专题01 相交线（6大基础题型+优选提升）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 相交线 题型概览 01 相交线 02 对顶角、邻补角 03 垂线 04 点到直线的距离 05垂线段最短 06 同位角、内错角、同旁内角 ( 题型01 ) 相交线 1．（2024秋•宛城区期末）当我们在教室中排课桌时，有时在最前和最后的课桌旁拉一根长绳，沿着长绳排列能使课桌排的更整齐，这样做的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．点动成线 D．两点确定一条直线 【分析】根据两点确定一条直线进行解答即可． 【解答】解：当我们在教室中排课桌时，有时在最前和最后的课桌旁拉一根长绳，沿着长绳排列能使课桌排的更整齐，这样做的数学道理是两点确定一条直线，故D正确． 故选：D． 2．（2023秋•平顶山期末）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是（　　） A．点A在直线AC上 B．直线AB，BC，CA两两相交 C．点A是直线AB，AC的交点 D．直线BC经过点A 【分析】结合图形，根据直线AB，BC，CA的位置关系，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：点A在直线AC上，正确， 故选项A正确，不符合题意； 直线AB，BC，CA两两相交，正确， 故选项B正确，不符合题意； 点A是直线AB，AC的交点，正确， 故选项C正确，不符合题意； 直线BC经过点A，不正确， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•原阳县校级期末）平面上4条直线两两相交，交点的个数是（　　） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【分析】4条直线相交，有3种位置关系，画出图形，进行解答． 【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示： 则交点的个数有1个，或4个，或6个． 故选：C． ( 题型0 2 ) 对顶角、邻补角 4．（2023秋•淮阳区校级期末）如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义逐项识别即可，对顶角满足2个条件：①有公共顶点，②两边互为反向延长线． 【解答】解：A．∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故A不符合题意； B．∠1与∠2没有公共顶点，且两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故B不符合题意； C．∠1与∠2的两边互为反向延长线，且有公共顶点，是对顶角，故C符合题意； D．∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D不符合题意． 故选：C． 5．（2024秋•南召县期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　） A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：由对顶角的性质得到：∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB增加30°时，那么∠COD增加30°， 故选：D． 6．（2024秋•南阳期末）如图，这是一把剪刀的示意图，我们可以想象成是一个相交线模型．若∠AOB＝28°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．122° C．152° D．162° 【分析】根据∠AOB+∠BOD＝180°，计算即可． 【解答】解：∵∠AOB＝28°， ∴∠BOD＝180°﹣28°＝152°． 故选：C． 7．（2024秋•南阳期末）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）．若∠1＝30°，光线传播方向改变了9°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．20° C．21° D．25° 【分析】根据对顶角相等得出∠AOB＝∠1＝30°，进而即可求解． 【解答】解：如图， ∵∠AOB＝∠1＝30°． ∴∠2＝∠AOB﹣9°＝30°﹣9°＝21°． 故选：C． 8．（2024秋•安阳期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是（　　） A．35° B．55° C．70° D．110° 【分析】由OE为角平分线，根据∠EOB的度数求出∠BOC的度数，再利用平角定义求出∠BOD的度数即可． 【解答】解：∵OE平分∠COB，若∠EOB＝55°， ∴∠BOC＝2∠EOB＝110°， ∵∠BOC+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣110°＝70°． 故选：C． 9．（2024春•虞城县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠3＝（　　） A．110° B．135° C．145° D．155° 【分析】根据题意，∠1+∠2＝70°，∠1＝∠2得到∠1＝∠2＝35°，结合∠1+∠3＝180°，计算即可． 【解答】解：根据题意，∠1+∠2＝70°，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝35°， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠3＝145°． 故选：C． 10．（2024春•襄城县期末）如图为某品牌椅子的侧面图，DE与地面平行，若∠ACB＝48°，则∠DCE＝（　　） A．48° B．132° C．42° D．32° 【分析】由对顶角相等，即可得到答案． 【解答】解：∠DCE＝∠ACB＝48°． 故选：A． 11．（2023秋•桐柏县期末）如图，两条直线相交于一点，如果∠1+∠3＝60°，则∠2的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【分析】根据对顶角相等和邻补角的定义进行计算即可． 【解答】解：∵∠1+∠3＝60°，∠1＝∠3， ∴∠1＝∠3＝30°， 又∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣30°＝150°， 故选：A． 12．（2023秋•南召县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，则推导出“∠AOD＝∠BOC”，下列依据中，最合理的是（　　） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【分析】根据题意知∠AOD与∠BOC都是∠AOC的补角，根据同角的补角相等，得出∠AOD＝∠BOC． 【解答】解：∵∠AOD与∠BOC都是∠AOC的补角， ∴∠AOD＝∠BOC（同角的补角相等）． 故选：C． 13．（2023秋•商水县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＝120°，则∠2+∠3＝（　　） A．60° B．100° C．120° D．180° 【分析】根据邻补角定义和对顶角性质求得∠2和∠3的度数，再把它们相加即可． 【解答】解：∵∠1＝120°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣120°＝60°， ∴∠2+∠3＝60°+60°＝120°， 故选：C． 14．（2024春•济源期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠BOD＝35°，则∠BOE的度数为（　　） A．95° B．100° C．110° D．145° 【分析】根据对顶角相等得出∠AOC的度数，根据角平分线的定义求出∠AOE的度数，最后根据邻补角互补即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝35°， ∴∠AOC＝35°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠AOC＝2×35°＝70°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣70°＝110°， 故选：C． 15．（2024春•郾城区期末）如图，OA⊥OB，直线CD过点O，且，则∠AOD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 【分析】结合已知条件易求得∠AOC的度数，然后利用邻补角定义即可求得答案． 【解答】解：∵∠AOC∠BOC， ∴∠BOC＝2∠AOC， ∵OA⊥OB， ∴∠AOC+∠BOC＝90°， ∴3∠AOC＝90°， ∴∠AOC＝30°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°， 故选：D． 16．（2023秋•罗山县期末）如图所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义判断即可． 【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意； B、∠1与∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意； C、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：B． 17．（2024秋•宛城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝79°30′，∠2＝30.5°，则∠AOE＝　49°　 ． 【分析】根据对顶角相等得到∠AOD＝∠1＝79°30′，再根据角的差即可解答． 【解答】解：直线AB、CD相交于点O， ∵∠1＝79°30′， 根据对顶角相等可得：∠AOD＝∠1＝79°30′， ∵∠2＝30.5°＝30°30′， 根据角的差可得： ∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝79°30′﹣30°30′＝49°． 故答案为：49°． 18．（2023秋•扶沟县期末）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝　140°　 ． 【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC＝∠BOD，进而得出答案． 【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝4：5， ∴设∠EOC＝4x，∠EOD＝5x， 故4x+5x＝180°， 解得：x＝20°， 可得：∠COE＝80°，∠EOD＝100°， ∵OA平分∠EOC， ∴∠COA＝∠AOE＝40°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°． 故答案为：140° 19．（2023秋•社旗县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【分析】利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，由量角器度量的方法可得结论． 【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O， ∴∠BOD＝∠AOC， ∵∠AOC＝50°， ∴∠BOD＝50° 故选：B． 20．（2023秋•固始县期末）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是　30°　 ，用它测量角的原理是　对顶角相等　 ． 【分析】根据对顶角相等，由量角器所得度数就是要测量的角的度数． 【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为30°， 原理：对顶角相等， 故答案为：30°，对顶角相等． 21．（2023秋•沈丘县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可； （2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝140°， ∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，又∠COF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣40°＝50°； （2）∵∠BOD：∠BOE＝1：2，OE平分∠BOC， ∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°， ∴∠BOD＝36°， ∴∠AOC＝36°， 又∵∠COF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°． 22．（2023秋•新安县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC， （1）图中∠AOF的余角是　∠BOC、∠AOD　 （把符合条件的角都填出来）； （2）如果∠AOC＝160°，那么根据　对顶角相等　 可得∠BOD＝　160　 度； （3）如果∠1＝32°，求∠2和∠3的度数． 【分析】（1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果； （2）由对顶角相等即可得出结果； （3）由角平分线的定义求出∠AOD，由对顶角相等得出∠2的度数，再由角的互余关系即可求出∠3的度数． 【解答】解：（1）∵OF⊥OC， ∴∠COF＝∠DOF＝90°， ∴∠AOF+∠BOC＝90°，∠AOF+∠AOD＝90°， ∴∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD； 故答案为：∠BOC、∠AOD； （2）∵∠AOC＝160°， ∴∠BOD＝∠AOC＝160°； 故答案为：对顶角相等；160； （3）∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠1＝64°， ∴∠2＝∠AOD＝64°，∠3＝90°﹣64°＝26°． ( 题型0 3 ) 垂线 23．（2024春•新县期末）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 【分析】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°． 【解答】解：∵BM⊥CD， ∴∠CBM＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABE＝∠FBM＝20°， ∴∠EBC＝20°+50°＝70°． 故选：B． 24．（2024秋•内乡县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（　　） A．43° B．137° C．57° D．47° 【分析】根据垂直定义可得：∠BOE＝90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∵∠DOB＝43°， ∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠DOB＝47°， 故选：D． 25．（2024秋•邓州市期末）下列选项中，过点P画直线l的垂线MN，用三角尺或量角器操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂线的定义，即可解答． 【解答】解：过点P画直线l的垂线MN，用三角尺或量角器操作正确的是 故选：C． 26．（2024春•郑州期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（　　） A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC 【分析】根据题意证明∠AOC＝90°即可． 【解答】解：由OA＝OB只能得出O是AB的中点， 故A选项错误， 由OC＝OD只能得出O是CD的中点， 故B选项错误， ∠AOC和∠BOD是对顶角，始终是相等的， 故C选项错误， ∠AOC和∠BOC互补，当∠AOC＝∠BOC时， ∠AOC＝180°÷2＝90°， ∴CD⊥AB， 故选项D正确， 故选：D． 27．（2024春•文峰区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【分析】由图和已知条件可以得到∠EOA的度数，∠EOA与∠1和∠2的关系，从而可以得到∠2的度数，本题得以解决． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOA＝90°， 又∵∠2+∠EOA+∠1＝180°，∠1＝35°， ∴∠2＝55°， 故选：B． 28．（2024春•周口期末）如图是光的反射规律示意图，CO是入射光线，OD是反射光线，OE是法线，EO⊥AB，∠EOD反射角，∠COE＝∠EOD，若∠AOC＝2∠EOD，则入射角∠COE的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【分析】由垂线的定义得出∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°，再由已知条件得出∠AOC＝2∠COE，即可求出∠COE的度数． 【解答】解：∵EO⊥AB， ∴∠AOE＝90°， 即∠AOC+∠COE＝90°， ∵∠COE＝∠EOD，∠AOC＝2∠EOD， ∴∠AOC＝2∠COE， ∴2∠COE+∠COE＝90°， ∴∠COE＝30°， 故选：A． 29．（2024春•河南期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O．若∠EOD＝155°，则∠AOC的度数为（　　） A．.35° B．65° C．.55° D．25° 【分析】因为EO⊥AB，即∠EOB＝90°，已知∠EOD＝155°，因为∠BOD＝∠EOD﹣∠EOB，可得∠BOD的度数，因为∠AOC＝∠BOD，即得∠AOC的度数． 【解答】解：∵EO⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵∠EOD＝155°， ∴∠BOD＝∠EOD﹣∠EOB＝65°， ∴∠AOC＝∠BOD＝65°， 故选：B． 30．（2024春•新乡期末）如图，AB，CD，EF三条直线相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOC．若∠1＝11°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．34° C．35° D．45° 【分析】根据垂直的定义得到∠BOC＝90°、利用角平分线的定义得到∠GOC＝45°，最后利用对顶角的性质，即可解题． 【解答】解：∵AB⊥CD， ∴∠BOC＝90°， ∵OG平分∠BOC． ∴∠GOC＝45°， ∵∠1＝11°， ∴∠2＝∠FOC＝45°﹣11°＝34°， 故选：B． 31．（2024春•荥阳市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O，若∠BOD＝3∠BOC，则∠AOD的度数为（　　） A．112.5° B．115° C．117.5° D．125° 【分析】因为OC⊥OD，所以∠BOD+∠BOC＝∠COD＝90°，因为∠BOD＝3∠BOC，可求得∠BOD的度数，因为∠AOD＝180°﹣∠BOD，可得∠AOD的度数． 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠BOD+∠BOC＝∠COD＝90°， ∵∠BOD＝3∠BOC， ∴∠BOC＝22.5°，∠BOD＝67.5°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝112.5°， 故选：A． 32．（2023秋•浚县期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点O为端点的射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为（　　） A．30° B．150°或 30° C．150° D．以上都不正确 【分析】分两种情况讨论，由邻补角的性质，垂直的定义，即可求解． 【解答】解：∵∠BOD＝2∠BOC，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， 当射线OE在AB下方， ∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°； 当射线OE在AB上方， ∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°+60°＝150°． ∴∠BOE的度数为：30°或150°． 故选：B． 33．（2024秋•社旗县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为　32　 °． 【分析】根据垂直的定义得到∠EOC＝90°，再根据平角的定义计算即可． 【解答】解：∵OE⊥OC， ∴∠EOC＝90°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠EOC＝180°﹣58°﹣90°＝32°， 故答案为：32． 34．（2024秋•西峡县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝　50°　 ． 【分析】运用垂线的定义，对顶角的性质进行计算即可． 【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠BOC＝∠AOD＝140°， 又∵OE⊥AB， ∴∠DOE＝140°﹣90°＝50°， 故答案为：50°． 35．（2023秋•唐河县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠BOD＝70°，则∠CON的度数为　55°　 ． 【分析】直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案． 【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC＝70°，射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM＝∠MOC＝35°， ∵ON⊥OM， ∴∠COM＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°． 36．（2024春•管城区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠AOD＝122°，则∠EOC的度数为（　　） A．30° B．32° C．42° D．58° 【分析】先根据对顶角相等得出∠BOC＝122°，再由垂直的定义得出∠BOE＝90°，最后根据∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE可得答案． 【解答】解：∵∠AOD＝122°， ∴∠BOC＝∠AOD＝122°， ∵EO⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝32°， 故选：B． 37．（2024春•汝南县期末）如图，点O在直线AB上且OC⊥OD．若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为（　　） A．36° B．54° C．64° D．72° 【分析】首先由OC⊥OD，根据垂直的定义，得出∠COD＝90°，然后由平角的定义，知∠AOC+∠COD+∠DOB＝180°，从而得出∠DOB的度数． 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∵∠AOC+∠COD+∠DOB＝180°， ∴∠DOB＝180°﹣36°﹣90°＝54°． 故选：B． 38．（2024春•汝州市校级期末）已知∠A的两边与∠B的两边互相垂直，且∠A比∠B的两倍小60°，则∠A＝　60°或100°　 ． 【分析】设∠B＝α，则∠A＝2α﹣60°，分两种情况，画出图形解答即可求解． 【解答】解：设∠B＝α，则∠A＝2α﹣60°，有两种情况： ①如图，∠ACB＝∠ABD＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴2α﹣60°＝α， ∴α＝60°， ∴∠A＝60°； ②如图，∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴2α﹣60°+α＝180°， ∴α＝80°， ∴∠A＝2×80°﹣60°＝100°； 综上，∠A＝60°或100°， 故答案为：60°或100°． 39．（2024春•北关区期末）如图，∠1＝135°，AO⊥OB于点O，点C，O，D在一条直线上，则∠2＝　45°　 ． 【分析】根据平角定义先求出∠AOD的度数，再根据垂直定义求出∠AOB＝90°，从而求出∠2的度数． 【解答】解：∵∠1＝135°， ∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣135°＝45°， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠2＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45． 40．（2024春•文峰区期末）如图，OC⊥AB交直线AB于点O，射线OD、OE在∠BOC内，OE平分∠BOD，其中∠COD＝32°． （1）求∠BOD的度数； （2）求∠AOE的度数． 【分析】（1）由垂直的定义得出∠BOC＝90°，即可求出∠BOD的度数； （2）根据角平分线的定义求出∠BOE的度数，再根据邻补角的性质即可求出∠AOE的度数． 【解答】解：（1）∵OC⊥AB， ∴∠BOC＝90°， ∵∠COD＝32°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝90°﹣32°＝58°； （2）由（1）得∠BOD＝58°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE29°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣29°＝151°． 41．（2023秋•桐柏县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足为O，∠BOD＝28°． （1）求∠AOM的度数； （2）若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数． 【分析】（1）由垂直的定义，对顶角的性质，即可计算； （2）由角平分线定义，邻补角的性质，即可计算． 【解答】解：（1）∵OM⊥CD， ∴∠MOC＝90°， ∵∠AOC＝∠BOD＝28°， ∴∠AOM＝90°﹣28°＝62°； （2）∵OA平分∠MOE， ∴∠AOE＝∠AOM＝62°， ∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠BOE＝180°﹣62°＝118°． 42．（2023秋•方城县校级期末）如图，OC⊥AB于点O，∠1＝∠2，则图中互余的角有　4　 对． 【分析】根据OC⊥AB于点O，可知∠1与∠AOE互为余角，∠2与∠COD互为余角，又因为∠1＝∠2，则相互交换又多了两对互余角． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴∠1+∠AOE＝90°，∠2+∠COD＝90°， 即∠1与∠AOE互为余角，∠2与∠COD互为余角， 又∵∠1＝∠2， 则相互交换又多了两对互余角． 即∠1与∠COD互为余角，∠2与∠AOE互为余角． 所以共有4对． 故答案为：4． 43．（2023秋•内乡县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答； （2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数． 【解答】解：（1）∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°， ∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°． ∴∠NOD的度数为90°； （2）∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1， 解得∠1＝30°， ∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝180°﹣∠1＝150°． ∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°． 44．（2024春•郾城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若，求∠BOC的度数． 【分析】（1）由OM⊥AB得到∠1+∠AOC＝90°，进而有∠2+∠AOC＝90°，从而得证ON⊥CD； （2）由OM⊥AB得到∠BOM＝90°，从而∠1+∠BOD＝90°，根据即可求出∠1，进而即可解答． 【解答】（1）证明：∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°，即∠1+∠AOC＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD； （2）解：∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∴∠1+∠BOD＝180°﹣∠BOM＝90°， ∵， ∴∠1＝30°， ∴∠BOC＝∠1+∠BOM＝120°． 45．（2024春•固始县期末）如图，直线AB、CD交于点O，CO⊥OE，OF是∠AOD的平分线，OG是∠EOB的平分线，∠AOC＝44°． （1）求∠BOE的度数； （2）求∠FOG的度数． 【分析】（1）根据垂线的定义，由CO⊥OE，得∠COE＝90°，推断出∠EOB＝46°； （2）根据角平分线的定义，由OG是∠EOB的平分线，得∠BOGEOB＝23°，OF是∠AOD的平分线，得∠AOFAOD＝68°，进而解答问题． 【解答】解：（1）∵CO⊥OE， ∴∠COE＝90°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝46°； （2）又∵OG是∠EOB的平分线， ∴∠BOGEOB＝23°， ∵∠AOC＝44°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝136°， 又∵OF是∠AOD的平分线， ∴∠AOFAOD＝68°， ∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝112°， ∴∠FOG＝∠FOB+∠BOG＝112°+23°＝135°． 46．（2024春•民权县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD （1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 　∠BOD　 ，∠AOC的邻补角为 　∠BOC，∠AOD　 ； （2）若∠AOC：∠COE＝2；3，求∠AOF的度数． 【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可； （2）设∠AOC＝2x，∠COE＝3x，进而得到∠BOD＝2x，根据∠COE+∠BOD＝90°，求出x的值，进而求出∠AOD的度数，再根据角平分线的定义，求出∠AOF的度数． 【解答】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD， ∠AOC的邻补角为∠BOC，∠AOD． 故答案为：∠BOD；∠BOC，∠AOD． （2）∵∠AOC：∠COE＝2：3， ∴设∠AOC＝2x，∠COE＝3x， ∴∠BOD＝∠AOC＝2x， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠COE+∠BOD＝5x＝90°， ∴x＝18°， ∴∠AOC＝36°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝144°， ∵OF平分∠AOD， ∴． 47．（2024春•济源期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）填空：∠BOD 　＝　 ∠AOC（填“＞”“＝”“＜”），数学依据是 　对顶角相等　 ． （2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数． 【分析】（1）根据对顶角相等即可得到：∠BOD＝∠AOC； （2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可． 【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠BOD＝∠AOC（对顶角相等）； 故答案为：＝，对顶角相等； （2）∵∠AOC：∠COE＝2：3， 设∠AOC＝x，则∠COEx， ∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°， ∴xx+90°＝180°， 解得：x＝36°， ∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF， ∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°， ∴2∠DOF+36°＝180°， 解得：∠DOF＝72°． 48．（2024春•濮阳期末）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O． （1）若∠COE＝30°，则∠AOD＝ 　120　 °； （2）若∠COE＝60°，则∠AOD＝ 　150　 °； （3）猜想∠AOD和∠COE的关系是 　∠AOD﹣∠COE＝90°　 ，并证明关系式成立． 【分析】（1）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝60°，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出答案； （2）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝30°，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出答案； （3）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝90°﹣∠COE，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出∠AOD和∠COE的关系． 【解答】解：（1）∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∵∠COE＝30°， ∴∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝60°， ∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°； 故答案为：120°． （2）∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∵∠COE＝60°， ∴∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝30°， ∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝150°； 故答案为：150°． （3）∠AOD和∠COE的关系是∠AOD﹣∠COE＝90°，证明如下： ∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣∠COE， ∵直线AB、CD相交于点O， ∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣∠COE）＝90°+∠COE， ∴∠AOD﹣∠EOA＝90°． 故答案为：∠AOD﹣∠COE＝90°． 49．（2024春•平桥区期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11， （1）求∠COE； （2）若OF⊥OE，求∠COF． 【分析】（1）首先依据∠AOC：∠AOD＝7：11，∠AOC+∠AOD＝180°可求得∠AOC、∠AOD的度数，然后可求得∠BOD的度数，依据角平分线的定义可求得∠DOE的度数，最后可求得∠COE的度数； （2）先求得∠FOD的度数，然后依据邻补角的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD＝7：11，∠AOC+∠AOD＝180°， ∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°． ∴∠BOD＝70°． ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE＝35°， ∴∠COE＝180°﹣35°＝145°． （2）∵∠DOE＝35°，OF⊥OE， ∴∠FOD＝55°， ∴∠FOC＝180°﹣55°＝125°． 50．（2023秋•郸城县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出∠EOF的所有余角 　∠DOE，∠BOE　 ； （2）若∠EOF＝56°，求∠AOC的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠FOD＝90°，从而得∠EOF+∠EOD＝90°，再根据角平分线的定义可得∠BOE＝∠EOD，即可解答； （2）根据题意可得∠BOE＝34°，根据角平分线的定义可得∠BOD＝68°，最后利用对顶角相等即可解答． 【解答】解：（1）∵OF⊥CD， ∴∠FOD＝90°， ∴∠EOF+∠EOD＝90°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠EOD∠BOD， ∴∠EOF+∠BOE＝90°， ∴∠EOF的所有余角为：∠DOE，∠BOE， 故答案为：∠DOE，∠BOE； （2）∵∠FOD＝90°，∠EOF＝56°， ∴∠BOE＝∠FOD﹣∠EOF＝90°﹣56°＝34°， ∴∠BOD＝2∠BOE＝68°， ∴∠AOC＝∠BOD＝68°， ∴∠AOC的度数为68°． ( 题型0 4 ) 点到直线的距离 51．（2024秋•内乡县期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可． 【解答】解：如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l， ∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm， 故选：A． 52．（2024春•濮阳期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝6，PO＝5，PB＝5.5，OC＝4，则点P到直线1的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【分析】由点到直线的距离概念，即可选择． 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴点P到直线l的距离为垂线段PO的长度， 故选：C． 53．（2023秋•淅川县期末）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（　　） A．7m B．6m C．5.5m D．4m 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案． 【解答】解：∵PM＝7m，PN＝5m， ∴点P到直线MN的距离小于5cm． 故选：D． 54．（2024春•周口期末）如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 【分析】首先连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，由AB＝BC＝CD＝DA，即可判定四边形ABCD是菱形，由菱形的性质，可得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质，即可求得答案． 【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F， ∵村庄C到公路l1的距离为4千米， ∴CF＝4千米， ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， ∴CE＝CF＝4千米， 即C到公路l2的距离是4千米． 故选：B． 55．（2024春•驿城区校级期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答． 【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D， 故选：D． ( 题型0 5 ) 垂线段最短 56．（2024秋•社旗县期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【分析】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 57．（2023秋•汝阳县期末）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行线之间的距离处处相等 【分析】利用垂线段最短求解即可． 【解答】解：选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：B． 58．（2024春•内黄县期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短． 故选：A． 59．（2024春•新郑市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时：△ABC的面积•AB•PC•AC•BC， ∴5PC＝3×4， ∴PC＝2.4， 故选：C． 60．（2024春•开封期末）如图，点P1，P2，P3是小刚立定跳远测试中三次成绩的标记，则他最好的成绩是（　　） A．线段BP2的长度 B．线段BP1的长度 C．线段AP2的长度 D．线段AP3的长度 【分析】根据立定跳远测试的规则，利用垂线段最短找出三次跳远的成绩，比较即可． 【解答】解：根据题意得：P1B、P2A、P3A三条线段的长度分别为三次立定跳远的测试成绩， 且P1B＜P2A＜P3A， 则他最好的成绩是线段AP3的长度． 故选：D． 61．（2024春•开封期末）如图，在体育课上，李老师测量学生的跳远成绩的依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线段最短解答． 【解答】解：在体育课上，李老师测量学生的跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：A． 62．（2023秋•光山县期末）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【分析】根据线段的性质，可得答案． 【解答】解：由于两点之间线段最短， ∴把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小， 故选：C． 63．（2024秋•南阳期末）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，M是边AB上的一个动点，连接CM．若CD＝6，则线段CM的长的最小值是　6　 ． 【分析】根据垂线段最短可得结论． 【解答】解：∵CD⊥AB，且CD＝6， 由题意可得：当点M与点D重合时，CM最短， 所以，CM的最小值为CD的长． 故答案为：6． 64．（2023秋•卫辉市期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　垂线段最短　 ． 【分析】根据垂线段的性质解答即可． 【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短； 65．（2023秋•源汇区校级期末）如图，要从村庄P修一条连接公路l的最短的小道，应选择沿线段 　PC　 修建，理由是 　垂线段最短　 ． 【分析】从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：从直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，所以应选择沿PC修建． 故答案为：PC；垂线段最短． 66．（2024春•许昌期末）如图，要在河的两岸搭建一座桥，在PA，PB，PC三种搭建方式中，最短的是PB，其理由是　垂线段最短　 ． 【分析】根据垂线段的性质可得答案． 【解答】解：要在河的两岸搭建一座桥，在PA，PB，PC三种搭建方式中，最短的是PB，其理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 67．（2024春•确山县期末）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 　垂线段最短　 ． 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 68．（2024春•郾城区期末）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，并要求所挖的渠道最短．小明画线段PM，他的根据是　垂线段最短　 ． 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【解答】解：要把河中的水引到水池P处，小明画线段PM垂直河岸，使挖的水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 69．（2024春•二七区期末）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是 　垂线段最短　 ． 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可． 【解答】解：由点到直线的距离，垂线段最短可知，铺设垂直于排水渠的管道AB时，点A到PQ上任意一点（不与B重合）的距离都大于AB的长，即此时用料最节约， 故答案为：垂线段最短． 70．（2024春•济源期末）体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 　垂线段最短　 ． 【分析】利用垂线段的性质解答即可． 【解答】解：为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． ( 题型0 6 ) 同位角、内错角、同旁内角 71．（2024秋•新安县期末）如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案． 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意； B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意； C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意； D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意； 故选：C． 72．（2024春•新县期末）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可． 【解答】解：选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意； 选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意； 选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意； 选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意； 故选：C． 73．（2023秋•太康县期末）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题． 【解答】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意． B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意． C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意． D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意． 故选：D． 74．（2024春•北关区期末）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【解答】解：如图所示，两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则这个表示的是内错角． 故选：B． 75．（2023秋•邓州市期末）如图所示，∠1和∠2是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【分析】根据同旁内角的定义和图形，可以判断∠1和∠2的关系，本题得以解决． 【解答】解：由图可知， ∠1和∠2是同旁内角， 故选：C． 76．（2024春•平舆县期末）如图，∠ABC的一边和∠DEF的一边相交于一点，下列说法错误的是（　　） A．∠B和∠4是同位角 B．∠B和∠E是同位角 C．∠B和∠1是同旁内角 D．∠E和∠3是内错角 【分析】利用同位角以及内错角和同旁内角的定义分别分析得出即可． 【解答】解：A、∠B和∠4是同位角是正确的，不合题意； B、∠B和∠E不是同位角，符合题意； C、∠B和∠1是同旁内角，正确不合题意； D、∠E和∠3是内错角，正确不合题意． 故选：B． 77．（2024春•林州市期末）如图，与∠1是内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【分析】根据内错角的定义找出即可． 【解答】解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠5． 故选：D． 78．（2024春•滑县期末）下列四个选项中，∠1与∠2是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用内错角的定义判定选项． 【解答】解：根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 只有B符合条件． 故选：B． 79．（2024春•确山县期末）如图，直线a、b被c所截，下列说法中错误的是（　　） A．∠1的对顶角是47° B．∠1的内错角是47° C．∠1的同旁内角是133° D．∠1的同位角是47° 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的特征，对顶角，邻补角的意义逐一判断即可． 【解答】解：A．∠1的对顶角不是47°，故A符合题意； B．由题意得： 180°﹣133°＝47°， ∴∠1的内错角是47°， 故B不符合题意； C．根据对顶角相等，可得：∠1的同旁内角是133°，故C不符合题意； D．由题意得： 180°﹣133°＝47°， ∴∠1的同位角是47°， 故D不符合题意； 故选：A． 80．（2023秋•新安县期末）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【解答】解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 81．（2023秋•汝阳县期末）如图，图中标示的五个角中，与∠1是同位角的是 　∠5　 ． 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可得到答案． 【解答】解：与∠1是同位角的是∠5． 故答案为：∠5． 82．（2023秋•原阳县校级期末）如图，∠1和∠2是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，进而得出答案． 【解答】解：∠1和∠2是一对内错角， 故选：B． 83．（2024春•襄城县期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　78°　 ． 【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠2＝∠BCD，由∠1的度数求出∠BCD的度数，即可得到∠2的度数． 【解答】解：如图， 由题意得：AB∥CD， ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝102°， ∴∠BCD＝78°， ∴∠2＝78°． 故答案为：78°． 84．（2024秋•洛阳期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…10条直线两两相交最多能有（　　） A．28 B．36 C．45 D．55 【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n（n﹣1）． 【解答】解：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交有1+2＝3个交点； 4条直线相交有1+2+3＝6个交点； 5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点； …… n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）n（n﹣1）， ∴10条直线相交有45个交点； 故选：C． 85．（2024秋•沈丘县期末）已知∠A与∠B一边互相垂直，另一边互相平行，且∠A比∠B大30°，则∠A的度数为 　60°或150°　 ． 【分析】如图所示，根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：①如图所示，∠CPE＝∠A， 即OB∥PE，CP⊥OD， ∴∠B＝∠EPD，∠CPE+∠EPD＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵∠A比∠B大30°， ∴∠A+∠A﹣30°＝90°， ∴∠A＝60°． ②如图所示，∠CPE＝∠A， 即OB∥PE，CP⊥OD， ∴∠B＝∠EPD，∠CPD＝90°， ∴∠A＝∠EPD+90°＝∠B+90°， ∴∠A比∠B大90°（不符合题意）， 如图，BH∥AF，BG⊥AE，设∠A＝x．则∠ABH＝180°﹣x，∠GBH＝90°+180°﹣x＝1＝270°﹣x， ∵x﹣（270°﹣x）＝30°， ∴x＝150°． 故答案为：60°或150°． 86．（2023秋•中原区期末）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝　105　 度； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；（∠ABE＜180°） 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数．（∠ABE＜180°） 【分析】（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°； （2）画出图示，两种情况说明理由即可； （3）分两种情况①ED在AB右侧存在两种②ED在AB左侧存在两种，逐项解答即可． 【解答】解：（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105： （2）∠ABE＝15°或∠ABE＝165°，理由如下： 如图，∵BD⊥BC ∴∠CBD＝90° ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45° ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD ＝60°+45°﹣90° ＝15°； 如图，∵BD⊥BC ∴∠CBD＝90° ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45° ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD） ＝360°﹣（60°+45°+90°） ＝165°． （3） 当边BE在边AB右侧时如图3，设∠ABE＝x，则有2x＝x+60，解得x＝60°，或者x＝2（x﹣60）解得x＝120°， 当边BE在边AB左侧时如图2，设∠ABE＝x，则有x+2x＝60°，解得x＝20°，或者x＝2（60﹣x），解得x＝40°． 综上分析，∠ABE的度数为20°，40°，60°，120°． 87．（2023秋•太康县期末）下列说法中正确的个数是（　　） ①射线AB与射线BA是同一条射线；②若点B在点A的南偏东55°方向，则点A在点B的北偏西55°方向；③两条射线组成的图形叫做角；④两点之间直线最短；⑤若AB＝BC，则点B是AC的中点；⑥单项式与单项式的和一定是多项式；⑦零既不是正数，也不是非负数；⑧近似数5.7万精确到0.1；⑨直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别根据射线的定义、方向角的定义、角的定义、线段的性质、线段中点的定义、单项式的定义、正数和负数的定义、近似数的定义和垂线段的性质判断即可． 【解答】解：①射线AB与射线BA不是同一条射线，故错误； ②若点B在点A的南偏东55°方向，则点A在点B的北偏西55°方向，正确； ③有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误； ④两点之间线段最短，故错误； ⑤若点B在线段AC上，且AB＝BC，则点B是AC的中点，故错误； ⑥单项式与单项式的和不一定是多项式，故错误； ⑦零既不是正数，也不是负数，错误； ⑧近似数5.7万精确到0.1，错误； ⑨直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确． 所以正确的有2个． 故选：B． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线 题型概览 01 相交线 02 对顶角、邻补角 03 垂线 04 点到直线的距离 05垂线段最短 06 同位角、内错角、同旁内角 ( 题型01 ) 相交线 1．（2024秋•宛城区期末）当我们在教室中排课桌时，有时在最前和最后的课桌旁拉一根长绳，沿着长绳排列能使课桌排的更整齐，这样做的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．点动成线 D．两点确定一条直线 2．（2023秋•平顶山期末）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是（　　） A．点A在直线AC上 B．直线AB，BC，CA两两相交 C．点A是直线AB，AC的交点 D．直线BC经过点A 3．（2023秋•原阳县校级期末）平面上4条直线两两相交，交点的个数是（　　） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 ( 题型0 2 ) 对顶角、邻补角 4．（2023秋•淮阳区校级期末）如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•南召县期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　） A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 6．（2024秋•南阳期末）如图，这是一把剪刀的示意图，我们可以想象成是一个相交线模型．若∠AOB＝28°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．122° C．152° D．162° 7．（2024秋•南阳期末）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）．若∠1＝30°，光线传播方向改变了9°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．20° C．21° D．25° 8．（2024秋•安阳期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是（　　） A．35° B．55° C．70° D．110° 9．（2024春•虞城县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠3＝（　　） A．110° B．135° C．145° D．155° 10．（2024春•襄城县期末）如图为某品牌椅子的侧面图，DE与地面平行，若∠ACB＝48°，则∠DCE＝（　　） A．48° B．132° C．42° D．32° 11．（2023秋•桐柏县期末）如图，两条直线相交于一点，如果∠1+∠3＝60°，则∠2的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 12．（2023秋•南召县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，则推导出“∠AOD＝∠BOC”，下列依据中，最合理的是（　　） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 13．（2023秋•商水县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＝120°，则∠2+∠3＝（　　） A．60° B．100° C．120° D．180° 14．（2024春•济源期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠BOD＝35°，则∠BOE的度数为（　　） A．95° B．100° C．110° D．145° 15．（2024春•郾城区期末）如图，OA⊥OB，直线CD过点O，且，则∠AOD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 16．（2023秋•罗山县期末）如图所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 17．（2024秋•宛城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝79°30′，∠2＝30.5°，则∠AOE＝　 　 ． 18．（2023秋•扶沟县期末）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE＝　 　 ． 19．（2023秋•社旗县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 20．（2023秋•固始县期末）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是　 　 ，用它测量角的原理是　 　 ． 21．（2023秋•沈丘县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数． 22．（2023秋•新安县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC， （1）图中∠AOF的余角是　 　 （把符合条件的角都填出来）； （2）如果∠AOC＝160°，那么根据　 　 可得∠BOD＝　 　 度； （3）如果∠1＝32°，求∠2和∠3的度数． ( 题型0 3 ) 垂线 23．（2024春•新县期末）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 24．（2024秋•内乡县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（　　） A．43° B．137° C．57° D．47° 25．（2024秋•邓州市期末）下列选项中，过点P画直线l的垂线MN，用三角尺或量角器操作正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（2024春•郑州期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（　　） A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC 27．（2024春•文峰区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 28．（2024春•周口期末）如图是光的反射规律示意图，CO是入射光线，OD是反射光线，OE是法线，EO⊥AB，∠EOD反射角，∠COE＝∠EOD，若∠AOC＝2∠EOD，则入射角∠COE的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 29．（2024春•河南期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O．若∠EOD＝155°，则∠AOC的度数为（　　） A．.35° B．65° C．.55° D．25° 30．（2024春•新乡期末）如图，AB，CD，EF三条直线相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOC．若∠1＝11°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．34° C．35° D．45° 31．（2024春•荥阳市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O，若∠BOD＝3∠BOC，则∠AOD的度数为（　　） A．112.5° B．115° C．117.5° D．125° 32．（2023秋•浚县期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点O为端点的射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为（　　） A．30° B．150°或 30° C．150° D．以上都不正确 33．（2024秋•社旗县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为　 　 °． 34．（2024秋•西峡县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝　 　 ． 35．（2023秋•唐河县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠BOD＝70°，则∠CON的度数为　 　 ． 36．（2024春•管城区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠AOD＝122°，则∠EOC的度数为（　　） A．30° B．32° C．42° D．58° 37．（2024春•汝南县期末）如图，点O在直线AB上且OC⊥OD．若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为（　　） A．36° B．54° C．64° D．72° 38．（2024春•汝州市校级期末）已知∠A的两边与∠B的两边互相垂直，且∠A比∠B的两倍小60°，则∠A＝　 　 ． 39．（2024春•北关区期末）如图，∠1＝135°，AO⊥OB于点O，点C，O，D在一条直线上，则∠2＝　　 ． 40．（2024春•文峰区期末）如图，OC⊥AB交直线AB于点O，射线OD、OE在∠BOC内，OE平分∠BOD，其中∠COD＝32°． （1）求∠BOD的度数； （2）求∠AOE的度数． 41．（2023秋•桐柏县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足为O，∠BOD＝28°． （1）求∠AOM的度数； （2）若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数． 43．（2023秋•内乡县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 44．（2024春•郾城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若，求∠BOC的度数． 45．（2024春•固始县期末）如图，直线AB、CD交于点O，CO⊥OE，OF是∠AOD的平分线，OG是∠EOB的平分线，∠AOC＝44°． （1）求∠BOE的度数； （2）求∠FOG的度数． 46．（2024春•民权县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD （1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 　　 ，∠AOC的邻补角为 　 　 ； （2）若∠AOC：∠COE＝2；3，求∠AOF的度数． 47．（2024春•济源期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）填空：∠BOD 　　 ∠AOC（填“＞”“＝”“＜”），数学依据是 　 　 ． （2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数． 48．（2024春•濮阳期末）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O． （1）若∠COE＝30°，则∠AOD＝ 　　 °； （2）若∠COE＝60°，则∠AOD＝ 　 　 °； （3）猜想∠AOD和∠COE的关系是 　 　 ，并证明关系式成立． 49．（2024春•平桥区期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11， （1）求∠COE； （2）若OF⊥OE，求∠COF． 50．（2023秋•郸城县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出∠EOF的所有余角 　 ； （2）若∠EOF＝56°，求∠AOC的度数． ( 题型0 4 ) 点到直线的距离 51．（2024秋•内乡县期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 52．（2024春•濮阳期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝6，PO＝5，PB＝5.5，OC＝4，则点P到直线1的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．5.5 53．（2023秋•淅川县期末）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（　　） A．7m B．6m C．5.5m D．4m 54．（2024春•周口期末）如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 55．（2024春•驿城区校级期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 垂线段最短 56．（2024秋•社旗县期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 57．（2023秋•汝阳县期末）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行线之间的距离处处相等 58．（2024春•内黄县期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 59．（2024春•新郑市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 60．（2024春•开封期末）如图，点P1，P2，P3是小刚立定跳远测试中三次成绩的标记，则他最好的成绩是（　　） A．线段BP2的长度 B．线段BP1的长度 C．线段AP2的长度 D．线段AP3的长度 61．（2024春•开封期末）如图，在体育课上，李老师测量学生的跳远成绩的依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 62．（2023秋•光山县期末）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 63．（2024秋•南阳期末）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，M是边AB上的一个动点，连接CM．若CD＝6，则线段CM的长的最小值是　 　 ． 64．（2023秋•卫辉市期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　 ． 65． （2023秋•源汇区校级期末）如图，要从村庄P修一条连接公路l的最短的小道，应选择沿 线段 　　 修建，理由是 　 　 ． 66．（2024春•许昌期末）如图，要在河的两岸搭建一座桥，在PA，PB，PC三种搭建方式中，最短的是PB，其理由是　 　 ． 67．（2024春•确山县期末）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 　 　 ． 68．（2024春•郾城区期末）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，并要求所挖的渠道最短．小明画线段PM，他的根据是　 　 ． 69．（2024春•二七区期末）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是 　 ． 70．（2024春•济源期末）体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 　 　 ． ( 题型0 6 ) 同位角、内错角、同旁内角 71．（2024秋•新安县期末）如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 72．（2024春•新县期末）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 73．（2023秋•太康县期末）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 74．（2024春•北关区期末）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 75．（2023秋•邓州市期末）如图所示，∠1和∠2是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 76．（2024春•平舆县期末）如图，∠ABC的一边和∠DEF的一边相交于一点，下列说法错误的是（　　） A．∠B和∠4是同位角 B．∠B和∠E是同位角 C．∠B和∠1是同旁内角 D．∠E和∠3是内错角 77．（2024春•林州市期末）如图，与∠1是内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 78．（2024春•滑县期末）下列四个选项中，∠1与∠2是内错角的是（　　） A． B． C． D． 79．（2024春•确山县期末）如图，直线a、b被c所截，下列说法中错误的是（　　） A．∠1的对顶角是47° B．∠1的内错角是47° C．∠1的同旁内角是133° D．∠1的同位角是47° 80．（2023秋•新安县期末）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 81．（2023秋•汝阳县期末）如图，图中标示的五个角中，与∠1是同位角的是 　 　 ． 82．（2023秋•原阳县校级期末）如图，∠1和∠2是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 83．（2024春•襄城县期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　 　 ． 84．（2024秋•洛阳期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…10条直线两两相交最多能有（　　） A．28 B．36 C．45 D．55 85．（2024秋•沈丘县期末）已知∠A与∠B一边互相垂直，另一边互相平行，且∠A比∠B大30°，则∠A的度数为 　 　 ． 86．（2023秋•中原区期末）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝　　 度； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；（∠ABE＜180°） 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数．（∠ABE＜180°） 87．（2023秋•太康县期末）下列说法中正确的个数是（　　） ①射线AB与射线BA是同一条射线；②若点B在点A的南偏东55°方向，则点A在点B的北偏西55°方向；③两条射线组成的图形叫做角；④两点之间直线最短；⑤若AB＝BC，则点B是AC的中点；⑥单项式与单项式的和一定是多项式；⑦零既不是正数，也不是非负数；⑧近似数5.7万精确到0.1；⑨直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 学科网（北京）股份有限公司 $$