专题02：第7章三角函数高频考点分类 期末复习讲义-2024-2025学年高一数学下学期沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题02 第7章三角函数高频考点分类复习 知识点01：三角函数图象的画法 (1)几何法:平移 (2)“五点法”: 知识点02：函数的周期性 1．周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点03：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识点05：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点06：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1．对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点07：根据图象求解析式 考点01：三角函数的图像 1．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是 ． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【解析】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是 ． 【答案】 【分析】求出函数的周期即可得． 【解析】函数的最小正周期是， 所以直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是． 故答案为：． 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．    【答案】 【分析】 由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解. 【解析】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又，所以， 所以，又函数图象过点， 所以，由解得， 故， 所以. 故答案为： 考点02：函数的周期性和奇偶性 4．（2023春•徐汇区期末）函数的最小正周期为　　． 【分析】直接利用正切函数的周期公式，求出函数的最小正周期． 【解答】解：因为函数，所以． 所以函数的最小正周期为． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题． 5.（松江2023一模2）函数的最小正周期为 . 【答案】 【解析】由题得，所以函数的最小正周期为 6.(2024七宝中学模拟)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 【答案】　C 【解析】由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C. 7.(2023松江二中高三阶段练习)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数的序号为(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【解析】　(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； ③y＝cos的最小正周期T＝＝π； ④y＝tan的最小正周期T＝，故选A. 8.（23-24高一上·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的定义进行判断. 【详解】由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故A错误; 由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故B错误； 由，定义域关于原点对称，则，所以是奇函数，故C正确； 由，定义域关于原点对称，则，且，所以非奇非偶，故D错误. 故选：C 9.（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 10．（2024春•浦东新区校级期中）函数是　　 A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【分析】先利用诱导公式将函数化为，再利用奇函数的定义和周期计算公式证明其为最小正周期为的奇函数即可 【解答】解： ， 函数为最小正周期为的奇函数 故选：． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的定义，三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，属基础题 11．（2023春•松江区期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有的值为 　　． 【分析】根据是偶函数得出，然后根据三角函数的诱导公式即可求出的值． 【解答】解：是偶函数， ， 或，，即，． 故答案为：． 【点评】本题考查了偶函数的定义，三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于基础题． 考点03：函数的单调性 12．（2023春•浦东新区校级期中）函数的单调递减区间是　　． 【分析】直接结合正弦函数的性质进行求解． 【解答】解：，在区间，为减函数， 令， 解得， 故该函数的单调减区间为， 故答案为：． 【点评】本题重点考查了正弦函数的单调性等知识，属于基础题． 13.已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则＝0，所以sin＝0， 解得φ＝，故f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为． 14.下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 【答案】A 【解析】作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图． 由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A. 15．（2024春•长宁区校级期中）设函数在区间，上是增函数，则的取值范围为　　． 【分析】结合函数的单调性建立不等式关系即可． 【解答】解：，且在，上为增函数， 若函数在区间，上是增函数， 则，即， 得， 得， 即的取值范围为，， 故答案为：， 【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数过原点的单调递增区间为，，建立不等式关系是解决本题的关键． 考点04：函数的对称性 16.（2023上海市杨浦高级中学高一期末）函数的图像（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】根据关于点对称,关于直线对称来解题. 【详解】解：令,得, 所以对称点为. 当,为,故B正确； 令,则对称轴为, 因此直线和均不是函数的对称轴. 故选B 【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称. 17.（23-24高一下·上海徐汇）若函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】 【知识点】正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、辅助角公式 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 18.（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 . 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】利用代入法列方程即可求解. 【详解】因为函数的图像关于点成中心对称， 所以，解得：. 所以的最小正值为：当k=0时，. 故答案为： 19.（2024·上海松江·二模）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为 . 【答案】或1 【知识点】正切函数对称性的应用 【分析】根据正切函数的性质，代入点，求解参数的值. 【详解】∵函数的图象关于点对称，且， ∴，，或， 则令，可得实数或， 故答案为：或1. 考点05：函数的定义域、值域 20.（静安2023一模1）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】，则， 21.函数y＝的定义域为________． 【答案】：{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 【解析】：法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． 所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 法三：sin x－cos x＝sin(x－)≥0， 将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 22.（2020·上海高三一模）下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解． 【详解】解：选项A.的值域为，选项B. 的值域为，选项C. 的值域为R，选项D. 的值域为． 故选：A． 【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题． 23.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________． 【答案】　 【解析】令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得sinxcosx＝(1－t2)， 所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求． 因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1， 当t＝－时，ymin＝－－， 当t＝1时，ymax＝1， 所以原函数的值域为 24.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】先利用两角和的正弦公式及辅助角公式把函数化成的形式，再根据正弦函数在给定区间上的值域求的取值范围. 【详解】因为 . 又，所以. 因为，所以，所以，解得. 故答案为： 考点06：根据条件确定解析式 25.（2021宝山区期末）写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式________．（不用分段函数表示） 【答案】（答案不唯一） 27．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）若函数局部图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的部分图象可求得A，T，从而可得，再由，结合的范围可求得，从而可得答案. 【详解】由图可知，，，， ； ， ，， ∴当时，可得：，此时，可得：. 故选：D. 【点睛】本题考查由三角函数的部分图象求函数解析式，属于基础题. 28.（2019·上海高一期末）函数（且）的图像是下列图像中的 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 考点07：三角函数图像变换 29．（2023春•宝山区校级月考）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求出函数解析式． 【解答】解：函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像． 再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，故． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的图像变换规律，属于基础题． 30.（2021·上海高三一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】将函数转化为，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项. 【详解】函数 所以将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，即得到函数的图象. 31.（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________． 【答案】 【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：， 函数图象关于点成中心对称，则：， 整理可得：， 则当时，有最小值. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 32.（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】化简函数，根据题意得到不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 又因为的最小值为0，即的最小值为， 所以，解得，即实数的最大值为. 故答案为：. 考点08： 函数零点(方程根)问题 33．（21-22高一下·上海普陀·期末）方程在区间上的所有解的和为 ． 【答案】 【分析】将方程的解转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性，即可求解. 【解析】如图，画出函数和的图象， 方程在区间的解转化为两个函数图象的交点的横坐标， 两个函数都关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称， . 故答案为： 34．（22-23高一下·上海徐汇·期末）若函数，有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由的单调性，结合取值可求答案. 【解析】令可得， 因为在单调递增，在单调递减，且； 所以，解得. 故答案为：. 35．（2024春•闵行区校级月考）方程，在，内的解集是　　． 【分析】根据余弦函数的值，结合的取值集合，即可求出方程在，内的解集． 【解答】解：方程， 所以， 解得，； 又因为，， 所以或， 所以方程在，内的解集是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了由三角函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 36．（2024春•宝山区校级月考）已知函数的最小正周期为，则方程在，上的解集为 　　． 【分析】根据正切函的最小正周期求出，再求方程在，上的解即可． 【解答】解：因为函数的最小正周期为，解得， 所以方程为，即，所以，解得或， 所以在，上的的解为0，，和，的解为和， 所以原方程的解集为，，，，． 故答案为：，，，，． 【点评】本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题． 37．（2024春•闵行区期中）函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是　　． 【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围． 【解答】解：函数在区间内不存在零点，，， ，； 或，，求得， 故正实数的取值范围为，，， 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查正弦函数的零点，属于中档题． 38.（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，在区间上有解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】由题意化简可得，设，这转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】令， 则，令， ，，即， 函数 在内是单调递增的，且. 在区间上有解， 的取值范围为. 故答案为：. 39.（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可； 【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，.求得，则的取值范围为. 故答案为：. 考点09：三角函数性质的综合 40．（21-22高一下·上海虹口·期末）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以，则， 所以， 整理得， 对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误； 对于，令，， 解得，，， 显然不包含区间，故错误； 对于，，所以的最小正周期为，故正确． 故选：D． 41．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 【答案】①③⑤ 【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案. 【解析】①：， 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递减； 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递增； 故①正确； ②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确； ③：， ， 由，则直线是函数的对称轴，故③正确； ④：当时，， 则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增， 由，则函数在存在唯一零点； 当时，， 则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减， 由，则函数在存在唯一零点； 易知，，， 综上：函数在上有两个零点，故④不正确； ⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数的最小值为， 因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 考点10：综合压轴题 42．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知函数，实数. (1)若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； (2)若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 【答案】(1)，，严格增区间：，严格单调减区间： (2) 【分析】（1）分别利用和，即可求得单调递区间，同理可求得单调递减区间. （2）由，可求得的取值范围. 【解析】（1）若，则函数， 所以最小正周期， 由，可得，所以对称轴， 由，可得， 所以函数严格增区间为：， 同理可得严格单调减区间为：. （2）设函数， 因为，所以， 因为，所以， 解得. 43．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【解析】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 44．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【解析】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 45．（2023春•青浦区校级期中）已知函数，，． （Ⅰ）求的最大值和最小值； （Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用降幂公式将化简为，即可求得的最大值和最小值； （Ⅱ），而，，可求得，，从而可求得，，于是可求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ） ， 又，， ，即， ，． （Ⅱ）， ，， 由（1）可知，，， 且， ，即的取值范围是． 【点评】本题考查三角函数恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题． 46．（2024上海市青浦高级中学高一期末）已知函数，． （1）求函数的单调减区间； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），．（2） 【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间. （2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围. 【详解】（1） 由 （） 解得 （）． 所以所求函数的单调减区间是 ，． （2）当时，，， 即． 令 （），则关于的方程在上有解， 即关于的方程在上有解． 当时，． 所以，则． 因此所求实数的取值范围是 ． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查根据方程的根存在求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 47.（2024上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中常数. （1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得； （2）利用范围可求得的范围，根据单调性可得不等式组，解不等式组求得；由可求得，两个范围取交集得到最终结果； （3）令可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若最小，知均为零点，此时在恰有个零点，从而得到在至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到满足的条件，进而求得所求的最小值. 【详解】 （1） ，即 （2） 当时， ，，解得：， 又 即的取值范围为 （3）令得： 或， 解得：或， 相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则均为的零点，此时在区间，，…，分别恰有个零点 在区间恰有个零点 至少有一个零点 ，即 检验可知，在恰有个零点，满足题意 的最小值为 【点睛】本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题. 48.在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”． （1）写出当时，函数，图像上所有正格点的坐标； （2）若函数，，与函数的图像有正格点交点，求的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由． （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），4； （3）． 【解析】 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图像，根据图像可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图像，分类讨论的情况. 【小问1详解】 解因，所以， 所以函数的正格点为，…，，… 【小问2详解】 作出两个函数图像．如图， 可知函数，与函数的图像只有一个“正格点”交点． ∴， 又可得． 根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4个． 小问3详解】 由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题02 第7章三角函数高频考点分类复习 知识点01：三角函数图象的画法 (1)几何法:平移 (2)“五点法”: 知识点02：函数的周期性 1．周期函数的定义：一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点03：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识点05：正切函数的图象和性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点06：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1．对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点07：根据图象求解析式 考点01：三角函数的图像 1．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是 ． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是 ． 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．    考点02：函数的周期性和奇偶性 4．（2023春•徐汇区期末）函数的最小正周期为　　． 5.（松江2023一模2）函数的最小正周期为 . 6.(2024七宝中学模拟)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) 7.(2023松江二中高三阶段练习)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数的序号为(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 8.（23-24高一上·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 9.（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 10．（2024春•浦东新区校级期中）函数是　　 A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 11．（2023春•松江区期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有的值为 　　． 考点03：函数的单调性 12．（2023春•浦东新区校级期中）函数的单调递减区间是　　． 13.已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 14.下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) 15．（2024春•长宁区校级期中）设函数在区间，上是增函数，则的取值范围为　　． 考点04：函数的对称性 16.（2023上海市杨浦高级中学高一期末）函数的图像（ ） 17.（23-24高一下·上海徐汇）若函数的图像关于直线对称，则 18.（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 . 19.（2024·上海松江·二模）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为 . 考点05：函数的定义域、值域 20.（静安2023一模1）函数的定义域是 . 21.函数y＝的定义域为________ 22.（2020·上海高三一模）下列函数中，值域为的是（ ） 23.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________． 24.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 考点06：根据条件确定解析式 25.（2021宝山区期末）写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式________．（不用分段函数表示） 27．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）若函数局部图象如图所示，则函数的解析式为（ ） 28.（2024上海高一期末）函数（且）的图像是下列图像中的 A． B． C． D． 考点07：三角函数图像变换 29．（2023春•宝山区校级月考）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为　　 A． B． C． D． 30.（2021·上海高三一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 31.（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________． 32.（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为 考点08： 函数零点(方程根)问题 33．（21-22高一下·上海普陀·期末）方程在区间上的所有解的和为 ． 34．（22-23高一下·上海徐汇·期末）若函数，有两个零点，则实数的取值范围为 . 35．（2024春•闵行区校级月考）方程，在，内的解集是　　． 36．（2024春•宝山区校级月考）已知函数的最小正周期为，则方程 38.已知函数，在区间上有解，则的取值范围是 . 39.（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 .， 考点09：三角函数性质的综合 40．（21-22高一下·上海虹口·期末）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 41．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 考点10：综合压轴题 42．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知函数，实数. (1)若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； (2)若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 43．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 44．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，， 45．（2023春•青浦区校级期中）已知函数，，． （Ⅰ）求的最大值和最小值； （Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． 46．（2024上海市青浦高级中学高一期末）已知函数，． （1）求函数的单调减区间； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 47.（2024上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中常数. （1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上 48.在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”． （1）写出当时，函数，图像上所有正格点的坐标； （2）若函数，，与函数的图像有正格点交点，求的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由． （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立， 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$