重难点突破2.2 实数（11题型解读+15拓展训练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

重难点突破2.2 实数 （1思维导图+1知识梳理+11题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识 实数及其简单运算 1．无理数 （1）无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数．如 ， ， ，0.808 008 000 8．．．都是无理数． （2）常见的无理数 ①所有开方开不尽的方根，如． ②化简后含有π的数，如- ③无限不循环小数，如0.320 030 250．．． （3）【无理数的估算】 ①原理 被开方数越大，其算术平方根也越大；如：，则； 被开方数越大，其立方根也越大；如：，则； ②逐步逼进法 示例：求的近似值 第一步：∵，∴； 第二步：取中值，再比较．，由，得； 第三步：取中值，再比较．，由，得； 继续取中值，再比较，就可以求出的近似值． ③无理数的整数部分和小数部分 ①无理数=整数部分+小数部分 ②采用逐步逼进法的第一步就可以确定无理数的整数部分，用无理数减去整数部分就是这个无理数的小数部分；如，的整数部分是2，小数部分是． 2．实数的定义 有理数和无理数统称为实数． 实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 3．实数与数轴上的点的对应关系 数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数． 4、实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()． 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0． 5、实数的运算 数a的相反数是；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减．同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里． 6、比较实数大小的技巧 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立． 法则1．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3．两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法． 题型解读 【题型一 判断无理数】 【例1】（22-23七年级下·四川南充·期中）下列实数：、15、、、0、、、、（每两个2之间依次增加一个0）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练2】（20-21七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在下列各数中无理数有 个． ，，，，，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）． 【变式训练4】（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【题型二 无理数的大小估算】 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【变式训练1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列整数中，与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】（2025·吉林长春·二模）在数轴上，介于和之间的整数是 ． 【变式训练3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）根据表格回答问题： 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16 (1)11.56的平方根是多少？ (2)___________． (3)估计在哪两个整数之间． 【变式训练4】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例3】（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，的整数部分是，求的算术平方根． 【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】（24-25七年级下·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，且c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式训练4】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【题型四 实数的概念、分类与性质】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（每两个2之间依次增加一个1），，． 正有理数集合：｛                       …}； 负有理数集合：｛                       …}； 正无理数集合：｛                       …} 负无理数集合：｛                       …}． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练2】（（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【变式训练4】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【题型五 实数与数轴】 【例5】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【变式训练1】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式训练2】（2025·吉林延边·二模）如图，若将三个数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型六 实数的大小比较】 【例6】．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）比较大小： (1)与2.42； (2)2与； (3)与； (4)与． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与； (2)与3． 【变式训练4】（23-24七年级下·贵州黔南·期中） 33．数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【题型七 实数的简单运算】 【例7】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【变式训练1】（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【变式训练2】（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）计算：． 【变式训练3】（24-25七年级下·山东德州·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【变式训练4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【题型八 新定义下的实数运算】 【例8】（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【变式训练1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在实数范围内，定义新运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数．为，的“和积数”． (1)若，，求，的“和积数”； (2)若，，求，的“和积数”． 【题型九 实数的小数点移动】 【例9】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【变式训练1】（七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【变式训练2】已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 【变式训练3】（1）观察下表，你能得到什么规律？ （2）已知，根据上述规律求，，的近似值． 【变式训练4】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【题型十 实数的规律探究】 【例10】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 【变式训练1】（17-18七年级下·山东济宁·期中）计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【变式训练4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【题型十一 程序设计与实数运算】 【例11】（20-21八年级下·陕西西安·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． （1）用含m的代数式表示该程序的运算过程 （2）当实数的一个平方根是时，求输出的结果． 【变式训练1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【变式训练2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【变式训练4】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 拓展训练 一、选择题 1.（24-25七年级下·天津南开·期中）关于“”，下列说法不正确的是（    ） A．它是数轴上唯一一个距离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若，则整数a的值为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 2.有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有（   ） A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④ 3.（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 4.（24-25七年级下·北京·期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 5.若的整数部分为，小数部分为，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 2、 填空题 6.（20-21八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 7.（2025·四川绵阳·三模）在实数范围内分解因式： ． 8.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 9.（2025·河南洛阳·三模）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小： （填“”或“”）． 10.（22-23七年级下·四川南充·期中）如果正整数满足：，那么的算术平方根是 ． 3、 解答题 11.（24-25七年级下·湖北黄石·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 12.（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值． 13.（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 14.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 15.（24-25七年级下·北京·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破2.2 实数 （1思维导图+1知识梳理+11题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识 实数及其简单运算 1．无理数 （1）无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数．如 ， ， ，0.808 008 000 8．．．都是无理数． （2）常见的无理数 ①所有开方开不尽的方根，如． ②化简后含有π的数，如- ③无限不循环小数，如0.320 030 250．．． （3）【无理数的估算】 ①原理 被开方数越大，其算术平方根也越大；如：，则； 被开方数越大，其立方根也越大；如：，则； ②逐步逼进法 示例：求的近似值 第一步：∵，∴； 第二步：取中值，再比较．，由，得； 第三步：取中值，再比较．，由，得； 继续取中值，再比较，就可以求出的近似值． ③无理数的整数部分和小数部分 ①无理数=整数部分+小数部分 ②采用逐步逼进法的第一步就可以确定无理数的整数部分，用无理数减去整数部分就是这个无理数的小数部分；如，的整数部分是2，小数部分是． 2．实数的定义 有理数和无理数统称为实数． 实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 3．实数与数轴上的点的对应关系 数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数． 4、实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()． 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0． 5、实数的运算 数a的相反数是；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减．同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里． 6、比较实数大小的技巧 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立． 法则1．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3．两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法． 题型解读 【题型一 判断无理数】 【例1】（22-23七年级下·四川南充·期中）下列实数：、15、、、0、、、、（每两个2之间依次增加一个0）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义．根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，即可一一判定． 【详解】解：， 、15、、0、、都是有理数； 无理数有：，，（每两个2之间依次增加一个0），共3个， ∴无理数共有3个， 故选：C． 【变式训练1】（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义．求一个数的立方根，由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项． 【详解】 解：在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中， 无理数有，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），共3个． 故选：B． 【变式训练2】（20-21七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【变式训练3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在下列各数中无理数有 个． ，，，，，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）． 【答案】7 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数就是无限不循环小数进行求解即可． 【详解】解：，， 故，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）是无理数， 故答案为：． 【变式训练4】（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【题型二 无理数的大小估算】 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 【变式训练1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列整数中，与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，有理数乘方的应用，由题意得出与35最接近的平方数，即 ， 然后可判断的范围，即可判断出来． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故，与最接近的是：4， 故选：C． 【变式训练2】（2025·吉林长春·二模）在数轴上，介于和之间的整数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 求出和的范围即可求解． 【详解】解：∵，即， ，即， ∴介于和之间的整数是3， 故答案为：3． 【变式训练3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）根据表格回答问题： 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16 (1)11.56的平方根是多少？ (2)___________． (3)估计在哪两个整数之间． 【答案】(1) (2)38 (3)33和34之间 【分析】本题主要考查了平方根的定义，无理数大小的估计，熟练掌握平方根的定义，观察表格中数据的规律，是解题的关键． （1）根据表格中的数据，从而得出，即可得出答案； （2）根据表格中的数据，从而得出，即可得出答案； （3）根据表格中的数据可以推出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知：，则， ∴11.56的平方根为． （2）解：根据表格中的数据， ∴， ∴． 故答案为：38． （3）解：根据表中数据可知：，， ∴，， ∵， ∴， 即在33与34之间． 【变式训练4】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 【题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例3】（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，的整数部分是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的大小估算，根据平方根、算术平方根、立方根的定义，估算无理数的大小分别求出的，，的值，然后代入计算即可求解，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【规范解答】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 【变式训练3】（24-25七年级下·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，且c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性、无理数的估算及平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性可得a、b的值，然后根据无理数的估算可得c的值； （2）由（1）可得的值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 又， ， ， ， ， ； （2）解：， 的平方根为：． 【变式训练4】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 【题型四 实数的概念、分类与性质】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（每两个2之间依次增加一个1），，． 正有理数集合：｛                       …}； 负有理数集合：｛                       …}； 正无理数集合：｛                       …} 负无理数集合：｛                       …}． 【答案】；；，（每两个2之间依次增加一个1）；． 【分析】本题考查了实数，根据实数的分类，逐一判断即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， 正有理数集合：； 负有理数集合：； 正无理数集合：，（每两个2之间依次增加一个1），； 负无理数集合：． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查平方根，立方根，实数的性质，先开方，再跟只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，，故与互为相反数，符合题意； B、，，两数相等，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选A． 【变式训练2】（（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 【变式训练3】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 【变式训练4】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴ 或； 故答案为：． 【题型五 实数与数轴】 【例5】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数以及利用数轴比较实数的大小，解题的关键是将各数在数轴上表示出来． 画出数轴，然后根据数轴的特点表示出所有的数，再根据数轴上的数右边的总比左边的大进行排列． 【详解】解：， 各数表示在数轴上如下： ． 【变式训练1】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式训练2】（2025·吉林延边·二模）如图，若将三个数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，估算出各个无理数的大小，再结合数轴即可得解，正确估算出无理数的大小是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴能被墨迹覆盖的数是， 故选：B． 【变式训练3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的面积，实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键．根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7 ∴正方形的边长为，即 根据题意， ∴ ∵点A是数轴上表示1的点 ∴点E所表示的数为 故选：D． 【变式训练4】（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）2；（2）±4 【思路点拨】（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可； （2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根． 【规范解答】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0， ∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2； （2）∵与互为相反数， ∴+=0， ∴|2c＋d|＝0且＝0， 解得：c＝2，d＝−4， ∴2c−3d＝16， ∴2c−3d的平方根为±4． 【题型六 实数的大小比较】 【例6】．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）比较大小： (1)与2.42； (2)2与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查比较实数大小，熟练掌握比较实数大小的方法以是解题的关键． （1）通过估算无理数大小进行比较即可； （2）比较两数的立方大小即可求解； （3）比较两数绝对值的立方大小即可求解； （4）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，且， 所以． （2）解：因为，而， 所以． （3）解：因为，而， 所以， 所以． （4）解：因为，而， 所以， 所以， 所以． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法． （1）利用作差法比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，且， 所以，即， 所以． 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与； (2)与3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后比较大小，得出与大小关系即可； （2）先求出，然后比较大小，得出与大小关系即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以． 【变式训练4】（23-24七年级下·贵州黔南·期中） 33．数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再比大小，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的方法：∵， ∴， ∴， 小英的方法：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：选小明的方法： ∵， ∴， ∴， 选小英的方法： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型七 实数的简单运算】 【例7】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)13 (2)4 【分析】（1）根据算术平方根、乘方，去绝对值运算、实数的混合运算分别计算即可得到答案． （2）根据算术平方根、立方根、去绝对值运算、实数的混合运算分别计算即可得到答案． 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，关键是掌握绝对值的性质和开方法则． 先算平方根、立方根，去绝对值，再计算加减法． 【详解】解： ， ． 【变式训练2】（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的运算，正确进行算术平方根、立方根、去绝对值以及乘方运算是解决此题的关键．首先计算开平方、开立方，去绝对值，乘方运算，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练3】（24-25七年级下·山东德州·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法、化简绝对值，再计算加减即可； （2）方程整理得到，直接开平方得到，进而求解，即可解题． 【详解】解：（1） ； （2） 整理得：， 直接开平方得：， 解得：或． 【变式训练4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 【题型八 新定义下的实数运算】 【例8】（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉说的对，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算、整式的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）按照定义的运算规则代入数值计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，判断即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：嘉嘉说的对，理由： ∵ ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． 【变式训练1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在实数范围内，定义新运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据新定义可得，即可解出的值． 【详解】解：，， ， 解得：． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案． 【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是， ①的结论正确； 对x，2，5进行“差绝对值运算”得到， 由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3， 的最小值为6， ②的结论不正确； 对a，b，c进行“差绝对值运算”得到， 而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种， ，，，，，，0， ③的结论不正确， 以上说法中正确的个数为1个． 故选：B． 【变式训练3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 【变式训练4】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数．为，的“和积数”． (1)若，，求，的“和积数”； (2)若，，求，的“和积数”． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是理解“和积数”的定义； （1）直接利用定义求解； （2）利用定义的同时，结合完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：根据“和积数”的定义，得； （2）解：根据题意，得：， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上所述：得值为或． 【题型九 实数的小数点移动】 【例9】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 【变式训练1】（七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【答案】(1)右；一； (2)0.235；23.5； (3)19.13；191.3 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 【变式训练2】已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律问题，根据被开方数乘以100，对应算术平方根乘以10即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（1）观察下表，你能得到什么规律？ （2）已知，根据上述规律求，，的近似值． 【答案】（1）被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位． （2），，． 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据表格数据总结规律即可； （2）根据规律即可求得答案． 【详解】（1）由时，； 时，； 时，； 时，； 可知被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位； （2）利用被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位， 可知， ， ． 【变式训练4】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 【题型十 实数的规律探究】 【例10】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）利用所得规律求解可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）． 【点睛】本题考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． 【变式训练1】（17-18七年级下·山东济宁·期中）计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 【答案】（1），0，6，；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：，0，6，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；用字母表示为：； （3）解：①当时，， ； 故答案为：； ②； 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由（1）得：； 故答案为： （3） 【变式训练3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【变式训练4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 【题型十一 程序设计与实数运算】 【例11】（20-21八年级下·陕西西安·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． （1）用含m的代数式表示该程序的运算过程 （2）当实数的一个平方根是时，求输出的结果． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用运算程序即可得到关于m的代数式； （2）把已知数据带入求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得． （2）原式， 当实数的一个平方根是时，，即． 所以原式． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确得出运算程序是解题的关键． 【变式训练1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查流程图与实数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当时： 输入8：， 输入2：，输出； 故； 故选B． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与实数运算，算术平方根的计算，无理数的判断，读懂程序计算的过程是解题的关键． 读懂程序计算过程，把代入程序中计算，判断结果是否是无理数，不是则继续输入，直至得到算术平方根为无理数，再输出． 【详解】解：由所示的程序可得：的算术平方根是，是有理数， 继续输入，则9的算术平方根为，3是有理数， 继续输入，则3的算术平方根为，是无理数，则输出， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 【变式训练4】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵ 0和1的算术平方根是它本身， ∴， 解得， ， 解得或， ∴ 所有满足要求的的值为1，2，3； 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 拓展训练 一、选择题 1.（24-25七年级下·天津南开·期中）关于“”，下列说法不正确的是（    ） A．它是数轴上唯一一个距离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若，则整数a的值为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依据绝对值的定义、无理数的概念，依据夹逼法估算无理数大小的方法、依据算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A、轴上距离原点个单位长度的点表示的数是，所以说法错误，故此选项符合题意； B、是一个无理数，所以说法正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，所以整数a的值为3，所以说法正确，故此选项不符合题意； D、∵，∴可以表示面积为10的正方形的边长，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2.有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有（   ） A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案． 【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如＝2； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的； ⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误； ⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 3.（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 4.（24-25七年级下·北京·期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征，算术平方根的应用．根据算术平方根的性质可得，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， 由作图可得，， ∵点A表示的数为1， ∴点E所表示的数为， 故选：C． 5.若的整数部分为，小数部分为，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，， 那么， ∵， ∴， ∴， ∴的值在1和2之间． 故选：C． 2、 填空题 6.（20-21八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根计算即可． 【详解】的相反数是， ∵   ， ∴   的倒数是， ∵   ， ∴   的平方根是． 故答案为：，， 【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根，掌握绝对值的意义，相反数的定义，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根以及平方根是解题的关键． 7.（2025·四川绵阳·三模）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用提公因式及平方差公式进行分解因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 8.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 9.（2025·河南洛阳·三模）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】> 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，正确判断的范围是求解本题的关键． 通过比较与的大小，利用算术平方根性质得出，推出，进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即 ． ∴，即 ∴． 故答案为：． 10.（22-23七年级下·四川南充·期中）如果正整数满足：，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小估算，算术平方根，先确定，继而得出的值，即可得出答案．确定的范围是解题的关键． 【详解】解：∵正整数满足：， 又∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 3、 解答题 11.（24-25七年级下·湖北黄石·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根、立方根、乘方，再计算加减即可； （2先求算术平方根、立方根，再计算加减即可； （3）先乘方、求算术平方根、化简绝对值，再计算加减即可； （4）先乘方、求立方根、化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12.（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身， ∴， ∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵，，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是； （3）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 13.（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 14.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 【答案】（1）2；；（2）；（3）8 【思路点拨】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据，得出，求出，代入求出结果即可． 【规范解答】解：（1）；； （2）， ， ， ， ∵， ∴， 解得：； （3）， ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴ ． 15.（24-25七年级下·北京·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)13 (2)示意图见解析， 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$