精品解析：2025年辽宁省沈阳市浑南区中考二模数学试卷

2025年5月教学质量调研测试 九年级数学 （试题满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系内，利用函数可以画出漂亮的图形，下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据不完全统计，截至年月，累计下载量超亿次，周活跃用户峰值近万，数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 东北四城市年月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春 6. 解分式方程时，去分母后变形为 A. B. C. D. 7. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 8. 估计的值应在（ ） A. 4与5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直 10. 《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________ ． 12. 已知，则___________． 13. 现有四张卡片依次写有“五”“一”“快”“乐”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从五随机一次抽取两张，则抽到的汉字恰好是“快”“乐”的概率是___________． 14. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为___________． 15. 如图，在中，，在上取点E，使得，连接；以点C为圆心作弧交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径，在点C的异侧作弧交于点F，射线交于点P，连接，则的长为 ______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度是所受拉力的一次函数．当弹簧所受拉力为时，弹簧长；所受拉力为时，弹簧长． （1）求弹簧在不受力时的自然长度； （2）若弹簧最大长度不超过，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？ 18. 为增强学生国家安全意识，学校开展了国家安全知识竞赛．现分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用（分）表示，80分及以上为优秀，共分成五组（组：；组：；组：；组：；组：）将数据进行分析，得到如下统计图，如图1，2．设七年级抽取学生中成绩在B组的人数为，八年级抽取学生中成绩在A组的人数所占的百分比为．请你根据以上信息，回答下列问题： （1）求和的值； （2）已知七年级B组学生竞赛成绩从高到低排列，排在最后的10个数据分别是82，82，81，81，81，81，80，80，80，80，求七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数； （3）已知七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生一共有多少名？ 19. 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 20. 在公园，巨型雕塑垂直耸立在观赏台上，平行于水平地面．小李在处测得雕塑顶端的仰角为，为了仔细观察，他先从点沿水平方向向左行走米到达点，再经过一段坡度（或坡比）为，坡长为米的斜坡到达点，再沿水平方向向左行走米到达雕塑底部处． （1）求观赏台距离地面的高度； （2）求巨型雕塑的高度（精确到1米）． （参考数据：） 21. 已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 22. 已知：如图1，，点为射线上一点，连接，将沿翻折得到，作的角平分线，过点作，交于点，直线交于点． （1）如图2，当点与重合时，求四边形的面积； （2）求证：； （3）如图3，点在线段上，，将线段绕点顺时针旋转，点旋转至点，连接，交于点． ①求的长； ②请直接写出的长． 23. 与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． （1）如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； （2）如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月教学质量调研测试 九年级数学 （试题满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看看到的图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得，从上面看看到的图形分为上下两层，共3列，上面一层有3个小正方形，下面一层中间一列有1个小正方形，即该几何体的俯视图为 故选：B． 2. 在平面直角坐标系内，利用函数可以画出漂亮的图形，下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选不项符合题意； 故选A． 3. 据不完全统计，截至年月，累计下载量超亿次，周活跃用户峰值近万，数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除运算、积的乘方和合并同类项的运算法则，依次计算各个选项，即可进行解答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方和合并同类项，掌握这些知识是解答本题的关键． 5. 东北四城市年月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴气温最低的城市是长春， 故选：． 6. 解分式方程时，去分母后变形为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程， 两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1）， 故选D． 7. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据矩形对边平行和平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 8. 估计的值应在（ ） A. 4与5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先计算，再进行无理数的估算，即可作答． 【详解】解： ， ， ， 的值应在5和6之间， 故选B． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质逐项分析判断即可即可求解． 本题考查了判断命题的真假，掌握平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，故该选项不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原命题是真命题，故该选项符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，不相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选B． 10. 《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 现有四张卡片依次写有“五”“一”“快”“乐”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从五随机一次抽取两张，则抽到的汉字恰好是“快”“乐”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题一查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从五选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．列表得出所有等可能结果，从五找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 五 一 快 乐 五 一，五 快，五 乐，五 一 五，一 快，一 乐，一 快 五，快 一，快 乐，快 乐 五，乐 一，乐 快，乐 由表可知，共有12种等可能结果，其五抽到的汉字恰好是“快”、“乐”的有2种结果， 所以抽到的汉字恰好是“快”、“乐”的概率为=， 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，坐标系中两点距离计算公式，取，过点C作交线段于D，则，可求出，，则，据此可证明的面积等于，则，故点Q在线段上（不包括端点），设，再分，三种情况利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，取，过点C作交线段于D，则 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且面积为， ∴的面积等于， ∴， ∴点Q在线段上（不包括端点）， 设， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点Q的坐标为； 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，在上取点E，使得，连接；以点C为圆心作弧交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径，在点C的异侧作弧交于点F，射线交于点P，连接，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图（角平分线）、解直角三角形等知识点．灵活运用相关知识是解题的关键． 先根据平行四边形性质和等腰三角形性质求出的度数，进而得到的度数，再求出的长度，然后过点B作的垂线，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 又∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由尺规作图可知是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图：过B作交延长线与H， ∵， ∴， 在中，，， 在中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度是所受拉力的一次函数．当弹簧所受拉力为时，弹簧长；所受拉力为时，弹簧长． （1）求弹簧在不受力时的自然长度； （2）若弹簧最大长度不超过，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数表达式． （1）设一次函数表达式，将两组拉力与弹簧长度数据代入列方程组，求解得到函数关系式，令得出弹簧自然长度． （2）根据弹簧最大长度列出关于拉力的不等式，解不等式求出弹簧所受最大拉力． 【小问1详解】 设与的函数关系式为（）． 已知当时，；当时，． 将其分别代入中，得到方程组． 解得： 所以与的函数关系式为． 当时， 答：弹簧在不受力时的自然长度为． 【小问2详解】 由题意得：弹簧最大长度不超过， 即， ， ． 即． 解得． 答：弹簧所受的最大拉力为牛． 18. 为增强学生国家安全意识，学校开展了国家安全知识竞赛．现分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用（分）表示，80分及以上为优秀，共分成五组（组：；组：；组：；组：；组：）将数据进行分析，得到如下统计图，如图1，2．设七年级抽取学生中成绩在B组的人数为，八年级抽取学生中成绩在A组的人数所占的百分比为．请你根据以上信息，回答下列问题： （1）求和的值； （2）已知七年级B组学生竞赛成绩从高到低排列，排在最后的10个数据分别是82，82，81，81，81，81，80，80，80，80，求七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数； （3）已知七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生一共有多少名？ 【答案】（1） （2）分 （3）718人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数和用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用100减去七年级除B外的其他组人数即可得到a的值；用1减去八年级除去A之外的其他组的人数占比即可得到b的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用对应年级的人数乘以样本中对应年级的优秀人数占比求出对应年级的优秀人数，二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵七年级调查的人数为100人， ∴把这100人的乘积按照从高到低排列，中位数为第50和第51个数的平均数， ∵， ∴七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：人 ∴估计两个年级竞赛成绩优秀的学生一共约有718人． 19. 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． （1）求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； （2）已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】（1）该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【小问1详解】 解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 ∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 20. 在公园，巨型雕塑垂直耸立在观赏台上，平行于水平地面．小李在处测得雕塑顶端的仰角为，为了仔细观察，他先从点沿水平方向向左行走米到达点，再经过一段坡度（或坡比）为，坡长为米的斜坡到达点，再沿水平方向向左行走米到达雕塑底部处． （1）求观赏台距离地面的高度； （2）求巨型雕塑的高度（精确到1米）． （参考数据：） 【答案】（1）米 （2）约米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）利用坡度定义和勾股定理求观赏台高度； （2）通过构造直角三角形，用正切函数求雕塑总高度，再减去已知的观赏台高度． 【小问1详解】 如图，过点作于点． 已知斜坡的坡度（或坡比）为， 即， 设， 则． 在中，根据勾股定理， 米， ， 即， 解得：（舍去）． 米， 答：观赏台距离地面的高度为米． 【小问2详解】 如图，延长交于， 则， ，， 四边形为矩形， ， 由题意知米，米，米， 所以米． 在中，， ， 米，， 米． 米． 答：巨型雕塑的高度约为米． 21. 已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：过C作圆的直径，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过C作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，推出，即可证明是切线； （2）由圆周角定理得到，求出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 22. 已知：如图1，，点为射线上一点，连接，将沿翻折得到，作的角平分线，过点作，交于点，直线交于点． （1）如图2，当点与重合时，求四边形的面积； （2）求证：； （3）如图3，点在线段上，，将线段绕点顺时针旋转，点旋转至点，连接，交于点． ①求的长； ②请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质，旋转的性质，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，据此可证明四边形是正方形，再根据正方形面积计算公式求解即可； （2）由折叠的性质和平行线的性质可得，则，由角平分线的定义和平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （3）①由折叠的性质可得，同理可证明，设，由勾股定理得，，解方程即可得到答案；②过点N作于Q，可证明；由旋转的性质可得，则可得到，据此可证明，解得到，解得到，解得到，则可求出，，同理可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由折叠的性质可得， 同理可证明， ∵， ∴可设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②如图所示，过点N作于Q， 由折叠的性质可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴ 由（3）①可得， ∴， ∴在中，， ∴在中， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 23. 与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． （1）如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； （2）如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）①点的纵坐标为；②的值为或；③，有最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得点，推出，利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①设与轴交于点，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用平移的性质求解即可； ②同理求得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，根据题意列式，据此计算即可求解； ③先求得直线的解析式，得到，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是函数的图象的点， ∴，， ∴点， ∵是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到， ∴四边形是平行四边形，且， ∵四边形的面积为18， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①设与轴交于点， ∵为等腰直角三角形，， ∴也为等腰直角三角形， ∴， 设， ∵在抛物线上， ∴， 解得或， ∴， ∵将作平移变换后得到“系二次函数”， ∴将向上平移了个单位， ∴点向上平移了个单位得到点， ∴点的纵坐标为； ②同理， ∵将作平移变换后得到“系二次函数”， ∴将向上平移了个单位，向右平移了个单位， ∴点向上平移了个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析式为，即点的坐标为， 对于， 当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵为大于零的常数， ∴的值为或； ③∵在②的条件下且时， ∴， ∴平移变换后得到“系二次函数”为，点的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵当点到达原点时，两点停止运动， ∴， ∴当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $