精品解析：海南省省直辖县级行政单位琼海市嘉积中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

嘉积中学2024－2025学年度第二学期初中数学质量监测（段考） 八年级数学科试题 （时间：100分钟 满分：120分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 学校体艺节开展艺术作品展评，其中一幅作品评委评分结果如右表，则该作品得的平均分是（ ） 得分 8分 9分 10分 人数/人 1 5 4 A. 9分 B. 9.3分 C. 9.5分 D. 10分 3. 《九章算术》中：“今有竹高九尺，末折抵地，去木三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（ ） A. 5尺 B. 4尺 C. 3尺 D. 3.6尺 4. 用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（ ） A. 7 B. C. 3 D. 5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 8. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. B. C. D. 或 12. 如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点，且，则下列结论：；；四边形为菱形；．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则______． 14. 已知直线过点，若将该直线向下平移得直线，那么平移的距离是______． 15. 如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值_________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. “疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）． （1）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件 （2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价． 18. 如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 19. 某校为了解学生每周参加科学教育的情况，随机抽取了部分学生进行调查．根据调查结果制作了两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的人数为______人； （2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （3）在扇形统计图中，“”部分所对应的扇形的圆心角度数是______度； （4）若该校有学生，请估计该校每周参加科学教育的时间达及以上的学生人数． 20. 如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE． （1）求证：∠EAM=45°； （2）求证：△AEM≌△ANM； （3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长． 21. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． （1）求直线的表达式； （2）连接． ①当的面积等于面积的一半时，求出点P的坐标； ②当时，请直接写出点P的坐标为____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉积中学2024－2025学年度第二学期初中数学质量监测（段考） 八年级数学科试题 （时间：100分钟 满分：120分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 2. 学校体艺节开展艺术作品展评，其中一幅作品评委评分结果如右表，则该作品得的平均分是（ ） 得分 8分 9分 10分 人数/人 1 5 4 A. 9分 B. 9.3分 C. 9.5分 D. 10分 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数公式是解决问题的关键．利用加权平均数公式计算即可． 【详解】解：该作品的平均分是：（分）． 故选：B． 3. 《九章算术》中：“今有竹高九尺，末折抵地，去木三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（ ） A. 5尺 B. 4尺 C. 3尺 D. 3.6尺 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， ∴的长为4尺． 故选：B． 4. 用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（ ） A. 7 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 先将常数项移至等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：A． 5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，一元一次方程解几何问题，掌握平行四边形、折叠的性质是关键． 令，则，进而可得，由折叠可知，，，，再根据三角形的内角和列出关于的方程式即可得出答案． 【详解】解：令，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 6. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正比例函数的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7. 如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据中位线得到，求出，最后结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲和乙，射击成绩方差最小的是甲，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 9. 在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，属于简单题，平移道路形成新的矩形是解题关键． 将阴影部分推至左上角，计算空白部分面积即可． 【详解】如下图， 将道路推至左上角，形成新矩形田地， ∵道路的宽为米， ∴新矩形田地长为，宽为， ∵每小块试验田的面积为，即新矩形面积为， ， 整理得， 故选：C． 10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需要找到直线的函数图象在直线的函数图象下方或交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的函数图象下方或交点处时，， ∴关于的不等式的解集为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 11. 已知：是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将x=2代入方程求得m的值，继而可还原方程，因式分解法求解得出x的值，根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案． 【详解】解：将x=2代入方程得：4﹣2（m+1）+m=0，解得：m=2，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2． 当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去； 当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5． 故选C． 【点睛】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于，交于，点是的中点，且，则下列结论：；；四边形为菱形；．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC≌△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC，直角三角形AOE中利用勾股定理求出AB、AE等的长再逐一进行判断即可得. 【详解】∵EF⊥AC，G是AF的中点， ∴AG=OG=GE， ∴∠OAF=∠AOG=30°， 在直角△ABC中，∠CAB=30°， ∴BC=AC=OC，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a， ∴AB=， 在直角△AOE中，∠EAO=30°，∴AO=2OE， AO2+OE2=AE2， ∴OE=，AE=， ∴OG=， ∴CD=AB=3OG，故（1）正确； OG=≠a=BC，故（2）错误； 易证△FOC≌△EOA， ∴OE=OF， 又∵AO=OC，EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形，故（3）正确； ∵S△AOE=，S矩形ABCD=a•a=a2， ∴S△AOE=SABCD，故（4）正确， 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的判定的性质，正确理解图形中∠CAB=30°，从而确定BC、AB以及OA、OC之间的关系是关键． 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 14. 已知直线过点，若将该直线向下平移得直线，那么平移的距离是______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象得平移及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握一次函数图象的平移是解题关键． 根据题意得出，将点代入确定函数解析式，然后即可得出结果． 【详解】解：∵直线向下平移得直线， ， ∴， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴该直线向下平移8个单位长度， 故答案为：8． 15. 如图，边长为4的正方形中，M，N为对角线两点，且，点E为边的中点，则的最小值_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质与判定，勾股定理，过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，，即可得到是平行四边形，是正方形，则，当在上时，取最小值，最小值为的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过作，使，过作交于，交延长线于，连接，，， ∵边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，使， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴当在上时，取最小值，最小值为的长， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查绝对值、季指数幂、二次根式化简，负整数指数幂的运算以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并准确计算． （1）分别计算各项：绝对值、季指数幂、二次根式、负整数指数幂，再将各项计算结果进行加减运算； （2）把方程通过配方转化为完全平方式，求解转化后的方程． 【详解】解：（1） ； （1） 解得：． 17. “疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）． （1）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件 （2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价． 【答案】（1） （2）该商品的售价为30元 【解析】 【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出2件，即可得出每天售出该工艺品的件数； （2）根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵该商品的售价为x元/件，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件， ∴每天能售出该工艺品的件数为件． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商品的售价为30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再说明是平行四边形，可得，进而得出答案． 【详解】略 19. 某校为了解学生每周参加科学教育的情况，随机抽取了部分学生进行调查．根据调查结果制作了两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的人数为______人； （2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （3）在扇形统计图中，“”部分所对应的扇形的圆心角度数是______度； （4）若该校有学生，请估计该校每周参加科学教育的时间达及以上的学生人数． 【答案】（1）50 （2）， （3） （4）920人 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用众数、中位数的定义计算即可． （3）利用圆心角计算公式计算即可． （4）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：∵(人)， 故答案为：50． 【小问2详解】 解：根据题意，得的人数是17，最多， 故众数为， 而中位数是第25,26个数据的平均数，且第25,26个数据都在范围内， 故中位数是， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：根据题意，得． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人）， 答：时间达及以上的学生有920人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，众数，中位数，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，中位数，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键． 20. 如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE． （1）求证：∠EAM=45°； （2）求证：△AEM≌△ANM； （3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE， ∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°， ∴∠ABC+∠ABE=180°， ∴点E，点B，点C三点共线， ∵∠DAB=90°，∠MAN=45°， ∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45° （2）由（1）可知AE=AN，∠MAE=∠MAN，MA=MA， ∴△AEM≌△ANM（SAS）． （3）6 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可证明△ADN≌△ABE，进一步证明点E，点B，点C三点共线，从而可得结论； （2）根据SAS证明三角形全等即可． （3）设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）解：设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2， ∵△AEM≌△ANM， ∴EM=MN， ∵BE=DN， ∴MN=BM+DN=5， ∵∠C=90°， ∴MN2=CM2+CN2， ∴25=（x-2）2+（x-3）2， 解得，x=6或-1（舍弃）， ∴正方形ABCD的边长为6． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 21. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 【答案】（1）， （2）2或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可； （3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵m，n满足， 当时，原式， 当时，m、n可看作方程的两根， ∴， ∴原式， 综上，的值为2或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵， ∵正整数， ∴，即． ∴正整数c的最小值为3． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． （1）求直线的表达式； （2）连接． ①当的面积等于面积的一半时，求出点P的坐标； ②当时，请直接写出点P的坐标为____． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式： （2）①先由直线可得，由直线得，即可得的面积；设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可； ②设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线得， ， 点， 设直线的解析式是， 点， ，解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①直线与轴相交于点， ∴当时，，则， 直线与轴相交于点， ∴当时，，则， ， ， 点， ； 设点的坐标为， Ⅰ、点在轴正半轴时，如图， ， ， ， 点的坐标为； Ⅱ、点在轴负半轴时， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； ②设点的坐标为， Ⅰ、点在轴正半轴时，过点作轴于， ， ， ， ， 直线，令，则， ， ， ，，， ， ， 设点的坐标为； Ⅱ、点在轴负半轴时， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $