精品解析：广东省普宁市第二中学2024-2025学年八年级下学期第二次测评数学试题

2024-2025学年度第二学期第二次素质测评试仓 八年级数学试卷 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 若分式的值为0，则x的值为_______． 13. 如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是_______． 14. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 已知：如图，，，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，若点是的边上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为． （1）画出平移后的； （2）写出三个顶点、、的坐标． （3）求的面积． 20. 已知A为整式，计算结果为． （1）求整式A； （2）嘉嘉说：“因为，所以原式的计算结果不可能为．” 淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”． 请对淇淇的说法进行说理． 21. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解： （1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 23. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图，在和中，，，． 【初识图形】 （1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为． 【深度探析】 如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F． （2）的度数为，的度数为； （3）求证：点F为线段的中点． 【拓展探究】 （4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第二次素质测评试仓 八年级数学试卷 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．不是分式，故选项不符合题意； B．， 不是最简分式，故选项不符合题意； C．， 不是最简分式，故选项不符合题意； D．是最简分式，故本选项符合题意 故选：D． 2. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质． 运用不等式的基本性质“不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此判定即可． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项符合题意； C、若，则，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，理解并掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据定义进行判定即可求解． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意； 故选：D ． 5. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：A． 6. 不等式组的整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解个数即可． 【详解】解：解不等式组 解①式得：， 解②式得： ∴不等式组的解集为， ∴共有、0、1四个整数解． 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．熟知异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解答此题的关键． 【详解】解：A、左边右边，故本选项错误； B、左边右边，故本选项错误； C、左边右边，故本选项错误； D、左边右边，故本选项正确． 故选：D． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答． 【详解】根据题意作图如下： 则点的坐标为， 故选：A 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件无法判定，进而可对结论①进行判断；先根据角平分线的定义得，再根据为的高，，得到，，推出，可对结论②进行判断；由结论②可推出，然后根据平分，可对结论③进行判断；根据，得到点为的三条高的交点，可对结论④进行判断．此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 【详解】解：根据已知条件无法判定，则无法判定，结论①不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ，结论②正确； 由结论②正确得：， ， 平分， ，结论③正确； ，， 点为的三条高的交点， ，结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子等于0，且分母不等于0，求解后舍去使分母为零的解，即可得到的值． 【详解】解：由题意得：，且． 因式分解得． 解得或． 由得． 因此． 13. 如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是2， 故答案为：2． 14. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为________． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键． 根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ∵平移， ， ， 故答案为：56． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，； 由②得，， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集为 原不等式组的解为：． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分母有理数的计算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知：如图，，，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）用HL证明全等即可； （2）根据得到∠BAC=60°，从而证明△ABC为等边三角形，即可求出BC长. 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵， 在和中 ∴； （2）由（1）可知， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是对三角形全等的综合考查，熟练掌握全等三角形及等边三角形知识是解决本题的关键. 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，若点是的边上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为． （1）画出平移后的； （2）写出三个顶点、、的坐标． （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）11 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、求三角形的面积，利用平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据点平移后的对应点为，得出的平移方式，据此画出点、、，再顺次连接即可得出； （2）根据坐标系写出点、、的坐标即可； （3）利用割补法求的面积即可． 【小问1详解】 解：点平移后的对应点为， 的平移方式为向右5个单位长度，再向下3个单位长度， 如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 【小问3详解】 解：的面积． 20. 已知A为整式，计算结果为． （1）求整式A； （2）嘉嘉说：“因为，所以原式的计算结果不可能为．” 淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”． 请对淇淇的说法进行说理． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式有意义的条件． （1）利用分式的基本性质进行约分，建立等式求解整式A即可； （2）先求得使分式有意义的取值范围，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：要使分式有意义，且除式不为0， 且， 当时，原式的结果无意义； 当时，原式； 当时，原式； 又， 原式的计算结果无法取得、0和． 21. 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． 【小问2详解】 解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． 【小问3详解】 解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解： （1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：①48或；② 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法，等腰三角形的性质，勾股定理． 学以致用： （1）根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； 拓展延伸： ①根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可求解； ②同（1）的方法因式分解，进而得出，即可求解． 【详解】解：学以致用： （1） ． （2） 拓展延伸： ① 等腰的三边为或 ， ， 等腰的面积为48或． ② 且 ． 23. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图，在和中，，，． 【初识图形】 （1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为． 【深度探析】 如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F． （2）的度数为，的度数为； （3）求证：点F为线段的中点． 【拓展探究】 （4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4）能，或或． 【解析】 【分析】（1）连接，可求得，然后利用勾股定理求得，接着可证明，为等边三角形，从而求得； （2）先通过两直线平行内错角相等，得到，接着求得，，接着利用，那么有，接着利用求得答案； （3）延长相交于点，先利用两直线平行内错角相等，证明，从而推出，又因为，推出，结合，证明，从而得出结论； （4）由（1）时，，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，先证明为等边三角形，再证明，接着利用勾股定理求得答案． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∴在和中，，，，，， ， ， ， ， ，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴ ， 故答案为：； （3）证明：延长相交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为线段的中点； （4）由（1）和图可知，时，， 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示： 由题意可知，， ，， ∴； 在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，如图所示： ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，； 综上，或或． 【点睛】本题考查了含的直角三角板，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $