，根据计算步骤进行求解即可． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 故答案为：． 3、 解答题 11、（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：由题可得． 解得． ． 的平方根是， 的平方根是． 12.（24-25七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 【答案】(1)②③④ (2)见解析 【分析】（1）根据平方根，算术平方根与原数的关系解答即可； （2）根据平方根，算术平方根得定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，不难发现②③④都是错误的， 故答案为：②③④． （2）解：依据题意可知： 是和两个数中的一个，              当时，解得， ，     这个数为； 当时，解得：，      （不合题意，舍去）；         综上可得：这个数为． 13.（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 14.（23-24七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)移项； (2) (3) 【分析】本题考查了平方根的应用，完全平方公式： （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， 移项得：． 故答案为：移项；； （2）解：和为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）解：和为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， ， ． 15.（24-25七年级下·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破2.1 平方根与立方根 （2知识梳理+11题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01 平方根和算术平方根 1．平方根 （1）平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果r²=a，那么r叫做a的平方根．如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根． （2）平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数． 0的平方根是0． 负数没有平方根， （3）平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用，符号“-”表示，故正数a的平方根可以用符号“”表示，读作“正、负根号a”"．如 =5． 2．算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0． 3．算术平方根的估算 要估算“ （a≥0）”的近似值， 第一步先确定估算数的整数范围，如．22<7<32，所以2< <3； 第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法” 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．例如：，，，． 知识02 立方根 1．立方根和开立方 （1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根． （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根． 2．立方根的表示方法 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”"，其中a是被开方数，3是根指数．如表示8的立方根， =2；表示-8的立方根， =-2，中的根指数3不能省略， 3．立方根的性质 （1）正数的立方根是正数． （2）负数的立方根是负数． （3）0的立方根是0． 4．平方根与立方根的联系与区别 （1）联系 都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算． 0的平方根和立方根都是它本身． （2）区别 ①在用符号表示平方根时，根指数2可以省略不写；而用符号表示立方根时，根指数3不能省略． ②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有． ③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有1个． 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．如：-8和8互为相反数，它们的立方根-2和2也互为相反数．即=--． 5.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．例如，，，，． 题型解读 【题型一 平方根的概念】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3 B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根 C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数 D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数 【变式训练1】“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·宁夏银川·一模）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【变式训练3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知实数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 【变式训练4】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【题型二 利用平方根解方程】 【例2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）计算： 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列式子中的值：． 【变式训练3】（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【变式训练4】（21-22八年级上·广东深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题．例如：，即，的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 ； （2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【题型三 算术平方根的概念】 【例3】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【变式训练1】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3】（24-25七年级下·广西河池·期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 【变式训练4】（24-25七年级下·山东济宁·期中）中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．请解决下面问题： 已知一个正数的平方根是和， (1)求这个正数； (2)求的算术平方根． 【题型四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）先化简再求值：，其中，满足． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南三门峡·期中）若，则的值为 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）若则 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足关系式，求的值． 【题型五 算术平方根的估算】 【例5】（21-22七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【变式训练1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练3】（22-23七年级下·河南新乡·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【变式训练4】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【题型六 算术平方根的实际应用】 【例6】（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【变式训练1】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）． 探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．） (1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．） (2)减速后的速度应降至约多少米/秒？ 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体在地球上离地面与在月球上离月球表面自由下落的时间各是多少？ (2)物体在哪里自由下落得快？ 【变式训练3】（24-25七年级下·北京·期中）为助力北京“西山永定河文化带”生态保护宣传，某中学“京华墨韵”社团计划制作以“燕京八景”为主题的手工团扇挂件，赠予环保志愿者．扇面选用圆形和正方形两种风景画造型，面积均为300平方厘米．为传承“京作”裱糊技艺，需用苏绣缎带沿扇面边缘进行掐丝包边．（接口处长度忽略不计）（注：为简化计算，取3） (1)圆形团扇的半径为________厘米，正方形团扇的边长为________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式训练4】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识背景】 某学校开展科技节活动，在操场搭建一个科技展台，并安排了施工小组按设计图制作展板． 【步骤实施】请同学们完成以下四个任务． 任务一 （1）截取一个边长为的正方形，则这个正方形的面积为______． 任务二 （2）用4个相同的小正方形拼成一个面积为的大正方形，小正方形的边长为______． 任务三 （3）另有一块面积为的正方形板材，要从这块板材裁出一块面积为的长方形，使长方形的长与宽的比为，问能否裁出？请说明理由． 任务四 （4）任务一、任务二、任务三组合在一起，分别构成墙面、窗户和门（如下图），请用涂料涂满除门窗（正方形和长方形）外剩下的墙面．并用彩带装饰窗户的四周（即正方形的周长），在购买涂料和彩带时有以下两种方案可供选择（如下表），问哪种方案更划算？请说明理由．（） 【题型七 立方根的概念】 【例7】（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【变式训练1】（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【变式训练3】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ． 【变式训练4】解方程： 【题型八 已知一个数的立方根，求这个数】 【例8】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式训练1】（24-25八年级下·山西临汾·期中）已知的立方根4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是的立方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练4】（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知m＋8的算术平方根是3，m-n+4的立方根是-2，试求 的值． 【题型九 算术平方根和立方根的综合应用】 【例9】（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【变式训练2】（24-25七年级下·天津和平·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【变式训练3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【变式训练4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 【题型十 平方根、算术平方根与立方根的相关规律问题】 【例10】（24-25七年级下·山东临沂·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【变式训练3】（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【变式训练4】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【题型十一 平方根、算术平方根与立方根的相关新定义题型】 【例11】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【变式训练3】（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【变式训练4】（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 拓展训练 一、选择题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 2、（2025七年级下·全国·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 3、（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列说法中正确的个数是（   ） ①的算术平方根是3；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和的立方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、（20-21七年级上·浙江宁波·期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 6.（24-25七年级下·天津东丽·期中）已知，，则 ． 7.（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则 ． 8.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 9.若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 10.（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 3、 解答题 11、（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 12.（24-25七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 13.（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 14.（23-24七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 15.（24-25七年级下·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$