浙江省北斗星盟2024-2025学年高二下学期阶段性联考数学试题

2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学试题 命题学校：余杭高级中学东阳中学审题学校：严州中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置： 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设i为虚数单位，若复数z=(a2-5a+6)+(a-2)i是纯虚数，则实数a的值为() 圜 A.2 B.3 C.5 D.2或3 2.定义集合A、B的“对称差集”：A△B={x|x∈AUB且x年AnB.已知集合A={1,2,3}, 铷 B=2,3,4},C={4,5},下列结论正确的是() 敏 A.A△B={1,4}B.A△0=0 C.(A△B△CA△(B△CD.若A△B=A,则B0 长 3.命题p:函数f田)=i血(2x+p)的图象关于直线x=对称：命题q:p=5江+2k元，keZ: 3 6 则p是g的() ☒ A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 数 4.已知m,n为空间中不重合的直线，a、B、Y为不重合的平面，下列命题正确的是() 郝 A.若m/1B,a∩B=n,则m∥n B.若a/IB,mca,则m/1B C.若a⊥y,B⊥y,则a/1 D.若cny=a,B∩y=b,a/b,则au11B 鞠 5.已知耳，E是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF2=30°，IPE上V31PF2, 则C的离心率为() A.1+V3 a143 c25 D1+3 2 6在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且AB⊥AD,CB⊥CD.设AB=a, AC=b,AD=c,则下列结论正确的是() A.MN-(a+e-B)B.MN-3(6+a-c)C.c-(6+a-d D.b.(c+a)-B 高二数学学科试题第1页（共4页） 7杭州“六小龙”企业（宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技）在 科技领域大放异彩。现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动 进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若字树科技被 选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是() A.96 B.120 C.240 D.336 8.已知连续型随机变量5服从正态分布N(I,4),记函数∫(x)=P(52x),则∫(x)的图象（) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=2对称 C关于点学)成中心对称 D.关于点(2,2)成中心对称 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得满分，部分选对的得部分分 9.已知数列an=2n-1的前n项和为Sn,数列bn=241的前n项和为T,则下列说法正确的是( A.S2+S4=S6B.3(S4-S2)=S6C.T2·T6=TD.T+T=T2(T4+T6) 10.己知R(:,y),P(x2,2)是曲线C:xy(y-1)=2上的两个动点，则() A.曲线C是中心对称图形 B.曲线C有且只有两条渐近线 C若，乃分别在第二象限和第四象限，则1P1的最小值为2 D.曲线C和圆E:x2+y2=4恰好有6个公共点 11.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方： 若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可 知，在一局中甲胜的概率为03，乙胜的概率为0.2.用P(i=0,l,…,6表示“在甲所得筹码为i枚时， 最终甲获胜的概率”，则() A第一局比赛后甲的筹码个数记为X,则期望E(X)=3.1 B.四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405 C.Po+P=1 2 D.P。-R=(E-P) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若3sin(5-)-simB=f而，则tanB 13.(x2+2x-3)4的展开式中x3的系数为 14.已知不等式e-cosx+ax2-ax≥0对任意实数x都成立，则实数a的值为 高二数学学科试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查. 5 性别 运动时间x 患有慢性病 未患慢性利 合计 健康棉数y 60 70 85 95 90 男性 30 70 i00 表1 女性 20 80 100 0.1 0.05 0.01 0.005 合计 50 150 200 2,706 3.841 6.635 7.879 表2 表3 (1)从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y,数据见表1.求运动 时间与健康指数的一元线性回归方程)=x+à，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差， (2)为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示.根据小概率值 α=0.05（表3）的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联， a=-标；x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' n=a+b+c+d. 16.(15分)在△ABC中，AC=AD=CD=3,BD=5,将△ACD绕着CD旋转得到三棱锥A-BCD (I)求三棱锥4-BCD体积的最大值。 (2)若面ACD⊥面BCD,求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值. 图1 图2 17.已知Po,均是函数fy=2xI血x+aa>0)图象上的点. (I)当=1时，求函数f(x)在点(1，f()处的切线方程 (2)若和=1，点P处的切线1与曲线y=f(x)有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围. 高二数学学科试题第3页（共4页） 18.设4，B两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为-三 设点P的轨迹为曲线E (1)求曲线E的标准方程： (2)若直线1过点Q(1,O),与曲线E交于C,D两点，C在x轴上方，直线AC,BD交于点M,直线 AD,BC交于点N,记A,B到直线I的距离分别为d1,d2· 9.1 ()证明： ≥4.(i)求△4MN的面积最小值. d d2 19.已知n行n列(n≥2)的数表A 421 a … 42n 中， 对任意的ieL2四，je乳，2川，都有 a2…am ag∈0，}若当a.=0时，总有之4，+24，≥m,则称数表4为奥型表，此时记S.三 0 j=1 001 1100 (1)若数表B=100 1100, C= 请判断B,C是否为典型表，并说明理由： 0011 110 0011 (2)当n之6时，是否存在典型表A使得S。=17，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； 何泥的漫值为S,来交-少1。 高二数学学科试题第4页（共4页）2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学学科参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B A B B D D B C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得满分，部分选对的得部分分。 9.BD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-3 13.120 14.1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15解0油表知=5=0，后.，- =8.5,a=37.5…4分 2-列 所以线性回归方程为)=8.5x+37.5,…6分 运动时间为7小时的居民健康指数的残差y(7)-(7)=90-97=-7…7分 (2)零假设H。:居民性别与是否患有慢性病无关联， 根据列联表数据，计算得x2-20.(6308070-20-8<3.841,…11分 50.150-100-100 3 所以根据小概率值=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别与是否患有慢性病有关联， 故可以认为性别与是否患有慢性病无关联。…13分 16解：(1)因为底面ABCD面积不变，所以当面A1CD⊥面BCD时体积最大， …2分 过A1作AH⊥CD=H,则A,H⊥BCD,故hm=A1H=3y …3分 2 又5asco=3-5sin号=V3 …5分 所以儿背5m=指 …7分 (2)法一：由(1)知，可过H作HI⊥BD交BD延长线于，连结AI,则A1I⊥BD 所以LA1IH为二面角A1-DB-C的平面角 …10分 高二数学学科答案第1页（共5页） 又因为A,H=9,H1== 22 ,所以tan∠A1lH=2 …14分 即面A,BD与CD夹角的余弦值为号 …15分 法二：由(1)知，A1H=AH=V3,且AH1CD ,面A1CD⊥面BCD,面A1CDn面BCD=CD,A1HC面A1CD ∴A1H⊥面BCD, .以H为坐标原点，HA,HD,HA1所在直线方向分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系9分 则A(3,00,B(-3,4,0)c(0,-,0,D(0,2,0)A(0,03 ∴DA=(0,-3),Di=(（3,,0HA=(0,03) 则面BCD的法向量为HA=(0,0,V3) …10分 则元DA=0 +V3z=0 3 设面A1DB的一个法向量元=(x,y,z), 即 2 元，DB=0 V3x+y=0 5 令y3,则元=(1，V3,1) …12分 .'.cos <n,HA>= 23x1 3 02+02+侵3×2+2+2 …14分 ·面A1BD与面配CD夹角的余弦值为S …15分 17.解)当1时，9=21nx+,所以f0=1…1分 题有”)=二-=2x。,所以”()=13分 所以所求切线方程为l:y=.…5分 2)油0知：广()2-是=20，所以切线4y=2-0x+2a-2，…6分 设G)=fm)-(2-ar+2-2a=2lnr+0+(a-2x+2-2a,G0=0,则 G0-至+a-2-0-2ral-.>0,7分 x2 1当a≥2时，当0<x<1时，G'(x)<0;当x>1时，G'(x)>0:即G(x)在(0,1)递减，(1，+oo)递 增，所以G(x)有唯一零点x01,符合题意：…9分 高二数学学科答案第2页（共5页） 2当=1时，G倒)=--少≤0，即G)在0，+)递减，所以G有唯一零点l,符合题 意：…10分 3当0<a<1时，令G田)=0，解得0<-A<=1:即G)在0,22。递减，(4D 2-a 2-a 递增，+0)递减：又G0=0,G(2“)<0,当x→0广时，G)→+0：当x→0时，G的 →-0：所以G(x)有两个零点，不符合题意：…12分 4当1K<2时，同理可知令G)=0,解得0<x=1<2”即G)在0,0递减，，只) 2-a 递增，(。+0)递减：又G0=0,G,a)>0,当x→0时，G()→+0：当x→+0时， 2-a 2-a G(x)→-o)G(x)有两个零点，不符合题意：…14分 综上所述：a≥2或a=1. …15分 18解：D设P.则2，所以。2 x-2 所名点去层用r-到0n 所以E的方程+ 43 2=1,(x≠2)…4分 (2)(i)设C(:,y),D(x,2),依题意知，直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=少+1， x=y+1 6n 9 ￡+号-1→(3r+4r+60w-9=0所以y+%=3n4g=3n+4'6分 4 3 3 所以d1= 1 V+,4s +n后，…8分 9+1≥4+㎡2≥4，当且仅当n=0时取等号…10分 所以d,d: -+ (i由（①D知：x+5=0y+)+2=8 3m+4=(+15+=0-3, 3n2+4 段发6c二片k=k加十2由题意知，>06<0 +2 ·y2 -9 -91 k k2= +2(G+)+441-3m)+16+43m+4364,…12分 高二数学学科答案第3页（共5页） 3 由题意知ccc=头n60,==3=说=改 1 k2 4 即w=3流，所以2本203，-习列=+2，所以=4，即N在直线马 上，…14分 (其他解法酌情给分) 同理可证：M在直线xw=4上，故AB⊥MN…14分 因为直线AC的方程为y=k(x+2),直线AD的方程为y=k(x+2), 由x=4,得w=6k,yw=6k,所以MN=yM-N=6(k-k)≥6Vk(-k2)=6, 当且仅当名-6=时取等号，所以N的最小值为6：…16分 所以△AMW的面积最小值为Sn=)-6MNn=1817分 19.解：（①）对于数表B,有a2=0,而∑a2+∑4=2<3，不符合定义，故B不是典型表…2分： 对于数表C当a,=0时，总有∑a,+∑ay=4≥4，所以数表C是典型表4分. (2)假设存在典型表A使得S。=17,则A中含有17个1,19个0，所以至少有一行中含有0的个数 不少于4. ①若第一行有4个0时，则该行0项所在列的和不小于4，此时S。≥4×4+2=18>17：6分. ②若第一行有5个0或6个0时，则该行0项所在列的和不小于4，此时S,≥5x5=25>17:…8分. 以上均与S。=17矛盾，故假设不成立，即不存在典型表A使得S。=17…10分 (3)不妨设典型表A的第i行含有1的个数是所有行与列中最少的，并设1的个数为1(=0.1,2，m),则 对于该行的m-1个0，每个0所在的列各数字之和不小于n-1:对于该行的1个1，每个1所在的列各 之和不小于，所以320n-0)3+P=2北+”西 2 高二数学学科答案第4页（共5页） n为偶数 所以S 2 …15分： n2+1 2,n为奇数 立-y1-222-r-2-0=7分 n为偶数 所以当n之2时，Sm= 2 …15分： ”+山，n为奇数 2 放2(-ys1=S2+2I(-ys1=2+22_2k-+马=2+22k-=m2+1…17分 =2 2 高二数学学科答案第5页（共5页） 2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学试题 命题学校：余杭高级中学 东阳中学 审题学校：严州中学 考生须知： 1.本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数a的值为( ) A.2 B.3 C.5 D.2或3 2.定义集合A、B的“对称差集”: A△B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={4,5}, 下列结论正确的是 ( ) A. A△B={1,4} B.A△φ=∅ C.(A△B)△C≠A△(B△C) D. 若 A△B=A, 则B≠∅ 3.命题p: 函数f(x)= sin(2x+φ)的图象关于直线 对称；命题 则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知m，n为空间中不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，下列命题正确的是( ) A. 若m∥β, α∩β=n, 则m∥n B. 若α∥β,m⊂α, 则m∥β C. 若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥β D. 若α∩γ=a, β∩γ=b, a//b, 则α//β 5.已知F₁，F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 则C的离心率为( ) 6.在空间四边形ABCD中, M、N分别是AB、CD的中点, 且AB⊥AD, CB⊥CD.设 则下列结论正确的是( ) 高二数学学科 试题 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 7.杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩。现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是( ) A.96 B.120 C.240 D.336 8.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(1,4), 记函数f(x)=P(ξ≥x), 则f(x)的图象( ) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=2对称 C. 关于点(1, )成中心对称 D. 关于点(2, )成中心对称 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分. 9.已知数列 的前n项和为 Sn，数列 的前n项和为 Tn，则下列说法正确的是( ) 10.已知P₁(x₁,y₁) , P₂(x₂,y₂)是曲线C: xy(xy-1)=2上的两个动点, 则( ) A.曲线C是中心对称图形 B.曲线C有且只有两条渐近线 C.若P₁，P₂分别在第二象限和第四象限，则|P₁P₂|的最小值为2 D.曲线C和圆E: 恰好有6个公共点 11.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2.用 表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则( ) A.第一局比赛后甲的筹码个数记为X，则期望E(X)=3.1 B.四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若 则tanβ=________________ . 的展开式中x³的系数为 _____________ . 14.已知不等式 对任意实数x都成立，则实数a的值为___________________. 高二数学学科 试题 第2页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查. 性别 患有慢性病 未患慢性病 合计 男性 30 70 100 女性 20 80 100 合计 50 150 200 运动时间x 3 4 5 6 7 健康指数 y 60 70 85 95 90 表1 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841表3 6.635 7.879 表2 (1) 从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y，数据见表1. 求运动时间与健康指数的一元线性回归方程 并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差. (2)为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示.根据小概率值α=0.05(表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联. 附： 16.(15分)在△ABC中, AC=AD=CD=3, BD=5, 将 绕着CD旋转得到三棱锥 (1)求三棱锥 体积的最大值. (2)若面 求平面 与平面BCD夹角的余弦值. 17.已知 P(x₀, y₀)是函数 图象上的点. (1)当a=1时, 求函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程. (2)若 ，点P 处的切线l与曲线 有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围. 高二数学学科 试题 第3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 18.设A,B两点的坐标分别为(-2,0),(2,0), 直线AP,BP相交于点P, 且它们的斜率之积为 设点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的标准方程； (2)若直线l过点Q(1,0), 与曲线E交于C,D两点, C在x轴上方, 直线AC,BD交于点M , 直线AD，BC 交于点N. 记A，B到直线l的距离分别为 (i) 证明: (ii) 求△AMN的面积最小值. 19. 已知n行n列(n≥2)的数表 中, 对任意的i∈{1,2,…,n}, j∈{1,2,…,n},都有 .若当 时，总有 则称数表A为典型表，此时记 (1)若数表 请判断B，C是否为典型表，并说明理由； (2)当n≥6时，是否存在典型表A 使得 若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； (3)记 的最小值为 求 高二数学学科 试题 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学学科参考答案 一、单选题：本题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B D D B C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分. 9. BD 10. ABD 11. ACD 三、填空题：本题共3小题， 每小题5分，共15分. 13. 120 14.1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)由表知 分 所以线性回归方程为=8.5x+37.5, ……6分 运动时间为7小时的居民健康指数的残差y(7)-(7)=90-97=-7 ……7分 (2)零假设H₀：居民性别与是否患有慢性病无关联， 根据列联表数据，计算得 ··11分 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别与是否患有慢性病有关联，故可以认为性别与是否患有慢性病无关联.……13分 16.解: (1) 因为底面ΔBCD面积不变, 所以当面A₁CD⊥面BCD时体积最大, ……2分 过A₁作A₁H⊥CD = H, 则 故 ……3分 又 ……5分 所以 ……7分 (2)法一: 由(1) 知, 可过H作HI⊥BD交BD延长线于点I, 连结A₁I, 则 所以∠A₁IH为二面角 的平面角 ……10分 又因为 所以 ……14分 即面A₁BD与面BCD夹角的余弦值为 ……15分 法二: 由(1)知, 且 ∵面A₁CD⊥面BCD, 面A₁CD∩面BCD =CD, A₁H⊂面A₁CD ∴以H为坐标原点，HA，HD，HA₁所在直线方向分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系……9分/ 则面BCD的法向量为 ……10分 设面A₁DB的一个法向量π=(x,y,z), 则 即 令 则 ……12分 …… 14分 ∴面A₁BD与面BCD夹角的余弦值为 ……15分 17.解: (1)当a=1时, 所以f(1)=1……1分 依题有 所以f'(1)=1……3分 所以所求切线方程为l：y=x……5分 (2)由(1)知: 所以切线l: y=(2-a)x+2a-2, ……6分 设 则 ·7分 1°当a≥2时, 当0<x<1时, G'(x)<0; 当x>1时, G'(x)>0; 即G(x)在(0,1)递减, (1,+∞)递增, 所以G(x)有唯一零点x₀=1, 符合题意; ……9分 2°当a=1时, 即G(x)在(0,+∞)递减, 所以G(x)有唯一零点: 符合题意; ……10分 3°当0<a<1时, 令G'(x)=0, 解得 即G(x)在 递减， 递增,(1,+∞)递减;又 当x→0⁺时, G(x)→+∞; 当x→+∞时, G(x)→-∞; 所以G(x)有两个零点, 不符合题意; ……12分 4°当1<a<2时,同理可知(令G'(x)=0,解得 即G(x)在(0,1)递减, 递增， 递减；又 当 时,G(x)→+∞;当x→+∞时,G(x)→-∞)G(x)有两个零点, 不符合题意; ……14分 综上所述: a≥2或a=1. ……15分 18.解: (1) 设P(x,y), 则x≠±2, 所以 所以 即 所以E的方程 分 (2) (i) 设(C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),依题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为 x=ny+1， 所以 ……6分 所以 …8分 所以 当且仅当n=0时取等号 ……10分 (ii) 由(i)知: 设 由题意知， ·12分 由题意知 即 所以 所以 即N在直线 上, ……14分 (其他解法酌情给分) 同理可证：M在直线 上, 故AB⊥MN……14分 因为直线AC的方程为 直线AD的方程为 由x=4, 得 所以 当且仅当 时取等号，所以|MN|的最小值为6；……16分 所以△AMN的面积最小值为 分 19. 解: (1)对于数表B,有 而 不符合定义，故B 不是典型表……2分；对于数表 C，当 时， 总有 所以数表C是典型表……4分. (2)假设存在典型表A 使得 则A中含有17个1，19个0，所以至少有一行中含有0的个数不少于4. ①若第一行有4个0时，则该行0项所在列的和不小于4， 此时S₆≥4×4+2=18>17; …6分. ②若第一行有5个0或6个0时，则该行0项所在列的和不小于4， 此时S₆≥5×5=25>17; ……8分. 以上均与 矛盾，故假设不成立，即不存在典型表A使得 分. (3) 不妨设典型表A的第i行含有1的个数是所有行与列中最少的，并设1的个数为t(t=0,1,2,…,n),则对于该行的n-t个0，每个0所在的列各数字之和不小于n-t；对于该行的t个1，每个1所在的列各数字之和不小于t， 所以 分； 所以 …………15分;n为奇数 为偶数 故 分. n为偶数 n为奇数 所以当 时， ………15分; 故 分. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$