精品解析：2025年吉林省吉林市中考二模数学试题

吉林市2024－2025学年度初中毕业年级第二次阶段性教学质量检测 数学 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列实数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，知道正数大于0，0大于负数；两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：∵正数和0都大于负数， 可见C、D选项错误； ∵， ∴， ∴最小， 故选：B． 2. 东风是中国最新一代的洲际战略导弹（），公开资料显示，其最大速度可达马赫，约公里/小时，按此速度从北京飞抵纽约约分钟．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵x+1≥2 ∴x≥1 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 4. 中午1点，身高为的小雪的影长为，同学小冰此时在同一地点的影长为，那么小冰的身高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度．设小冰的身高为，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到，然后根据比例性质求x即可．通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 【详解】解∶设小冰的身高为， 根据题意得， 解得． 所以小冰的身高为． 故选A． 5. 在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论. 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴， ∴， ∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上， 故选：B． 6. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（单位：），的阻值随呼气酒精浓度（单位：）的变化而变化如图1，血液酒精浓度（单位：）与呼气酒精浓度的关系见图2．下列说法错误的是（ ） A. 呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值为100 C. 当时，该驾驶员为醉驾状态 D. 当时，该驾驶员为非酒驾状态 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是通过图象准确获取信息． 通过函数图象获取信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项说法正确，故不符合题意； B. 该选项说法正确，故不符合题意； C. 当时，，,所以该驾驶员为醉驾状态，该选项说法正确，故不符合题意； D. 当时，,所以该驾驶员为酒驾状态，该选项说法错误，故符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 8. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得m=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 9. 某停车场为小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为___________元．（用含有的代数式表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分段收费问题，正确理解分段收费的意义是解题的关键．先计算停车的时间的取值范围，后根据收费标准，列代数式即可． 【详解】解：根据题意，某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日的间离场， 停车时长的范围是（小时），（小时）， 停了小时，超过了3小时， 故收费为元， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“纵横比”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行．下列说法正确的序号是______． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设点的坐标为，矩形的长为，宽为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，把四个点的“纵横比”用含字母的代数式表示出来，进行比较即可． 【详解】解：设点的坐标为，矩形的长为，宽为， 则有，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的“纵横比”是，点的“纵横比”是，点的“纵横比”是，点的“纵横比”是， ，，，， ，，， “纵横比”最小的是点，“纵横比”最大的是点， 说法正确的序号是． 故答案为：． 11. 吉林市某中学数学作业：如图，在中，，延长至点，使，连接．若，求的值． 小微老师在批改学生作业的过程中，发现了多种解法，为提高学生的学习兴趣，小微老师将这几种解法分别以学生的名字进行命名． 卓言解法 佳怡解法 益嘉解法 思淇解法 参考以上解法，请写出此作业题的正确答案，即＝______． 【答案】 【解析】 【分析】卓言解法：过点作，利用平行线分线段成比例得，结合等腰直角三角形性质推出，再根据中位线性质得出，从而得到与关系．佳怡解法：过点作，证明，结合等腰直角三角形性质得到与的数量关系．益嘉解法：过点作，依据中位线性质和等腰直角三角形判定，得到与的关系．思淇解法：取中点，连接构造中位线，利用中位线性质、角的关系推出等腰直角三角形，得出与关系．进而由求解． 【详解】解法一（以卓言解法思路为例） 过点作，交的延长线于点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴， 在中． ． 解法二（以佳怡解法思路为例） 过点作交的延长线于点． ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴ 在中． ． 解法三（以益嘉解法思路为例） 过点B作，交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中． ． 解法四（以思淇解法思路为例） 取中点G，连接， ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中． ， 故答案为:． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质、三角形中位线定理、线段成比例及全等三角形判定与性质，解题关键是通过作辅助线构建边的数量关系求． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算， 先根据多项式除以单项式以及完全平方公式展开计算，再代数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 13. 2025年5月24日从吉林市到长春市的部分列车车次情况如下： 大伟、小婷分别从上述车次中随机选取某一车次从吉林市出发到长春市，假设上述车次被大伟、小婷选中的可能性相同，请用画树状图或列表法求大伟、小婷选中同一车次的概率（三个车次依次用D，G，C表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画出列表或树状图，所有等可能出现的结果共有9种，大伟、小婷选中同一车次的结果有3种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：解法一，根据题意，列表如下： 大伟 小婷 D G C D G C 由表格可以看出，所有等可能出现的结果共有9种，大伟、小婷选中同一车次的结果有3种，所以（大伟、小婷选中同一车次）． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两，牛、羊各直金几何？”．意思是：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊价值8两“金”．求每头牛、每只羊各价值多少两“金”？ 【答案】每头牛价值为两“金”，每只羊价值为两“金”． 【解析】 【分析】设每头牛价值为x两“金”，每只羊价值为y两“金”，再根据题干大意建立二元一次方程组，解方程组即可求出答案． 【详解】解：设每头牛价值为x两“金”，每只羊价值为y两“金”，根据题意得：，解得：． 答：每头牛价值为两“金”，每只羊价值为两“金”． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 15. 图1是吉林市临江门大桥，它是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥．如图2，是其中一条斜拉索，测得斜拉索底端到桥塔的水平距离，，求斜拉索顶端到桥面的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】斜拉索顶端到桥面的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，得到，代入数据求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 答：斜拉索顶端到桥面的距离约为． 16. 为了解“吉单”和“良玉”两个品种玉米的长势，农业科技人员随机抽取“吉单”和“良玉”两个品种的玉米棒各20个，测量棒长（单位：cm）、棒直径（单位：cm），分别计算棒长与棒直径的比值（长直比），绘制复合折线图如下： 根据复合折线图回答下列问题： （1）计算“吉单”品种玉米棒的长直比最大值与最小值的差． （2）在抽取的两个品种的玉米棒中，长直比更稳定品种是______． （3）现有一个长为19.6cm，直径为5.6cm的玉米棒，请判断这个玉米棒更可能来自“吉单”、“良玉”中的哪种玉米？为什么？ 【答案】（1）0.7cm （2）良玉 （3）解：“吉单”，理由如下： ． 因为“吉单”品种玉米的长直比更趋近于3.5， 所以这个玉米棒更可能来自“吉单”品种玉米． 【解析】 【分析】本题考查了数据的波动，平均数等知识，理解数据的波动、平均数的意义等知识，并结合图象正确应用是解题关键． （1）用“吉单”品种玉米棒的长直比最大值减去最小值即可求解； （2）由折线统计图可得“吉单”玉米的波动更大，即可得到长直比更稳定品种是“良玉”； （3）先求出长为19.6cm，直径为5.6cm的玉米棒长直比为3.5，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解： ． 答：“吉单”品种玉米棒的长直比的最大值与最小值的差为0.7cm． 【小问2详解】 解：由折线统计图可得“吉单”玉米的波动更大， 所以长直比更稳定品种是“良玉”． 故答案为：良玉 【小问3详解】 略 17. 在特定的冬季时段，吉林雾凇厚度变化呈现出阶段性特征．某日吉林市雾凇岛的某棵垂柳上的雾凇厚度（单位：）与时刻之间的关系如图所示．为凝华期，为稳定期，为消融期．根据图象回答下列问题： （1）凝华期雾凇厚度增长速度为______． （2）求出消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式（不要求写出的取值范围）． （3）求时该垂柳上的雾凇厚度． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息，熟练掌握待定系数法和一次函数的应用是解题关键． （1）从函数图象可得凝华期雾凇厚度增长了，由此即可得； （2）根据点，利用待定系数法求解即可得； （3）将代入计算即可得． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，凝华期雾凇厚度增长了， 则凝华期雾凇厚度增长速度为， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：设消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式为． 【小问3详解】 解：将代入得：， 答：时该垂柳上的雾凇厚度为． 18. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，的顶点，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图1中画的高． （2）在图2中画的中位线，点在上，点在上． （3）如图3，点在格点上，连接交于点，，分别与网格线交于点，．连接，．则____（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）＞ 【解析】 【分析】（1）以为直角边作等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，即可得到的高； （2）分别找到、与格线的交点，即可得解； （3）利用中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理，即可判断． 【小问1详解】 解：由图形知和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，则是的高； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图形知和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由图形知点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理等知识点，解题的关键是正确作图． 19. 【综合与实践】—设计学校生态区花圃 活动目标：用一定长度的栅栏围成一个扇形（不围成圆形）或矩形的花圃，探究面积与形状之间的关系，设计最优方案． 活动准备：准备一定长度的栅栏，…． 活动任务： 任务1：用长度为（是常数）米的栅栏围成一个扇形，求该扇形面积的最大值． 任务2：用长度为（是常数）米的栅栏围成一个矩形，求该矩形面积的最大值． 任务3：若只考虑面积最大化，不考虑其他因素，栅栏的总长度为定值时，判断围成的最大扇形面积与最大矩形面积的大小关系． 任务4：…． 活动过程：…． 活动评价：…． 负责任务1的小组计算过程如下： 解：设扇形的半径为米，则扇形弧长米．根据扇形面积公式，得 －－－－－－－－－－－－－－－－－步骤① －－－－－－－－－－步骤② －－－－－－－－－－－－－－步骤③ －－－－－－－－－－－－－－步骤④ ．－－－－－－－－－－－－步骤⑤ 当时，有最大值为．－－－－－－－－－－－－－－步骤⑥ 根据以上信息，回答下列问题： （1）指出负责任务1的小组计算过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． （2）请你完成任务2、任务3． 【答案】（1）解：步骤⑤，⑥计算错误， 正确解答过程：， 当时，有最大值为． （2）任务2：；任务3：相等 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． （1）根据完全平方公式的正确计算即可； （2）任务2，设矩形的一边长为米，其邻边长为米，根据矩形的面积公式列出二次函数，分析即可；任务3，根据任务一和任务二即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：任务2：设矩形的一边长为米，其邻边长为米， ， 当时，有最大值为； 任务3：根据任务一和任务二可知，围成的最大扇形面积与最大矩形面积相等． 20. 如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）． （1）当点Q与点D重合时，x＝______． （2）和之间的距离为______． （3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】（1）1； （2）； （3）（）；（）；（） 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，求函数解析式，菱形的性质等知识． （1）根据菱形的性质和含角的直角三角形性质进行解答即可； （2）根据（1）中的求解过程进行解答即可； （3）按照x的范围分三种情况分别进行解答． 【小问1详解】 解：当点Q与点D重合时， 如图， ∵在菱形中，，． ∴． ∵过点P作， ∴， ∴， ∴, ∴ 故答案为： 【小问2详解】 由（1）得到，， ∵在菱形中， ∴， ∵， 即和之间的距离为； 故答案为： 【小问3详解】 当时，如图， ∵， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵，， ∴ 21. 如图，抛物线（c是常数）经过点．点A在此抛物线上，过点A作轴，轴，以，为一组邻边作矩形．点A的横坐标为m（），点B的纵坐标为，点D的横坐标为． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点A和点B重合时，求m的值． （3）当抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的综合应用，点的轨迹问题，矩形的性质，难度很大，清晰的分类讨论与数形结合的方法是解本题的关键． （1）把代入求出，即可解答； （2）根据题意得，，分为当时，和当时分别求解即可． （3）根据题意，，，， 当时，当在函数图象上时，求出，分为当时，当时，当时，分情况讨论；当时，分为当时，当时，分情况讨论； 【小问1详解】 解：把代入， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点A在此抛物线上，点A的横坐标为m， ∴，， 当时，， 解得：（舍去），． 当时，， 解得：（舍去），． ∴的值为或． 【小问3详解】 解：根据题意，，，， 当时， 如图，当在函数图象上时，， 解得：，（舍去）， 如图，当时，抛物线在矩形内的部分的函数值不全是y随x的增大而增大时，故不符合题意； 当时，点A和点B重合， 故当时，抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大，符合题意； 如图，当时，抛物线没有在矩形内的部分，不符合题意； 当时， 当时，点A和点B重合， 故如图，当时，抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大，符合题意； 如图，当时，抛物线在矩形内的部分的函数值不全是y随x的增大而增大，不符合题意； 综上，或． 22. 【问题背景】 如图1，是锐角三角形，点在边上（点不与点，重合），连接，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，相交于点，连接．设的长为，四边形的面积为． 【特例探究】 如图2，当，且时， （1）猜想四边形的形状，并说明理由． （2）当时，______． 【类比迁移】 （1）如图3，当时，______（用含的式子表示）． （2）当时，______（用含的式子表示）． 【思维拓展】 当时，______（用含，的最简二次根式表示）． 【答案】 [特例探究]（1）四边形是正方形． 理由如下： ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2） [类比迁移]（1）；（2） [思维拓展]． 【解析】 【分析】特例探究： （1）由折叠的性质得， ，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由正方形的判定方法，即可得证； （2）由勾股定理得，可求，即可求解； 类比迁移： （1）过作交延长线于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由正方形的判定方法得四边形是正方形，即可求解； （2）过作交延长线于，过作交于，同理可证，可得 ，由勾股定理及三角形面积得，即可求解； 思维拓展： 过作交延长线于，过作交于，由正弦函数得，由勾股定理得，由，即可求解． 【详解】解：特例探究： （1）略 （2）四边形是正方形， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：； 类比迁移： （1）过作交延长线于，过作交于， ， 同理可证：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 四边形是正方形， 同理可求：， ； 故答案为：； （2）过作交延长线于，过作交于， 同理可证：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 思维拓展： 过作交延长线于，过作交于， 同理可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定及性质，勾股定理，三角函数，直角三角形的特征等；掌握正方形的判定及性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定及性质，能构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理，三角函数进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市2024－2025学年度初中毕业年级第二次阶段性教学质量检测 数学 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列实数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 东风是中国最新一代的洲际战略导弹（），公开资料显示，其最大速度可达马赫，约公里/小时，按此速度从北京飞抵纽约约分钟．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中午1点，身高为的小雪的影长为，同学小冰此时在同一地点的影长为，那么小冰的身高为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法确定 6. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（单位：），的阻值随呼气酒精浓度（单位：）的变化而变化如图1，血液酒精浓度（单位：）与呼气酒精浓度的关系见图2．下列说法错误的是（ ） A. 呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值为100 C. 当时，该驾驶员为醉驾状态 D. 当时，该驾驶员为非酒驾状态 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：__________ 8. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 9. 某停车场为小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为___________元．（用含有的代数式表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 10. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“纵横比”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行．下列说法正确的序号是______． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 11. 吉林市某中学数学作业：如图，在中，，延长至点，使，连接．若，求的值． 小微老师在批改学生作业的过程中，发现了多种解法，为提高学生的学习兴趣，小微老师将这几种解法分别以学生的名字进行命名． 卓言解法 佳怡解法 益嘉解法 思淇解法 参考以上解法，请写出此作业题的正确答案，即＝______． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 13. 2025年5月24日从吉林市到长春市的部分列车车次情况如下： 大伟、小婷分别从上述车次中随机选取某一车次从吉林市出发到长春市，假设上述车次被大伟、小婷选中的可能性相同，请用画树状图或列表法求大伟、小婷选中同一车次的概率（三个车次依次用D，G，C表示）． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两，牛、羊各直金几何？”．意思是：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊价值8两“金”．求每头牛、每只羊各价值多少两“金”？ 15. 图1是吉林市临江门大桥，它是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥．如图2，是其中一条斜拉索，测得斜拉索底端到桥塔的水平距离，，求斜拉索顶端到桥面的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：，，） 16. 为了解“吉单”和“良玉”两个品种玉米的长势，农业科技人员随机抽取“吉单”和“良玉”两个品种的玉米棒各20个，测量棒长（单位：cm）、棒直径（单位：cm），分别计算棒长与棒直径的比值（长直比），绘制复合折线图如下： 根据复合折线图回答下列问题： （1）计算“吉单”品种玉米棒的长直比最大值与最小值的差． （2）在抽取的两个品种的玉米棒中，长直比更稳定品种是______． （3）现有一个长为19.6cm，直径为5.6cm的玉米棒，请判断这个玉米棒更可能来自“吉单”、“良玉”中的哪种玉米？为什么？ 17. 在特定的冬季时段，吉林雾凇厚度变化呈现出阶段性特征．某日吉林市雾凇岛的某棵垂柳上的雾凇厚度（单位：）与时刻之间的关系如图所示．为凝华期，为稳定期，为消融期．根据图象回答下列问题： （1）凝华期雾凇厚度增长速度为______． （2）求出消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式（不要求写出的取值范围）． （3）求时该垂柳上的雾凇厚度． 18. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，的顶点，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图1中画的高． （2）在图2中画的中位线，点在上，点在上． （3）如图3，点在格点上，连接交于点，，分别与网格线交于点，．连接，．则____（填“＞”、“＝”或“＜”）． 19. 【综合与实践】—设计学校生态区花圃 活动目标：用一定长度的栅栏围成一个扇形（不围成圆形）或矩形的花圃，探究面积与形状之间的关系，设计最优方案． 活动准备：准备一定长度的栅栏，…． 活动任务： 任务1：用长度为（是常数）米的栅栏围成一个扇形，求该扇形面积的最大值． 任务2：用长度为（是常数）米的栅栏围成一个矩形，求该矩形面积的最大值． 任务3：若只考虑面积最大化，不考虑其他因素，栅栏的总长度为定值时，判断围成的最大扇形面积与最大矩形面积的大小关系． 任务4：…． 活动过程：…． 活动评价：…． 负责任务1的小组计算过程如下： 解：设扇形的半径为米，则扇形弧长米．根据扇形面积公式，得 －－－－－－－－－－－－－－－－－步骤① －－－－－－－－－－步骤② －－－－－－－－－－－－－－步骤③ －－－－－－－－－－－－－－步骤④ ．－－－－－－－－－－－－步骤⑤ 当时，有最大值为．－－－－－－－－－－－－－－步骤⑥ 根据以上信息，回答下列问题： （1）指出负责任务1的小组计算过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． （2）请你完成任务2、任务3． 20. 如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）． （1）当点Q与点D重合时，x＝______． （2）和之间的距离为______． （3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 21. 如图，抛物线（c是常数）经过点．点A在此抛物线上，过点A作轴，轴，以，为一组邻边作矩形．点A的横坐标为m（），点B的纵坐标为，点D的横坐标为． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点A和点B重合时，求m的值． （3）当抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 22. 【问题背景】 如图1，是锐角三角形，点在边上（点不与点，重合），连接，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，相交于点，连接．设的长为，四边形的面积为． 【特例探究】 如图2，当，且时， （1）猜想四边形的形状，并说明理由． （2）当时，______． 【类比迁移】 （1）如图3，当时，______（用含的式子表示）． （2）当时，______（用含的式子表示）． 【思维拓展】 当时，______（用含，的最简二次根式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $