精品解析：2025年山西省中考模拟名校联考(三)数学试卷

2025年山西省中考名校联考（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，点A所表示的数的绝对值是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】|-3|=3， 故选：A． 【点睛】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答． 2. 中医药在世界传统医学中占据重要地位，具有广泛的国际影响力．下列中医药企业的标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A，不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形； C，能找到一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形； B，不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形； D，不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂的乘除计算，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的乘除，完全平方公式计算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，表示某透明圆柱体的截面，，两束单色光分别从，两点平行射入圆柱体，两束光线经圆柱体折射后相交于点．经测量，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过点作，则，，根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   故选：C ． 5. 中国电动汽车充电基础设施促进联盟对外发布的数据显示，截至2025年3月底全国充电基础设施累计达1374万台，同比增长，单月充电量达到亿度．数据亿度用科学记数法表示为（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿度度，   故选：B ． 6. 对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过二、四象限 B. 图象与坐标轴有两个交点 C. 图象经过点 D. 图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确； 正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误； ∵当时，， ∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作切线交的延长线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，连接，由切线的性质可得，又由圆内接四边形的性质得，即得，得到，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 山西素有中国“面食之乡”的美誉，其面食文化历史悠久，种类丰富．若某外地游客打算从以下四种面食中任意选择两种不同的面食作为当天午饭的主食，则正好选中猫耳朵和沾片子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列举法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别用表示猫耳朵，沾片子，剔尖面，刀削面，然后列举出选择两种的六种情况，其中选中猫耳朵和沾片子的结果只有一种，代入概率公式即可求解． 【详解】解：分别用表示猫耳朵，沾片子，剔尖面，刀削面， 从中任意选择两种的结果有：， ∴总共有六种情况，选中猫耳朵和沾片子的结果只有一种， ∴正好选中猫耳朵和沾片子的概率是：． 故选：C． 9. 物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（ ） A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数关系的实际应用，以及科学记数法的运算能力．根据题目中给出的光子能量与波长成分比例关系，确定比例系数后，代入新波长求解对应的能量． 【详解】根据反比例关系，则，代入紫光波长米，得焦耳， 故选：A． 10. 如图，在中，，，是边上的中线，以为直径的分别交，于点，，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．连接，求出相关线段长度，利用进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵，以为直径的分别交，于点，， ∴， 即三点共线， ∵，是边上的中线， ∴ ∴，垂直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故选：C 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点与点对称，，， ∴对称轴为直线， ∵点与点对称，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13. 在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， （米）， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，作垂线，先证明，，可得，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， 由作图可得：， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，，，，平分交于点，点为上一点，连接交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的值，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，根据角平分线的性质定理，可得，再证明，得出，代入数值解得，，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设，，，，，，与的解析式为， ，利用待定系数法求解与的解析式，再联立两式，解得，结合勾股定理可列，代入数值解一元二次方程可得，进而求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， ∵，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：，， 以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设， 设与的解析式为， ， 将，和，分别代入上式， 可得：和， 解得：，， ∴与的解析式分别为，， 联立两式：， 解得：， ∴，， ∴， 化简为：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质定理，平面直角坐标系，解一元二次方程，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算． 根据负指数幂的运算法则可得：，根据二次根式的运算法则可得：，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据分式的运算法则可得：原式，约去分子、分母的公因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． ． 17. 太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 【答案】此次最少购进20辆A品牌自行车 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，分别表示出A品牌自行车和B品牌自行车的利润，再根据总利润不低于29500元列出不等式求解即可． 【详解】解：设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆， 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最小值为20， 答：此次最少购进20辆A品牌自行车． 18. 每年的6月5日为“世界环境保护日”，今年中国环境日的主题为“美丽中国我先行”，主场活动将在重庆举办．为提升同学们的环保意识，某校开展了主题为“人人参与·创建绿色家园”的主题教育活动．组织七、八年级学生进行相关知识的竞赛，竞赛分为初赛、复赛、决赛三个环节．为了解七、八年级学生的初赛成绩，将随机抽取40名学生的成绩进行统计分析． 【数据收集】（1）小明设计了以下四种抽样调查方案： 方案1：在七、八年级的学生中各抽取学习较好的20名学生的成绩； 方案2：在七年级一班、八年级一班的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 方案3：在七、八年级男生中随机抽取40名学生的成绩； 方案4：在七、八年级的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 其中最合理的方案是__________． 【数据整理】小明按最合理的方案进行抽样，经过对成绩的整理，得到如下统计图． 【数据分析】 年级 平均分 中位数 方差 七年级 八年级 （2）填空：__________，__________，__________（填“>”“=”或“<”）； （3）请你对七、八年级的初赛成绩作出评价（从“平均数”，“中位数”或“方差”中的两个方面评价即可）． 【问题解决】（4）小明和小亮分别是七、八年级学生，其初赛成绩都是7分．若规定各年级前的选手可进入复赛，请判断小明和小亮是否能进入复赛，并说明理由． 【答案】（1）方案4； （2），，； （3）从平均分的角度看，七年级的平均分小于八年级的平均分，所以八年级的成绩好；从中位数的角度看，七年级的中位数小于八年级的中位数，所以八年级的成绩好；从方差的角度看，七年级的方差大于八年级的方差，所以八年级的成绩稳定． （4）小明能进入复赛，小亮不能进入复赛． 理由： 七年级的成绩的中位数为分，小明的成绩为7分，则小明的成绩高于七年级成绩的中位数， 所以小明能进入复赛； 八年级的成绩的中位数为分，小亮的成绩为7分，则小亮的成绩低于八年级成绩的中位数， 所以小亮不能进入复赛． 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，中位数，平均数等以及调查方式的合理性，熟知相关知识是解题的关键． （1）抽样调查要具有代表性和随机性，据此可得答案； （2）根据平均数和中位数的定义可得a、b的值，再分别计算出两个年级的方差即可得到答案； （3）根据（2）所求结合表格中的数据求解即可； （4）比较出两人的乘积是否大于其对应年级的中位数即可得到结论． 【详解】解：（1）∵抽取方法要具有随机性和代表性， ∴最合理的方案是方案4； （2）由题意得，， 把八年级20名学生的初赛成绩按照从低到高排列，中位数为第10名和第11名的成绩的平均数， ∵， ∴八年级的中位数为分，即； ， ， ∵， ∴； （3）略 （4）略 19. 建设宜居宜业和美乡村是全面推进乡村振兴的一项重大任务．太原市某乡村为提升村容村貌，计划修建一处小公园，需要栽植甲种花木2100棵，乙种花木1200棵．现计划安排26人同时种植这两种花木，已知每人每天能种植甲种花木30棵或乙种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两种花木，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】应安排14人种植甲种花木，安排12人种植乙种花木，才能确保同时完成各自的任务 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设安排人种植甲种花木，则安排人种植乙种花木，根据需要栽植甲种花木2100棵，乙种花木1200棵，每人每天能种植甲种花木30棵或乙种花木20棵，建立方程求解即可． 【详解】解：设安排人种植甲种花木，则安排人种植乙种花木， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：应安排14人种植甲种花木，安排12人种植乙种花木，才能确保同时完成各自的任务． 20. 研学实践：迎宾桥坐落于汾河公园最南端，是太原汾河上的第23座桥梁，设计主旨在欢迎各地来宾访问太原，设计主题为“龙腾云霄”．某校研学小组利用测量工具测量了迎宾桥的相关数据． 数据采集：如图，是桥面，点是最外端斜拉索在塔柱上的固定点，点A是最外端斜拉索在桥面上的固定点，用测角仪测得与桥面的夹角为，塔柱与桥面的夹角为，用皮尺测得塔柱底端到A的距离为米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点，A，，在同一水平线上．请根据上述数据，计算点到桥面的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 【答案】点到桥面的距离为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数建立方程求解点C到桥面的距离． 过点作，构建和． 在中，根据设米，得出米，在中，依据得到 ，结合米，建立方程 ．求解方程得出的值，进而求出，即点到桥面的距离． 【详解】过点作于点， ， 在中，，， 设米，则米， 在中，，， ， 米， 米， 米， ， 解得：， （米）， 答：点到桥面的距离为米． 21. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题： 题目：已知正方形，利用尺规作一个正方形，使点，，，分别在，，，边上． 勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1．作法如下：①作线段的垂直平分线分别交， 于点，；②作或或的垂直平分线分别交，于点，，连接，，，，则四边形是所求的正方形． 任务： （1）如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段垂直平分线作法依据的定理是________； （2）如图2，作线段的垂直平分线分别交，于点，；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，点是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （2） 如图，正方形即为所求． 或 （3） 如图，正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质和判定，正方形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据垂直平分线的判定定理，即可求解； （2）根据正方形的性质和判定，作出正方形，即可求解； （3）分别作，再顺次连接，即可求解． 【小问1详解】 解：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 故答案为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：根据第1 个图可得， ∴， ， ∴四个是全等的等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 根据第2个图可得，， 同理可得四个是全等的等腰直角三角形， 同上可得四边形是正方形． 【小问3详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴四个是全等的直角三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形． 22. 图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． （1）求门拱所在的抛物线表达式； （2）如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度； （3）为迎校庆，拟在抛物线型的门拱上悬挂相同尺寸的彩旗．彩旗悬挂点到彩旗底部的距离为1米，彩旗宽为米，悬挂方式如图3所示，为了安全，彩旗底部距离地面不小于2米，为了实效，相邻两面彩旗悬挂点的水平间距均为米；为了美观，要求在符合条件处都挂上彩旗，且挂满后成轴对称分布．则符合所有悬挂条件的彩旗数量可以是__________面．（参考数据：） 【答案】（1） （2）悬挂标语框时脚手架的高度最低为 （3）10或11 【解析】 【分析】本题主要考查了 二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）求出，则，再由题意可得，据此把解析式设为交点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得挂标语框的位置与原点的距离为米，那么只需要把代入解析式中求出的值即可得到答案； （3）由于彩旗自身高度为1米，且离底面的最低距离为2米，故彩旗的顶部离底面的最小距离为3米，据此求出时，x的值；再分两种情况，第一种情况，在点P左边，与点P距离为米处的位置，挂第一面彩旗，根据求得的x的值，可确定左边可以挂的彩旗数量，根据对称性可求出右边挂的数量；第二种情况，在点P处挂一面彩旗，再分别求出点P左边和右边可以挂的数量即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且． ∴， 设抛物线解析式为， 把代入到中，得，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， 在中，当时，， ∵， ∴悬挂标语框时脚手架的最低高度为； 【小问3详解】 解：在中，当时，解得， 当在点P左边，离点P的距离为米时开始悬挂彩旗时， ∵， ∴在点P左边一共可以挂5面彩旗， 由对称性可知，此时在点P右边一共可以挂5面彩旗， ∴此时一共可以挂面彩旗； 当从点P处开始悬挂彩旗时， ∵， ∴此时在点P的左边和点P的右边都可以挂5面彩旗， ∴此时一共可以挂面彩旗； 综上所述，一共可以挂10面或11面彩旗． 23. 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点恰好共线．点，在点异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点．如图2，判断，的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，当时，连接，．如图3，判断四边形的形状并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点，，分别与点，，重合，保持不动，将绕点按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为__________． 【答案】（1），理由见解析；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）2或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，得出由，得到，即可求解； （2）先得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）分两种情况：当经过点时，当所在直线经过点时，分别求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是矩形，理由如下： 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 当所在直线经过点时，如图： ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省中考名校联考（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，点A所表示的数的绝对值是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 2. 中医药在世界传统医学中占据重要地位，具有广泛的国际影响力．下列中医药企业的标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，表示某透明圆柱体的截面，，两束单色光分别从，两点平行射入圆柱体，两束光线经圆柱体折射后相交于点．经测量，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 中国电动汽车充电基础设施促进联盟对外发布的数据显示，截至2025年3月底全国充电基础设施累计达1374万台，同比增长，单月充电量达到亿度．数据亿度用科学记数法表示为（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 6. 对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过二、四象限 B. 图象与坐标轴有两个交点 C. 图象经过点 D. 图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 7. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作切线交的延长线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 山西素有中国“面食之乡”的美誉，其面食文化历史悠久，种类丰富．若某外地游客打算从以下四种面食中任意选择两种不同的面食作为当天午饭的主食，则正好选中猫耳朵和沾片子的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（ ） A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 10. 如图，在中，，，是边上的中线，以为直径的分别交，于点，，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 12. 剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 13. 在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为______米． 14. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________． 15. 如图，在中，，，，平分交于点，点为上一点，连接交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：； （2）化简：． 17. 太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 18. 每年的6月5日为“世界环境保护日”，今年中国环境日的主题为“美丽中国我先行”，主场活动将在重庆举办．为提升同学们的环保意识，某校开展了主题为“人人参与·创建绿色家园”的主题教育活动．组织七、八年级学生进行相关知识的竞赛，竞赛分为初赛、复赛、决赛三个环节．为了解七、八年级学生的初赛成绩，将随机抽取40名学生的成绩进行统计分析． 【数据收集】（1）小明设计了以下四种抽样调查方案： 方案1：在七、八年级的学生中各抽取学习较好的20名学生的成绩； 方案2：在七年级一班、八年级一班的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 方案3：在七、八年级男生中随机抽取40名学生的成绩； 方案4：在七、八年级的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 其中最合理的方案是__________． 【数据整理】小明按最合理的方案进行抽样，经过对成绩的整理，得到如下统计图． 【数据分析】 年级 平均分 中位数 方差 七年级 八年级 （2）填空：__________，__________，__________（填“>”“=”或“<”）； （3）请你对七、八年级的初赛成绩作出评价（从“平均数”，“中位数”或“方差”中的两个方面评价即可）． 【问题解决】（4）小明和小亮分别是七、八年级学生，其初赛成绩都是7分．若规定各年级前的选手可进入复赛，请判断小明和小亮是否能进入复赛，并说明理由． 19. 建设宜居宜业和美乡村是全面推进乡村振兴的一项重大任务．太原市某乡村为提升村容村貌，计划修建一处小公园，需要栽植甲种花木2100棵，乙种花木1200棵．现计划安排26人同时种植这两种花木，已知每人每天能种植甲种花木30棵或乙种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两种花木，才能确保同时完成各自的任务？ 20. 研学实践：迎宾桥坐落于汾河公园最南端，是太原汾河上的第23座桥梁，设计主旨在欢迎各地来宾访问太原，设计主题为“龙腾云霄”．某校研学小组利用测量工具测量了迎宾桥的相关数据． 数据采集：如图，是桥面，点是最外端斜拉索在塔柱上的固定点，点A是最外端斜拉索在桥面上的固定点，用测角仪测得与桥面的夹角为，塔柱与桥面的夹角为，用皮尺测得塔柱底端到A的距离为米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点，A，，在同一水平线上．请根据上述数据，计算点到桥面的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 21. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题： 题目：已知正方形，利用尺规作一个正方形，使点，，，分别在，，，边上． 勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1．作法如下：①作线段的垂直平分线分别交， 于点，；②作或或的垂直平分线分别交，于点，，连接，，，，则四边形是所求的正方形． 任务： （1）如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段垂直平分线作法依据的定理是________； （2）如图2，作线段的垂直平分线分别交，于点，；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，点是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． （1）求门拱所在的抛物线表达式； （2）如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度； （3）为迎校庆，拟在抛物线型的门拱上悬挂相同尺寸的彩旗．彩旗悬挂点到彩旗底部的距离为1米，彩旗宽为米，悬挂方式如图3所示，为了安全，彩旗底部距离地面不小于2米，为了实效，相邻两面彩旗悬挂点的水平间距均为米；为了美观，要求在符合条件处都挂上彩旗，且挂满后成轴对称分布．则符合所有悬挂条件的彩旗数量可以是__________面．（参考数据：） 23. 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点恰好共线．点，在点异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点．如图2，判断，的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，当时，连接，．如图3，判断四边形的形状并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点，，分别与点，，重合，保持不动，将绕点按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $