精品解析：2025年江苏省宿迁市泗洪县中考三模数学试题

九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批圆珠笔的使用寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状 C. 考察人们保护海洋的意识 D. 了解全班同学的视力状况 4. 石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，为必然事件是（ ） A. 购买一张彩票，中奖 B. 打开电视，正在播放广告 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 地球围绕太阳公转 6. 把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或x＞2 D. 或 8. 已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）． A 7 B. 8 C. D. 10 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. “直角三角形的两个锐角互余”是_______命题．（填“真”或“假”） 10. 某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是80分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为______分． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 12. 若，则函数的图像不经过第______象限． 13. 一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于______． 14. 函数中，自变量x的取值范围是________． 15. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 16. 如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为______． 17. 如图，将反比例函数的图像绕点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______． 18. 如图，点、、、在同一圆上，点在内且，，，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 22. 为了解某县九年级学生身体素质情况，该县从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，______，______； （2）把条形统计图补充完整； （3）该区九年级有学生4500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？ 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 24. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，） ． 25. 近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． （1）每件商品降价元时，日销售量为______件： （2）若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； （3）设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 26. 已知：如图，在一个的网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、、均在格点上，点、是线段与格线的交点． （1）填空：______，______； （2）画图：只用无刻度直尺，画平行四边形和平行四边形；（保留画图痕迹，不写画法） （3）在（2）的图形中，连接、，设交点为，求的面积． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. （1）如图1，在中，，平分，交于点，过点作，交于点，求证：． （2）如图2，在中，和是外角，且，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． ①求证：； ②若，，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； （3）直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形解答即可． 【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批圆珠笔的使用寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状 C. 考察人们保护海洋的意识 D. 了解全班同学的视力状况 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意； B．了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故此选项不符合题意； C．考查人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故此选项不符合题意； D．了解全班同学的视力状况，适合全面调查，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：； 故选：B． 5. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 购买一张彩票，中奖 B. 打开电视，正在播放广告 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 地球围绕太阳公转 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、购买一张彩票，中奖是随机事件，此选项不符合题意； 、打开电视，正在播放广告是随机事件，此选项不符合题意； 、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，此选项不符合题意； 、地球围绕太阳公转是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 6. 把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理的内容是解题的关键． 根据三角板的性质得到，由直尺得到，则，在中，由三角形内角和定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 7. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或x＞2 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：把点，代入， 得出， 解得：，m=0（舍去） ∴点，B， 观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 则不等式的解集为：或. 故选：A． 8. 已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）． A. 7 B. 8 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】如图连接、 交于点，作 交于点，可证，连接，当为 中点时最大，即可求出，最后可以求出最小值 【详解】解：如图连接、 交于点 ， 在矩形中，，， ∵， ∴四点共线，以为圆心 为半径作圆， 作 交于点， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ，当最大时最小， ∴连接，当为 中点时最大，则， ∵ ，且为中点， ∴ ，则， ∴ ， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B． 【点睛】本题利用矩形的性质，圆周角定理，四点共圆，相似三角形的判定和性质，构造辅助圆求解最小值是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. “直角三角形的两个锐角互余”是_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是真命题， 故答案为：真． 10. 某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是80分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数计算公式求解，即可解题． 【详解】解：他的数学学期总成绩为（分）； 故答案为：． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 12. 若，则函数的图像不经过第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，结合图像走向和与坐标轴交点位置，利用数形结合思想确定不经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 故答案为：四． 13. 一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆锥相关知识，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键； 根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长建立方程求解即可． 【详解】解：设母线长为R，底面半径是3， ∴， 解得． 故答案为4． 14. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥－1且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程求解的步骤． 利用分式方程求解的步骤求得，根据方程的解为负数，且分式有意义即可求出的取值范围． 【详解】解： 根据分式方程的解为负数可得，且，即， 解得，且， 故答案为：，且． 16. 如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理，根据切线长定理，得，结合线段的和差关系得，再结合的周长转化为，由此得解．切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 【详解】解：依题意，设、、、与的切点分别为W、、、，连接，如图所示： ∵为的内切圆，为的切线， ∴， ∵， ∴，， 则， ∵，， ∴， 则的周长， 故答案为：15． 17. 如图，将反比例函数的图像绕点顺时针旋转，旋转后的图像与轴交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作出点 旋转前的对应点，根据旋转的性质可得，，过点作 轴于点，根据得出，根据勾股定理求出，即可得出点的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点 旋转前的对应点，， ∵， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，即 ， ∴， 在 中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得： ，负值舍去， ∴， ∴ 把代入，得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心连线相等，所成的夹角等于旋转角，勾股定理，以及用待定系数法求解函数表达式的方法． 18. 如图，点、、、在同一圆上，点在内且，，，，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．作于点，作交的延长线于点，设，利用特殊三角形的性质求得，，，得到，，证明，利用相似三角形的性质列式计算求解即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点，设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，负整数指数幂，按照运算顺序计算即可，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． 【详解】解：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算步骤是解题的关键．先进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 将代入，得原式． 21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，，得出，证明，得出，求出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22. 为了解某县九年级学生身体素质情况，该县从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，______，______； （2）把条形统计图补充完整； （3）该区九年级有学生4500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数是多少？ 【答案】（1）20；144 （2）见解析 （3）不及格人数是225名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本百分比估计总体数量，等知识，读懂统计图并从中获取有用的信息是解题的关键． （1）根据B级学生数及所占百分比即可求得抽取的测试学生人数，从而可求得C级学生人数，进而求得m的值，求出A级所占的百分比，即可求得扇形的圆心角度数. （2）根据（1）求出的C级学生人数为8人补全补充完整条形统计图； （3）由D级的占比，利用样本估计总体的思想即可求得． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生人数是（人）， C级学生人数为：（人），则， ∴， ， 故答案为：20；144 【小问2详解】 解： 补充完整条形统计图如下， 【小问3详解】 解：（名）， 即不及格人数是225名． 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1）箱子里白球的个数为3 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键． （1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，求出概率即可． 【小问1详解】 ，， ∴箱子里白球的个数为3． 【小问2详解】 画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， （摸出的小球颜色恰好不同）． 24. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，） ． 【答案】楼与之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，则，根据题意得出，延长交所在直线于点，则，确定，然后利用含30度角的直角三角形的性质及矩形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为点，则． 由题意：，， ． ． 延长交所在直线于点，则， ，， ． ． 在中，，， ． ． ． 根据题意得：四边形为矩形． ． ． 答：楼与之间的距离约为． 25. 近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． （1）每件商品降价元时，日销售量为______件： （2）若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； （3）设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）的值应为40； （3）当时，取最大值，最大值是5000． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键． （1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件列出对应的代数式即可； （2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可； （3）根据利润（售价成本价）数量列出关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 解得， ∵为尽快减少库存， ∴的值应为40； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴当时，取最大值，最大值是5000． 26. 已知：如图，在一个的网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、、均在格点上，点、是线段与格线的交点． （1）填空：______，______； （2）画图：只用无刻度的直尺，画平行四边形和平行四边形；（保留画图痕迹，不写画法） （3）在（2）的图形中，连接、，设交点为，求的面积． 【答案】（1）， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了无刻度尺作图，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，且运用平行线分线段成比例，得，即，再运用割补法列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，得，根据网格特征以及平行线的性质，得， ，即，因为，所以，即，所以四边形是平行四边形，结合网格特征得，故四边形是平行四边形，即可作答． （3）先根据题意，过点作，证明，由（1）得，整理得，结合平行线之间距离处处相等，即的面积，由（2）得，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵， ∴， 即， 即， ∴， 故答案为： ，． 【小问2详解】 解：平行四边形和平行四边形如图所示： 小问3详解】 解：过点作， 由（2）得， ∴ ∴ ∴ 由（1）得， ∴， ∴ ∵平行线之间距离处处相等 ∴的面积 由（2）得 ∴的面积． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. （1）如图1，在中，，平分，交于点，过点作，交于点，求证：． （2）如图2，在中，和是外角，且，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． ①求证：； ②若，，求的值． 【答案】（1）见详解，（2）①见详解，② 【解析】 【分析】（1）根据题意得，结合平行得，则； （2）①根据题意得，则，有；②过点C作于点H，则由①得，可求得，在和中利用勾股定理求得，结合解直角三角形得定义即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵，平分，， ∴， ∴， 则； ②过点C作于点H，如图， 由①得， ∵，， ∴，解得， ∴， 在和中，， 则，解得， 那么，． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用和解直角三角形，解题的关键是熟悉等腰三角形的判定和性质，以及相似三角形的性质． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； （3）直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰直角三角形的性质可知，根据，可知，从而可得：，根据点的横坐标是，可得：，从而可得方程，解方程求出点的横坐标，把横坐标代入解析式求出纵坐标即可； 设点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，解方程组求出交点的横坐标，把的底边看作，则点的横坐标即为的高，根据三角形的面积公式计算出的面积即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点和点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 当时，， 点的坐标是； 【小问3详解】 解：的面积是定值， 理由如下， 如下图所示， 设点的坐标是，点的坐标为， 当时，， 当时，， 直线与坐标轴交点的坐标是，， 直线与轴负半轴的夹角是， 点的坐标是，点的坐标为， ， 整理可得：， 或(舍去)， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标是， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：， ， ， ， 点的横坐标是， ， 的面积是， 的面积是定值． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $