精品解析：2025年河南省安阳市安阳县五校密考二模数学试题

2025年河南省中招考试模拟冲刺卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年两会期间，国家卫健委主任雷海潮宜布持续推动为期三年的体重管理行动计划，全民健身热潮兴起，运动备受欢迎．下列运动的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.   3. 4月12日，河南多地发布大风红色预警、黄色预警，全省大部分地区出现8到10级阵风，部分县市11到13级．12级风的风速约为每小时，在陆地上，这样的大风极其罕见，一旦出现，会带来巨大的破坏，能将大树连根拔起，还可能摧毁庄稼和建筑．其中数据“126000”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 月球车工作时所需电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是两个小组某项实验成绩统计图，每个小组有15人，若记小组成绩的方差为小组成绩的方差为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 7. 如图，在菱形中，是对角线的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ） A. 28 B. 14 C. 7 D. 8. 将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 10. 如图，点在上，从点出发向原点运动，已知点，以为斜边向右作等腰直角三角形，与轴交于点，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，用不等式表示该零件长度（单位：）合格尺寸范围为__________． 12. 亮亮购买了电影《哪吒之魔童闹海》中“哪吒”“敖丙”“太乙真人”和“申公豹”四张人物卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），明明从中随机抽取一张，放回后打乱顺序，亮亮也随机抽取一张，则他们抽到两张卡片恰好是“哪吒”和“太乙真人”的概率是___________． 13. 如图，点都在正方形网格的格点上，连接，则的正切值为______． 14. 如图，在中，是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆弧，交，于两点，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留） 15. 如图，在等边三角形中，是边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为2，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 国家安全是民族复兴的根基．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为此，某校组织了一次以“一起成为国家安全最坚定的捍卫者”为主题的书画作品征集活动．征集活动结束后，校团委随机抽取了本校20个班级，统计这些班级征集到的作品数量，并将统计结果绘制成如下统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的众数为___________件，中位数为___________件； （2）请计算这20个班级本次征集到的作品的平均数量； （3）若该校共有45个班级，请你估计本次活动征集到的作品总数量． 18. 户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备，适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合．如图1是一款户外天幕实物图，其截面示意图（如图2）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，通过调整拉绳可控制天幕的开合．幕布宽于点，如果调整拉绳将减少，那么点下降了多少米？（结果精确到．参考数据：，，） 19. 某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： （1）请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） （2）过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 20. 19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． （1）你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） （2）由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 21. 把一个直立的火柴盒放倒（如图），通过用不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．用分别表示和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）当时，求证：关于的“勾氏方程”必有两个不相等的实数根； （2）如图，的半径为，是位于圆心异侧的两条平行弦．作于点，作的延长线交于，，，，为过上点的切线，与的延长线交于点． ①连接，若关于的方程是“勾氏方程”，求证：； ②直接写出的长．（用含的代数式表示） 22. 如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象； （3）若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围． 23. 【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省中招考试模拟冲刺卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的分类，化简多重符号和计算绝对值，先化简多重符号和计算绝对值，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：是正数，，是正数，，是负数，是正数， ∴四个数中，只有是负数， 故选：C． 2. 2025年两会期间，国家卫健委主任雷海潮宜布持续推动为期三年的体重管理行动计划，全民健身热潮兴起，运动备受欢迎．下列运动的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 4月12日，河南多地发布大风红色预警、黄色预警，全省大部分地区出现8到10级阵风，部分县市11到13级．12级风的风速约为每小时，在陆地上，这样的大风极其罕见，一旦出现，会带来巨大的破坏，能将大树连根拔起，还可能摧毁庄稼和建筑．其中数据“126000”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，关键在于正确确定的范围和指数的大小。科学记数法通过调整小数点位置将原数表示为，其中必须介于1和10之间，指数等于小数点移动的位数．首先确定科学记数法的定义和要求，即数字表示为的形式，其中，然后将126000转换为符合该形式的表达式即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 5. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图是两个小组某项实验成绩的统计图，每个小组有15人，若记小组成绩的方差为小组成绩的方差为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小解答即可． 【详解】解：∵A组的数据分布在之间，B组的数据大概分布在之间， ∴与B组数据相比，A组数据的离散程度更小， ∴， 故选：A． 7. 如图，在菱形中，是对角线的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ） A. 28 B. 14 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据中位线可得长为长的倍，那么菱形的周长，问题得解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长是， 故选：A． 8. 将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原二次函数解析式化为顶点式得到原二次函数的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前的二次函数的顶点坐标为， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为，即， 故选：B． 9. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 10. 如图，点在上，从点出发向原点运动，已知点，以为斜边向右作等腰直角三角形，与轴交于点，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质．作轴，轴，垂足分别为，，证明，推出四边形是正方形，设，则，再证明，得到，即，据此求解即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为，， 是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或， 或， 点的坐标是或， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，用不等式表示该零件长度（单位：）的合格尺寸范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围． 【详解】解：由题意可知，， ， 即， 故答案为：． 12. 亮亮购买了电影《哪吒之魔童闹海》中“哪吒”“敖丙”“太乙真人”和“申公豹”四张人物卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），明明从中随机抽取一张，放回后打乱顺序，亮亮也随机抽取一张，则他们抽到的两张卡片恰好是“哪吒”和“太乙真人”的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率．熟练掌握画出树状图或列表是解题关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“哪吒”，“敖丙”，“太乙真人”，“申公豹”四张纪念卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的结果有：，，共种， 他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率为． 故答案为：． 13. 如图，点都在正方形网格的格点上，连接，则的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，进而根据正切的定义计算即可求解，得出为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， 由勾股定理得，，，， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆弧，交，于两点，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，三角形内角和定理，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．根据题意得到，根据三角形内角和定理得到，再根据题意可得阴影部分面积等于一个圆心角度数为，半径为2的扇形面积，据此根据扇形面积计算公式计算即可得到答案． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在等边三角形中，是边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为2，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，最后在中，，当、、共线时取等号，即可得到，求出的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∵在等边三角形中，若， ∴， ∵是边的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，，当、、共线时取等号， ∴， ∴最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，因式分解，解题的关键是掌握相关知识． （1）先化简三角函数值，零指数幂和绝对值，再计算加减即可； （2）先根据多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项，最后利用提公因式法和完全平方公式法因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 国家安全是民族复兴的根基．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为此，某校组织了一次以“一起成为国家安全最坚定的捍卫者”为主题的书画作品征集活动．征集活动结束后，校团委随机抽取了本校20个班级，统计这些班级征集到的作品数量，并将统计结果绘制成如下统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的众数为___________件，中位数为___________件； （2）请计算这20个班级本次征集到的作品的平均数量； （3）若该校共有45个班级，请你估计本次活动征集到的作品总数量． 【答案】（1）7，7 （2）这20个班级本次征集到的作品的平均数量为7.2件 （3）本次活动征集到的作品总数量约为324件 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、平均数、用样本估计总体，能正确从条形统计图中获取有用信息是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义即可求解； （2）根据平均数公式计算即可； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：所抽取班级征集到作品数量的众数为7件， 中位数为件， 故答案为：7，7； 【小问2详解】 解：（件）， ∴这20个班级本次征集到的作品的平均数量为7.2件； 【小问3详解】 解：（件）， ∴估计本次征集到作品总数量为324件． 18. 户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备，适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合．如图1是一款户外天幕实物图，其截面示意图（如图2）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，通过调整拉绳可控制天幕的开合．幕布宽于点，如果调整拉绳将减少，那么点下降了多少米？（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】点下降了约 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，没有调整前，调整后，据此分别在调整前后解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 当时， 在中，， 将减少后，则 当时，在中，， ， ， 即点下降了约． 19. 某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： （1）请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） （2）过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】（1），； （2）长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． 【小问2详解】 ， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 20. 19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． （1）你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） （2）由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】（1）滑动变阻器的最大电阻为 （2）学校购买这批仪器至少要花396元 【解析】 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【小问1详解】 解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． 【小问2详解】 解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 21. 把一个直立的火柴盒放倒（如图），通过用不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．用分别表示和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）当时，求证：关于的“勾氏方程”必有两个不相等的实数根； （2）如图，的半径为，是位于圆心异侧的两条平行弦．作于点，作的延长线交于，，，，为过上点的切线，与的延长线交于点． ①连接，若关于的方程是“勾氏方程”，求证：； ②直接写出的长．（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②的长为 【解析】 【分析】（）由“勾氏方程”的定义得，进而得，即可求证； （）①连接，由平行线的性质可得，进而由垂径定理得，，由“勾氏方程”的定义得，由勾股定理可得，即得，同理可得，即可证，即得，即得到，可得，根据圆周角定理得，进而由平行线的性质即可求证；②连接，延长交的延长线于点，可证，可得，即得，又由得，即得到，进而得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：关于的方程是“勾氏方程”， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当时，关于的“勾氏方程”必有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ①连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连接，延长交的延长线于点， ∵为过上点的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程根的判别式，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象； （3）若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查二次函数的应用、函数的图象和性质等知识，准确求出函数解析式是关键． （1）分和两种情况求出函数解析式即可； （2）根据列表描点连线画出函数图象即可； （3）求出时的自变量的值，根据图象写出答案即可． 【小问1详解】 解：当时，如图，过点P作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，过点P作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 根据（1）中的解析式列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 0 描点连线如下， 【小问3详解】 把代入得到，， 解得或（不合题意，舍去） 把代入得到，， 解得或（不合题意，舍去） ∴ 由图象可知，当时，的取值范围． 23. 【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 【答案】（1）2；（2）点到距离不变，仍是2，见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，由全等三角形的性质得出，由三线合一的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）将顺时针旋转至的位置，由旋转的性质和正方形的性质证明，由全等三角形的性质即可得出答案． （3）由正方形的性质进一步证明，由相似三角形的性质得出，再根据情况分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， 即点到的距离是2． （2）点到的距离不变，仍是2． 理由如下： 如图，将顺时针旋转至的位置． ． ， ． ． ， ． 点到的距离为2， 点到的距离为2． （3）四边形是正方形，边长为2， ，． ， ． ． ． ． 由题意可知点是边的三等分点． 当时，； 当时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$