专题01：第6章 三角高频考点分类期末复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题01 第6章三角高频考点分类复习 知识点一、正弦、余弦、正切、余切 1.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 2.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 3.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 4.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 5.同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 6.诱导公式 知识点二．常用三角公式 1.和角与差角公式： ； 。 2.倍角公式： ；； 。 知识点三．解三角形 1.正弦定理：． 2.余弦定理：． 3.三角形面积公式： 考点01：任意角和弧度制 1．（2023高一上上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 2．（2023高一下·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 3．（2023高一下·上海徐汇·期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ． 考点02：弧长和扇形面积 4．（2022高一下·上海虹口·期末）已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 . 5．（23-24高一下·上海·期末）已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 6．（2023高二下·上海浦东新·期末）如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4cm，则弓形的面积是 ．    考点03：任意角的三角定义与同角三角函数的基本关系 7.（2023高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的序号是 . 8．（2023高一下·上海长宁·期末）已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，若，则点的坐标是 ． 9．（23-24高一下·上海·期末）已知，则 ． 10．（23-24高一下·上海浦东新·期末）若．则 ． 考点04：诱导公式 11．（2023高一下·上海黄浦·期末）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·上海·期末）已知角α的终边经过点，则= ． 13．（2023高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 14．（24-25高一下·上海·期末）化简： . 考点05：三角恒等变换 15．（23-24高三上·上海松江·期末）已知，，则的值为 16．（2023高一下·上海长宁·期末）已知，，，，则 ． 17．（23-24高二下·上海·期末）已知为锐角，，则 ． 18．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 19．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 考点06：解三角形 20．（2023高一下·上海宝山·期末）已知的外接圆半径是2，，，边长 . 21．（2022高一下·上海杨浦·期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是 . 22．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 .. 23．（24-25高三上·上海·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为 .24．（2022高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，.25．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 考点07：解三角形的应用 26．（2023高一下·上海宝安中学·期中）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 27．（23-24高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为 （精确到1米）    28．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 29．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观， 考点08：综合解答题 30．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 31．（23-24高一下·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 32．（23-24高三上·上海普陀·期末）在中，已知分别为的对边，且，， (1)求满足的表达式 (2)如果，求出此时面积的最大值. 33．（23-24高三上·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)若为钝角三角形，且，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题01 第6章三角高频考点分类复习 知识点一、正弦、余弦、正切、余切 1.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 2.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 3.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 4.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 5.同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 6.诱导公式 知识点二．常用三角公式 1.和角与差角公式： ； 。 2.倍角公式： ；； 。 知识点三．解三角形 1.正弦定理：． 2.余弦定理：． 3.三角形面积公式： 考点01：任意角和弧度制 1．（2023高一上上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【解析】. 故答案为： 2．（2023高一下·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误. 【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误； 若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确； 当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误； 不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误. 故选：B 3．（2023高一下·上海徐汇·期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ． 【答案】 【分析】先求出，再由终边相同的角求解即可． 【解析】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为． 则，故终边与相同的角的集合. 故答案为：. 考点02：弧长和扇形面积 4．（2022高一下·上海虹口·期末）已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 . 【答案】/ 【分析】由弧长公式直接求解即可. 【解析】由弧长公式可得，弧长为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期末）已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径三者之间的关系可求得该扇形圆心角的弧度数. 【解析】因为扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 6．（2023高二下·上海浦东新·期末）如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4cm，则弓形的面积是 ． 【答案】 【分析】求得弓形所在圆的半径为，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解. 【解析】由题意，弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为， 可得弓形所在圆的半径为 ， 则所在扇形的面积为，， 所以弓形的面积是.    故答案为： 考点03：任意角的三角定义与同角三角函数的基本关系 7.（2023高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的序号是 . ①若，则是第二象限角或第三象限角； ②且是为第三象限角的充要条件； ③若，则角和角的终边相同； ④若，则. 【答案】② 【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可. 【解析】当时，，此时不是象限角，则①错； 是第三象限角，则，，所以， 反之，若，则，是第三象限角， 所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确； 若满足，但角和角的终边不相同，则③错； 当时，满足，但，不满足，则④错； 所以真命题的序号为②. 故答案为：② 8．（2023高一下·上海长宁·期末）已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，若，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据题意写出点的坐标为，根据列式计算可得，从而得，再结合的平方关系，即可求解出点的坐标. 【解析】由题意可知，点的坐标为， ，即， 解得，所以，又， 解得或， 所以点的坐标为或. 故答案为：或 9．（23-24高一下·上海·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【解析】因为 所以，解得 故答案为： 10．（23-24高一下·上海浦东新·期末）若．则 ． 【答案】8 【分析】对等式两边同时平方，由同角的平方关系可得，结合同角的三角函数关系化简计算即可求解. 【解析】由，得， 解得， 所以. 故答案为：8 考点04：诱导公式 11．（2023高一下·上海黄浦·期末）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式逐一检查每个选项. 【解析】根据三角函数诱导公式，. ，A选项错误；∵，∴B选项正确； ∵，C选项错误；∵，∴D选项错误. 故选：B 12．（24-25高一下·上海·期末）已知角α的终边经过点，则= ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【解析】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 13．（2023高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】 利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可. 【解析】 又，所以原式 故答案为： 14．（24-25高一下·上海·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可. 【解析】原式. 故答案为：． 考点05：三角恒等变换 15．（23-24高三上·上海松江·期末）已知，，则的值为 【答案】 【分析】 先求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案. 【解析】由于，， 所以， 所以，所以. 故答案为： 16．（2023高一下·上海长宁·期末）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的余弦公式求解即可. 【解析】因为，，所以， 因为，，所以， . 故答案为：. 17．（23-24高二下·上海·期末）已知为锐角，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用角变换结合切化弦求解. 【解析】， ， 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】3 【分析】根据两角和与差的余弦公式，再进行弦化切即可得到答案. 【解析】. 故答案为：3. 19．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解. 【解析】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： 考点06：解三角形 20．（2023高一下·上海宝山·期末）已知的外接圆半径是2，，，边长 . 【答案】2或4/4或2 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理列方程可求出. 【解析】因为的外接圆半径是2，， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， ，化简得， 解得或， 故答案为：2或4 21．（2022高一下·上海杨浦·期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是 . 【答案】. 【分析】根据已知条件结合余弦定理求解即可. 【解析】由，得 ， 由余弦定理得， 因为， 所以， 故答案为：. 22．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【解析】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 23．（24-25高三上·上海·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解析】在中，因为， 可得，且，， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 24．（2022高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【答案】①④ 【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 【解析】对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④. 25．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【解析】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 考点07：解三角形的应用 26．（2023高一下·上海宝安中学·期中）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 【答案】 【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得. 【解析】在三角形中由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 在中由余弦定理得 ， 所以. 故答案为：. 27．（23-24高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为 （精确到1米）    【答案】445米 【分析】假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解； 【解析】设该扇形的半径为米，连接. 由题意， 得(米)，（米）， 在中， 即， 解得（米).    28．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 29．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 考点08：综合解答题 30．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【解析】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 31．（23-24高一下·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据倍角公式结合三角形内角和关系分析求解； （2）由（1）可知：，由题意可知，利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果. 【解析】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 32．（23-24高三上·上海普陀·期末）在中，已知分别为的对边，且，， (1)求满足的表达式 (2)如果，求出此时面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，结合正弦边角关系及差角余弦公式、诱导公式得，最后由正余弦边角关系得到的关系式； （2）应用余弦定理及平方关系得且，根据向量模长坐标表示得，进而有，再由三角形面积公式得面积，即可求最大值. 【解析】（1）由题设， 所以， 则，， 又，则， 所以，故，故. （2）由，故，且， 由，即，故， 又面积， 当，即时，. 33．（23-24高三上·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)若为钝角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解； （2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围. 【解析】（1）由，得， 即，所以， 又，所以，又且，所以. （2）由正弦定理，得， 所以，所以， 因为是钝角三角形，不妨设为钝角，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$