专题02 平行线的性质和判定（6大题型168题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 平行线的性质和判定 题型概览 01 平行公理及推论 02 平行线的判定 03 平行线的性质 04 平行线的性质和判定 05 平行线综合 06 命题与定理 ( 题型01 ) 平行公理及推论 1．（2023秋•偃师区期末）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线 D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2023秋•新安县期末）下列说法正确的是（　　） A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两个相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定是邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 3．（2024春•郏县期末）下列说法正确的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（2023秋•驿城区期末）下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 5．（2023秋•郏县期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由 是　　 ． ( 题型0 2 ) 平行线的判定 6．（2024秋•西峡县期末）如图，给出四个条件：①∠2＝∠3；②∠1＝∠7；③∠1+∠2＝∠6+∠7；④∠3+∠4+∠5＝180°，其中能判定AB∥CD的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（2024秋•南阳期末）如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 8．（2023秋•原阳县校级期末）如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠C+∠ADC＝180° C．∠C＝∠CDE D．∠1＝∠2 9．（2023秋•唐河县期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（　　） A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180° 10．（2024春•虞城县校级期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 11．（2024春•息县期末）下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD的是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（2024春•禹州市期末）如图，已知∠2＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　） A．∠1＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 13．（2024春•宝丰县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 14．（2024春•滑县期末）用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（　　） A． B． C． D． 15．（2024春•郾城区期末）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 16．（2024春•正阳县期末）如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（　　） A．∠A＝∠ECD B．∠B＝∠DCB C．∠A+∠ACD＝180° D．∠B+∠ACD＝180° 17．（2023秋•卫辉市期末）如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠E C．∠2＝∠B D．∠BCD+∠D＝180° 18．（2023秋•太康县期末）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180° 19．（2023秋•伊川县期末）如图，直线a，b被第三条直线c所截．由“∠1＝∠2”，得到“a∥b”的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 20．（2024春•罗山县期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝CDE；④∠C+∠ABC＝180°．其中能判定AB∥CD的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 21．（2024春•金水区期末）如图，下列选项中，能判断AD∥BE的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠B＝∠4 C．∠D＝∠5 D．∠2＝∠E 22．（2024春•光山县期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠D＝∠5 C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠B＝∠5 23．（2023秋•新野县期末）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180° 24．（2024春•文峰区期末）如图，下列不能判断AB∥CD的条件有（　　） ①∠B+∠BAD＝180°； ②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4； ④∠D＝∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2023秋•方城县校级期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠4 D．∠2+∠4＝180° 26．（2024春•新郑市期末）如图，下列不能判定AD∥BC的条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠5 D．∠1+∠3+∠B＝180° 27．（2023秋•汝州市期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（　　） 已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD． 证明：延长BE交__※__于点F，则 ∠BEC＝__⊙__+∠C 又∵∠BEC＝∠B+∠C， ∴∠B＝▲ ∴AB∥CD（__□__相等，两直线平行） A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB 28．（2023秋•源汇区校级期末）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠2+∠5＝180° C．∠2＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 29．（2024春•长葛市期末）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　） A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 30．（2023秋•郑州期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠1＝∠D，⑤∠B+∠BCD＝180°．其中能够得到AB∥CD的条件的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 31．（2023秋•淮阳区期末）如图，下列四个图中∠1＝∠2，不能判定a∥b的是（　　） A． B． C． D． 32．（2023秋•遂平县期末）如图，下列条件不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠3＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠2+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180° 33．（2024春•殷都区期末）如图，点E在AB的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件 　 　 ，使AB∥DC（填一个即可）． 34．（2023秋•南召县期末）如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，要使AB∥CD，则需添加 　 　 （只填出一种即可）的条件． 35．（2024春•虞城县期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　 　 时，CD∥OB． 36．（2024春•驿城区期末）如图，点A，C分别在射线BE，BF上，不添加辅助线，请写出一个能判断AD∥BF的条件　∠B＝∠DAE（答案不唯一）　 ． 37．（2024春•西华县期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AD∥BC的条件 　 　 ． 38．（2024春•滑县期末）如图，要使l1∥l2，需要添加的一个条件是 　　 （不添加其他字母或数字）． 39．（2023秋•新野县期末）如图，一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为 　 　 ． 40．（2023秋•中原区期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，∠ECB＝　　 °时，DE∥BC． 41．（2023秋•淮阳区期末）已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，判断a∥b． 下面是嘉琪同学的解题过程，请在括号中注明依据，在横线上补全步骤． 解：∵∠1＝110°（ 　 　 ）， ∠3＝∠1（ 　 　 ）， ∴∠3＝110°（等量代换）． 又∵∠2＝70°（已知）， ∴　 　 ， ∴a∥b（ 　 　 ）． 42．（2024春•河南期末）如图，已知AC⊥BE交BE于点C，AE平分∠CAD，∠B＝32°，∠BAE＝103°，试判断AD与BC是否平行，并说明理由． 43．（2024春•罗山县期末）已知：如图，CF平分∠ACM，∠1＝72°，∠2＝36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由． 44．（2024春•内黄县期末）图（1）展示了光的反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，经AB反射后的光线为n，则入射光线m反射光线n与垂线EF所夹的锐角∠θ1＝∠θ2． （1）如图（1），求证：∠α＝∠β． （2）图（2）是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的． 45．（2023秋•驿城区期末）已知：如图，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC．求证：AD∥BC． 46．（2024春•龙亭区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空． 证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（ 　 　 ）， 又∵∠1＝∠B（ 　 　 ）， ∴　CE∥BF　 （ 　 　 ）， ∴∠AFB＝∠AOE（ 　 　 ）， ∴∠AFB＝90°（ 　 　 ）， 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝　 　 （平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝ 　 　 °， 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（ 　 　 ）， ∴　 　 （内错角相等，两直线平行）． 47．（2023秋•光山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF． ( 题型0 3 ) 平行线的性质 48．（2024春•许昌期末）如图，固定木条b，c，使∠1＝85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　） A．85° B．90° C．95° D．100° 49．（2023秋•汝阳县期末）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则∠1+∠2的度数为（　　） A．270° B．265° C．260° D．240° 50．（2023秋•郑州期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在边BC的延长线上，若∠ADE＝29°，∠ACF＝119°，则∠A＝　90°　 ． 51．（2023秋•淮阳区期末）如图，已知直线AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（　　） A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180° B．∠β﹣∠α＝∠γ C．∠α+∠β+∠γ＝360° D．∠β+∠γ﹣∠α＝180° 52．（2023秋•太康县期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 53．（2024春•郑州期末）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数为（　　） A．43° B．53° C．67° D．70° 54．（2024春•洛阳期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，则∠1的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 55．（2024春•镇平县期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90° C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30° 56．（2023秋•汝州市期末）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 57．（2024春•汝南县期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 58．（2023秋•郑州期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 59．（2024春•西平县期末）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且m∥n．现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线，D为射线AB延长线上一点．若∠1＝24°，∠2＝139°，则∠3的度数为（　　） A．115° B．118° C．122° D．139° 60．（2023秋•泌阳县期末）如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 61．（2024春•息县期末）如图，AB∥CD，EF⊥CD，∠1＝55°，则∠2等于（　　） A．60° B．40° C．30° D．35° 62．（2024春•虞城县期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．若∠HFB＝25°，∠FED＝55°，则∠GFH的度数为（　　） A．30° B．25° C．15° D．45° 63．（2024春•民权县期末）如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝22°，则∠2等于（　　） A．23° B．67° C．28° D．45° 64．（2024春•驿城区期末）如图，已知AD∥EC，∠A＝130°，∠C＝30°，则∠B的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 65．（2024春•永城市期末）“散发乘夕凉，开轩卧闲敞”，如图1所示，是一种非常适合夏季乘凉的躺椅，图2为其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝100°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 66．（2024春•濮阳期末）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝160°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 67．（2024春•长葛市期末）如图，直线a，b被直线c所截，交点分别为B，C，且直线a∥b，BP平分∠ABC，若∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．108° B．118° C．120° D．135° 68．（2024春•确山县期末）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 69．（2023秋•淮阳区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．80° C．40° D．30° 70．（2024春•临颍县期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 71．（2024春•郑州期末）如图①是长方形纸带，上下边缘平行（AD∥BC），∠CFE＝α，将纸带沿EF折叠成图②，其中，∠DEG＝β，则α，β满足的数量关系是（　　） A．2α+β＝180° B．α+2β＝180° C．2α+β＝90° D．α+β＝90° 72．（2023秋•驿城区期末）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝136°，则拐角∠BCD的度数是（　　） A．44° B．54° C．106° D．136° 73．（2023秋•郸城县期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论： ①∠AMF与∠DNF是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 74．（2023秋•方城县校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠α、∠β、∠γ三者之间的数量关系是 　 　 ． 75．（2023秋•遂平县期末）已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），∠A＝x°，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．当时，则∠CBD＝　 　 度，（用含x的代数式表示） 76．（2023秋•南阳期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 　 　 °． 77．（2023秋•太康县期末）已知∠ABC＝70°，点D为射线BC上的一点，过点D作DE∥AB，DM为∠EDC的平分线，则∠CDM的度数是 　 　 度． 78．（2024春•宝丰县期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 　 　 秒时，边AB与边DE平行． 79．（2024春•文峰区期末）∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是 　 　 ． 80．（2024春•驿城区校级期末）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角的度数分别为　 　 ． 81．（2024春•驿城区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝26°，则∠2＝　 　 °． 82．（2024春•巩义市期末）一副直角三角板，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠F＝45°，∠B＝60°，按图中所示位置摆放，点D在边AB上，若EF∥BC，则∠ADF的度数为 　 　 度． 83．（2024春•正阳县期末）如果有两个角有一条边在同一直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为60°，则另外一个角的度数是 　 　 ． 84．（2024春•汝南县期末）如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD．若∠BED＝2∠AED，且∠BED＝30°，则∠BCD的度数为 　 　 ． 85．（2024春•柘城县期末）如图，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是 　 　 ． 86．（2024春•西平县期末）已知∠ABC＝75°，点D为BC边上一点，过点D作DE∥AB，若，则∠DEB＝　 　 ． 87．（2024春•郾城区期末）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是 　 　 ． 88．（2024春•息县期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝125°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝　 　 ． 89．（2024春•滑县校级期末）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．若AB∥CE，则∠DCB＝　 　 ． 90．（2024春•平桥区期末）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即 CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC＝130°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB＝80°，则∠DCE的度数为 　 　 . 91．（2023秋•淮阳区期末）古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点A处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心O．而同一经度上另外一点B处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为7.2°，方尖塔延长线BO经过圆心O．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线AO和方尖塔延长线BO所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为40000km（接近真实值40009km）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是 　 　 ． 92．（2024春•郑州期末）为了方便市民绿色出行和锻炼身体，环保人士倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB∥l，CD∥l，∠BCD＝72°，∠BAC＝50°．若AM∥BC，求∠MAC的度数． 93．（2023秋•淅川县期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． ( 题型0 4 ) 平行线的性质与判定 94．（2023秋•淮阳区期末）如图所示，下列推理不正确的是（　　） A．∵∠AEB＝∠C，∴AE∥CD B．∵∠AEB＝∠ADE，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180° D．∵AB∥DE，∴∠AED＝∠BAE 95．（2024秋•西峡县期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB． 解：因为BE平分∠ABC， 所以①　 　 （②　 　 ） 又因为∠E＝∠1（已知）， 所以∠E＝∠2（③　 　 ）． 所以④　 　 （⑤　 　 ）， 所以∠A+∠ABC＝180°（⑥　 　 ）． 又因为∠3+∠ABC＝180°（已知）， 所以⑦　 　 （⑧　 　 ）， 所以DF∥AB（⑨　 　 ）． 96．（2023秋•源汇区校级期末）如图，点F在AC上，FG⊥AB于点G，FB与CD相交于点H，且∠BHC+∠GFB＝180°． （1）求证：CD⊥AB． 在下列解答中，填空： 证明：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知）， 　 　 （对顶角相等）， ∴　 　 +∠GFB＝180°（等量代换）． ∴CD∥FG（ 　 　 ）． ∴∠AGF＝　 　 （两直线平行，同位角相等）． 又∵FG⊥AB（已知）， ∴∠AGF＝90°（垂直的定义）． ∴∠ADC＝　 　 （等量代换）． ∴CD⊥AB（垂直的定义）． （2）若CD平分∠ACB，且∠ACB＝40°，求∠AFG的度数． 97．（2024春•淮滨县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 98．（2023秋•唐河县期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，PD∥AB，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 99．（2024春•潢川县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 100．（2024春•西华县期末）下列说法正确的个数是（　　） ①同位角相等； ②已知三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三条直线两两相交，总有三个交点； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．4 B．3 C．2 D．1 101．（2024春•内黄县期末）如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，要使AM与CB平行，则∠MAC的度数是（　　） A．60° B．66° C．114° D．120° 102．（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法： ①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ②若∠1+∠4＝180°，则c∥d； ③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1； ④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 103．（2023秋•洛阳期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝125°，∠D＝75°，且AB∥DE，则∠ACD＝　 　 ． 104．（2024春•民权县期末）如图，直线AB∥CD点P，Q分别在直线AB，CD上，射线PB绕点P按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即绕点P按照原来的速度逆时针旋转，旋转的过程中记为射线PB1；射线QC绕点Q按顺时针方向以每秒2°的速度旋转，旋转的过程中记为射线QC1，当射线QC1与射线QD重合时，两条射线同时停止旋转．若射线QC先旋转5秒，则射线PB旋转 　 秒时，PB1∥QC1． 105．（2023秋•浚县期末）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． 证明： ∵∠1＝∠3 （ 　 ）， ∠1＝∠2（已知）． ∴　 　 ＝　　 （等量代换）． ∴AD∥BC （ 　 　 ）． ∴∠A+∠4＝180° （ 　 　 ）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）． ∴　　 ∥　 　 （同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠E＝∠F （ 　 　 ）． 106．（2023秋•原阳县期末）如图，AB平分∠CBD，且与线段CD相交于点E，F是AC上一点，连接EF．若∠A＝∠ABC，∠AFE+∠CBD＝180°．EF与BC平行吗？说明理由． 107．（2023秋•沈丘县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（ 　 　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴　CE∥BF　 （ 　　 ）， ∴∠AFB＝∠AOE（ 　 　 ）， ∴∠AFB＝90°（ 　 　 ）， 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝　　 °， 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（ 　 　 ）， ∴AB∥CD．（ 　　 ） ( 题型0 5 ) 平行线综合题 108．（2024秋•南阳期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　　 ，∠C＝　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 109．（2023秋•原阳县期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 110．（2024春•固始县期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． 【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D． 【类比探究】如图2，当点G在线段EF的延长线上时，探究∠AGD，∠A，∠D三者之间的数量关系． 【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数． 111．（2023秋•浚县期末）【感知】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　 度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究∠APC与∠α、∠β之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段OB上； ②点P在射线DM上． 112．（2023秋•淮阳区期末）如图：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD之间的一个动点． （1）如图①，当点P在线段EF左侧时，求证：∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系． （2）如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为 　 　 ． （3）若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，则∠EQF＝　 　 ． 113．（2024春•光山县期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠ADM的度数为 　 　 ； （2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若DE平分∠MDF，则EF是否平分∠DFP？请说明理由． （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求∠BCN的度数． 114．（2024春•许昌期末）综合与探究： 【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现． 【初步感知】 （1）已知：如图1，直线l1∥l2，点P在直线l1，l2之间，试探究∠A，∠APB，∠B三者的数量关系． 分析：我们过点P作l1的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点P作PQ∥l1， ∴∠A＝　 　 ． ∵l1∥l2，PQ∥l1， ∴PQ∥l2（依据是 　 　 ）． ∴∠B＝　 　 ． 又∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ， ∴∠APB＝　 　 ． 【尝试应用】 （2）如图2．已知△ABC．试构造平行线证明：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°． 115．（2024春•文峰区期末）如图，∠EDA＝α，∠ABC＝β（β＞α），解答下列问题． （1）如图①，当α＝60°，β＝100°时，过点B在ED、BC的内部作BF∥DE则∠FBC＝　40　 度； （2）如图②，点G在BC上，过点G作MN∥DE． ①当α＝60°，β＝100°时，求∠NGC的度数； ②用含有α和β的式子表示∠MGB； ③当α＝70°，β＝100°时，过点G作GH⊥BC，直接写出∠HGM的度数． 116．（2024春•永城市期末）问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图1为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： （1）如图2，AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝30°，求∠BPC的度数； （2）将图2改为图3，其中AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝70°，∠C＝140°，求∠BPQ的度数； （3）如图4，AB∥CD，试问∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7的关系是什么？请直接写出你的结论． 117．（2024春•巩义市期末）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一个直角三角尺”开展数学活动． （1）如图①，小明把三角尺90°角的顶点G放在直线CD上，∠E＝60°，请用等式表示∠AFE与∠CGE之间满足的数量关系 　 　 （不用证明）； （2）如图②，在图①的基础上小颖作∠AFE、∠CGE的角平分线交于点H，求∠H的度数； （3）如图③，小亮把三角尺90°角的顶点G也放在直线CD上，并作∠AFG、∠CGE的角平分线交于点K，直接写出∠K的度数． 118．（2024春•潢川县期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间． 【素养发展】 （1）平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，则∠EMF＝　70°　 ； 【方法运用】 （2）如图2，求证：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM； 【应用拓展】 （3）如图3，分别作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间），若∠EMF＝60°，求∠EPF的度数． （4）在图2中∠EMF＝60°，若∠MEP∠AEM，，且PE，PF均同时在ME，MF同侧，P点在AB，CD之间．请直接写出∠EPF的度数．（用含n的式子表示） 119．（2024春•平舆县期末）（1）【问题解决】如图1，已知 AB∥CD，∠BEP＝35°，∠CFP＝155°，求∠EPF 的度数． （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由． （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 120．（2024春•北关区期末）【探索发现】 （1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP，试说明∠APC＝∠BAP+∠PCD； 【解决问题】 （2）已知直线AB∥CD，连接AD，BC，∠ABC＝50°，∠ADC＝30°， ①如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求∠AEC的度数； ②如图3，延长线段AB至点A′，过点A′作A′D′∥AD交CD的延长线于点D′，A′F，CF分别平分∠BA′D′，∠BCD，请直接写出∠A′FC的度数． 121．（2024春•确山县期末）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为：　 　 ； （2）已知∠1＝30°， ①如图2，若∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠2为锐角，N为直线CD下方一点，ME平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的值． 122．（2024春•洛阳期末）如图1，AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接EA，ED． （1）探究猜想： ①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED＝　　 °； ②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED＝　　 °； ③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，若点P是位于区域①、④内的点，设∠PEB为α，∠PFC为β，∠EPF为γ，请直接写出α，β，γ之间的关系式． 123．（2023秋•开封期末）问题情景： 数学活动课上，小明发现如图中蕴含着一个数学模型． 数学思考： 如图①，若AB∥CD，点E在AB，CD之间，连接BE，DE，则∠BED＝∠B+∠D，请说明理由． 拓展探究： 小明还发现若改变点E的位置，如图②，若点E在AB上方，连接BE，DE，则∠BED，∠B，∠D依然存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 问题解决： 如图③，AD∥BC，点E在射线BM上运动，∠ADE＝26°，∠BCE＝49°．请直接写出∠CED的度数． 124．（2023秋•遂平县期末）如图，直线AB∥CD，MN⊥AB分别交AB、CD于M、N两点，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于E、F两点，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER、FR分别平分∠PED、∠QFC，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18）． （1）①∠AMP＝　　 °，∠QMB＝　　 °（用含t的代数式表示）； ②当t＝4时，∠REF＝　　 ； （2）当∠MEN+∠MFN＝120°时，求t的值． 125．（2023秋•新野县期末）（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由； （3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值． 126．（2024春•龙亭区校级期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，AB∥CD，MN⊥CD于点O，MP交AB于点G，当∠1＝50°时，求∠PMN的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点M作EF∥CD（如图甲）； 思路二：过点G作GE∥MN，交CD于点E； 思路三：过点O作OF∥PM，交AB于点F． 解答下列问题： （1）根据思路一（图甲），可求得∠PMN的度数为 　 　 ； （2）根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求∠PMN度数的解答过程． 130．（2023秋•泌阳县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　 　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 131．（2023秋•淮阳区期末）如图①，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图③，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使得∠PKG＝2∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数． 132．（2023秋•邓州市期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　 　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 133．（2024春•林州市期末）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 134．（2024春•虞城县期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间．设∠BMP＝∠α，∠DNP＝∠β，求证：∠MPN＝∠α+∠β． 证明：如图2，过点P作PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝∠α． ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠PND＝∠β， ∴∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠α+∠β． 【类比应用】 （1）如图3，AB∥CD，∠C＝30°，∠GBA＝45°，求∠GPC的度数． （2）如图4，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．设∠B＝∠α，∠PMD＝∠β，则∠α，∠β与∠BPM之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．∠PMC的平分线与∠PBA的平分线所在的直线交于点Q，请直接写出的度数．（不要求写过程） 135．（2024春•柘城县期末）【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　 　 （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝　 　 （两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数． 136．（2024春•开封期末）问题情境： 一副三角尺，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠DEF＝60°．将它们如图①摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数．聪明小组的解法如下： 解：过点G作GH∥DF ∵GH∥DF ∴∠D＝∠HGD（依据1） ∵∠C+∠DFE＝90°+90°＝180° ∴BC∥DF（依据2） 又∵GH∥DF ∴GH∥BC ∴∠B＝∠BGH ∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠B+∠D＝45°+30°＝75° （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2“分别是指： 依据1：　 　 ； 依据2：　 　 ； 问题迁移： （2）如图②，将两个三角尺如图摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC上，AB与DE相交于点G，你能用题目中所给的方法，尝试着过点G作GH∥DF，求∠AGD的度数． 问题深化： （3）如图③，若三角尺ABC不动，将两个三角尺的直角顶点F与C重合，把三角尺DEF绕点C转动一周，在转动过程中，AC∥DE时，请直接写出∠DCB的度数． 137．（2024春•殷都区期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知l1∥l2，直角三角板ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l2上，并使边AB⊥l1于点D，AC与l1相交于点H． （1）试判断边BC与直线l1的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l1，l2相交于点E，F，得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由； 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整． 解：∠1+∠2＝90°，理由： 过点B作直线BN∥l1，如图4所示． 因为l1∥l2（已知） 所以BN∥l2（ 　　 ） 所以∠1＝∠ABN，∠2＝　 　 （ 　 　 ） 因为 　 　 +∠NBC＝∠ABC，∠ABC＝90° 所以∠1+∠2＝90°． 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段EO和FO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图3，请直接写出∠EOF的度数． 138．（2024春•新乡期末）已知AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，FG平分∠EFD与直线AB交于点G． （1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 　 　 ． （2）作EM平分∠GEF，交FG于点M． ①如图2，过点G作GN⊥FG，交直线EF于点N，求证：GN∥EM； ②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，请写出∠FPM与∠DFG存在的数量关系（用含等号的式子表示），并说明理由． 139．（2024春•汝南县期末）课上教师呈现一个问题 甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图： 甲同学辅助线的做法和分析思路如下： 辅助线：过点F作MN∥CD． 分析思路： （1）欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数； （2）由辅助线作图可知，∠2＝∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数； （3）由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4； （4）由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数； （5）从而可求∠EFG的度数． （1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路． 辅助线：　 　 ； 分析思路： （2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数． 140．（2024春•方城县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当旋转角α为 　 　 度时，AD∥BC； （2）在旋转过程中，当0°＜α≤45°时，参考图3，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系，并说明理由； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒，且它的一边与BC平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 141．（2024春•鹿邑县校级期末）已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC． （1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．试判断EF与CD的位置关系，并说明理由． （2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； （3）如图②，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD． 142．（2024春•虞城县校级期末）如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝70°． （1）求∠EDC的度数； （2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由． ( 题型0 6 ) 命题与定理 143．（2024春•光山县期末）下列命题中的真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．若两个角的和为180°，则这两个角互补 C．若a，b满足|a|＝|b|，则a＝b D．同位角相等 144．（2023秋•开封期末）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 145．（2024春•鹿邑县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．和为180°的两个角是邻补角 B．一条直线的垂线有且只有一条 C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段 D．两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等 146．（2023秋•鹤壁期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 147．（2023秋•南召县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．真命题的逆命题是真命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理一定有逆定理 D．任何一个命题一定有逆命题 148．（2023秋•光山县期末）下列选项中的命题属于真命题的是（　　） A．锐角三角形的三个内角都是锐角 B．直角三角形的三个内角都是直角 C．钝角三角形的三个内角都是钝角 D．钝角三角形的两个内角都是钝角 149．（2023秋•宝丰县期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．全等三角形的对应角都相等 B．全等三角形的面积相等 C．对应角相等的两个三角形是全等三角形 D．全等三角形的对应边都相等 150．（2023秋•高新区校级期末）下列命题，是真命题的是（　　） A．自然数都大于0 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．若ab＝0，则b＝0 151．（2023秋•沈丘县期末）下列命题中，①如果|x|＝|y|，那么x＝y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m＞n，那么m2＞n2；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B＝180°，真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 153．（2024春•淮滨县期末）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等 154．（2024春•正阳县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．“同位角相等”是一个真命题 B．图形的平移是指把图形沿水平方向移动 C．“凡直角都相等”是一个假命题 D．在平移的过程中，对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等 155．（2023秋•叶县期末）下列命题中，假命题是（　　） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 156．（2023秋•焦作期末）下列命题中，真命题有（　　） ①若a∥c，b∥c，则a∥b； ②两直线平行，同旁内角相等； ③对顶角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤三角形的一个外角大于它的内角． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 157．（2023秋•沈丘县期末）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 　 　 ． 158．（2023秋•叶县期末）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/ 159．（2023秋•淮阳区期末）命题：全等三角形的对应边上的高相等． （1）写成“如果…，那么…”：　 　 ； （2）根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 160．（2023秋•商丘期末）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③AC＝BC．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 2 161．（2023秋•二七区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝　 　 时，CE∥AB． 162．（2024春•汝州市校级期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 163．（2024秋•西峡县期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中∠A＝30°，∠C＝90°，∠D＝45°，∠DBE＝90°，含30°角的三角尺ABC固定不动，将含45°角的三角尺DBE绕顶点B顺时针转动（转动角度小于180°），当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，∠ABE的度数是　 　 ． 164．（2023秋•辉县市期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 165．（2024春•龙亭区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝102°，则∠BEG的度数为（　　） A．38° B．39° C．40° D．42° 166．（2024春•许昌期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线l上的两个激光灯，∠APQ＝∠BQP＝60°，现激光PA绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒3°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0＜t＜100），当AP∥QB时，t的值为 　 　 ． 167．（2024春•郏县期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论： ①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 168．（2023秋•原阳县期末）已知直线AB∥CD，E为两直线间一定点，∠DCE＝23°，若点F为平面内一动点，且满足∠ABF＝51°，连接BF，EF，则∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为 　 　 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的性质和判定 题型概览 01 平行公理及推论 02 平行线的判定 03 平行线的性质 04 平行线的性质和判定 05 平行线综合 06 命题与定理 ( 题型01 ) 平行公理及推论 1．（2023秋•偃师区期末）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线 D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据题中描述的实际问题，结合所学数学知识即可确定答案． 【解答】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：B． 2．（2023秋•新安县期末）下列说法正确的是（　　） A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两个相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定是邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误； D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确． 故选：D． 3．（2024春•郏县期末）下列说法正确的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】分别根据对顶角的性质、平行线的判定与性质及垂线段最短的知识对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； C、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的定义，故本选项正确； D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误． 故选：C． 4．（2023秋•驿城区期末）下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案． 【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误； B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误； C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确； D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行． 故选：C． 5．（2023秋•郏县期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行　 ． 【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可． 【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． ( 题型0 2 ) 平行线的判定 6．（2024秋•西峡县期末）如图，给出四个条件：①∠2＝∠3；②∠1＝∠7；③∠1+∠2＝∠6+∠7；④∠3+∠4+∠5＝180°，其中能判定AB∥CD的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【分析】根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可． 【解答】解：①∵∠2＝∠3，∴AF∥GE，不能判定AB∥CD，不符合题意； ②∵∠1＝∠7，∴AB∥CD，符合题意； ③∵∠1+∠2＝∠6+∠7，∴AF∥GE，不能判定AB∥CD，不符合题意； ④∵∠3+∠4+∠5＝180°，∴AB∥CD，符合题意， 故②④正确． 故选：D． 7．（2024秋•南阳期末）如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 【分析】根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【解答】解：A．由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； B．∵FG平分∠EFD交AB于点G． ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， 由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； C．∵∠4+∠5＝180°，∠EFD+∠5＝180°， ∴∠4＝∠EFD， 由∠4＝∠EFD可得AB∥CD，根据同位角相等，两直线平行，故不符合题意； D．∵∠4＝∠2+∠3，∠4＝∠1+∠3， ∴∠1＝∠2， 故符合题意． 故选：D． 8．（2023秋•原阳县校级期末）如图，点E在AD延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠C+∠ADC＝180° C．∠C＝∠CDE D．∠1＝∠2 【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行即可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故选项错误； B、根据同旁内角互补，两直线平行，可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故选项错误； C、根据内错角相等，两直线平行即可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故选项错误； D、根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥DC，故选项正确． 故选：D． 9．（2023秋•唐河县期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（　　） A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180° 【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、当∠C＝∠3时，DE∥AC，故不符合题意； B、当∠1+∠4＝180°时，DE∥AC，故不符合题意； C、当∠1＝∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意； D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意． 故选：D． 10．（2024春•虞城县校级期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断． 【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b； 当∠4＝∠5时，a∥b； 当∠2+∠4＝180°时，a∥b． 故选：B． 11．（2024春•息县期末）下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD的是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据∠AEC＝∠C能判断AB∥CD． ②由“同位角相等，两直线平行”知，根据∠C＝∠BFD能判断BF∥EC． ③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据∠BEC+∠C＝180°能判断AB∥CD． 故选：B． 12．（2024春•禹州市期末）如图，已知∠2＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　） A．∠1＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 【分析】根据同旁内角互补两直线平行即可得到答案． 【解答】解：当∠4＝90°时， ∵∠2＝90°， ∴∠2+∠4＝180°， ∴两条铁轨平行， 其它选项无法证明两条铁轨平行， 故选：C． 13．（2024春•宝丰县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【分析】根据∠1和∠2是三角板中的同一个角，得∠1＝∠2，根据平行线的判定，即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， ∴C正确． 故选：C． 14．（2024春•滑县期末）用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：A、根据同位角相等，两直线平行得到a∥b；故不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，故不符合题意； C、画出的直线a与b不一定平行；故符合题意； D、根据内错角相等，两直线平行得到a∥b；故不符合题意； 故选C． 15．（2024春•郾城区期末）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD； ②∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC； ③∵∠C＝∠5， ∴AD∥BC， ④∵∠A+∠ADC＝180° ∴AB∥CD， 故选：B． 16．（2024春•正阳县期末）如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（　　） A．∠A＝∠ECD B．∠B＝∠DCB C．∠A+∠ACD＝180° D．∠B+∠ACD＝180° 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠A＝∠ECD， ∴CD∥AB，故本选项不符合题意； B、∵∠B＝∠DCB， ∴CD∥AB，故本选项不符合题意； C、∵∠A+∠ACD＝180°， ∴CD∥AB，故本选项不符合题意； D、由∠B+∠ACD＝180°，无法得到CD∥AB，故本选项符合题意． 故选：D． 17．（2023秋•卫辉市期末）如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠E C．∠2＝∠B D．∠BCD+∠D＝180° 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：由∠1＝∠3，不能判定AD∥BC，故A符合题意； ∵∠3＝∠E， ∴AD∥BC， 故B不符合题意； ∵∠2＝∠B， ∴AD∥BC， 故C不符合题意； ∵∠BCD+∠D＝180°， ∴AD∥BC， 故D不符合题意； 故选：A． 18．（2023秋•太康县期末）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180° 【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可． 【解答】解：A．∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，所以A选项不符合题意． B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），不能判定BD∥AC，所以B选项符合题意． C．∵∠5＝∠C，∴BD∥AC （同位角相等，两直线平行），所以C选项不合题意． D．∵∠C+∠BDC＝180°，∴BD∥AC（同旁内角互补，两直线平行），所以D选项不合题意． 故选：B． 19．（2023秋•伊川县期末）如图，直线a，b被第三条直线c所截．由“∠1＝∠2”，得到“a∥b”的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故选：D． 20．（2024春•罗山县期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝CDE；④∠C+∠ABC＝180°．其中能判定AB∥CD的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故①符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴BC∥AD， 故①不符合题意； ∵∠A＝CDE， ∴AB∥CD， 故③符合题意； ∵∠C+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD， 故④符合题意； 故选：A． 21．（2024春•金水区期末）如图，下列选项中，能判断AD∥BE的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠B＝∠4 C．∠D＝∠5 D．∠2＝∠E 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【解答】解：A、∠1＝∠3，能判定AB∥CD，故A不符合题意； B、∠B＝∠4，能判定AB∥CD，故B不符合题意； C、∠D＝∠5，不能判断AD∥BE，故C不符合题意； D、∠2＝∠E，能判定AD∥BE，故D符合题意． 故选：D． 22．（2024春•光山县期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠D＝∠5 C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠B＝∠5 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； ∵∠D＝∠5， ∴AD∥BC， 故B不符合题意； ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， 故C不符合题意； ∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD， 故D符合题意； 故选：D． 23．（2023秋•新野县期末）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180° 【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、∵∠1＝∠3， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； B、∵∠2+∠4＝180°， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意； D、∵∠2＝∠5，∠4+∠5＝180°， ∴∠4+∠2＝180°， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意． 故选：C． 24．（2024春•文峰区期末）如图，下列不能判断AB∥CD的条件有（　　） ①∠B+∠BAD＝180°； ②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4； ④∠D＝∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行线的判定定理来判断即可． 【解答】解：∵∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， 故①不能判断AB∥CD； ∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， 故②不能判断AB∥CD； ∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故③能判断AB∥CD； ∵∠D＝∠5， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， 故④不能判断AB∥CD； 故选：C． 25．（2023秋•方城县校级期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠4 D．∠2+∠4＝180° 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【解答】解：A、∠1＝∠3，能判定直线a与b平行，故A不符合题意； B、由∠3＝∠4，不能判定直线a与b平行，故B符合题意； C、由∠1＝∠4，∠3＝∠4，得到∠1＝∠3，能判定直线a与b平行，故C不符合题意； D、由∠2＝∠5，∠3＝∠4，∠2+∠4＝180°，得到∠3+∠5＝180°，能判定直线a与b平行，故D不符合题意； 故选：B． 26．（2024春•新郑市期末）如图，下列不能判定AD∥BC的条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠5 D．∠1+∠3+∠B＝180° 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故B符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故C不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定AD∥BC，故D不符合题意． 故选：B． 27．（2023秋•汝州市期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（　　） 已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD． 证明：延长BE交__※__于点F，则 ∠BEC＝__⊙__+∠C 又∵∠BEC＝∠B+∠C， ∴∠B＝▲ ∴AB∥CD（__□__相等，两直线平行） A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB 【分析】延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC+∠C，结合∠BEC＝∠B+∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】证明：延长BE交CD于点F，则 ∠BEC＝∠EFC+∠C． 又∵∠BEC＝∠B+∠C， ∴∠B＝∠EFC， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． ∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角． 故选：C． 28．（2023秋•源汇区校级期末）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠2+∠5＝180° C．∠2＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【分析】在图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【解答】解：A、∵∠3＝∠4， ∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）； 故不符合题意； B、∵∠2+∠5＝180°， ∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）； 故不符合题意； C、∠2与∠4既不是内错角，也不是同位角，所以根据∠2＝∠4，不能判定l1∥l2； 故符合题意； D、∵∠1＝∠2（对顶角相等）， ∠1+∠5＝180°（已知）， ∴∠2+∠5＝180°（等量代换）， ∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）； 故不符合题意； 故选：C． 29．（2024春•长葛市期末）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　） A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论． 【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意； B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意； C．∵∠1＝90°，∠4＝90°， ∴∠1＝∠4， ∴两条铁轨平行，故该选项符合题意； D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 30．（2023秋•郑州期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠1＝∠D，⑤∠B+∠BCD＝180°．其中能够得到AB∥CD的条件的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠B， ∴AB∥CD， 故①选项符合题意； ∵∠2＝∠5， ∴AB∥CD， 故②选项符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， 故③选项不符合题意； ∵∠1＝∠D， ∴AD∥BC， 故④选项不符合题意； ∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， 故⑤选项符合题意， 综上，符合题意的选项有①②⑤， 故选：B． 31．（2023秋•淮阳区期末）如图，下列四个图中∠1＝∠2，不能判定a∥b的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定定理进行解答． 【解答】解：A、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意； B、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意； C、如图，根据“同位角相等，两直线平行”可以判定c∥d，故本选项符合题意； D、如图，∵∠2＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：C． 32．（2023秋•遂平县期末）如图，下列条件不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠3＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠2+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180° 【分析】要判断直线a∥b，则要找出它们的同位角、内错角相等，同旁内角互补． 【解答】解：A、能判断，∠3＝∠5，a∥b，满足同位角相等，两直线平行； B、能判断，∠1＝∠4，a∥b，满足内错角相等，两直线平行； C、能判断，∠2+∠5＝180°，a∥b，满足同旁内角互补，两直线平行； D、不能． 故选：D． 33．（2024春•殷都区期末）如图，点E在AB的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件 　∠A+∠D＝180°（答案不唯一）　 ，使AB∥DC（填一个即可）． 【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：添加一个条件：∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 故答案为：∠A+∠D＝180°（答案不唯一）． 34．（2023秋•南召县期末）如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，要使AB∥CD，则需添加 　∠ACD＝90°（答案不唯一）．　 （只填出一种即可）的条件． 【分析】由平行线的判定，即可得到答案． 【解答】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， 若∠ACD＝90°，则∠BAC＝∠ACD， ∴AB∥CD， ∴要使AB∥CD，可添加∠ACD＝90°（答案不唯一）． 故答案为：∠ACD＝90°（答案不唯一）． 35．（2024春•虞城县期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　15°或165°　 时，CD∥OB． 【分析】分两种情况画出图形解答即可求解． 【解答】解：如图1，当CD∥OB时，∠AED＝∠O＝90°， ∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝60°﹣45°＝15°； 如图2，当CD∥OB时，过点A作AM∥OB，AM∥CD， ∴∠OAM＝∠O＝90°，∠DAM＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°+45°+30°＝165°； 故答案为：15°或165°． 36．（2024春•驿城区期末）如图，点A，C分别在射线BE，BF上，不添加辅助线，请写出一个能判断AD∥BF的条件　∠B＝∠DAE（答案不唯一）　 ． 【分析】平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【解答】解：添加∠B＝∠DAE利用同位角相等，两直线平行判定AD∥BF； 添加∠D＝∠DCF利用内错角相等，两直线平行判定AD∥BF； 添加∠DAB+∠B＝180°利用同旁内角互补，两直线平行判定AD∥BF． 故答案为：∠B＝∠DAE（答案不唯一）． 37．（2024春•西华县期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AD∥BC的条件 　∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°　 ． 【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或内错角相等或同旁内角互补的方面写出结论． 【解答】解：∵AD和BC被BE所截， ∴当∠EAD＝∠B时，AD∥BC， 或当∠DAC＝∠C时，AD∥BC， 或当∠DAB+∠B＝180°时，AD∥BC， 故答案为：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°． 38．（2024春•滑县期末）如图，要使l1∥l2，需要添加的一个条件是 　∠2＝∠3　 （不添加其他字母或数字）． 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【解答】解：需要添加的条件是∠2＝∠3， ∵∠2＝∠3， ∴l1∥l2， 故答案为：∠2＝∠3． 39．（2023秋•新野县期末）如图，一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为 　45°或15°　 ． 【分析】根据平行线的判定定理分情况求解即可． 【解答】解：当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图所示： ∵BE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝45°； 当∠ACE＝45°时，BE∥CD，理由如下，如图所示： ∵BE∥CD， ∴∠DCB＝∠CBE＝45°， ∵∠DCB+∠ACB＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB＝45°； 如图，当∠ACE＝15°时，BE∥AD， ∵BE∥AD， ∴∠ACE+∠E＝∠A＝60°， ∴∠ACE＝15°， 综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为：45°或15°． 故答案为：45°或15°． 40．（2023秋•中原区期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角板ABC的位置保持不变，改变三角板CDE的位置，∠ECB＝　30　 °时，DE∥BC． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠E＝30°， ∴∠ECB＝30°时，DE∥BC． 故答案为：30． 41．（2023秋•淮阳区期末）已知：如图，∠1＝110°，∠2＝70°，判断a∥b． 下面是嘉琪同学的解题过程，请在括号中注明依据，在横线上补全步骤． 解：∵∠1＝110°（ 　已知　 ）， ∠3＝∠1（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠3＝110°（等量代换）． 又∵∠2＝70°（已知）， ∴　∠3+∠2＝180°　 ， ∴a∥b（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）． 【分析】根据对顶角相等得出∠3＝110°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【解答】解：∵∠1＝110°（已知）， ∠3＝∠1（对顶角相等）， ∴∠3＝110°（等量代换）． 又∵∠2＝70°（已知）， ∴∠3+∠2＝180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：已知；对顶角相等；∠3+∠2＝180°；同旁内角互补，两直线平行． 42．（2024春•河南期末）如图，已知AC⊥BE交BE于点C，AE平分∠CAD，∠B＝32°，∠BAE＝103°，试判断AD与BC是否平行，并说明理由． 【分析】根据直角三角形的性质求出∠BAC＝58°，则∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝45°，根据角平分线定义求出∠CAD＝2∠CAE＝90°＝∠ACB，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】解：AD∥BC，理由如下： ∵AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵∠B＝32°， ∴∠BAC＝58°， ∵∠BAE＝103°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝45°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠CAE＝90°＝∠ACB， ∴AD∥BC． 43．（2024春•罗山县期末）已知：如图，CF平分∠ACM，∠1＝72°，∠2＝36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由． 【分析】首先根据角平分线的性质和已知条件可算出∠BCM的度数，进而得到∠2＝∠BCM，根据同位角相等，两直线平行可得CM∥DN． 【解答】解：CM∥DN，理由为： ∵CF平分∠ACM， ∴∠ACM＝2∠1， ∵∠1＝72°， ∴∠ACM＝2∠1＝144°， ∴∠BCM＝180°﹣144°＝36°， ∵∠2＝36°， ∴∠2＝∠BCM， ∴CM∥DN． 44．（2024春•内黄县期末）图（1）展示了光的反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，经AB反射后的光线为n，则入射光线m反射光线n与垂线EF所夹的锐角∠θ1＝∠θ2． （1）如图（1），求证：∠α＝∠β． （2）图（2）是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的． 【分析】（1）由垂直的定义得到∠EFA＝∠EFB＝90°，而∠θ1＝∠θ2，即可证明∠α＝∠β； （2）由（1）知∠1＝∠2，3＝∠4，由平行线的性质推出∠2＝∠3，由平角定义得到∠5＝∠6，推出m∥n． 【解答】证明：（1）如图（1）， ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠EFB＝90°， ∵∠θ1＝∠θ2， ∴∠α＝∠β； （2）如图（2）， 由（1）知∠1＝∠2，3＝∠4， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4， ∴∠5＝∠6， ∴m∥n． 45．（2023秋•驿城区期末）已知：如图，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC．求证：AD∥BC． 【分析】根据角平分线定义求出∠ABD＝∠CBD，等量代换得出∠CBD＝∠D，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠D， ∴∠CBD＝∠D， ∴AD∥BC． 46．（2024春•龙亭区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空． 证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（ 　垂直的定义　 ）， 又∵∠1＝∠B（ 　已知　 ）， ∴　CE∥BF　 （ 　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠AFB＝∠AOE（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∴∠AFB＝90°（ 　等量代换　 ）， 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝　180°　 （平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝ 　90　 °， 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（ 　同角的余角相等　 ）， ∴　AB∥CD　 （内错角相等，两直线平行）． 【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证． 【解答】证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（垂直的定义）． 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AFB＝90°（等量代换）． 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝（90）°． 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD． 47．（2023秋•光山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF． 【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可． 【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠EBF+∠FDC＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠DFC+∠FDC＝90°， ∴∠EBF＝∠DFC， ∴BE∥DF． ( 题型0 3 ) 平行线的性质 48．（2024春•许昌期末）如图，固定木条b，c，使∠1＝85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　） A．85° B．90° C．95° D．100° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝85°， ∴∠2＝180°﹣85°＝95°， 故选：C． 49．（2023秋•汝阳县期末）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则∠1+∠2的度数为（　　） A．270° B．265° C．260° D．240° 【分析】过点E作EF∥AB，然后利用铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF∥AB， ∴∠2+∠4＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠1+∠3＝180°， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝270°， 故选：A． 50．（2023秋•郑州期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在边BC的延长线上，若∠ADE＝29°，∠ACF＝119°，则∠A＝　90°　 ． 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可求得∠A的度数． 【解答】解：∵DE∥BC，∠ADE＝29°， ∴∠B＝∠ADE＝29°， ∵∠ACF＝119°，∠ACF＝∠B+∠A， ∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝119°﹣29°＝90°， 故答案为：90°． 51．（2023秋•淮阳区期末）如图，已知直线AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（　　） A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180° B．∠β﹣∠α＝∠γ C．∠α+∠β+∠γ＝360° D．∠β+∠γ﹣∠α＝180° 【分析】过E作直线EF∥AB，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过E作直线EF∥AB， ∴∠FEA＝∠EAB＝∠α， ∴∠FED＝∠β﹣∠FEA＝∠β﹣∠α， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴FE∥CD， ∴∠γ+∠FED＝180°， 即∠β+∠γ﹣∠α＝180°， 故选：D． 52．（2023秋•太康县期末）如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数． 【解答】解：∵BC⊥AE， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°， ∵CD∥AB， ∴∠BCD＝∠B＝40°． 故选：A． 53．（2024春•郑州期末）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数为（　　） A．43° B．53° C．67° D．70° 【分析】先利用平行线的性质可得∠BCE＝∠DEC＝67°，再利用角的和差关系可得∠DEF＝70°，然后利用平行线的性质可得∠ADE＝∠DEF＝70°，即可解答． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠BCE＝∠DEC＝67°， ∵∠CEF＝137°， ∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝70°， ∵AD∥EF， ∴∠ADE＝∠DEF＝70°， 故选：D． 54．（2024春•洛阳期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，则∠1的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，由∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°． 【解答】解：如图，过A点作AB∥a， ∴∠1＝∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3＝∠4＝30°， 而∠2+∠3＝45°， ∴∠2＝15°， ∴∠1＝15°． 故选：A． 55．（2024春•镇平县期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90° C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30° 【分析】根据平行线的性质和补角的定义解答即可． 【解答】解：如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DCA＝180°， ∵∠BAC＝180°﹣2∠1，∠DCA＝180°﹣2∠2， ∴180°﹣2∠1+180°﹣2∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝90°， 故选：B． 56．（2023秋•汝州市期末）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】先根据平行线的性质，求得∠ABC的度数，再根据三角板中∠CBE的度数，求得∠2． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠ABC＝20°， 又∵∠CBE＝45°， ∴∠2＝45°﹣20°＝25°， 故选：C． 57．（2024春•汝南县期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF． 【解答】解：如图，过点F作FM∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥FM， ∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°， ∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°． ∵CG∥EF， ∴∠EFA＝∠AGC＝80°． ∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°． ∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 58．（2023秋•郑州期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由BC⊥AB，推出BC⊥CK，由垂直的定义得到∠BCK＝90°，求出∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，由平行线的性质推出∠EDC+∠DCK＝180°，即可求出∠EDC＝130°． 【解答】解：过C作CK∥AB， ∵ED∥AB， ∴CK∥ED， ∵BC⊥AB， ∴BC⊥CK， ∴∠BCK＝90°， ∵∠DCB＝140°， ∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°， ∵CK∥DE， ∴∠EDC+∠DCK＝180°， ∴∠EDC＝130°． 故选：A． 59．（2024春•西平县期末）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且m∥n．现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线，D为射线AB延长线上一点．若∠1＝24°，∠2＝139°，则∠3的度数为（　　） A．115° B．118° C．122° D．139° 【分析】先根据补角的定义求出∠DBE的度数，进而可得出∠CBE的度数，由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠2＝139°，∠1＝24°， ∴∠DBE＝180°﹣139°＝41°， ∴∠CBE＝∠1+∠DBE＝24°+41°＝65°， ∵m∥n， ∴∠3＝180°﹣65°＝115°． 故选：A． 60．（2023秋•泌阳县期末）如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC； ∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE； ∵AF∥CG，∴∠EGC＝∠AFE＝∠A； ∵CD∥EF，∴∠EGC＝∠DCG＝∠A； 所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B． 61．（2024春•息县期末）如图，AB∥CD，EF⊥CD，∠1＝55°，则∠2等于（　　） A．60° B．40° C．30° D．35° 【分析】由平行线的性质可知∠AEG＝∠1，根据EF⊥CD，AB∥CD，可知AB⊥EF，进而可知∠AEF＝90°，可求出∠GEF，再根据对顶角相等即可求出∠2． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠1＝55°， ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴AB⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠GEF＝∠AEF﹣∠AEG＝90°﹣55°＝35°， ∴∠2＝∠GEF＝35°． 故选：D． 62．（2024春•虞城县期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．若∠HFB＝25°，∠FED＝55°，则∠GFH的度数为（　　） A．30° B．25° C．15° D．45° 【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝55°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝55°， ∴∠FED＝∠GFB＝55°， ∵∠HFB＝25°， ∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝30°， 故选：A． 63．（2024春•民权县期末）如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝22°，则∠2等于（　　） A．23° B．67° C．28° D．45° 【分析】根据题意先求∠ABC，再根据平行线的性质即可求出． 【解答】解：根据题意得：∠1+∠ABC＝45°， ∵∠1＝22°， ∴∠ABC＝23° ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠ABC＝23°， 故选：A． 64．（2024春•驿城区期末）如图，已知AD∥EC，∠A＝130°，∠C＝30°，则∠B的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】作BF∥AD，根据两直线平行同旁内角互补，得到∠ABF＝50°，根据平行公理推论得到BF∥EC，根据两直线平行内错角相等，得到∠FBC＝∠C＝30°，即可求解， 【解答】解：过点B，作BF∥AD， ∵BF∥AD， ∴∠A+∠ABF＝180°， ∴∠ABF＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵AD∥EC，BF∥AD， ∴BF∥EC， ∴∠FBC＝∠C＝30°， ∴∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝50°+30°＝80°， 故选：B． 65．（2024春•永城市期末）“散发乘夕凉，开轩卧闲敞”，如图1所示，是一种非常适合夏季乘凉的躺椅，图2为其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝100°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵OE∥DM，∠EOF＝90°， ∴∠ODM＝∠EOF＝90°， ∴∠CDM＝∠ODC+∠ODM＝130°， ∵AN∥CD， ∴∠ANM＝∠CDM＝130°． 故选：B． 66．（2024春•濮阳期末）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝160°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°， ∵∠3＝160°， ∴∠5＝20°， ∴∠2＝∠4+∠5＝50°， 故选：B． 67．（2024春•长葛市期末）如图，直线a，b被直线c所截，交点分别为B，C，且直线a∥b，BP平分∠ABC，若∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．108° B．118° C．120° D．135° 【分析】由平行线的性质，得出∠ABC＝∠1，在根据角平分线的性质和平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠ABC＝120°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP∠ABC＝60°， ∵a∥b， ∴∠2+∠ABP＝180°， ∴∠2＝120°． 故选：C． 68．（2024春•确山县期末）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 【分析】由平行线的性质得到∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD＝2∠ABC＝130°，于是得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABC＝130°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°， ∴∠2＝∠BDC＝50°． 故选：C． 69．（2023秋•淮阳区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．80° C．40° D．30° 【分析】先利用角平分线的定义可得∠BEF＝140°，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠1＝140°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝180°﹣∠BEF＝40°， 故选：C． 70．（2024春•临颍县期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】延长DC交AE于点F，先利用平行线的性质可得∠EFC＝∠EAB＝80°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠EFC＝∠EAB＝80°， ∵∠ECD是△ECF的一个外角， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EFC＝110°﹣80°＝30°， 故选：A． 71．（2024春•郑州期末）如图①是长方形纸带，上下边缘平行（AD∥BC），∠CFE＝α，将纸带沿EF折叠成图②，其中，∠DEG＝β，则α，β满足的数量关系是（　　） A．2α+β＝180° B．α+2β＝180° C．2α+β＝90° D．α+β＝90° 【分析】由折叠的性质得到∠EFG＝∠EFK＝α，由平行线的性质推出∠FEG＝∠EFK＝α，∠CGE+∠DEG＝180°，由三角形外角的性质得到∠CGE＝∠EFG+∠FEG＝2α，于是得到2α+β＝180°． 【解答】解：如图②， 由折叠的性质得到：∠EFG＝∠EFK＝α， ∵AE∥BF， ∴∠FEG＝∠EFK＝α， ∴∠CGE＝∠EFG+∠FEG＝2α， ∵CG∥DE， ∴∠CGE+∠DEG＝180°， ∴2α+β＝180°． 故选：A． 72．（2023秋•驿城区期末）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝136°，则拐角∠BCD的度数是（　　） A．44° B．54° C．106° D．136° 【分析】根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝136°． 故选：D． 73．（2023秋•郸城县期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论： ①∠AMF与∠DNF是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【分析】根据平行线的性质对各项进行判断即可． 【解答】解：①∠AMF与∠DNF不是对顶角，错误； ②∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠PGM＝∠GNH，∵∠GNH＝∠DNF，∴∠PGM＝∠DNF，正确； ③∵AB∥PG∥CD，∴∠BMN＝∠MGP，∠PGH＝∠GHN，∵∠MGP+∠PGH＝90°，∴∠BMN+∠GHN＝90°，正确； ④∵AB∥CD∥PG，∴∠AMG+∠MGP＝180°，∠CHG+∠PGH＝180°，∵∠MGP+∠PGH＝90°，∴∠AMG+∠CHG＝180°+180°﹣90°＝270°，正确； 故选：C． 74．（2023秋•方城县校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠α、∠β、∠γ三者之间的数量关系是 　∠β+∠α﹣∠γ＝180°　 ． 【分析】由平行线的性质可得∠FEG＝∠α，∠β+∠CEF＝180°，再由∠γ+∠CEF＝∠FEG，从而可求解． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴∠FEG＝∠α，∠β+∠CEF＝180°， ∵∠γ+∠CEF＝∠FEG， ∴∠γ+∠CEF＝∠α， ∴∠CEF＝∠α﹣∠γ， ∴∠β+∠α﹣∠γ＝180°． 故答案为：∠β+∠α﹣∠γ＝180°． 75．（2023秋•遂平县期末）已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），∠A＝x°，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．当时，则∠CBD＝　（）　 度，（用含x的代数式表示） 【分析】由角平分线的定义可得，，从而得到，再由平行线性质得∠A+∠ABN＝180°，从而可求解； 【解答】解：∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴，， ∴， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN＝180°，∠A＝x° ∴∠ABN＝180°﹣∠A， ∴． 故答案为：（）． 76．（2023秋•南阳期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 　34　 °． 【分析】根据折叠的性质得出∠ABC＝∠A′BC和∠EBD＝∠E′BD． 【解答】解：∵根据折叠得出∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD， 又∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°， ∴∠ABC+∠E′BD＝90°， ∵∠ABC＝56°， ∴∠E′BD＝34°． 故答案为：34． 77．（2023秋•太康县期末）已知∠ABC＝70°，点D为射线BC上的一点，过点D作DE∥AB，DM为∠EDC的平分线，则∠CDM的度数是 　35或55　 度． 【分析】分图1和图2两种情况，利用平行线的性质求出∠EDC的度数，再根据角平分线的定义求解即可． 【解答】解：如图1所示， ∵∠ABC＝70°，DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABC＝70°， ∵DM为∠EDC的平分线， ∴∠CDM∠EDC＝35°； 如图2所示， ∵∠ABC＝70°，DE∥AB， ∴∠EDB＝∠ABC＝70°， ∴∠EDC＝180°﹣∠BED＝110°， ∵DM为∠EDC的平分线， ∴∠CDM∠EDC＝55°； 综上所述，∠CDM＝35°或∠CDM＝55°， 故答案为：35或55． 78．（2024春•宝丰县期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 　15或51　 秒时，边AB与边DE平行． 【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案． 【解答】解；①当DE在AB上方， ∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°， ∴∠BAC＝30°，∠E＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BAE＝∠E＝45°， ∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝75°， ∴旋转时间为：（秒）； ②当DE在AB下方， ∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°， ∴∠BAC＝30°，∠E＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∴∠BAE＝180°﹣∠E＝135°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝105°， ∴旋转角度为：360°﹣∠CAE＝255°， ∴旋转时间为：（秒）， 综上所述：在旋转过程中，第15或51秒时，边边AB与边DE平行， 故答案为：15或51． 79．（2024春•文峰区期末）∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是 　70°或110°　 ． 【分析】由∠α和∠β的两边分别平行，即可得∠α＝∠β或∠α+∠β＝180°，又由∠α的度数是70°，即可求得∠α的度数． 【解答】解：∵∠α和∠β的两边分别平行， ∴∠α＝∠β或∠α+∠β＝180°， ∵∠α的度数是70°， ∴∠β＝180°﹣∠α＝110°或∠β＝70°， ∴∠α＝70°或110°， 故答案为：70°或110°． 80．（2024春•驿城区校级期末）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角的度数分别为　60°，60°或80°，100°　 ． 【分析】根据两个角的两边分别平行，可知这两个角互补或相等，利用方程可求得这两个角． 【解答】解：设一个角为x°，则另一个角为2x°﹣60°， ∵两个角的两边分别平行， 根据两个角互补可得，x+2x﹣60＝180， 解得x＝80， ∴这两个角分别为80°和100°． 根据两个角相等可得，x＝2x﹣60， 解得x＝60， ∴这两个角分别为60°和60°． 故答案为：60°，60°或80°，100°． 81．（2024春•驿城区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF对折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝26°，则∠2＝　103　 °． 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得∠2的度数． 【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠GEF， ∵∠1＝26°， ∴∠DEF＝∠GEF＝77°， ∴∠AEF＝∠1+∠GEF＝26°+77°＝103°， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠2＝103°， 故答案为：103． 82．（2024春•巩义市期末）一副直角三角板，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠F＝45°，∠B＝60°，按图中所示位置摆放，点D在边AB上，若EF∥BC，则∠ADF的度数为 　15　 度． 【分析】过点D作DG∥BC交AC于点G，根据平行线的性质可得∠GDA＝∠B＝60°，∠GDF＝∠F＝45°，由此即可求出∠ADF的度数． 【解答】解：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G， ∵DG∥BC， ∴∠GDA＝∠B＝60°， 又∵EF∥BC， ∴DG∥EF， ∴∠GDF＝∠F＝45°， ∴∠ADF＝∠GDA−∠GDF＝60°−45°＝15°， 故答案为：15． 83．（2024春•正阳县期末）如果有两个角有一条边在同一直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为60°，则另外一个角的度数是 　60°或120°　 ． 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可解答此题． 【解答】解：如图：AB∥DE， ∵AB∥DE， ∴∠α＝∠1＝60°， ∠β＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：60°或120°． 84．（2024春•汝南县期末）如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD．若∠BED＝2∠AED，且∠BED＝30°，则∠BCD的度数为 　75°　 ． 【分析】先根据∠BED＝2∠AED，且∠BED＝30°得出∠AED＝15°，再由BD∥AE得出∠BDE＝∠AED＝15°，由DE平分∠ADB可得出∠ADB＝2∠BDE＝30°，由AD∥BC可得出∠DBC＝∠ADB＝30°，再由ED⊥CD可知∠CDE＝90°，故∠BDC＝∠CDE﹣∠BDE＝90°﹣15°＝75°，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠BED＝2∠AED，且∠BED＝30°， ∴∠AED∠BED＝15°， ∵BD∥AE， ∴∠BDE＝∠AED＝15°， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADB＝2∠BDE＝30°， ∵D∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝30°， ∵ED⊥CD， ∴∠CDE＝90°， ∴∠BDC＝∠CDE﹣∠BDE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠BCD＝180°﹣∠DBC﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣75°＝75°． 故答案为：75°． 85．（2024春•柘城县期末）如图，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是 　22°　 ． 【分析】由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB，利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数． 【解答】解：∵DC∥FP， ∴∠3＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴DC∥AB； ∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED＝32°， ∴∠EFP＝∠FED＝32°，AB∥FP， 又∵∠AGF＝76°， ∴∠GFP＝∠AGF＝76°， ∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝76°+32°＝108°， 又∵FH平分∠GFE， ∴∠GFH∠GFE＝54°， ∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝76°﹣54°＝22°． 故答案为：22°． 86．（2024春•西平县期末）已知∠ABC＝75°，点D为BC边上一点，过点D作DE∥AB，若，则∠DEB＝　25°或55°　 ． 【分析】如图1，先根据已知条件求出∠EBD的度数，即可求出∠ABE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得出∠DEB＝∠ABE＝25°；如图2，先根据已知条件求出∠EBD的度数，即可求出∠ABE的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠DEB的度数． 【解答】解：如图1， ∵∠ABC＝75°，， ∴∠EBD， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝75°﹣50°＝25°， ∵DE∥AB， ∴∠DEB＝∠ABE＝25°； 如图2， ∵∠ABC＝75°，， ∴∠EBD， ∴∠ABE＝∠ABC+∠EBD＝75°+50°＝125°， ∵DE∥AB， ∴∠DEB+∠ABE＝180°， ∴∠DEB＝180°﹣125°＝55°； 综上，∠DEB的度数为25°或55°． 87．（2024春•郾城区期末）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是 　35°　 ． 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵CD∥AB，∠D＝110°， ∴∠AOD+∠D＝180°，∠BOD＝∠D＝110°， ∴∠AOD＝70°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE∠BOD＝55°， ∵OF⊥OE， ∴∠FOE＝90°， ∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°， ∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°． 故答案为：35°． 88．（2024春•息县期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝125°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝　15°　 ． 【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝125°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差关系求解即可． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°， 又∠BAC＝125°，∠D＝70°， ∴∠ACF＝125°，∠DCF＝110°， ∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝15°． 故答案为：15°． 89．（2024春•滑县校级期末）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．若AB∥CE，则∠DCB＝　60°　 ． 【分析】根据题意得出∠ACB＝∠DCE＝90°，再根据余角的定义得出∠B，然后根据平行线的性质得出∠BCE＝∠B＝30°，最后再根据余角的定义即可得出答案． 【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠DCE＝90° ∵∠A＝60°， ∴∠B＝90°−∠A＝30° ∵AB∥CE ∴∠BCE＝∠B＝30° ∴∠DCB＝90°−∠BCE＝60° 故答案为：60°． 90．（2024春•平桥区期末）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即 CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC＝130°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB＝80°，则∠DCE的度数为 　40°　 . 【分析】过点B作BF∥CE．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出∠CBF，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【解答】解：过点B作BF∥CE． ∵CE∥l， ∴BF∥l． ∴∠ABF＝∠1＝90°． ∵∠ABC＝130°， ∴∠CBF＝130°﹣90°＝40°． ∵BF∥CE， ∴∠ECB＝∠CBF＝40°． ∴∠DCE＝∠DCB﹣∠BCE ＝80°﹣40° ＝40°． 故答案为：40°． 91．（2023秋•淮阳区期末）古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点A处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心O．而同一经度上另外一点B处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为7.2°，方尖塔延长线BO经过圆心O．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线AO和方尖塔延长线BO所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为40000km（接近真实值40009km）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是 　两直线平行，内错角相等　 ． 【分析】根据平行线的性质得出∠AOB＝∠MCO＝7.2°，即可得到答案． 【解答】解：∵太阳光线是平行光线， ∴AO∥CM， ∴∠AOB＝∠MCO＝7.2°， ∴用到的原理是两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 92．（2024春•郑州期末）为了方便市民绿色出行和锻炼身体，环保人士倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB∥l，CD∥l，∠BCD＝72°，∠BAC＝50°．若AM∥BC，求∠MAC的度数． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°即∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180° ∵∠BCD＝72°，∠BAC＝50° ∴∠ACB＝58°， ∵AM∥BC， ∴∠AMC＝∠ACB＝58°． 93．（2023秋•淅川县期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 【分析】先根据平行线的性质，得出∠ODC＝∠BOD＝32°，再根据∠EOF＝90°，即可得到∠AOE＝58°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数． 【解答】解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠BOD＝32°， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝58°， ∵DM∥OE， ∴∠AND＝∠AOE＝58°， ∴∠ANM＝180°﹣∠AND＝122°． ( 题型0 4 ) 平行线的性质与判定 94．（2023秋•淮阳区期末）如图所示，下列推理不正确的是（　　） A．∵∠AEB＝∠C，∴AE∥CD B．∵∠AEB＝∠ADE，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180° D．∵AB∥DE，∴∠AED＝∠BAE 【分析】根据平行线的判定与性质求解判断即可． 【解答】解：∵∠AEB＝∠C， ∴AE∥CD， 故A正确，不符合题意； 由∠AEB＝∠ADE，不能推出AD∥BC， 故B不正确，符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°， 故C正确，不符合题意； ∵AB∥DE， ∴∠AED＝∠BAE， 故D正确，不符合题意； 故选：B． 95．（2024秋•西峡县期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB． 解：因为BE平分∠ABC， 所以①　∠1＝∠2　 （②　角平分线定义　 ） 又因为∠E＝∠1（已知）， 所以∠E＝∠2（③　等量代换　 ）． 所以④　EA∥BC　 （⑤　内错角相等，两直线平行　 ）， 所以∠A+∠ABC＝180°（⑥　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 又因为∠3+∠ABC＝180°（已知）， 所以⑦　∠A＝∠3　 （⑧　同角的补角相等　 ）， 所以DF∥AB（⑨　同位角相等，两直线平行　 ）． 【分析】根据平行线的判定和性质，按步骤填写结论和依据，即可得到结果． 【解答】解：因为BE平分∠ABC， 所以①∠1＝∠2（②角平分线定义）， 又因为∠E＝∠1（已知）， 所以∠E＝∠2（③等量代换）， 所以④EA∥BC（⑤内错角相等，两直线平行）， 所以∠A+∠ABC＝180°（⑥两直线平行，同旁内角互补）， 又因为∠3+∠ABC＝180°（已知）， 所以⑦∠A＝∠3（⑧同角的补角相等）， 所以DF∥AB（⑨同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①∠1＝∠2，②角平分线定义， ③等量代换， ④EA∥BC，⑤内错角相等，两直线平行， ⑥两直线平行，同旁内角互补， ⑦∠A＝∠3，⑧同角的补角相等， ⑨同位角相等，两直线平行． 96．（2023秋•源汇区校级期末）如图，点F在AC上，FG⊥AB于点G，FB与CD相交于点H，且∠BHC+∠GFB＝180°． （1）求证：CD⊥AB． 在下列解答中，填空： 证明：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知）， 　∠BHC＝∠DHF　 （对顶角相等）， ∴　∠DHF　 +∠GFB＝180°（等量代换）． ∴CD∥FG（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）． ∴∠AGF＝　∠ADC　 （两直线平行，同位角相等）． 又∵FG⊥AB（已知）， ∴∠AGF＝90°（垂直的定义）． ∴∠ADC＝　90°　 （等量代换）． ∴CD⊥AB（垂直的定义）． （2）若CD平分∠ACB，且∠ACB＝40°，求∠AFG的度数． 【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BHC＝∠DHF，从而可得∠DHF+∠GFB＝180°，然后利用平行线的判定可得CD∥FG，从而可得∠AGF＝∠ADC，再根据垂直定义可得∠AGF＝90°，从而可得∠ADC＝90°，即可解答； （2）利用角平分线的定义可得∠ACD＝20°，然后利用（1）的结论可得：FG∥CD，从而利用平行线的性质可得∠ACD＝∠AFG＝20°，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知）， ∠BHC＝∠DHF（对顶角相等）， ∴∠DHF+∠GFB＝180°（等量代换）， ∴CD∥FG（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AGF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）， 又∵FG⊥AB（已知）， ∴∠AGF＝90°（垂直的定义）， ∴∠ADC＝90°（等量代换）， ∴CD⊥AB（垂直的定义）， 故答案为：∠BHC＝∠DHF；∠DHF；同旁内角互补，两直线平行；∠ADC；90°； （2）解：∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝40°， ∴∠ACD∠ACB＝20°， 由（1）得：FG∥CD， ∴∠ACD＝∠AFG＝20°， ∴∠AFG的度数为20°． 97．（2024春•淮滨县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理进行判断即可． 【解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：A． 98．（2023秋•唐河县期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，PD∥AB，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行判断即可． 【解答】解：∵点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，PD∥AB， ∴点C、P、D三个点必在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故选：C． 99．（2024春•潢川县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【分析】作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行． 【解答】解：如图： ∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 100．（2024春•西华县期末）下列说法正确的个数是（　　） ①同位角相等； ②已知三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三条直线两两相交，总有三个交点； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平行线的判定与性质，垂线，同位角、内错角、同旁内角，平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故①不正确； ②已知三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，故②正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不正确； ④三条直线两两相交，有1个或三个交点，故④不正确； ⑤平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤不正确； 所以，上列说法正确的个数是1个， 故选：D． 101．（2024春•内黄县期末）如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，要使AM与CB平行，则∠MAC的度数是（　　） A．60° B．66° C．114° D．120° 【分析】由题意知，AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，由AM∥CB，可得∠MAB＝180°﹣∠ABC，根据∠MAC＝∠MAB﹣∠BAC，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝60°， ∵AM∥CB， ∴∠MAB＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠MAC＝∠MAB﹣∠BAC＝66°， 故选：B． 102．（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法： ①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ②若∠1+∠4＝180°，则c∥d； ③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1； ④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可． 【解答】解： ①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确； ②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确； ③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确； ④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误． 故选：B． 103．（2023秋•洛阳期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝125°，∠D＝75°，且AB∥DE，则∠ACD＝　20°　 ． 【分析】过点C作CF∥AB，则∠FCA＝∠BAC＝125°，由平行公理的推论得到CF∥DE，从而∠FCD＝180°﹣∠D＝105°，再根据∠ACD＝∠FCA﹣∠FCD即可求解． 【解答】解：如图：过点C作CF∥AB， ∴∠FCA＝∠BAC＝125° ∵AB∥DE，CF∥AB， ∴CF∥DE， ∴∠FCD＝180°﹣∠D＝180°﹣75°＝105°， ∴∠ACD＝∠FCA﹣∠FCD＝125°﹣105°＝20°． 故答案为：20° 104．（2024春•民权县期末）如图，直线AB∥CD点P，Q分别在直线AB，CD上，射线PB绕点P按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即绕点P按照原来的速度逆时针旋转，旋转的过程中记为射线PB1；射线QC绕点Q按顺时针方向以每秒2°的速度旋转，旋转的过程中记为射线QC1，当射线QC1与射线QD重合时，两条射线同时停止旋转．若射线QC先旋转5秒，则射线PB旋转 　5或　 秒时，PB1∥QC1． 【分析】设当射线PB旋转t秒时，PB1∥QC1，分两种情况进行讨论即可． 【解答】解：设当射线PB旋转t秒时，PB1∥QC1， ①当0＜t≤45时，如图，则∠BPB1＝4t°，∠CQC1＝10°+2t°， ∵AB∥CD，PB1∥QC1， ∴∠BPB1＝∠PEC＝∠CQC1， 即4t＝10+2t， 解得，t＝5； ②当45＜t≤85时，如图，则∠APB1＝4t°﹣180°，∠CQC1＝2t°+10°， ∵AB∥CD，PB1∥QC1， ∴∠APB1＝∠PED＝180°﹣∠CQC1， 即4t﹣180＝180﹣（10+2t）， 解得，； 综上，当射线PB旋转的时间为5秒或秒时，PB1∥QC1． 故答案为：5或． 105．（2023秋•浚县期末）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． 证明： ∵∠1＝∠3 （ 　对顶角相等　 ）， ∠1＝∠2（已知）． ∴　∠2　 ＝　∠3　 （等量代换）． ∴AD∥BC （ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A+∠4＝180° （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）． ∴　CF　 ∥　EA　 （同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠E＝∠F （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案． 【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等）， ∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）， ∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；∠2；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA；两直线平行，内错角相等． 106．（2023秋•原阳县期末）如图，AB平分∠CBD，且与线段CD相交于点E，F是AC上一点，连接EF．若∠A＝∠ABC，∠AFE+∠CBD＝180°．EF与BC平行吗？说明理由． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：平行， 理由如下： ∵AB平分∠CBD， ∴∠ABD＝∠ABC， ∵∠A＝∠ABC， ∴∠ABD＝∠A， ∴BD∥AC， ∴∠ACB+∠CBD＝180°， ∵∠AFE+∠CBD＝180°， ∴∠ACB＝∠AFE， ∴EF∥BC． 107．（2023秋•沈丘县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（ 　垂直的定义　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴　CE∥BF　 （ 　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠AFB＝∠AOE（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∴∠AFB＝90°（ 　等量代换　 ）， 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义） ∴∠AFC+∠2＝　90　 °， 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（ 　同角的余角相等　 ）， ∴AB∥CD．（ 　内错角相等，两直线平行　 ） 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可． 【解答】证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（垂直的定义）， ∵∠1＝∠B（已知）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AFB＝90°（等量代换）， ∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝（90）°， ∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． ( 题型0 5 ) 平行线综合题 108．（2024秋•南阳期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝　∠DAC　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 109．（2023秋•原阳县期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　35　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【分析】（1）过点C作CD∥直线a，先证CD∥a∥b，从而得∠2＝∠ACD，∠1＝∠BCD，则∠1+∠2＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA，再根据∠BCA＝90°，∠1＝55°可求出∠2的度数； （2）先求出∠B＝60°，由（1）可知∠B＝∠1+∠3，再由平角的定义得∠2+∠3＝180°，据此可得∠1与∠2间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当BC在直线BD的上方时，先求出∠ABC＝60°，设∠CBD＝α，则∠1＝5∠CBD＝5α，由平角的定义得∠1+∠ABC+∠CBD＝180°，即5α+60°+α＝180°由此求出α＝20°，进而得∠1＝5α＝100°，然后根据平行线的性质可求出∠2的度数；②当BC在直线BD的下方时，同理得∠ABC＝60°，设∠CBD＝α，则∠1＝5∠CBD＝5α，进而得∠ABD＝60°﹣α，由平角的定义得∠1+∠ABD＝180°，即5α+60°﹣α＝180°，由此解出α＝30°，进而得∠1＝5α＝150°，然后根据平行线的性质可求出∠2的度数；综上所述可得射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【解答】解：（1）过点C作CD∥直线a，如图1所示： ∵直线a∥b， ∴CD∥a∥b， ∴∠2＝∠ACD，∠1＝∠BCD， ∴∠1+∠2＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA， ∴∠2＝∠BCA﹣∠1， ∵∠BCA＝90°，∠1＝55°， ∴∠2＝90°﹣55°＝35°， 故答案为：35． （2）∠1与∠2间的数量关系是：∠2﹣∠1＝120°，理由如下： 如图2所示： ∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°， 由（1）可知：∠B＝∠1+∠3， ∴∠1+∠3＝60°， ∴∠3＝60°﹣∠1， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， 即∠2﹣∠1＝120°， （3）依题意有以下两种情况： ①当BC在直线BD的上方时，如图3所示： ∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， 设∠CBD＝α（∠CBD＜60°）， 则∠1＝5∠CBD＝5α， ∵点B在直线b上且保持不动， ∴∠1+∠ABC+∠CBD＝180°， ∴5α+60°+α＝180°， 解得：α＝20°， ∴∠1＝5α＝100°， ∵直线a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝80°， ②当BC在直线BD的下方时，如图4所示： 同理得：∠ABC＝60°， 设∠CBD＝α（∠CBD＜60°）， 则∠1＝5∠CBD＝5α， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α， ∵点B在直线b上且保持不动， ∴∠1+∠ABD＝180°， ∴5α+60°﹣α＝180°， 解得：α＝30°， ∴∠1＝5α＝150°， ∵直线a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝30°， 综上所述：射线BA与直线a所夹锐角的度数为80°或30°． 110．（2024春•固始县期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． 【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D． 【类比探究】如图2，当点G在线段EF的延长线上时，探究∠AGD，∠A，∠D三者之间的数量关系． 【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、角的和差求证即可； （2）根据平行线的判定与性质、角的和差求解即可； （3）结合平行线的性质、角平分线定义及角的和差求解即可． 【解答】（1）证明：过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD，（平行于同一直线的两条直线互相平行）， ∴∠D＝∠DGM，（两直线平行，内错角相等）， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM， ∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D． （2）解：∠AGD＝∠A﹣∠D，理由如下， 如图2，过点G作直线MN∥AB，则∠A＝∠AGM， ∵AB∥CD，MN∥AB， ∴MN∥CD， ∴∠D＝∠MGD， ∴∠AGD＝∠AGM﹣∠MGD＝∠A﹣∠D； （3）解：如图3，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，则∠MGA＝∠GAB，∠PHA＝∠HAB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD，PQ∥CD， ∴∠MGD＝∠GDC，∠PHD＝∠HDC， ∴∠DGA＝∠MGA﹣∠MGD＝∠GAB﹣∠GDC，∠DHA＝∠PHA﹣∠PHD＝∠HAB﹣∠HDC， ∵∠DHA＝32°，∠HDC＝22°， ∴∠HAB＝∠DHA+∠HDC＝32°+22°＝54°， ∵AH平分∠GAB， ∴∠GAB＝2∠HAB＝2×54°＝108°， ∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°， ∴∠GDH＝2×22°＝44°， ∴∠GDC＝∠GDH+∠HDC＝44°+22°＝66°， ∵∠DGA＝∠GAB﹣∠GDC， ∴∠DGA＝108°﹣66°＝42°． 111．（2023秋•浚县期末）【感知】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　 度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究∠APC与∠α、∠β之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段OB上； ②点P在射线DM上． 【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可； （2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）分两种情况：点P在线段OB上；点P在射线DM上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110． （2）∠APC＝α+β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图所示，当点P在射线DM上时， ∠CPA＝α﹣β； 如图所示，当点P在线段OB上时， ∠CPA＝β﹣α． 112．（2023秋•淮阳区期末）如图：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD之间的一个动点． （1）如图①，当点P在线段EF左侧时，求证：∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系． （2）如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为 　∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°　 ． （3）若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，则∠EQF＝　35°或145°　 ． 【分析】（1）点P作直线PH∥AB，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点P作直线PH∥AB，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得∠PEB、∠PFD的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案； 【解答】（1）证明：过点P作直线PH∥AB，如图①， ∴∠AEP＝∠EPH， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠HPF＝∠PFC， ∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC； （2）证明：过点P作直PH∥AB，如图②， ∴∠AEP+∠EPH＝180°， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠HPE+∠PFC＝180°， ∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF， ∴∠EPF＝360°﹣∠AEP﹣∠PFC， ∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （3）解：如图所示， ①当点P在线EF左侧时，如图③， ∵∠EPF＝∠AEP+∠PFC，∠EPF＝70°， ∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣70°＝290°， ∴∠EQF＝∠EBQ+∠DFQ（∠PED+∠PFD）＝145°； ②当点P在线EF右侧时，如图④， ∵∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，∠EPF＝70°， ∴∠AEP+∠PFC＝360°﹣70°＝290° ∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣290°＝70°， ∴∠EQF＝∠EBQ+∠DFQ（∠PED+∠PFD）＝35°； 故答案为：35°或145°． 113．（2024春•光山县期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠ADM的度数为 　115°　 ； （2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若DE平分∠MDF，则EF是否平分∠DFP？请说明理由． （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求∠BCN的度数． 【分析】（1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到∠MDF＝2∠EDF＝60°，再根据两直线平行，内错角相等，可得到∠MDF＝∠DFQ＝60°，即可求得∠EFP＝∠EFD； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到∠MGE＝180°﹣∠DEB＝90°，再根据三角形内角和可求得结果． 【解答】解：（1）∵∠BAQ＝25°，∠BAC＝90°， ∴∠QAC＝∠BAQ+∠BAC＝25°+90°＝115°， ∵MN∥PQ， ∴∠ADM＝∠QAC＝115° 故答案为：115°； （2）EF平分∠DFP，理由如下： ∵DE平分∠MDF，∠EDF＝30°， ∴∠MDF＝2∠EDF＝60°， ∵MN∥PQ， ∴∠MDF＝∠DFQ＝60°， ∵∠EFD＝60°， ∴∠EFP＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠EFP＝∠EFD， 即EF平分∠DFP； （3）延长EB交MN于点G，如图所示： ， 由题可得：∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，∠DEG＝90°， ∴∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝105°， ∴∠CBG＝180°﹣105°＝75°， ∵MN∥PQ， ∴∠MGE+∠DEG＝180°， ∴∠MGE＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴∠BCG＝180°﹣∠CBG﹣∠MGE＝180°﹣75°﹣90°＝15°， 即∠BCN＝15°． 114．（2024春•许昌期末）综合与探究： 【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现． 【初步感知】 （1）已知：如图1，直线l1∥l2，点P在直线l1，l2之间，试探究∠A，∠APB，∠B三者的数量关系． 分析：我们过点P作l1的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点P作PQ∥l1， ∴∠A＝　∠APQ　 ． ∵l1∥l2，PQ∥l1， ∴PQ∥l2（依据是 　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　 ）． ∴∠B＝　∠BPQ　 ． 又∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ， ∴∠APB＝　∠A+∠B　 ． 【尝试应用】 （2）如图2．已知△ABC．试构造平行线证明：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠APQ＝∠A，∠BPQ＝∠B，据此可得∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠A+∠B； （2）过点A作MN∥BC，根据平行线的性质进行推导即可． 【解答】（1）解：过点P作PQ∥l1， ∴∠A＝∠APQ． ∵l1∥l2，PQ∥l1， ∴PQ∥l2（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴∠B＝∠BPQ． 又∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ， ∴∠APB＝∠A+∠B． （2）证明：如图，过点A作直线PQ∥BC ∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC， ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC＝180°， ∴∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°． 115．（2024春•文峰区期末）如图，∠EDA＝α，∠ABC＝β（β＞α），解答下列问题． （1）如图①，当α＝60°，β＝100°时，过点B在ED、BC的内部作BF∥DE则∠FBC＝　40　 度； （2）如图②，点G在BC上，过点G作MN∥DE． ①当α＝60°，β＝100°时，求∠NGC的度数； ②用含有α和β的式子表示∠MGB； ③当α＝70°，β＝100°时，过点G作GH⊥BC，直接写出∠HGM的度数． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到结果； （2）①过点B作BF∥DE，根据平行公理得到MN∥DE∥BF，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；②过点B作BF∥DE，根据平行公理得到MN∥DE∥BF，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；③过点B作BF∥DE，根据平行公理得到MN∥DE∥BF，再根据两直线平行，同位角相等分两种情况分别解题即可． 【解答】解：（1）∵BF∥DE， ∴∠ADE＝∠ABF＝60°， 又∵∠ABC＝100°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣60°＝40°， 故答案为：40． （2）①如图，过点B作BF∥DE， ∴∠ADE＝∠ABF＝60°， 又∵∠ABC＝100°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣60°＝40°， ∵MN∥DE，BF∥DE， ∴MN∥BF， ∴∠NGC＝∠FBC＝40°， ②如图，过点B作BF∥DE， ∴∠ADE＝∠ABF＝α， 又∵∠ABC＝β， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝β﹣α， ∵MN∥DE，BF∥DE， ∴MN∥BF， ∴∠NGC＝∠FBC＝β﹣α， ③如图，过点B作BF∥DE， ∴∠ADE＝∠ABF＝70°， 又∵∠ABC＝100°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣70°＝30°， ∵MN∥DE，BF∥DE， ∴MN∥BF， ∴∠NGC＝∠FBC＝30°， ∵GH⊥BC时， ∴∠HGB＝90°， 若点H在BC的上方时， ∠HGM＝∠HGB+∠NGC＝90°+30°＝120°， 若点H在BC的下方时， ∠HGM＝∠HGB﹣∠NGC＝90°﹣30°＝60°， 综上所述，∠HGM＝120°或∠HGM＝60°． 116．（2024春•永城市期末）问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图1为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： （1）如图2，AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝30°，求∠BPC的度数； （2）将图2改为图3，其中AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝70°，∠C＝140°，求∠BPQ的度数； （3）如图4，AB∥CD，试问∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7的关系是什么？请直接写出你的结论． 【分析】（1）作EP∥AB交BP于点P，可推得AB∥CD∥EP，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出∠BPC； （2）作EP∥AB交BP于点P，作FQ∥CD交CQ于点Q，推得AB∥CD∥EP∥FQ后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出∠BPQ； （3）作EP∥AB交BP于点P，作FQ∥AB交PQ于点Q，作GM∥AB交MQ于点M，作HN∥CD交MN于点N，作OI∥CD交CO于点O，推得AB∥CD∥EP∥FQ∥GM∥HN∥OI后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【解答】解：（1）如图，过点P作PN∥AB， ∵∠B＝120°， ∴∠BPN＝180°﹣∠B＝60°， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， 又∵∠C＝30°， ∴∠CPN＝∠C＝30°， ∴∠BPC＝∠BPN+∠CPN＝90°； （2）如图，过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PN∥QM∥CD， ∴∠B+∠BPN＝180°，∠NPQ＝∠PQM，∠MQC+∠C＝180°， ∵∠B＝125°，∠C＝140°， ∴∠BPN＝180°﹣∠B＝55°，∠CQM＝180°﹣∠C＝40°， ∵∠PQC＝70°， ∴∠PQM＝∠PQC﹣∠CQM＝30°， ∴∠NPQ＝∠PQM＝30°， ∴∠BPQ＝∠BPN+∠NPQ＝85°； （3）∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7． 如图，作EP∥AB交BP于点P，作FQ∥AB交PQ于点Q，作GM∥AB交MQ于点M，作HN∥CD交MN于点N，作OI∥CD交CO于点O， ∴AB∥CD∥EP∥FQ∥GM∥HN∥OI， ∴∠BPE＝∠1，∠EPQ＝∠PQF，∠FQM＝∠QMG，∠GMN＝∠MNH，∠HNO＝∠NOI，∠IOC＝∠7， 又∵∠EPQ＝∠2﹣∠1，∠FQM＝∠3﹣∠PQF，∠GMN＝∠4﹣∠QMG，∠HNO＝∠5﹣∠MNH，∠IOC＝∠6﹣∠NOI， ∴∠7＝∠IOC＝∠6﹣∠NOI＝∠6﹣∠HNO＝∠6﹣（∠5﹣∠MNH）＝∠6﹣∠5+∠MNH＝∠6﹣∠5+∠GMN＝∠6﹣∠5+∠4﹣∠QMG＝∠6﹣∠5+∠4﹣∠FQM＝∠6﹣∠5+∠4﹣（∠3﹣∠PQF）＝∠6﹣∠5+∠4﹣∠3+∠PQF＝∠6﹣∠5+∠4﹣∠3+∠EPQ＝∠6﹣∠5+∠4﹣∠3+∠2﹣∠1， 即∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7． 117．（2024春•巩义市期末）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一个直角三角尺”开展数学活动． （1）如图①，小明把三角尺90°角的顶点G放在直线CD上，∠E＝60°，请用等式表示∠AFE与∠CGE之间满足的数量关系 　∠AFE+∠CGE＝60°　 （不用证明）； （2）如图②，在图①的基础上小颖作∠AFE、∠CGE的角平分线交于点H，求∠H的度数； （3）如图③，小亮把三角尺90°角的顶点G也放在直线CD上，并作∠AFG、∠CGE的角平分线交于点K，直接写出∠K的度数． 【分析】（1）过点E作EP∥AF，则AB∥CD∥EP，进而得∠AFE＝∠FEP，∠CGE＝∠GEP，由此可得∠AFE+∠CGE的度数； （2）根据角平分线定义设∠AFH＝∠EFH＝α，∠CGH＝∠EGH＝β，则∠AFE＝2α，∠CGE＝2β，由（1）可知∠AFH+∠CGH＝∠H，∠AFE+∠CGE＝∠E＝60°，则∠H＝α+β，2α+2β＝60°，由此可得∠H的度数； （3）过点K作KE∥CD，根据角平分线定义设设∠CGK＝∠EGK＝α，则∠CGE＝2α，∠CGF＝90°﹣2α，设∠EFK＝β，则∠KFG＝β+30°，再根据FK平分∠AFG得∠AFK＝∠KFG＝β+30°，∠AFG＝2∠KFG＝2β+60°，根据∠AFG+∠CGF＝180°得2β+60°+90°﹣2α＝180°，则β﹣α＝15°，证明KE∥CD∥AB得∠FKH＝∠KFG＝β+30°，∠GKE＝∠CGK＝α，由此可得∠FKG的度数． 【解答】解：（1）∠AFE与∠CGE之间满足的数量关系是：∠AFE+∠CGE＝60°，理由如下： 过点E作EP∥AF，如图①所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EP， ∴∠AFE＝∠FEP，∠CGE＝∠GEP， ∴∠AFE+∠CGE＝∠FEP+∠GEP＝∠FEG＝60°； （2）如图②所示： ∵∠AFE、∠CGE的角平分线交于点H， ∴设∠AFH＝∠EFH＝α，∠CGH＝∠EGH＝β， 则∠AFE＝2α，∠CGE＝2β， 由（1）可知：∠AFH+∠CGH＝∠H，∠AFE+∠CGE＝∠E＝60°， ∴∠H＝α+β，2α+2β＝60°， ∴∠H＝30°； （3）过点K作KH∥CD，如图3所示： ∵GK平分∠CGE， ∴设∠CGK＝∠EGK＝α，则∠CGE＝2α， ∵∠EGF＝90°， ∴∠CGF＝∠EGF﹣∠CGE＝90°﹣2α， 设∠EFK＝β， ∵∠EGF＝90°，∠E＝60°， ∴∠EFG＝30°， ∴∠KFG＝∠EFK+∠EFG＝β+30°， ∵FK平分∠AFG， ∴∠AFK＝∠KFG＝β+30°，∠AFG＝2∠KFG＝2β+60°， ∵AB∥CD， ∴∠AFG+∠CGF＝180°， ∴2β+60°+90°﹣2α＝180°， ∴β﹣α＝15°， ∵KH∥CD，AB∥CD， ∴KH∥CD∥AB， ∴∠FKH＝∠KFG＝β+30°，∠GKE＝∠CGK＝α， ∴∠FKG＝∠FKH﹣∠GKE＝β+30°﹣α＝45°． 118．（2024春•潢川县期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间． 【素养发展】 （1）平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，则∠EMF＝　70°　 ； 【方法运用】 （2）如图2，求证：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM； 【应用拓展】 （3）如图3，分别作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间），若∠EMF＝60°，求∠EPF的度数． （4）在图2中∠EMF＝60°，若∠MEP∠AEM，，且PE，PF均同时在ME，MF同侧，P点在AB，CD之间．请直接写出∠EPF的度数．（用含n的式子表示） 【分析】（1）过点M作MN∥AB，根据平行可得∠EMF＝∠AEM+∠CFM即可求解； （2）由平角定义得∠BEM＝180°﹣∠AEM，∠DFM＝180°﹣∠CFM，再由（1）的结论即可得出答案； （3）先由角平分线的定义得，，再由（2）中的结论即可得出； （4）仿照（3）得到，，则，进而同理可得． 【解答】（1）解：过点M作MN∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠EMN＝∠AEM，∠NMF＝∠CFM， ∴∠EMN+∠NMF＝∠AEM+∠CFM，即∠EMF＝∠AEM+∠CFM， ∵∠AEM＝45°，∠CFM＝25°， ∴∠EMF＝70°； 故答案为：70°； （2）过点M作MN∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠DFM， ∵∠BEM＝180°﹣∠AEM，∠DFM＝180°﹣∠CFM， ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝180°﹣∠AEM+180°﹣∠CFM＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM， ∴∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM； （3）∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM平分线， ∴，， 过点P作PH∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP（∠AEM+∠CFM）， 由第 （2）得∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM， ∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣∠EMF＝360°﹣60°＝300°， ∴， ∴∠EPF＝150°． （4）过点P作PH∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP， ∵，， ∴ ， ∴， 由第（2）得∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM， ∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣∠EMF＝360°﹣60°＝300°， ∴， ∴． 119．（2024春•平舆县期末）（1）【问题解决】如图1，已知 AB∥CD，∠BEP＝35°，∠CFP＝155°，求∠EPF 的度数． （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由． （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解； （3）令AB与PF交点为O，连接EF，根据三角形的内角和定理可得∠GEF+∠GFE，由（2）得∠PEA＝∠PFC﹣α，由∠OFE+∠OEF＝180°﹣∠FOE＝180°﹣∠PFC可求解． 【解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB， ∴∠1＝∠BEP， 又∵∠BEP＝35°， ∴∠1＝35°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠2+∠CFP＝180°， ∵∠CFP＝155°， ∴∠2＝180°﹣155°＝25°， ∴∠1+∠2＝35°+25°＝60°， 即∠EPF＝60°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠P，理由如下： 如图，过P点作PN∥AB，则PN∥CD， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE， ∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE， ∵PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE， 即∠PFC＝∠PEA+∠P； （3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图， 在△GFE 中，∠G＝180°﹣（∠GFE+∠GEF）， ∵，， ∴， ∵由（2）知∠PFC＝∠PEA+∠P， ∴∠PEA＝∠PFC﹣α， ∵∠OFE+∠OEF＝180′﹣∠FOE＝180°﹣∠PFC， ∴， ∴． 120．（2024春•北关区期末）【探索发现】 （1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP，试说明∠APC＝∠BAP+∠PCD； 【解决问题】 （2）已知直线AB∥CD，连接AD，BC，∠ABC＝50°，∠ADC＝30°， ①如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求∠AEC的度数； ②如图3，延长线段AB至点A′，过点A′作A′D′∥AD交CD的延长线于点D′，A′F，CF分别平分∠BA′D′，∠BCD，请直接写出∠A′FC的度数． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质即可求得答案； （2）①过点E作EM∥AB，根据角平分线及平行线的性质即可求解． ②过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，根据平行线的性质及等量代换即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥CD，∠BAP＝∠QPA， ∴∠PCD＝∠QPC， ∵∠APC＝∠QPA+∠QPC， ∴∠APC＝∠BAP+∠PCD； （2）解：①如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠FEC， ∵∠ABC＝50°，∠ADC＝30°， ∴∠ABC＝∠BCD＝50°，∠ADC＝∠BAD＝30°， ∵AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD， ∴，， ∴∠AEF＝∠BAE＝15°，∠FEC＝∠DCE＝25°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝15°+25°＝40°； ②∠A′FC的度数为130°． 如图，过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD， ∵∠ABC＝50°，∠ADC＝30°， ∴∠ABC＝∠BCD＝50°，∠ADC＝∠BAD＝30°， ∵A′D′∥AD， ∴∠AA'D'＝180°﹣30°＝150°， ∵A′F，CF分别平分∠BA'D'，∠BCD， ∴∠AA'F＝75°，∠FCD＝25°， ∵FH∥AB∥CD， ∴∠A'FH＝180°﹣75°＝105°，∠HFC＝∠FCD＝25°， ∴∠A'FC＝105°+25°＝130°． 121．（2024春•确山县期末）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为：　∠1+∠2＝∠EMF　 ； （2）已知∠1＝30°， ①如图2，若∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠2为锐角，N为直线CD下方一点，ME平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的值． 【分析】（1）过点M作MP∥AB，得到PM∥CD，推出∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF，得到∠1+∠2＝∠EMF， （2）①应用（1）的结论，求出∠M＝∠2+∠1＝90°，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2，由三角形外角的性质求出∠N＝60°﹣∠CFN，由角平分线定义得到∠2＝∠CFN，因此∠EMF+∠ENF＝90°． 【解答】解：（1）如图1，过点M作MP∥AB， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD． ∴∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠PME+∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠EMF， ∴∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为：∠1+∠2＝∠EMF， 故答案为：∠1+∠2＝∠EMF； （2）①如图2，ME⊥MF，理由如下： ∵∠2：∠3＝1：2，∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝60°， 由（1）知：∠M＝∠2+∠1＝60°+30°＝90°， ∴ME⊥MF； ②如图3，由（1）得：∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2， ∵ME平分∠AEN， ∴∠AEN＝2∠1＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EKD＝∠AEN＝60°， ∴∠N＝60°﹣∠CFN， ∵FC平分∠MFN， ∴∠2＝∠CFN， ∴∠EMF+∠ENF＝90°． 122．（2024春•洛阳期末）如图1，AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接EA，ED． （1）探究猜想： ①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED＝　70　 °； ②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED＝　80　 °； ③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，若点P是位于区域①、④内的点，设∠PEB为α，∠PFC为β，∠EPF为γ，请直接写出α，β，γ之间的关系式． 【分析】（1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②，③根据①中的方法可得出结论； （2）点P分别位于①、④两个区域，分别根据平行线的性质进行求解即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图①，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∵∠A＝30°，∠D＝40°， ∴∠1＝∠A＝30°，∠2＝∠D＝40°， ∴∠AED＝∠1+∠2＝70°， 故答案为：70； ②过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∵∠A＝20°，∠D＝60°， ∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠D＝60°， ∴∠AED＝∠1+∠2＝80°， 故答案为：80； ③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC． 理由：过点E作EF∥CD， ∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AED＝∠1+∠2＝∠EAB+∠EDC（等量代换）． （2）根据题意得： 点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）； 即γ＝360°﹣（α+β）； 点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB， 即γ＝β﹣α． 123．（2023秋•开封期末）问题情景： 数学活动课上，小明发现如图中蕴含着一个数学模型． 数学思考： 如图①，若AB∥CD，点E在AB，CD之间，连接BE，DE，则∠BED＝∠B+∠D，请说明理由． 拓展探究： 小明还发现若改变点E的位置，如图②，若点E在AB上方，连接BE，DE，则∠BED，∠B，∠D依然存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 问题解决： 如图③，AD∥BC，点E在射线BM上运动，∠ADE＝26°，∠BCE＝49°．请直接写出∠CED的度数． 【分析】数学思考：如图所示，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，由平行线的性质得到∠BEF＝∠ABE，∠DEF＝∠CDE，则∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE； 拓展探究：如图所示，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，由平行线的性质得到∠BEF＝∠ABE，∠DEF＝∠CDE，则∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝∠CDE﹣∠ABE； 问题解决：分当点E在线段AB上时，当点E在线段BA延长线上时，两种情况利用数学思考和拓展探究的结论求解即可． 【解答】解：数学思考：理由如下： 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝∠ABE，∠DEF＝∠CDE， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE， 即∠BED＝∠B+∠D； 拓展探究：∠BED＝∠D﹣∠B，证明如下： 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝∠ABE，∠DEF＝∠CDE， ∴∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝∠CDE﹣∠ABE， 即∠BED＝∠D﹣∠B； 问题解决：如图所示，当点E在线段AB上时， 由数学思考可得∠CED＝∠ADE+∠BCE＝75°； 如图所示，当点E在线段BA延长线上时， 由拓展探究可得∠CED＝∠BCE﹣∠ADE＝23°； 综上所述，∠CED度数为75°或23°． 124．（2023秋•遂平县期末）如图，直线AB∥CD，MN⊥AB分别交AB、CD于M、N两点，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于E、F两点，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER、FR分别平分∠PED、∠QFC，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18）． （1）①∠AMP＝　10t　 °，∠QMB＝　90﹣5t　 °（用含t的代数式表示）； ②当t＝4时，∠REF＝　70°　 ； （2）当∠MEN+∠MFN＝120°时，求t的值． 【分析】（1）①根据题意即可求解； ②由平行线的性质可得∠MEF＝∠AMP＝10t°，再结合ER是∠PED的平分线，即可求解； （2）由平行线的性质可得∠MEN＝∠AMP＝10t°，再由MN⊥AB得到MN∥CD，从而求得∠MFN＝90°﹣5t°，分两种情况讨论：当点E在N左侧时和当点E在N右侧时，结合已知条件，即可求解； 【解答】解：（1）①由题意得：∠AMP＝10t°，∠NMF＝5t°， ∵AB∥CD，MN⊥AB， ∴∠QMB＝90°﹣∠NMF＝90°﹣5t°＝（90﹣5t）°； 故答案为：10t，（90﹣5t）； ②∵AB∥CD， ∴∠MEF＝∠AMP＝10t°， ∵ER是∠PED的平分线， ∴∠REF（180°﹣∠MEF）（180°﹣10t°）＝90°﹣5t°， ∴当t＝4时，∠REF＝90°﹣5×4°＝70°； 故答案为：70； （2）当E在N左侧时，如图： ∵AB∥CD， ∴∠MEN＝∠AMP＝10t°， ∵MN⊥AB， ∴MN⊥CD， ∵∠NMF＝5t°， ∴∠MFN＝90°﹣5t°， ∵∠MEN+∠MFN＝120°， ∴10t°+90°﹣5t°＝120°， 解得：t＝6； ②当点E在N右侧时，如图， ∵AB∥CD，∠AMP＝10t°， ∴∠MEN+∠AMP＝180°， ∴∠MEN＝180°﹣10t°， ∵MN⊥AB， ∴MN⊥CD， ∵∠NMF＝5t°， ∴∠MFN＝90°﹣5t°， ∵∠MEN+∠MFN＝120°， ∴180°﹣10t°+90°﹣5t°＝120°， 解得t＝10， 综上所述，t的值为6或10． 125．（2023秋•新野县期末）（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由； （3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值． 【分析】（1）由于AB∥CD是条件，因此理由是“已知”，由于∠DPH与∠EHP内错角，因此由CD∥EF推出∠DPH＝∠EHP的理由是“两直线平行，内错角相等”，由∠GPD+∠DPH＝∠GPH得到∠AGP+∠EHP＝∠GPH，是将∠GPD换成∠AGP，将∠DPH换成∠EHP，因此理由是“等量代换”； （2）拓展：只需运用平行线的性质就可解决问题； （3）应用：只需运用探究得到的结论就可解决问题． 【解答】【答案】 （1）证明：∵AB∥CD ∴∠AGP＝∠GPD． ∵∵CD∥EF， ∴∠DPH＝∠EHP． ∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH； （2）解：∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°． 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠AGP+∠GPC＝180°． ∵CD∥EF， ∴∠CPH+∠EHP＝180°． ∵∠GPC+∠CPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°． （3）解：∠GQH＝70°． 当点Q在GH的左侧时，∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH＝70°； 当点Q在GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°， ∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°． 综上所述：∠AGQ+∠EHQ的值为70°或290°． 126．（2024春•龙亭区校级期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，AB∥CD，MN⊥CD于点O，MP交AB于点G，当∠1＝50°时，求∠PMN的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点M作EF∥CD（如图甲）； 思路二：过点G作GE∥MN，交CD于点E； 思路三：过点O作OF∥PM，交AB于点F． 解答下列问题： （1）根据思路一（图甲），可求得∠PMN的度数为 　140°　 ； （2）根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求∠PMN度数的解答过程． 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质即可得到结论；（2）根据题意作出图形即可； （3）如图乙，过点G作GE∥MN，交CD于点E，如图丙，过点O作OF∥PM，交AB于点F，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵MN⊥CD， ∴∠4＝90°， 过点M作EF∥CD（如图甲）， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠2＝∠1＝50°，∠3＝∠4＝90°， ∴∠PMN＝∠2+∠3＝140°， 故答案为：140°； （2）如图所示； （3）∵MN⊥CD， ∴∠4＝90°， 如图乙，过点G作GE∥MN，交CD于点E， ∴∠GEO＝∠4＝90°，∠EGM+∠PMN＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠AGE＝∠GEO＝90°， ∴∠EGM＝180°﹣∠1﹣∠AGE＝40°， ∴∠PMN＝140°； 如图丙，过点O作OF∥PM，交AB于点F， ∴∠GFO＝∠1＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠FOC＝∠GFO＝50°， ∵MN⊥CD， ∴∠COM＝90°， ∴∠FOM＝90°﹣50°＝40°， ∵∠FGM＝180°﹣∠1＝130°， ∴∠PMN＝360°﹣130°﹣50°﹣40°＝140°． 130．（2023秋•泌阳县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　15　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【分析】（1）通过画图，即可求解； （2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3种情况，画图计算即可； （3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC，DE∥AC五种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC， 图形如下： 故答案为15； （2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β， ①如图，当0°＜α≤45°时， α+β＝90°，α+γ＝45°， 故β﹣γ＝45°； ②当45°＜α≤90°时， 同理可得：γ+β＝45°， ③当90°＜α＜180°时， 同理可得：γ﹣β＝45°； ∴∠BAE﹣∠CAD＝45°或∠BAE+∠CAD＝45°或∠CAD﹣∠BAE＝45°； （3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3； ②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9； ③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21； ④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27； ⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30； 综上，t＝3或9或21或27或30． 131．（2023秋•淮阳区期末）如图①，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图③，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使得∠PKG＝2∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数． 【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数． 【解答】（1）解：AB∥CD，理由如下： ∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2＝180°， 又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴AB∥CD； （2）证明：由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°． 又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF． ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH； （3）解：∵GH⊥EG， ∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK， ∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK， ∵PQ平分∠EPK， ∴∠QPK∠EPK＝45°+∠HPK， ∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°． 答：∠HPQ的度数为45°． 132．（2023秋•邓州市期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　65　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【分析】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°； （2）①如图所示过点E作EF//AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算出∠AEC的度数； ②已知AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，所以可以推导出∠BAF和∠DCF的度数，利用（1）的结论可知∠AFC的度数． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D， 又∵∠B＝30°，∠D＝35°， ∴∠BED＝65°， 故答案为：65°； （2）①过点E作EF//AB，如图： ∵EF//AB，AB//CD， ∴EF//AB//CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， 又∵∠A＝135°，∠C＝130°， ∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°， 答：∠AEC的度为95°； ②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE， ∴， ∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE， ∴∠DCF＝65°， 由（1）问可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°， 答：∠AFC的度数为：132.5°． 133．（2024春•林州市期末）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论； （3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系． 【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE， ∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴EF∥CD． （2）解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝70°， ∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°， ∴∠NCE＝80°． （3）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠MAE+∠FEA＝180°， ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE， ∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG， ∵EG平分∠AEC， ∴∠GEC＝∠AEG， ∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠NCE＝180°， ∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°， ∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE， 即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 134．（2024春•虞城县期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间．设∠BMP＝∠α，∠DNP＝∠β，求证：∠MPN＝∠α+∠β． 证明：如图2，过点P作PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝∠α． ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠PND＝∠β， ∴∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠α+∠β． 【类比应用】 （1）如图3，AB∥CD，∠C＝30°，∠GBA＝45°，求∠GPC的度数． （2）如图4，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．设∠B＝∠α，∠PMD＝∠β，则∠α，∠β与∠BPM之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．∠PMC的平分线与∠PBA的平分线所在的直线交于点Q，请直接写出的度数．（不要求写过程） 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，先根据平行线的性质，再利用角的和差计算； （2）根据平行线的性质，角的和差计算即可得出结论； （3） 【解答】2解：（1）如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，∠C＝30°，∠GBA＝45°， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠BPQ＝∠GBA＝45°，∠QPC＝∠C＝30°， ∴∠GPC＝∠BPQ+∠CPQ＝45°+30°＝75°； （2）如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠B+∠BPQ＝180°，∠PMD＝∠QPM＝∠BPQ+∠BPM ∵∠B＝∠α，∠PMD＝∠β， ∴∠BPQ＝180°﹣∠B＝180°﹣∠α， ∴∠β＝180°﹣∠α+∠BPM， ∴∠BPM＝∠α+∠β﹣180°； （3）过点Q作AB的平行线，延长AB， ∵QM，NB分别是∠PMC与∠PBA的平分线， ∠3＝180°∠PBA，∠4∠PMC， ∴∠PBA＝2（180°﹣∠3），∠PMC＝2∠4， ∠BPM＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（180°﹣∠PBA）﹣∠PMC＝∠PBA﹣∠PMC， ∴∠BPM＝2（180°﹣∠3）﹣2∠4＝360°﹣2（∠3+∠4）， ∴∠BPM＝180°﹣（∠3+∠4）， ∴∠BPM＝180°﹣∠Q， ∴∠BPM+∠Q＝180°． 135．（2024春•柘城县期末）【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　∠BAM　 （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝　∠BAM　 （两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数． 【分析】（1）依据题意，由角平分线的定义及平行线的性质即可判断得解； （2）依据题意，由AM平分∠BAC，结合∠CAM＝∠CMA，从而AB∥CD，故∠AEF＝∠EFD，可得∠EFD＝∠C进而得解． （3）依据题意，过M作MG∥AC，从而EF∥MG，再结合又MG∥AC，证得∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME，从而求得∠AME． 【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 故答案为：∠BAM，∠BAM． （2）证明：∵AM平分∠BAC， ∴∠CAM＝∠BAM． 又∠CAM＝∠CMA， ∴∠CMA＝∠BAM． ∴AB∥CD． ∴∠AEF＝∠EFD． 又∠AEF＝∠C， ∴∠EFD＝∠C． ∴EF∥AC． （3）解：由（2）EF∥AC，过M作MG∥AC， ∴EF∥MG． ∴∠GME＝∠FEM． 又MG∥AC， ∴∠CAM＝∠AMG． ∴∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME． ∵∠CAM＝3∠MEF＝57°， ∴∠MEF＝19°． ∴∠AME＝∠CAM+∠FEM＝57°+19°＝76°． 136．（2024春•开封期末）问题情境： 一副三角尺，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠DEF＝60°．将它们如图①摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数．聪明小组的解法如下： 解：过点G作GH∥DF ∵GH∥DF ∴∠D＝∠HGD（依据1） ∵∠C+∠DFE＝90°+90°＝180° ∴BC∥DF（依据2） 又∵GH∥DF ∴GH∥BC ∴∠B＝∠BGH ∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠B+∠D＝45°+30°＝75° （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2“分别是指： 依据1：　两直线平行，内错角相等　 ； 依据2：　同旁内角互补，两直线平行　 ； 问题迁移： （2）如图②，将两个三角尺如图摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC上，AB与DE相交于点G，你能用题目中所给的方法，尝试着过点G作GH∥DF，求∠AGD的度数． 问题深化： （3）如图③，若三角尺ABC不动，将两个三角尺的直角顶点F与C重合，把三角尺DEF绕点C转动一周，在转动过程中，AC∥DE时，请直接写出∠DCB的度数． 【分析】（1）两直线平行，内错角相等；依据2：同旁内角互补，两直线平行； （2）过点G作GH∥DF，利用平行线的性质求解即可； （2）分DE在AC上方和DE在AC下方两种情况求解． 【解答】解：（1）依据1：两直线平行，内错角相等；依据2：同旁内角互补，两直线平行； 故答案为：两直线平行，内错角相等；依据2：同旁内角互补，两直线平行； （2）过点G作GH∥DF， ∴∠DGH＝∠D＝30°，∠AGH＝∠GAF＝45°， ∵∠AGD＝∠AGH﹣∠DGH， ∴∠AGD＝45°﹣30°＝15°； （3）当DE在AC上方时， ∵DE∥AC， ∴∠DCA＝∠D＝30°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°； 当DE在AC下方时， ∵DE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝60°， ∴∠DCB＝360°﹣∠ACB﹣∠DFE﹣∠ACE＝360°90°﹣90°﹣60°＝120°， 综上：∠DCB的度数为60° 或 120°． 137．（2024春•殷都区期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知l1∥l2，直角三角板ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l2上，并使边AB⊥l1于点D，AC与l1相交于点H． （1）试判断边BC与直线l1的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l1，l2相交于点E，F，得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由； 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整． 解：∠1+∠2＝90°，理由： 过点B作直线BN∥l1，如图4所示． 因为l1∥l2（已知） 所以BN∥l2（ 　平行于同一条直线的两条直线平行　 ） 所以∠1＝∠ABN，∠2＝　∠NBC　 （ 　两直线平行，同位角相等　 ） 因为 　∠ABN　 +∠NBC＝∠ABC，∠ABC＝90° 所以∠1+∠2＝90°． 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段EO和FO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图3，请直接写出∠EOF的度数． 【分析】（1）根据题意得到∠B＝∠ADH，即可判定BC∥l1，再由平行公理即可得证； （2）过点B作直线BN∥l1，如图4所示．根据平行线的判定得到BN∥l2，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABN，∠2＝∠NBC，由∠ABN+∠NBC＝∠ABC，∠ABC＝90°，于是得∠1+∠2＝90°； （3）根据角平分线定义及平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）BC∥l1， 理由：∵∠ADH＝90°，∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADH， ∴BC∥l1； （2）∠1+∠2＝90°，理由： 过点B作直线BN∥l1，如图4所示． 因为l1∥l2（已知） 所以BN∥l2（平行于同一条直线的两条直线平行） 所以∠1＝∠ABN，∠2＝∠NBC（两直线平行，同位角相等） 因为∠ABN+∠NBC＝∠ABC，∠ABC＝90° 所以∠1+∠2＝90°， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，∠NBC，两直线平行，同位角相等，∠ABN． （3）∠EOF＝45°，理由如下： 如图3，过点O作OM∥l1，则OM∥l2， ∴∠GEO＝∠EOM，∠HFO＝∠FOM， ∵∠GEB＝∠1，∠HFB＝∠2，∠1+∠2＝90°， ∴∠GEB+∠HFB＝90°， ∵EO和FO分别平分∠GEB和∠HFB， ∴∠GEO∠GEB，∠HFO∠HFB， ∴∠GEO+∠HFO＝45°， ∴∠EOM+∠FOM＝45°， 即∠EOF＝45°． 138．（2024春•新乡期末）已知AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，FG平分∠EFD与直线AB交于点G． （1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 　52°　 ． （2）作EM平分∠GEF，交FG于点M． ①如图2，过点G作GN⊥FG，交直线EF于点N，求证：GN∥EM； ②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，请写出∠FPM与∠DFG存在的数量关系（用含等号的式子表示），并说明理由． 【分析】（1）利用平行线性质得到∠EGF＝∠DFG＝26°，利用角平分线性质得到∠EFG＝∠DFG＝26°，再利用平行线性质即可得到∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG，即可解题； （2）①利用角平分线性质得到∠FEM＝∠GEM∠FEG，∠EFG＝∠DFG∠EFD，进而得到∠EMF＝90°，结合平行线判定定理，即可证明GN∥EM； ②根据题意得到∠PFG∠CFG，再利用三角形内角和定理得到∠FPM＝90°∠CFG，结合∠CFG＝180°﹣∠DFG进行等量代换，即可解题． 【解答】（1）解：∵AB∥CD，∠EGF＝26°， ∴∠EGF＝∠DFG＝26°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠DFG＝26°， ∴∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG＝26°+26°＝52°． 故答案为：52°． （2）①证明：∵EM平分∠GEF， ∴∠FEM＝∠GEM∠FEG ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠DFG∠EFD， ∵AB∥CD， ∴∠FEG+∠EFD＝180°， ∴∠FEM+∠EFG（∠FEG+∠EFD）＝90°， ∴EMF＝90°， ∴GN⊥FG， ∴∠NGF＝90°＝∠EMF， ∴GN∥EM； ②解：∠FPM∠DFG+18°， 理由如下：∵2∠CFP＝3∠PFG， ∴∠PFG∠CFG， ∵∠EMF＝90°， ∴∠FPM＝90°∠CFG， ∵∠CFG＝180°﹣∠DFG， ∴∠FPM＝90°（180°﹣∠DFG）∠DFG+18°， ∴∠FPM∠DFG+18°． 139．（2024春•汝南县期末）课上教师呈现一个问题 甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图： 甲同学辅助线的做法和分析思路如下： 辅助线：过点F作MN∥CD． 分析思路： （1）欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数； （2）由辅助线作图可知，∠2＝∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数； （3）由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4； （4）由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数； （5）从而可求∠EFG的度数． （1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路． 辅助线：　过点P作PN∥EF交AB于点N　 ； 分析思路： （2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数． 【分析】（1）根据乙同学所画的图形：过点P作PN∥EF交AB于点N，再由平行线的性质得出∠EFG＝∠NPG，根据∠1的度数得出∠2的度数，根据EF⊥AB得出∠2＝90°，再由PN∥EF，AB∥CD即可得出结论． （2）根据丙同学所画的图形：过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数． 【解答】解：（1）辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N． 分析思路： ①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG＝∠NPG， 因此，只需转化为求∠NPG的度数； ②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠NPD的度数； ③又已知∠1的度数，所以只需求出∠NPD的度数； ④由已知EF⊥AB，可得∠NOF＝90°； ⑤由PN∥EF，可推出∠BNP＝∠NOF；AB∥CD可推出∠NPD+∠BNP＝180，由此可推∠NPD的度数； ⑥从而可以求出∠EFG的度数， 故答案为：过点P作PN∥EF交AB于点N； （2）过点O作ON∥FG， ∵ON∥FG， ∴∠EFG＝∠EON∠1＝∠ONC＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠ONC＝∠BON＝30°， ∵EF⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∴∠EFG＝∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°． 140．（2024春•方城县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当旋转角α为 　15　 度时，AD∥BC； （2）在旋转过程中，当0°＜α≤45°时，参考图3，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系，并说明理由； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒，且它的一边与BC平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【分析】（1）根据平行线的判定定理即可求解； （2）当0°＜α≤45°计算即可； （3）分AD∥BC、DE∥BC、EE∥BC三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， ∴α＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15； （2）∠BAE﹣∠CAD＝45°，理由如下： 当0°＜α＜45°时， ∠CAE+∠BAE＝90°，∠CAE+∠CAD＝45°， ∴∠BAE﹣∠CAD＝45°； （3）3s或21s或30s， ①当AD∥BC时，由（1）可知α＝15°， ∴5t＝15， ∴t＝3， ②当DE∥BC时， ∠AFB＝∠D＝90°， ∠BAF＝90°﹣60°＝30°， ∴α＝90°+15°＝105°， ∴5t＝105°， ∴t＝21， ③当AE∥BC时， 则α＝180°﹣30°＝150°， 5t＝150°， t＝30． 综上分析，t＝3或21或30． 141．（2024春•鹿邑县校级期末）已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC． （1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．试判断EF与CD的位置关系，并说明理由． （2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； （3）如图②，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD． 【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等， 最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数， 进一步求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论； （3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可导出三者之间的关系． 【解答】解：（1）EF∥CD．理由如下： ∵∠1＝∠2，∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE，又∠MAE＝45°，∠FEG＝15°， ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF，∴EF∥CD． 故EF与CD的位置关系是EF∥CD． （2）∵∠1＝∠2，∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝70°，∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°∴∠NCE＝80°． 答：∠NCE的度数为80°． （3）∠MAE＝2∠FEG+∠NCE时，AB∥CD．理由如下： 由（2）可知：∠AEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG，∠FEC＝∠FEG+∠NCE， ∠AEG＝∠FEC，∠FEC+∠NCE＝180° ∴（180°﹣∠MAE+∠FEG）+（∠FEG+∠NCE）＝180°， 整理得：∠MAE＝2∠FEG+∠NCE． 故当∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足关系：∠MAE＝2∠FEG+∠NCE时，AB∥CD． 142．（2024春•虞城县校级期末）如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝70°． （1）求∠EDC的度数； （2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数； （2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； （3）∠BED的度数改变．分三种情况讨论，分别过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝35°，然后根据平行线的性质即可得到∠BED的度数． 【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°， ∴∠EDC∠ADC70°＝35°； （2）过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°， ∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝35°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEFn°+35°； （3）分三种情况： 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°， ∴∠ABE∠ABCn°，∠CDG∠ADC＝35°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝∠ABEn°，∠CDG＝∠DEF＝35°， ∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEFn°﹣35°． 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°， ∴∠ABE∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝35°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°n°，∠CDE＝∠DEF＝35°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°n°+35°＝215°n°． 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°， ∴∠ABG∠ABCn°，∠CDE∠ADC＝35°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝∠ABGn°，∠CDE＝∠DEF＝35°， ∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEFn°﹣35°． 综上所述，∠BED的度数为n°﹣35°或215°n°． ( 题型0 6 ) 命题与定理 143．（2024春•光山县期末）下列命题中的真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．若两个角的和为180°，则这两个角互补 C．若a，b满足|a|＝|b|，则a＝b D．同位角相等 【分析】利用对顶角的定义，互补的定义，开平方的定义及平行线的性质分别判断即可． 【解答】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意； 若两个角的和为180°，则这两个角互补，是真命题，故选项B符合题意； 若a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b，故原命题错误，是假命题，故选项C不符合题意； 两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意； 故选：B． 144．（2023秋•开封期末）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误； B、绝对值相等的两个数相等，错误； C、同位角相等，两条直线平行，正确； D、相等的两个角都是45°，错误． 故选：C． 145．（2024春•鹿邑县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．和为180°的两个角是邻补角 B．一条直线的垂线有且只有一条 C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段 D．两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等 【分析】利用邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、和为180°的两个角不一定是邻补角，故错误，为假命题； B、一条直线有无数条垂线，故错误，为假命题； C、点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故错误，为假命题； D、两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等，正确，为真命题， 故选：D． 146．（2023秋•鹤壁期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及补角的性质判断即可． 【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； C、等角的补角相等，是真命题； D、垂线段最短，是真命题； 故选：B． 147．（2023秋•南召县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．真命题的逆命题是真命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理一定有逆定理 D．任何一个命题一定有逆命题 【分析】利用命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意； B、原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题，故错误，不符合题意； C、任何一个定理的逆命题不一定正确，因此不一定有逆定理，故错误，不符合题意； D、任何一个命题都有逆命题，正确，符合题意， 故选：D． 148．（2023秋•光山县期末）下列选项中的命题属于真命题的是（　　） A．锐角三角形的三个内角都是锐角 B．直角三角形的三个内角都是直角 C．钝角三角形的三个内角都是钝角 D．钝角三角形的两个内角都是钝角 【分析】锐角三角形的三个内角都小于90°，据此判断A；接下来，根据直角三角形、钝角三角形的认识对B、C、D进行分析． 【解答】解：锐角三角形的三个内角都是锐角，故A是真命题； 直角三角形的一个内角都是直角，故B是假命题； 钝角三角形的一个内角都是钝角，故C、D是假命题． 故选：A． 149．（2023秋•宝丰县期末）下列命题中，是假命题的是（　　） A．全等三角形的对应角都相等 B．全等三角形的面积相等 C．对应角相等的两个三角形是全等三角形 D．全等三角形的对应边都相等 【分析】根据全等三角形的性质与判定逐一判断即可． 【解答】解：A、全等三角形的对应角都相等，是真命题，不符合题意； B、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意； C、对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，是假命题，符合题意； D、全等三角形的对应边都相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 150．（2023秋•高新区校级期末）下列命题，是真命题的是（　　） A．自然数都大于0 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．若ab＝0，则b＝0 【分析】根据自然数的概念、平行公理、平行线的性质、实数的乘法法则判断即可． 【解答】解：A、自然数大于或等于0，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，是真命题，符合题意； D、若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝0，b＝0，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 151．（2023秋•沈丘县期末）下列命题中，①如果|x|＝|y|，那么x＝y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m＞n，那么m2＞n2；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B＝180°，真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别根据真命题的定义，涉及内错角、互补性质，绝对值的性质作答即可． 【解答】解：①、如果|x|＝|y|，那么x＝±y，故该选项是错误的； ②、如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误的； ③、如果|m|＞|n|，那么m2＞n2，故该选项是错误的； ④、如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B＝180°，故该选项是正确的； 所以真命题有1个 故选：A． 152．（2024春•确山县期末）命题“锐角小于90°”的逆命题是（　　） A．如果一个角是锐角，那么这个角小于90° B．不是锐角的角不小于90° C．不小于90°的角不是锐角 D．小于90°的角是锐角 【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题． 【解答】解：命题“锐角小于90°”的逆命题是小于90°的角是锐角， 故选：D． 153．（2024春•淮滨县期末）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等 【分析】根据平行线的判定和性质以及对顶角的性质判断即可． 【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，本选项不符合题意． B、对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意． C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，本选项不符合题意． D、两直线平行，同旁内角相等，是假命题，应该是同旁内角互补，本选项符合题意． 故选：D． 154．（2024春•正阳县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．“同位角相等”是一个真命题 B．图形的平移是指把图形沿水平方向移动 C．“凡直角都相等”是一个假命题 D．在平移的过程中，对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等 【分析】根据同位角定义、平移的概念和性质，直角的定义等逐项判断． 【解答】解：“同位角相等”不是真命题，故A错误，不符合题意； 图形的平移是指把图形沿同一方向移动，故B错误，不符合题意； “凡直角都相等”是一个真命题，故C错误，不符合题意； 在平移的过程中，对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等，故D正确，符合题意； 故选：D． 155．（2023秋•叶县期末）下列命题中，假命题是（　　） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 【分析】分别判断后，找到错误的命题就是假命题． 【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题； B、等角的补角相等，正确，是真命题； C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题； D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题． 故选：D． 156．（2023秋•焦作期末）下列命题中，真命题有（　　） ①若a∥c，b∥c，则a∥b； ②两直线平行，同旁内角相等； ③对顶角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤三角形的一个外角大于它的内角． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平行线的性质、对顶角的概念、三角形外角性质等逐个判断即可． 【解答】解：对于①：平行于同一直线的两直线平行，故①正确； 对于②：两直线平行，同旁内角互补，故②错误； 对于③：对顶角相等，故③正确； 对于④：当该点在已知直线上时，过这点不存在与已知直线平行的直线，故④错误； 对于⑤：三角形的外角也可能等于它的外角，此时三角形为直角三角形，故⑤错误； 故选：A． 157．（2023秋•沈丘县期末）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 　两直线平行，内错角相等　 ． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 158．（2023秋•叶县期末）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　 ． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/ 159．（2023秋•淮阳区期末）命题：全等三角形的对应边上的高相等． （1）写成“如果…，那么…”：　如果那么的形式应该是如果两条线段是全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等　 ； （2）根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【分析】（1）寻找命题的题设和结论，即可解决问题； （2）写出已知，求证，利用全等三角形的判定方法证明即可． 【解答】解：（1）如果那么的形式应该是如果两条线段是全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等． 故答案为：如果那么的形式应该是如果两条线段是全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等． （2）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′． 求证：AD＝A′D′． 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′， ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD＝A′D′． 160．（2023秋•商丘期末）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③AC＝BC．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 【分析】选择①②作为条件，③作为结论，根据平行线的性质和角平分线的定义可证得∠A＝∠B，由等腰三角形的判定即可得到AC＝BC． 【解答】解：选择①②作为条件，③作为结论，命题正确，理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC． 2 161．（2023秋•二七区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝　60°或120°　 时，CE∥AB． 【分析】分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB． 【解答】（2）分两种情况： ①如图1所示， 当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°； ②如图2所示， 当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°， ∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°． 故答案为：60°或120°． 162．（2024春•汝州市校级期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 163．（2024秋•西峡县期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中∠A＝30°，∠C＝90°，∠D＝45°，∠DBE＝90°，含30°角的三角尺ABC固定不动，将含45°角的三角尺DBE绕顶点B顺时针转动（转动角度小于180°），当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，∠ABE的度数是　15°或45°或105°　 ． 【分析】根据题意可知：在旋转的过程中（转动角度小于180°），DE与△ABC的一边平行，有以下三种情况：①当DE∥AC时，可得BC为∠EBD的平分线，进而可求出∠ABE的度数；②当DE∥AB时，由平行线的性质可得∠ABE的度数，③当DE∥BC时，由平行线的性质得∠CBE＝∠E＝45°，进而可求出∠ABE的度数． 【解答】解：∵△ABC是含有30°的三角板， ∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠C＝90°， ∵△DBE是含有45°的三角板， ∴∠BED＝∠D＝45°，∠EBD＝90°， ∵在旋转的过程中（转动角度小于180°），DE与△ABC的一边平行， ∴有以下三种情况： ①当DE∥AC时，如图所示： ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， 又DE∥AC， ∴BC⊥DE， 由条件可知BC为∠EBD的平分线，即∠EBC＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°﹣45°＝15°； ②当DE∥AB时，如图所示： 由条件可知∠ABE＝∠E＝45°， ③当DE∥BC时，如图所示： 由条件可知∠CBE＝∠E＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝105°， 综上，∠ABE的度数为15°或45°或105°． 故答案为：15°或45°或105°． 164．（2023秋•辉县市期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可． 【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N， 则∠CDE＝∠E+∠CNE， 即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选：B． 165．（2024春•龙亭区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝102°，则∠BEG的度数为（　　） A．38° B．39° C．40° D．42° 【分析】由AD∥BC，∠D＝∠ABC，可证明AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，在△AEF中，78°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，故∠GEH﹣∠FEB＝39°，即可等量代换求解． 【解答】解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB， ∴∠AFE＝2∠FEB， ∵∠FEH的角平分线为EG， ∴∠GEH＝∠FEG， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC， ∴∠D+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD，而∠DEH＝102°， ∴∠CEH＝∠FAE＝78°， ∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH， ∴78°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°， ∴∠GEH﹣∠FEB＝39°， ∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝39°． 故选：B． 166．（2024春•许昌期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线l上的两个激光灯，∠APQ＝∠BQP＝60°，现激光PA绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒3°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0＜t＜100），当AP∥QB时，t的值为 　12或48或84　 ． 【分析】分情况讨论： ①PA，QB在直线l上方，得3°×t+60°+60°+2°×t＝180°； ②PA在直线l下方，QB直线l上方，得360°﹣（60°+2°×t）＝60°+3°×t； ③PA，QB都在直线l下方，得360°﹣（60°+3°×t）＝60°+2°×t﹣180°； ④PA，QB在直线l上方和下方，得360°﹣（60°+3°×t）＝60°+2°×t﹣180°，分别解方程即可． 【解答】解：分情况讨论： ①当PA，QB在直线l上方时，如图： 当PA∥QB时，则∠APQ+∠BQP＝180°， ∴3°t+60°+60°+2°t＝180°， ∴t＝12； ②当PA在直线l上方，QB直线l下方时，如图： 当PA∥QB时，则∠APQ＝∠BQP， ∴180°﹣（3°t﹣120°）＝60°+2°t， ∴t＝48； ③当PA，QB都在直线l下方时，如图： 当PA∥QB时，则∠APQ＝∠BQN， ∴360°﹣（60°+3°t）＝60°+2°t﹣180°， ∴t＝84； ④当PA在直线l上方，QB直线l下方时，如图： 当PA∥QB时，则∠APQ＝∠BQP， ∴60°+3°t﹣360°＝360°﹣（60°+2°t）， ∴t＝120＞100（舍去）， ∴t为12或48或84， 故答案为：12或48或84． 167．（2024春•郏县期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论： ①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠DEC， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC+∠2＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN＝∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN＝180°， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1， ∴∠2＝∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF270°＝135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°， ∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确． 故选：C． 168．（2023秋•原阳县期末）已知直线AB∥CD，E为两直线间一定点，∠DCE＝23°，若点F为平面内一动点，且满足∠ABF＝51°，连接BF，EF，则∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为 　14°或37°　 ． 【分析】分两种情况讨论如下：①当点F在AB的下方时，过点F作HI∥AB，过点E作JK∥AB，如图1所示：设∠GEK＝α，先证AB∥HI∥JK∥CD，再根据平行线的性质及角平分线的定义得∠FEG＝∠GEC＝α+23°，∠GFE＝143°﹣α，进而根据三角形的内角和定理可得出∠EGF的度数； ②当点F在AB上方时，过点E作MN∥AB，设∠PEN＝β，先证AB∥MN∥CD，再根据平行线的性质及角平分线的定义得∠GEF＝157°﹣β，∠GFE＝β﹣14°，进而根据三角形的内角和定理可得出∠EGF的度数；综上所述即可得出∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角的度数． 【解答】解：分两种情况讨论如下： ①当点F在AB的下方时， 过点F作HI∥AB，过点E作JK∥AB，如图1所示： 设∠GEK＝α， ∵AB∥CD， ∴AB∥HI∥JK∥CD， ∵∠DCE＝23°，∠ABF＝51°， ∴∠KEC＝∠DCE＝23°， ∴∠GEC＝∠GEK+∠KEC＝α+23°， ∵EG平分∠CEF， ∴∠FEG＝∠GEC＝α+23°， ∴∠FEK＝∠FEG+∠GEK＝23°+2α， ∴∠HFE＝∠FEK＝23°+2α，∠BFH＝∠ABF＝51°， ∴∠BFE＝∠BFH+∠HFE＝23°+2α+51°＝74°+2α， ∵FG平分∠BFE， ∴∠BFT＝∠EFT∠BFE（74°+2α）＝37°+α， ∴∠GFE＝180°﹣∠EFT＝180°﹣（37°+α）＝143°﹣α， ∴∠EGF＝180°﹣（∠GFE+∠FEG）＝180°﹣（α+23°+143°﹣α）＝14°； ②当点F在AB上方时，过点E作MN∥AB，如图2所示： 设∠PEN＝β， ∵∠DCE＝23°，∠ABF＝51°， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∵∠CEN＝∠DCE＝23°， ∴∠PEC＝∠PEN+∠CEN＝β+23°， ∵GE平分∠CEF， ∴∠FEP＝∠PEC＝β+23°， ∴∠GEF＝180°﹣∠FEP＝180°﹣（β+23°）＝157°﹣β， ∴∠FKA＝∠FEN＝∠FEP+∠PEN＝β+23°+β＝23°+2β， ∵∠FKA＝∠ABF+∠BFE， ∴∠BFE＝∠FKA﹣∠ABF＝23°+2β﹣51°＝2β﹣28°， ∵GF平分∠BFE， ∴∠GFE∠BFE（2β﹣28°）＝β﹣14°， ∴∠FGE＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣（157°﹣β+β﹣14°）＝37°． 综上所述：∠BFE的平分线与∠CEF的平分线所在直线所夹的锐角为14°或37° 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$