精品解析：四川省成都市玉林中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

2024——2025学年度（下期）初2024级5月定时练习 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.若，光线传播方向改变了，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3.5cm B. 4cm，5cm，9cm C. 5cm，8cm，15cm D. 6cm，8cm，9cm 5. 如图，若，则判断成立的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 等式_____成立，横线内应填入下式中的（　　） A. B. C. D. 7. 如图,在Rt△ABC 中，∠C=90°，在AC和AB 上分别截取AE、AD，使 AE=AD分别以点D、E 为圆心，大于立DE 长为半径作弧,两弧在∠BAC 内交于点F，作射线AF交边BC 于点G，若 CG=4，AB=10，则△ABG 面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 30 D. 40 8. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，，则______． 10. 如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 _____米．（填具体数值） 11. 不透明袋子中装有10个球，其中有8个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别，现再放入n个除颜色外无其他差别的红球，如从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为，那么n的值为______． 12. 已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为________． 13. 如图，已知点是边上的动点（不与、重合），在的同侧作等腰和等腰，连接，则______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）化简：； 15 先化简，再求值：．其中． 16. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 082 0.83 （1）填空：______，______，______； （2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； （3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 17. 如图，于点，于点，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：，理由如下： 因为，（已知） ，（___________） （____________） ___________．（___________） （已知） ___________，（___________） ∴，（___________） （已知） __________，（___________） ．（___________） 18. 如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当____时，面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若是一个完全平方式，则______． 20. 已知，，是三角形的三条边，化简__________． 21. 若和的两边分别平行，且比的两倍少，则的度数为_________ 22. 如图点为的重心．已知的面积为2，则的面积为_______． 23. 在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“高倍三角形”时，为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休，”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； （2）【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式之间的等量关系为_____； （3）【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值 25. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） （1）先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； （2）请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； （3）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 26. （1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年度（下期）初2024级5月定时练习 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂相除法则，同底数幂相乘法则是解题的关键． 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.若，光线传播方向改变了，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角相等，角之间的位置关系求解． 【详解】解：如图，, ∴ 故选：A 【点睛】本题考查对顶角相等，理解两直线相交，对顶角相等是解题的关键． 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3.5cm B. 4cm，5cm，9cm C. 5cm，8cm，15cm D. 6cm，8cm，9cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵1+2=3＜3.5，∴不能构成三角形，故本选项错误； B、∵4+5=9，∴不能构成三角形，故本选项错误； C、∵8+5=13＜15，∴不能构成三角形，故本选项错误； D、∵6+8＞9，∴能构成三角形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 5. 如图，若，则判断成立的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据AC作为公共边，结合已知条件即可判断． 【详解】解：∵AC为公共边， ∴AC=AC， 在△ABC和△ADC中， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形判定的依据，理解全等三角形的判定方法是解题关键． 6. 等式_____成立，横线内应填入下式中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，掌握平方差公式是关键．根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴横线内应填入， 故选：D ． 7. 如图,在Rt△ABC 中，∠C=90°，在AC和AB 上分别截取AE、AD，使 AE=AD分别以点D、E 为圆心，大于立DE 长为半径作弧,两弧在∠BAC 内交于点F，作射线AF交边BC 于点G，若 CG=4，AB=10，则△ABG 的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到GM=CG=4，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作GM⊥AB于M， 由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线， ∵∠C=90°，GM⊥AB， ∴GM=CG=4， ∴△ABG面积= 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，据此可得的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则的逆用，进行作答即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，难度较小，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则的逆用是解题的关键． 10. 如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 _____米．（填具体数值） 【答案】3.15 【解析】 【分析】根据跳远的距离应该是起跳板到P点的垂线段的长度进行求解即可 【详解】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米， 故答案为：3.15． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 11. 不透明袋子中装有10个球，其中有8个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别，现再放入n个除颜色外无其他差别的红球，如从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为，那么n的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查概率公式，由概率公式可列方程为，求出n的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴n的值为4． 故答案为：4． 12. 已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为， ∴另一边长为：． 故答案为：． 13. 如图，已知点是边上的动点（不与、重合），在的同侧作等腰和等腰，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先求出，证明，得到，再利用三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）化简：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，含乘方的混合运算，积的乘方运算，单项式的乘除运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方，零次幂，再计算绝对值，最后合并即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算单项式的乘法与除法运算即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 15. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式. 16. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 0.82 0.83 （1）填空：______，______，______； （2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_____（精确到0.1）； （3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数． 【答案】（1）；； （2） （3）估计他命中的次数为次． 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． 【小问1详解】 解：，，； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）可知，该运动员投中的概率为， ， 估计他命中的次数为次． 17. 如图，于点，于点，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：，理由如下： 因为，（已知） ，（___________） （____________） ___________．（___________） （已知） ___________，（___________） ∴，（___________） （已知） __________，（___________） ．（___________） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：，理由如下： 因为，（已知） ，（垂直的定义） ，（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） （已知） ∴，（内错角相等，两直线平行） ．（平行于同一直线的两直线平行） 18. 如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当____时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． 【小问2详解】 解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若是一个完全平方式，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题主要考查完全平方公式的形式，根据完全平方公式的形式即可解答．解题的关键是熟知完全平方公式的特点． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：36． 20. 已知，，是三角形的三条边，化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系可得 ， ，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三条边， ∴ ， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系，绝对值的性质是解题的关键． 21. 若和的两边分别平行，且比的两倍少，则的度数为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行线的性质，分类讨论：当；当，即可． 【详解】∵和的两边分别平行， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，学会分类讨论的解题思路． 22. 如图点为的重心．已知的面积为2，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，以及三角形面积与边长的关系，解题的关键是掌握三角形重心的性质． 利用三角形重心的性质得出三角形边长之间的数量关系，然后根据高相等，三角形的面积比等于底边的比求出三角形的面积． 【详解】解：∵点为的重心， ∴，， ， ， ， ， 故答案为：12． 23. 在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“高倍三角形”时，为___________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可． 详解】解：设，则， ∵ ∴ ∵为“高倍三角形” 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：（舍）； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即 ，解得：；（舍） 故答案为：或或或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休，”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； （2）【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式之间的等量关系为_____； （3）【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值 【答案】（1）， （2） （3）6；-6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【小问1详解】 方法一：； 方法二：， 【小问2详解】 代数式，，之间的等量关系为： ； 故答案为： 【小问3详解】 由（2）可得． ∴或． 25. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） （1）先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； （2）请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； （3）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）作图见详解 （3）池塘宽度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意，运用边角边证明，即可求解； （2）根据全等三角形的性质作图即可； （3）根据题意，延长交于点，由图形可得，则，由直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边一半得到，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， 在池塘外取一点，连接，使得，延长到点使得，，过点作，交延长线于点， 运用角边角可证，则， ∴测得的长即可求解； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴池塘宽度． 26. （1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定得，，由此可得出、、的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定，则，，同理可证明得，，再证明得，再根据可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$