课时检测训练62-63 二项式定理 随机事件的概率、古典概型-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

课时检测训练62 二项式定理 >对应答案P559 矿A级+基础巩固 B.展开式中所有系数的和为1024 C.二项式系数最大的项为中间项 1.(2023·江苏越城· 线考三模)(2x- 展开 D.含x的项是第7项 式中x项的系数为 的展开式 A.-240 B.-20 C.20 D.240 9.2024·新高比家)在（是+写）】 2.(2023·福建漳州·一模)已知二项式(a.x十y) 中，常数项为 (a∈R)的展开式的所有项的系数和为32，则 10.(2024全国甲卷)（号+x)” 的展开式中，各项 的展开式中常数项为 系数的最大值是 A.45 B.-45 C.1 D.-1 11.已知(1一2x)”展开式中各项的二项式系数之 3.利用二项式定理计算1.05，则其结果精确到 和为32，则展开式中含x项的系数为 0.01的近似值是 A.1.23 12.(x2+3.x一4)'展开式中含有x3项的系数为 B.1.24 C.1.33 D.1.34 4.(a一x)(2+x)°的展开式中x3的系数是12，则 B级·能力提升 实数a的值为 ( ) 13.已知(ax2+1)(x-2) 的展开式中各项系数 A.4 B.5 C.6 D.7 的和为一3，则该展开式中x的系数为() 5.(2023·江西赣州·统考一模)已知(x一1)(.x十 A.-120 B.-40 C.40 D.120 2)'=a十41x十aux2十…十ax,则az十a,十ag 14.(多选)(2025·丹东模拟)若f(x)=x-5.x十 十as= ( ) 10x2-10.x2+5.x-1,则 A.40 B.8 C.-16 D.-24 A.f(x)可以被(x一1)整除 6.(2023·四川成都·统考二模)二项式(1十x十 B.f(x十y+1)可以被(x十y)整除 x)(1一x)展开式中x的系数为 ( ) C.f(30)被27除的余数为6 A,120 B.135 C.140 D.100 D.f(29)的个位数为6 .(一二一1)的展开式中的常数项为 ( ) 15.若+是》 展开式中前三项的系数和为 A.-81 B.-80 C.80 D.161 163,则展开式中系数最大的项为 &(多选)已知（证+F)广展开式中的第三项 16.1-90C1。+90C。-903C。+…+90"C10除以 的系数为45，则 88的余数是 A.n=9 339 课时检测训练·数学·RJA 课时检测训练63 随机事件的概率、古典概型>对应答案560 A级+基础巩固 6.(2025·长春模拟)马林·梅森(MarinMersenne, 1.下列说法正确的是 1588一1648)是17世纪法国著名的数学家和修 A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 物.梅森在欧几里得，费马等人研究的基础上对 C,随着试验次数的增加，事件发生的频率一般 2一1作了大量的计算、验证工作.人们为纪念梅 会稳定于概率 森在数论方面的这一贡献，将形如2”一1（其中p D.概率是随机的，在试验前不能确定 是素数)的素数，称为梅森素数（素数也称质数）， 2.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两 在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数 球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是 其中至少有一个为梅森素数的概率是 A.至少有一个红球：至少有一个白球 A品 B品 c酷 n是 B.恰有一个红球；都是白球 7.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4 C.至少有一个红球：都是白球 个，则这4个点在同一个平面的概率为 D.至多有一个红球：都是红球 3.江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇， 8.为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批 并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最 雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三 具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、 等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已 清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的民俗风情，在 知抽到不是三等品的概察为0.93，抽到一等品 世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中 或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率 在苏州的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个 为 古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇 9.(2023·江西九江·统考一模)2022年11月8 的概率为 ( 日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公 A号 B c n号 园主体育场开幕，这是九江市举办的规模最大、 规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000 4.某省新高考改革方案推行“3十1+2”模式，要求 多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到 学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和 跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志 物理2门科目中必选且只选1门，再从化学，生 愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名 物、地理、思想政治4门科目中任选2门.某学生 志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者” 各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意 的概率为 选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目 10.近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育 的概率为 体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市 A号 B专 c 1 0.2 场需求。一批职业培训学校以市场为主导，积极 参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校 5.(2023·江西景德镇·统考三 共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据， 模)写算，是一种格子乘法，也是 学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的 笔算乘法的一种，用以区别筹算 学生人数与招生人数的比值)和每年各专业的 与珠算，它由明代数学家吴敬在 0 招生人数，具体统计数据如下表： 其撰写的《九章算法比类大全》一 9 书中提出，是从天元式的乘法演 机电 车内 衣物 美容 泛艺 电脑 专业 变而来.例如计算89×61，将被乘数89计人上行， 维修 美容 翻新 美发 术类 技术 乘数61计人右行，然后以乘数61的每位数字乘 招生人数 100 300 200 500 100 800 被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子 就业率 100%90% 80% 80% 70% 50% 中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜 行进一，如图，即得5429.若从表内的8个数字 (1)从该校已毕业的学生中随机抽取1人，求该 (含相同的数字，表周边数据不算在内)中取1个 生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率： 字，这个数字大于5的概率为 ( (2)为适应市场对人才需求的变化，该校决定从 A B c 明年起，将“电脑技术”专业的招生人数诚少 8 m(0<m≤400)人，将“机电维修”专业的招生人 课时检测训练·数学·RJA 340 数增加弩人，假设“电脑技术”专业的直接就业 空B级·能力提升 12.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口 人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他 支援新疆工作会议精神，促进新疆教育事业发 专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人 展，某市教有系统选派了三位男教师和两位女 数调整后全校整体的就业率比往年提高5个百 教师支援新疆，这五位教师被分派到三个不同 分点，求m的值。 地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地 方都有老师去，则两位女教师被分派到同一个 地方的概率为 ( A言 6 b. c号 n岩 13.(2025·吉林模拟)设m,n∈(-2，一1,0,1,2， 3},曲线C:m.x+ny=1,则下列说法正确的为 11.“X病毒”给人类社会带来了极大的危害，我国 政府和人民认识到对抗“X病毒”是一项长期而 A曲线C表示双曲线的概率为号 艰巨的任务，为了加强后备力量的培养，某地政 府组织卫生、学校等部门，开展了一次“X病毒” B.曲线C表示椭圆的概率为6 检测练兵活动.活动分甲、乙两组进行，甲组把 C.曲线C表示圆的概率为 1 2份不同的“X病毒”咽拭子随机分到3个组， 并根据份额，增加不含“X病毒”的正常咽拭子， D.曲线C表示两条直线的概率为 使每组有20份咽拭子：乙组把2份不同的“X 14.(2023·陕西面安·三模)“双减”政策明确指出 病毒”咽拭子随机分到2个组，并根据份额，增 要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为 加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每组有30份 学有余力的学生拓展学习空间.同学甲和同学 咽拭子，活动规定每组先混合检测，即将每组的 乙约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一 k份咽拭子分别取样混合在一起检验，若结果 天少，某周甲乙两人每天的阅读时间（单位： 为阴性，则这k份咽拭子全为阴性，只需检验一 min),如下表所示，其中学生甲周日的阅读时间 次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份 m忘了记录，但知道36≤m≤60，m∈Z. 咽拭子究竞哪份为阳性，就需要对这份再逐 一检验，此时这k份咽拭子的检验次数总共为k 周一周二周三周四周五周六周日 +1次.每次检测费为60元. 序号x 1 2 3 6 7 (1)求检测次数为23次的概率： 甲的阅读 (2)有数学爱好者对两种方案进行了模拟获得 15 20 20 25 30 36 加 时间y:min 了下列两组数据： 乙的阅读 甲方案： 16 2225 26 32 时间min 35 的 检测次数 23 43 (1)求同学甲的本周阅读时间之和超过同学乙 频数 330 670 的本周阅读时间之和的概率： (2)根据同学甲本周前5天的阅读时间，求其阅 乙方案： 读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计 检测次数 32 62 同学甲周日阅读时间的值.参考公式：回归 方程y=x十a中斜率与截距的最小二乘估计公 频数 508 492 根据上表数据说明这两种方案哪种更科学， 式分别为= 之(x一a)(0y一D xy一 y-br. 341 课时检测训练·数学·RJA由18-4r=10,可得r=2,则(-1)22??2C2=240, 3 2 4 5 8 则(zx2-1)°展开式中x°项的系数为240. 1 6 7 2.A 解析 令x=1,y=1,可得展开式的所有项的系数之和 上面的数字表示排列的位置，必须按照如图的方式排列，其 (a+1)?=32,得a=1, (z2-后)"=(x2-)°,所以( 中第3个位置必须比1,2,4,5,6要高，第8个位置必须比 6,7高，1,6两处要比排列里其他位置低，设8个演员按照 从矮到高的顺序依次编号为①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧,则 其通项Tm=Ca(z2)(-方)=(-1)Ct,令20 第3个位置可选演员编号最小是⑥,最大是⑧,下面分类 讨论： -5k=0,,得k=8,所以展开式中常数项为(-1)C=45. 3.D 解析 1.05?=(1+0.05)?=C+C×0.05+C2×0.052 (1)第3个位置选⑥号：先从①,②,③,④,⑤号中选两个放 入前两个位置， +C×0.053+⋯+C×0.05?=1+0.3+0.0375+0.002 5 十⋯+0.05?≈1.34. 余下的3个号放入位置4,5,6,顺序是确定的，只有一种情 况，然后⑦,⑧号放入最后两个位置也是确定的，此时共C5 =10种情况； 4.C 解析 利用二项式定理展开得 (a-x)(2+x)?=(a-x)(C×2?+C×2?x+C2×2°x2+C ×23x3+C×22x?+C×2x?+Cx?), (2)第3个位置选⑦号：先从①,②,③,④,⑤,⑥号中选两 个放入前两个位置， 则x?的系数为aC×2-C?×22=12,∴a=6. 5.D 解析 设f(x)=(x-1)?(x+2)?,则 余下的4个号中编号最小的放入第6个位置，剩下3个选2 ao=f(0)=2?=32, 个放入4,5两个位置， 余下的号和⑧号放入最后两个位置，此时共 CC3=45种 情况； a?+a?+a?+⋯+a?=f(1)=0, (3)第3个位置选⑧号：先从①,②,③,④,⑤,⑥,⑦号中选 两个放入前两个位置， ao-a?+a?-a?+a?-⋯-a?=f(-1)=2?=16, 所以ao+a?+a+a?+a=f(-1+1=8, 所以a?+a?+ag+a?=8-32=-24. 余下的5个号中编号最小的放入第6个位置，剩下4个选2 6.B 解析(1-x)1°的展开式通项公式为 个放入4,5两个位置，余下的2个号放入最后两个位置，此 时共CC2=126种情况， T+1=C?(-x)"=C??(-1)'x", 由分类加法计数原理可得共有10+45+126=181种排列 方式. 其中T?=C2?x2=45x2,T?=-C3?x3=-120x3,T?=Cx? =210x?, 15.126 解析 两名女记者不参加A任务，由题意分两类 情况： 故二项式(1+x+x2)(1-x)1°中x的四次方项 为45x2·x2-120x3·x+210x?·1=135x?, 即展开式中x?的系数为135. ①1男参加A任务，将3男选1人排在A任务，再将剩下4 人选2人打捆， 7.A 解析 (x-2-1)°=(z-2-1)(x-2-1) 再排在其他3项任务，即CA'C'A3=108(种). ②2男参加A任务，将3男选2人排在A任务，再将剩下的 (x-2-1)(x-2-1)(x-2-1), 3人排在其他3项任务， 所以展开式中的常数项为(-1)?+CC×(-2)×(-1)3+ 即C3A3=18(种), CsC2×(-2)2×(-1)=-81. 所以选出符合条件的方案共有108+18=126(种). 16.44 解析 先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形： (I+) 展开式的第三项为T?=8.BCD 解析 第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男共A2= 2(种), c(H)2)2=Cx·z+=Cx,所以第三项的 将女生插空时又分两种情形： 空位两侧排两名女生时计A2=2(种); 空位两侧共排一名女生时计C?C?C!=8(种), 共计A(A2+C?CC?)=20(种); 系数为C2=45,所以n=10,故A错误； 在(+汉)" 中，令x=1,得展开式中所有系数的和为 21?=1024,故B正确； 第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位 共CA2=4(种),将女生插空共 C?C=6(种),共计 C?A?C?C=24(种), 展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确； 综上，共计A2(A2+C?C?C?)+C?A2C?C3=44(种). 课时检测训练62 二项式定理 [A级·基础巩固] (+深) 10 的通项公式为Tm=c·(A)"z) =C?ox·x?=C?ox, (2x3-1)1.D 解析 展开式通项为 令1k-30=3,,解得k=6,所以含 x3的项是第7项，故D 正确. TH=C6(2z2)°-(-1)=(-1)2°Cz2, (3+3)9.20 解析 因为 的展开式的通项为T+1= ·559· 高考一轮总复习·数学·RJA 14.A 解析 依题意作图如图所示： c:(3)()=3°-“Ca,k=0,1,⋯,6, 令6(k-3)=0,可得k=3, 所以常数项为3℃3=20. 10.5 解析 由题展开式通项公式为 ≤k≤10且k∈Z, T+=C(3)x*,0 设展开式中第k+1项系数最大， )则 3,又AEZ,故=8, k≤4, 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 c?)2=5. 11.-80 解析 因为(1-2x)”展开式中各项的二项式系数 之和为32,所以2"=32,解得n=5. 所以(1-2x)"=(1-2x)?展开式的通项公式为T,+1= C?(-2x)'. 要求展开式中含x3项的系数，只需令r=3,解得T?= C3(-2x)3=-80x3. 12.144 解析 由题意得(x2+3x-4)?=[(x+4)(x-1)]?= (x+4)?(x-1)?. 又由(x+4)?的通项为T,+1=4'C?x?-,(x-1)?的通项为 T+1=(-1)"C?x?-, 所以(x2+3x-4)?展开式中x3的系数为 4×C×(-1)?×C+42×C2×(-1)3×C3+43×C3× (-1)2×C2+4?×C×(-1)×C =16-384+1536-1024=144. [B级·能力提升] (ax2+1)(x-2)13.A 解析 在二项式! 中，令x=1,可得 (a+1)·(-1)?=-3,解得a=2, 所以(x-2)的展开式通项为TA+1=C·x?=k· (-2)'=c·(-2)°·a22, 因为(2x2+1)(x-2)°=zx2(z-2)+(x-2), 在2x2T+1=2x2C·(-2)·x?-22=2C·(-2)°·x2-2 中，令7-2k=1,可得k=3. 在T+1=C·(-2)·x?-2中，令5-2k=1,可得k=2, 因此，展开式中x的系数为2C3·(-2)3+C2·(-2)2= -120. 故选A. 14.AB 解析 因为f(x)=x?-5x?+10x3-10x2+5x-1= (x-1)?, 所以f(x)可以被(x-1)3整除，故A正确； 因为f(x+y+1)=(x+y)?, 所以f(x+y+1)可以被(x+y)?整除，故B正确； 因为f(30)=(30-1)?=(27+2)?=Cs×27?+C×27?×2 十⋯+C×27×2?+C?×2?=C×27?+C×27?×2+⋯+ C?×27×2?+27+5, 所以f(30)被27除的余数为5,故C错误； 因为f(29)=(29-1)?=(30-2)?=C×30?+C1×30?× (-2)+⋯+C×30×(-2)?+C×(-2)?=Cs×30?+C ×30?×(-2)+⋯+C×30×(-2)?-32, 所以个位数为10-2=8,故D错误.故选AB. 15.5 376 解析 展开式的通项公式为T+=2'C,x,由题 意可得，2℃+2C+22C2=163,解得n=9. 设展 开式中 T+1= 2'Cx工项的 系 数 最 大， G≥zc则 13≤k≤3.又∵k∈N,∴k=6,解得 故展开式中系数最大的项为T?=2Cs=5 376. 16.1 解析 由题意，得1-90C?+902C?。-903C?+⋯十 (-1)'90'C?+⋯+901°C=(1-90)° =(1+88)?=C+C?×88+C×882+⋯+C8×881°, 故它除以88的余数为C1?=1. 课时检测训练63 随机事件的概率、古典概型 [A级·基础巩固] 1.C 解析 不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故 A错误； 频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定 值，故C正确，D错误. 2.B 解析 对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个 白球，“至少有一个白球”也可能为一个白球、一个红球，故两 事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B,"恰有一个 红球”,则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任 取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C, “至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显 然是对立事件；对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一 红一白，与“都是红球”是对立事件. 3.C 解析 从这6个古镇中挑选2个去旅游有C=15种选 P=1-=4法，至少选一个苏州古镇的概率为 4.D 解析 由题设，该生选考物理、生物和政治这3门科目的 P=cc-立概率 5.B 解析 表内的8个数字分别为4,8,5,4,0,8,0,9,其中 大于5的有8,8,9,∴从表内的8个数字(含相同的数字，表 周边数据不算在内)中取1个数字有8种取法，这个数字大 于5的情况有3种取法，∴这个数字大于5的概率为P =8 6.C 解析 不超过40的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23, 29,31,37,共有12个.其中梅森素数为3,7,31,共有3个.随 P=-,机选取3个不同素数，不含梅森素数的概率为 所以其中至少有一个梅森素数的概率为P=1-G-号 7.5 解析 从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C=70 个结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12(个),故 P=m=元=35·所求概率 高考一轮总复习·数学·RJA ·560· 8.0.75 解析 设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为 A,B,C, 则 所以抽到一等品的概率为0.75. 9.4 解析 4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目， 有2?-2=14种方法， 将4名志愿者按照1,3的分组，再分配的方法，共有CA?= 8种方法， P=4所以“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率 =. 10.解(1)由题意，该校往年每年的招生人数为100+100+ 300+200+800+500=2000, “衣物翻新”专业直接就业的学生人数为200×0.8=160, 2000=0.08.所以所求的概率为 (2)由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别 为100,270,160,400,70,400,往年全校整体的就业率为 100+70+272+160+400+400×100?0%, 招 生 人 数 调整 后 全 校 整 体的就业 率 为 解得m=120. 11.解(1)设甲组“检测次数为23次”的事件为A,设3个小 组分别为B,C,D,2份病毒咽拭子分别为1,2, 于是得2份病毒咽拭子分到3个不同组的所有分配结果 是：B?B?,C?C?,D?D?,B?C?,B?C?,B?D?,B?D?,C?D?,C?D? (其中B?B?表示2份病毒咽拭子都分到B组，C?D?表示病 毒咽拭子1分到C组，2分到D组),共9个不同结果，它们 等可能， 事件A就是2份病毒咽拭子分到同一组，有3个不同结果： P(A)=9=3,B?B?,C?C?,D?D?,则 所以检测次数为23次的概率是 (2)根据数表知，使用甲方案的平均检测次数为 23×330+43×670=36.4, 使用乙方案的平均检测次数为 32×508+62×492=46.76 由于每检测一次需60元，检验次数越少，检测总费用就 越低， 所以甲方案平均检测次数少，成本低，更科学些. [B级·能力提升] ccCA12.B 解析 因为五位教师分派到三个不同地方共有 +SCCA=150种不同的分派方法，两位女教师分派到 同一个地方有C'A3+C2A3=36种不同的分派方法， 30-2所以两位女教师分派到同一个地方的概率为 13.B 解析 当mn<0时，曲线C表示双曲线， 则当m>0,n<0时，有C3·C=6(种),当m<0,n>0时， 有C3·C=6(种), c=言，A不正确；所以曲线C表示双曲线的概率为 当m>0,n>0,m≠n时，曲线C表示椭圆，有A2=6(种), C-言，B正确，所以曲线C表示椭圆的概率为 当m=n>0时，曲线C表示圆，有3种情况，所以曲线C表 C-,C不正确；示圆的概率为 当m=0,n>0或m>0,n=0,曲线C表示两条直线， 当m=0,n>0时，有3种情况，当m>0,n=0时，有3种情 况，共6种情况， =÷,D不正确。所以曲线C表示两条直线的概率为 14.解(1)依题意，36≤m≤60,m∈Z,则m的取值一共有25 个不同结果，它们等可能. 令15+20+20+25+30+36+m>16+22+25+26+32+ 35+35,解得m>45, 因此，当甲这一周的阅读时间超过乙这一周的阅读时间时， m的取值一共有15个不同结果，∴甲这一周的阅读时间超 25=3.过乙这一周的阅读时间的概率为 (2)π=1+2+3+4+5=3, y=15+20+20+25+30=22, 计算，得二a2-5x2=10,xy,-5xy=35, ∴b=35=3.5,a=y-bx=22-10.5=11.5, ∴y=3.5x+11.5,将x=7代入估计m=3.5×7+11.5 =36. 课时检测训练64 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [A级·基础巩固] 1.C 解析 ∵P(A)=1-P(A)=1-3=3, ∴P(A)P(B)=9, ∴P(AB)=P(A)P(B)≠0, ∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立. 2.A 解析 设“第一天空气质量为优良"为事件A,“第二天 空气质量为优良”为事件B,则P(A)=0.75,P(AB)=0.6, 由题知P(B|A)=PAB)=0.75=0.8. 3.A 解析 设掷出的两枚骰子点数之和为6点为事件A,点 数均为奇数为事件B, 则P(A)=56,P(AB)=36-1,则P(B|A)=PAB=3. 4.C 解析 记“甲队答对该题”为事件A,“乙队答对该题”为 事件B,“丙队答对该题”为事件C, 则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概 率为 P=P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)十 P(ABC) ·561· 高考一轮总复习·数学·RJA