精品解析：黑龙江省绥化市第八中学校2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题

初四年级数学期中测试题 考生注意 1．考试时间120分钟，共三道大题，28个小题，总分120分． 2．所有答案都必须写在答题卡相对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的有（ ）个 ①在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等；②反比例函数，随着的增大而减小；③无限小数就是无理数；④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②，根据相关信息，下列说法不正确的是（ ） A. 本次接受抽样调查的学生一共有40名 B. 图①中的值为10 C. 这组数据的众数是18 D. 这组数据的中位数是2项 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，的面积与面积和为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 10. 如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为（ ） A. B. C. D. 2 12. 如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③ D. ①③⑤ 二、填空题（每空3分，共30分） 13. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为______． 14. 分解因式：________ 15. 当时，______． 16. 已知、是方程的两个实根，则的值是_________． 17. 在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个球大小形状质地等完全相同，从袋中摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是__________． 18. 在平面直角坐标系中，点、点，为坐标原点，以点为位似中心，按相似比把放大，则点的对应点的坐标为__________． 19. 如图，在中，是的中点，以为直径的与，分别交于点，，连接，，平分，，则阴影部分的面积为_________． 20. 如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________． 22. 如图，在边长为2的正方形中，对角线，相交于点O，若点E为的中点，F为直线上的动点（不与点D重合），当为以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（共54分） 23. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 24. 如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知点A的高度AB为，台阶的坡度为，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树的高度．（测倾器的高度忽略不计） 25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金400元，B型车每辆租金500元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客340人；2辆A型和5辆B型车坐满后共载客380人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用A型和B型两种客车共8辆，总租金不高于3900元，并将全校400人载至目的地，该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地，如图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象，根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距25千米． 26. 如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在点C运动过程中，当时，求的值． 27. 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接． 推理证明： （）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程； 探究问题： （）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明； 拓展思考： （）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________． 图① 图② 图③ 28. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，设为抛物线对称轴上一点，试问抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四年级数学期中测试题 考生注意 1．考试时间120分钟，共三道大题，28个小题，总分120分． 2．所有答案都必须写在答题卡相对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键． 根据主视图和左视图分析即可解答． 【详解】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成， ∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体， ∴搭建该几何体最少需要的小正方体的个数为4． 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式除法，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据单项式除法，同底数幂的除法，积的乘方，平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A．，选项计算正确，符合题意； B．，选项计算错误，不符合题意； C．，选项计算错误，不符合题意； D．，选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、零次幂有意义的条件等知识点，掌握二次根式以及零次幂有题意的条件是解题的关键． 根据被开方数大于或等于0且分母不等于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：且． 故选C． 5. 将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】如图所示 由题意得∵ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 6. 下列命题中，真命题的有（ ）个 ①在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等；②反比例函数，随着的增大而减小；③无限小数就是无理数；④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，根据圆周角定理、反比例函数的性质、无理数的定义、正比例函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故①不符合题意； ②反比例函数，经过一、三象限，在每个象限内随着的增大而减小，故②不符合题意； ③无限循环小数属于有理数，故③不符合题意； ④过原点的一条直线可能是正比例函数的图象，可也能是轴或轴，故④不符合题意； ⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故⑤不符合题意； 综上，符合题意的有个， 故选：A． 7. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②，根据相关信息，下列说法不正确的是（ ） A. 本次接受抽样调查的学生一共有40名 B. 图①中的值为10 C. 这组数据的众数是18 D. 这组数据的中位数是2项 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数和众数，用2项的人数除以其人数占比可以求出参与调查的人数，据此可判断A；用4项的人数除以参与调查的人数可求出m的值，据此可判断B；根据中位数和众数的定义可判断C、D． 【详解】解：A、本次接受抽样调查的学生一共有名，故A说法正确，不符合题意； B、，则，故B说法正确，不符合题意； C、由于项数为2的人数最多，故这组数据的众数是2项，故C说法错误，符合题意； D、把这40名学生参加的活动项数按照从低到高排列，处在第20名和第21名的项数都是2项，故中位数为项，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 9. 如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，的面积与面积和为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解决本题的关键是求出，的长．先求出点，的坐标，再根据轴，确定点，点的坐标，求出，，最后根据的面积与面积和为，即可解答． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2， 点的坐标为，点的坐标为， ∵轴， 点，的横坐标分别为1，2， 点，在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ∵的面积与面积和为， ， 解得：． 故选：A． 10. 如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，求正切值；掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 由题意可知，，，由证即，设，则，，在中运用勾股定理解得，在中代入可求解． 【详解】解：由题意可知：，，，， ， ， ， ， 设， 则，， 在中， ， ， 解得：， 在中，； 故答案为：C． 11. 如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形性质和函数图象、勾股定理，通过分析图象，点从点A到D用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知时，点与点重合，应用两次勾股定理分别求和a的值即可． 【详解】解：过点作于点， 当点在上运动时，的高始终与长度相等， 根据题图可得，， 当时，点在上运动， ， ， 当点在上运动时，的面积与成一次函数关系， 当时，点与点重合， ∴ ， ， ， 在中，，即 ， 解得， 故选：C 12. 如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③ D. ①③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得，即得，即可判断①；由正方形的性质得，即得，进而可得，即可判断③；先证明，可得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，即可判断②④；证明，可得，在等腰直角三角形中，平分交于点E，过点E作于点Q，则，求出，即可判断⑤，综上即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形为正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 如图，在等腰直角三角形中，平分交于点E，过点E作于点Q，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，灵活运用这些知识是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共30分） 13. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数字22150000用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 15. 当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，根据特殊角的三角函数值进行计算得出，进而根据分式的混合运算化简代数式，最后将代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故答案为：． 16. 已知、是方程的两个实根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个球大小形状质地等完全相同，从袋中摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是__________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】本题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先列表，共有20种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 第二次 第一次 红1 红2 白1 黄1 黄2 红1 —— 红1红2 红1白1 红1黄1 红1黄2 红2 红2红1 —— 红2白1 红2黄1 红2黄2 白1 白1红1 白1红2 —— 白1黄1 白1黄2 黄1 黄1红1 黄1红2 黄1白1 —— 黄1黄2 黄2 黄2红1 黄2红2 黄2白1 黄2黄1 —— 从表格可以看出所有可能的结果共有20种，符合两红的结果有2种，所以两次取出的小球的颜色为红球的概率为． 故答案为： 18. 在平面直角坐标系中，点、点，为坐标原点，以点为位似中心，按相似比把放大，则点的对应点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把放大，点的对应点的坐标为或，即点的坐标为或， 故答案为：或． 19. 如图，在中，是的中点，以为直径的与，分别交于点，，连接，，平分，，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，三角形中位线有关的求解问题，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即点是的中点， 又， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵的面积为 12 ， ， ， ∵垂直平分， ， ∵为直线上一动点， ， ， ， ∴周长的最小值为8． 故答案为：8． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可． 【详解】解：设第n次跳动至点， 由图知，、、、、、、、、…， ∴可得：点的变化规律为，，，， ∵2022=4×505+2， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律，根据部分点的坐标找到规律是解题关键，属于中考常考题型． 22. 如图，在边长为2的正方形中，对角线，相交于点O，若点E为的中点，F为直线上的动点（不与点D重合），当为以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形综合，分情况讨论思想，建立直角坐标系利用两点间距离公式是解题的关键．先建立以B为坐标原点的平面直角坐标系，求出直线表达式，分两种情况：或讨论求解即可． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则， 设直线的解析式为：， 将点代入，得， 直线的解析式为：， 设的坐标为， 分情况讨论：情况一： ，则， 解得，（舍去，与D重合）或， ， ， 情况二：， ，则 解得，， 当时，如图，， 当时，如图， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（共54分） 23. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为或． 【解析】 【分析】本题考查了作图——过圆外一点作圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点；以点为圆心，长为半径作，与的交点为、，则、即为所求作切线； （2）连接、，由圆内接四边形对角互补，得到，再根据点的位置分两种情况求解，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，连接、， 四边形内接于，， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 综上可知，的度数为或． 24. 如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知点A的高度AB为，台阶的坡度为，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树的高度．（测倾器的高度忽略不计） 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键． 由于，则四边形为矩形，设，在中，，在中，得到，求出，在中，求出，由即可求出x的长． 【详解】解：如图，过点A作交于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，在中，， 在中， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵． ∴， 解得． 答：树的高度为6米． 25. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金400元，B型车每辆租金500元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客340人；2辆A型和5辆B型车坐满后共载客380人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用A型和B型两种客车共8辆，总租金不高于3900元，并将全校400人载至目的地，该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地，如图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象，根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距25千米． 【答案】（1）每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱 （3）在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． （1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而分当时，当时两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得 解得 答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 【小问2详解】 设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得 解得： 取正整数， ，，， 共有种租车方案 设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 【小问3详解】 设， 由题意可知，甲车的函数图像经过；； ∴ 解得， ∴, 乙车的函数图象经过，两点． 设当时，． ∴ 解得 ∴ 当时，， ∴， 解得 当时，， ∴ 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 26. 如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在点C运动过程中，当时，求的值． 【答案】（1）证明：∵AB⊥MN， ∴∠APM=90°， ∴∠D+∠DMP=90°， 又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°， ∴∠DMP+∠CAM=90°， ∴∠CAM=∠D， ∵∠CMA=∠ABC， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似； （2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可； （3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接OC， ∵， ∴MN是直径， ∵， ∴OM=ON=OC=5， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴OC⊥MN， ∴∠COE=90°， ∵AB⊥MN， ∴∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠COE， 又∵∠BEP=∠CEO， ∴ ∴， 即 由， ∴， ∴， ， ∴． 【小问3详解】 过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°， ∴∠CMG+∠GCM=90°， ∵MN是直径， ∴∠MCN=90°， ∴∠CNM+∠DMP=90°， ∵∠D+∠DMP=90°， ∴∠D=∠CNM=∠GCM， ∵， ∴， ∵ ∴设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP， ∴， ∴， 即 ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题． 27. 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接． 推理证明： （）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程； 探究问题： （）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明； 拓展思考： （）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________． 图① 图② 图③ 【答案】 （）证明：连接，交于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）图②中，；图③中，；（）或 【解析】 【分析】（）连接，交于，可证，得到，即得，由可得，即可求证； （）如图②，连接，同理（）可证，得，即得，由可得即可求解；如图③，连接，同理可求解； （）由已知可得点在线段上，再根据图①和图②解答即可求解． 【详解】（）略 （）如图②，，理由如下： 连接， 同理（）可证， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图③，，理由如下： 连接， 同理（）可证， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴点在线段上， 如图①，当点在菱形内部或边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在菱形外部时，如图②， 同理可得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，设为抛物线对称轴上一点，试问抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）设，抛物线上点，根据为边或对角线分情况讨论，再利用平行四边形得到平移和对角线互相平分求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 将点B、C代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图2， 令， 解得，， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵点D在直线上方抛物线上， ∴， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：抛物线对称轴为直线，设，抛物线上点， 由（2）可得，， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为边时，，，即平移得到或， ∵向左移动2个单位长度，再向上移动6个单位长度得到点， ∴向左移动2个单位长度，再向上移动6个单位长度得到点，则，解得，此时； 或向左移动2个单位长度，再向上移动6个单位长度得到点，则，解得，此时； 当为对角线时，对角线与互相平分， ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得，此时； 综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $