专题02 一次函数-冲刺2025年中考数学知识模块复习突破训练

一次函数知识模块复习 专项练习一：一次函数的图象分布 专项练习二：动点与一次函数图象问题 专项练习三：参数型一次函数过定点问题 专项练习四：一次函数中平行 y 轴的线段长问题 专项练习五：含参型一次函数增减性问题 专项练习六：新定义下的一次函数问题 专项练习七：一次函数与折叠问题 专项练习一：一次函数的图象分布 ➢ 知识点睛 （1）一次函数图象的增减性 当 0k 时， y 随 x 的增大而增大；当 0k 时， y 随 x 的增大而减小； （2）一次函数的图像分布与 K b 的关系 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 （一、二、三象限） （一、三、四象限） （一、二、四象限） （二、三、四象限） ➢ 方法指引 k 的正负看函数的增减性，b 的正负看与 y 轴的交点位置 ➢ 典型练习 1．（2025•陈仓区一模）若点 P（a，b）在平面直角坐标系的第三象限，则一次函数 y＝ax+b 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．（2024 秋•新泰市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+mn与 y＝mx+n（m，n为 常数）的图象可能是（ ） A ．B． C． D． 3．（2024 秋•青阳县期末）两个 y关于 x的一次函数 y＝ax+b和 y＝bx+a在同一平面直角坐 标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．（2024 秋•淮北期末）在平面直角坐标系中，一次函数 l1：y＝﹣mx+n（m、n是常数且 m ≠0、n≠0）和一次函数 l2：y＝2mx﹣n的图象可能为（ ） A． B． C． D． 专项练习二：动点与一次函数图象问题 ➢ 知识指引 动点函数图象求解问题是中考的常考点，对于动点问题的解决，要把握好动点运动所能涉及 到的线动，面动，图形变换等相关变化状况，解决时要在静态图中“以静制动”，把动态问 题转化为静态问题，结合图形特征去处理，变化过程中的“不变量”是处理问题的关键，相 应的转折点是突破和解决问题难点。 ➢ 知识点睛 1.弄清函数图象中横轴和纵轴的意义，以及相应坐标轴的交点的含义； 2.对于分段中的折线段或曲线段所表示的转折意义要理清； 3.弄清函数图象升降的趋势及对应的运动状态； 4.特定点所表示的实际意义 ➢ 典型练习 1．（2024春•黄埔区期末）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D是 BC 的中点，动点 P从 点 C 出发沿 C－A－B 运动到点 B 停止．设点 P 的运动路程为 x,△PCD 的面积为 y,y 与 x 的图象如图 2 所示，则 Rt△ABC的面积为（ ） A．10 B．16 C．20 D．40 2.（2024春•丰满区校级期中）如图 1，已知长方形 ABCD，动点 P沿长方形 ABCD的边以 B→ C→D的路径运动，记△ABP的面积为 y，动点 P运动的路程为 x，y与 x的关系如图 2所 示，则图 2中的 m 的值为 ． 3．（2024秋•温州期末）如图 1，在等腰△ABC 中，AB＝AC，点 P是 BC上一点，过点 P作 BC 的垂线分别交射线 BA，CA 于点 D，E，设 BP 的长为 x，DE 的长为 y．当点 P 从点 B 运动 到点 C 时，y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则线段 BC 的长为 ，△ABC 的面积 为 ． 4．（2025•兴隆县一模）如图 1，光滑桌面 AB的长为 120cm,两端竖直放置挡板 AC和 BD，小 球 P（看作一点）从挡板 AC出发，匀速向挡板 BD运动，撞击挡板 BD 后反弹，以原速返 回挡板 AC，过程中小球和挡板 AC的距离 y（cm）与时间 x（s）的关系图象如图 2所示．（注： 小球和挡板的厚度忽略不许，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中 m= ，n= ，小球的速度为 cm/s. （2）求图 2中直线 EF的函数解析式． （3）若小球从挡板 AC向挡板 BD运动的过程中，同时，挡板 AC以 6cm/s 的速度匀速向挡板 BD 运动，运动过程中（小球与挡板 BD撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时， 运动时间为 t,请直接写出 t的值． 专项练习三：参数型一次函数过定点问题 ➢ 知识指引 我们知道函数作为初中阶段比较重要的一块知识内容，呈现了变量之间的关系，而函数中的 变量常以字母的方式来表现，所以体现的是字母之间的关系。对于参数型函数，建立在常规 的函数知识的认知上，掌握参数函数的解题方法，能有效增强学生对数学抽象化的理解和数 学思维能力的提高，下面我们就来学习一下参数型一次函数过定点问题： 导例：已知一次函数 y=kx－1－3k（k≠0）．该函数图象一定经过定点 A，求 A 点 坐标； （1）由 y=kx－1－3k=（x－3）k－1， →分离参数 k 令 x－3=0， →赋值，令参数前的代数式为 0 ∴x=3，此时 y=－1， ∴A（3，－1）． →说明定点 ➢ 典型例题 1.如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的端点坐标为 A（1，1），B（3，2），一次函数 y＝ kx－2与线段 AB 有交点，则 k的值不可能是（ ） A． 4 3 B． 5 3 C．3 D．4 2.在平面直角坐标系中，有 A（1，2），B（3，2）两点，另有一次函数 y=kx+b（k≠0）的图 象． （1）若 k=1，b=2，判断函数 y=kx+b（k≠0）的图象与线段 AB是否有交点？请说明理由． （2）当 b=12时，函数 y=kx+b（k≠0）图象与线段 AB有交点，求 k的取值范围． （3）若 b=-2k+2，求证：函数 y=kx+b（k≠0）图象一定经过线段 AB的中点． 3．如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，a），B（a+2，a），其中 a＞0，直线 y=kx－2 与 y 轴相交于 C 点． （1）已知 a=2， ①S△ ABC= ； ②若直线 y=kx－2 将线段 AB 分成 1∶2 两部分，求 k 的值； （2）当 k=2 时，若直线 y=kx－2 与线段 AB 交于点 D（点 D 不与 A、B 重合）， 且 AD＜3，求 a 的取值范围． 4．（2025•邯郸一模）如图，直线 l1经过点 A（1，6），点 B（5，﹣2），直线 l2：y＝kx﹣3k+2 （k≠0）． （1）画出直线 l1，并求直线 l1的解析式； （2）请你通过计算说明：当 k≠0时，直线 l2总经过一个定点 P，且该定点在直线 l1上； （3）设直线 l1，直线 l2与 y 轴分别交于点 C，点 D，若点 D 在线段 CO 上，直接写出 PD 的取值范围． 5．（2024秋•高青县期末）如图，四边形 OABC是平行四边形，其中点 A的坐标是（10，0）， 点 O的坐标是（0，0），点 C的坐标是（4，6）． （1）请求出点 B 的坐标； （2）已知点 D 是线段 CB 上一个动点，若三角形 OAD 是等腰三角形，请求出所有符合要 求的点 D 的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b恰好将▱OABC分成面积相等的两部分，请求出 k与 b之间满足 的关系式． 专项练习四：一次函数中平行 y 轴的线段长问题 ➢ 知识储备 如下图： 平行于 x 轴的线段长，相应横坐标之差 P1Q=x2－x1 平行于 y 轴的线段长，相应纵坐标之差 P2Q=y2－y1 平面内任意两点距离公式： 1 1 1P ( , )x y 、 2 2 2P ( , )x y ，则 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2( )PP x x y y= − + − ． 方法：学会引入点坐标，并用关系式来表示相应坐标 ➢ 典型练习 1．（2024 春•白云区期末）如图，直线 OC：y1＝x，直线 BC：y2＝﹣x+6． （1）点 C的坐标是 ；当 时，y1＞y2＞0； （2）点 D在直线 OC上，若 S△DOB= 1 2 𝑆△𝐶𝑂𝐵，求点 D的坐标； （3）作直线 a⊥x轴，并分别交直线 OC，BC于点 E，F，若 EF的长度不超过 3，求 x的 取值范围． 2．（2023 春•南沙区期末）一次函数 y＝kx+2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 C．一 次函数 y＝﹣x+4 的图象与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 D．两函数图象交于点 P（m， 3）． （1）求 k和 m的值； （2）求线段 AP的长； （3）若直线 AC 上有一动点 Q，过 Q 作直线 QH，QH 平行于 y 轴，QH 直线 BD 于点 H．当 QH＝OB时，求 Q的坐标． 3．（2024 春•裕华区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，直线𝑦 = − 3 4 𝑥 + 12与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，与直线𝑦 = 3 4 𝑥 + 6交于点 P．点 C为直线𝑦 = 3 4 𝑥 + 6 与 x轴的交点． （1）求点 P的坐标． （2）点 D是 y轴上一动点，当 S△PDC＝9 时，求点 D坐标． （3）点 Q是线段 CA上的一个动点（点 Q不与点 C，A重合），过点 Q作平行于 y轴的 直线 l，分别交直线 AB，PC于点 M，点 N，设点 Q的横坐标为 m，当 NQ＝2MN时，请 直接写出 m的值． 专项练习五：含参型一次函数增减性问题 ➢ 知识指引 对于正比例函数𝑦 = 𝑘𝑥， 要点：（1）当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小， （2）|𝑘|越大，直线与 x 轴正半轴的夹角越大，直线越陡 ➢ 典型练习 1．（2025 春•西城区校级月考）在平面直角坐标系 xOy中，将函数 y＝2x的图象向下平移 1 个单位，与函数 y＝kx＋5 的图象交于点（2，n）． （1）求 k，n的值； （2）当 x≥3 时，对于 x的每一个值，函数 y＝mx（m≠0）的值大于函数 y＝kx＋5 的值， 且小于函数 y＝2x－1 的值，直接写出 m的取值范围． 2．（2025 春•如皋市期中）已知 y关于 x的一次函数 y＝kx－2k＋1 的图象为直线 l1． （1）试说明：无论 k为何值，直线 l1 总经过点（2，1）； （2）当 m≤x≤m＋2 时，函数最大值与最小值的差为 4，求 l1 的解析式； 3．（2025 春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系 xOy中，已知一次函数 y＝kx＋1（k≠0）．点 A（a，a＋2）是平面内一点，a为任意实数，将点 A向上平移 1 个单位长度得到点 B． （1）当 a＝1 时， ①若一次函数 y＝kx＋1 图象过点 A，则 k＝ ． ②若一次函数 y＝kx＋1 与线段 AB有公共点，求 k的取值范围． （2）如果当 2＜k＜4 时，存在一次函数 y＝kx＋1，它的图象与线段 AB有公共点，直接 写出满足题意的 a的取值范围 ． 4．（2022 春•天河区期末）已知直线 y= 1 2 x，记为 l1． （1）填空：直线 y= 1 2 x＋1 可以看作是由直线 l1 向 平移 个单位得到； （2）将直线 l1 沿 x轴向右平移 4 个单位得到直线 l2，解答下列问题： ①求直线 l2 的函数解析式； ②若 x取任意实数时，函数 y＝|x－m|的值恒大于直线 l2 的函数值，结合图象求出 m的取 值范围． 解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/7 17:18:22 ；用户：几米的阳光；邮箱：UID_08 E7C2812F708B56 6BF38EA0 63C37C8A@qq.jyeoo.com；学号：25146074 专项练习六：新定义下的一次函数问题 ➢ 知识指引 解新定义题型的步骤: (1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论!(2)重视“举例”, 利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳 “举例”提供的分类情况! (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题 ➢ 典型练习 1．（2022春•海珠区期末）当 m，n为实数，且满足 m＋nm＝n时，就称点 P（m， 𝑚 𝑛 ）为“状 元点”．已知点 A（0，7）和点 M都在直线 y＝x＋b上，点 B，C是“状元点”，且 B在直 线 AM上． （1）求 b的值及判断点 F（2，6）是否为“状元点”； （2）请求出点 B 的坐标； （3）若 AC≤5√2，求点 C的横坐标的取值范围． 2．（2025春•崇明区期中）新定义[a，b]为一次函数 y＝ax＋b（a≠0，a、b为实数）的“关 联数”． （1）若“关联数”[3，2－b]的一次函数为正比例函数，求 b的值． （2）已知直角坐标系中点 A（1，3），点 B（2，7），求图象过 A、B两点的一次函数的关 联数． 3. （2023 春•雨花区期末）对于平面直角坐标系 xOy 中的任意一点 P（x,y），给出如下定 义：记 a=x＋y,b=-y,将点 M（a,b）与 N（b,a）称为点 P的一对“相伴点”．例如：点 P （2，3）的一对“相伴点”是点（5，-3）与（-3，5）． （1）求点 Q（4，-1）的一对“相伴点”的坐标； （2）若点 A（8，y）的一对“相伴点”重合，求 y的值； （3）若点 B的一对“相伴点”之一为（-1，7），求点 B的坐标 4.定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点 P（x，y）如果满足 y＝2|x|，我们就把点 P （x，y）称作“和谐点”． （1）在直线 y＝6 上的“和谐点”为 ； （2）求一次函数 y＝－x＋2的图象上的“和谐点”坐标； （3）已知点 P，点 Q 的坐标分别为 P（2，2），Q（m，5），如果线段 PQ 上始终存在“和 谐点”，直接写出 m的取值范围是 ． 专项练习七：一次函数与折叠问题 ➢ 知识解读 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称变换是一种变换体现的是由一个图形得到它的轴 对称图形的过程， 是一个运动的过程。 ➢ 轴对称图态剖析及性质 （1）全等变换：折叠前后对应边相等，对应角相等； （2）对称轴性质： 折叠前后对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 对称轴上的点与对应点距离相等． ➢ 折叠问题的处理思路 （1）找折痕（所在直线为对称轴）； （2）表达、转移； （3）利用勾股或相似来计算或列方程． （4）注意落点的确定性与不确定性，并考虑分类. ➢ 典型练习 1.（2025春•镇平县期中）如图，直线 y= 4 3 x+8与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，点 M是 线段 OB上一点，将△ABM沿 AM所在直线折叠后，点 B恰好落在 x轴上的点 B′处，则直 线 AM的解析式为 ． l A' B' C'C B A 2．（2024 秋•蜀山区校级期末）如图，直线 y=2x-6 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 在 y轴的正半轴上，D在直线 AB上，且 CB=10，CD=OD．若点 P为线段 AB上的一个动点， 横坐标为 m,且 P 关于 x轴的对称点 Q总在△OCD内（不包括边界）． （1）点 C的坐标为 ； （2）点 P的横坐标 m 的取值范围为 ． 3．（2022 春•罗湖区期末）如图，矩形 ABCO 中，点 C 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，点 B 的坐 标是（﹣6，8）．矩形 ABCO 沿直线 BD 折叠，使得点 A 落在对角线 OB 上的点 E 处，折痕 与 OA、x 轴分别交于点 D、F． （1）求证：△BOF是等腰三角形； （2）求直线 BD的解析式； （3）若点 P 是平面内任意一点，点 M 是线段 BD 上的一个动点，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂 足为点 N．在点 M 的运动过程中是否存在以 P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在， 直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2022春•柳州期末）如图，矩形 OABC中，点 A在 x轴上，点 C在 y轴上，点 B的坐标 是（6，8），将矩形 OABC沿直线 BD折叠，使得点 C恰好落在对角线 OB上的点 E处，折痕 所在直线与 y轴、x轴分别交于点 D、F． （1）求线段 OE的长； （2）求点 F的坐标； （3）若点 M 在直线 y= − 1 2 x 上，则在直线 BD上是否存在点 P，使以 C、D、M、P 为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点 P的坐标；否则，说明理由． 一次函数知识模块复习 专项练习一：一次函数的图象分布 专项练习二：动点与一次函数图象问题 专项练习三：参数型一次函数过定点问题 专项练习四：一次函数中平行 y 轴的线段长问题 专项练习五：含参型一次函数增减性问题 专项练习六：新定义下的一次函数问题 专项练习七：一次函数与折叠问题 专项练习一：一次函数的图象分布 ➢ 知识点睛 （1）一次函数图象的增减性 当 0k 时， y 随 x 的增大而增大；当 0k 时， y 随 x 的增大而减小； （2）一次函数的图像分布与 K b 的关系 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 （一、二、三象限） （一、三、四象限） （一、二、四象限） （二、三、四象限） ➢ 方法指引 k 的正负看函数的增减性，b 的正负看与 y 轴的交点位置 ➢ 典型练习 1．（2025•陈仓区一模）若点 P（a，b）在平面直角坐标系的第三象限，则一次函数 y＝ax+b 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵点 P（a，b）在第三象限，∴a＜0，b＜0， ∴直线 y＝ax+b经过第二、三、四象限．故选：D． 2．（2024 秋•新泰市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝x+mn与 y＝mx+n（m，n为 常数）的图象可能是（ ） A ．B． C． D． 【解答】解：若 m＞0，n＞0，则一次函数 y＝x+mn 与 y＝mx+n 都经过第一、二、三象 限，没有符合条件的选项； 若 m＞0，n＜0，则一次函数 y＝x+mn与 y＝mx+n都经过第一、三、四象限，没有符合条 件的选项； 若 m＜0，n＜0，则一次函数 y＝x+mn 经过第一、二、三象限，y＝mx+n 经过第二、三、 四象限，没有符合条件的选项； 若 m＜0，n＞0，则一次函数 y＝x+mn 经过第一、三、四象限，y＝mx+n 经过第一、二、 四象限，C选项符合条件； 3．（2024 秋•青阳县期末）两个 y关于 x的一次函数 y＝ax+b和 y＝bx+a在同一平面直角坐 标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、对于 y＝ax+b，当 a＞0，图象经过第一、三象限，则 b＞0，y＝bx+a也 要经过第一、三象限，所以 A选项不符合题意； B、对于 y＝ax+b，当 a＞0，图象经过第一、三象限，则 b＜0，y＝bx+a经过第二、四象 限，与 y轴的交点在 x轴上方，所以 B选项符合题意； C、对于 y＝ax+b，当 a＞0，图象经过第一、三象限，则 b＞0，y＝bx+a 也要经过第一、 三象限，所以 C选项不符合题意； D、对于 y＝ax+b，当 a＜0，图象经过第二、四象限，若 b＞0，则 y＝bx+a经过第一、三 象限，所以 D选项不符合题意． 故选：B． 4．（2024 秋•淮北期末）在平面直角坐标系中，一次函数 l1：y＝﹣mx+n（m、n是常数且 m ≠0、n≠0）和一次函数 l2：y＝2mx﹣n的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：当 m＞0，n＞0 时，则﹣m＜0，﹣n〈0，2m〉0， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数 l2：y＝2mx﹣n的图象经过第一、三、 四象限， 当 m＜0，n＜0 时，则﹣m＞0，﹣n＞0，2m＜0， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数 l2：y＝2mx﹣n的图象经过第一、二、 四象限， 当 m〈0，n〉0 时，则﹣m＞0，﹣n＜0，2m＜0， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数 l2：y＝2mx﹣n的图象经过第二、三、 四象限， 当 m＞0，n＜0 时，则﹣m〈0，﹣n〉0，2m＞0， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数 l2：y＝2mx﹣n的图象经过第一、二、 三象限， 综上，只有选项 D符合题意， 故选：D． 专项练习二：动点与一次函数图象问题 ➢ 知识指引 动点函数图象求解问题是中考的常考点，对于动点问题的解决，要把握好动点运动所能涉及 到的线动，面动，图形变换等相关变化状况，解决时要在静态图中“以静制动”，把动态问 题转化为静态问题，结合图形特征去处理，变化过程中的“不变量”是处理问题的关键，相 应的转折点是突破和解决问题难点。 ➢ 知识点睛 1.弄清函数图象中横轴和纵轴的意义，以及相应坐标轴的交点的含义； 2.对于分段中的折线段或曲线段所表示的转折意义要理清； 3.弄清函数图象升降的趋势及对应的运动状态； 4.特定点所表示的实际意义 ➢ 典型练习 1．（2024春•黄埔区期末）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D是 BC 的中点，动点 P从 点 C 出发沿 C－A－B 运动到点 B 停止．设点 P 的运动路程为 x,△PCD 的面积为 y,y 与 x 的图象如图 2 所示，则 Rt△ABC的面积为（ ） A．10 B．16 C．20 D．40 解：由图象可知：当 x=4时，CP=4，∴y= 1 2 ×4×CD=4，∴CD=2， ∵点 D是 BC的中点，∴BC=4， 当 x=10时，此时点 P 和点 A重合，∴AC=10， 在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=10，∴S△ABC= 1 2 AC•BC= 1 2 ×4×10=20，故选：C． 2.（2024春•丰满区校级期中）如图 1，已知长方形 ABCD，动点 P沿长方形 ABCD的边以 B→ C→D的路径运动，记△ABP的面积为 y，动点 P运动的路程为 x，y与 x的关系如图 2所 示，则图 2中的 m 的值为 ． 【解答】解：从图（2）看，BC＝6，CD＝4， 则当 x＝6时，点 P在点 C处，则 m＝y= 1 2 ×AB×BC= 1 2 ×6×4＝12， 故答案为：12． 3．（2024秋•温州期末）如图 1，在等腰△ABC 中，AB＝AC，点 P是 BC上一点，过点 P作 BC 的垂线分别交射线 BA，CA 于点 D，E，设 BP 的长为 x，DE 的长为 y．当点 P 从点 B 运动 到点 C 时，y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则线段 BC 的长为 ，△ABC 的面积 为 ． 【解答】解：观察图象可知，当 x＝3时，y＝0，则说明 D、E、A三点重合， 又因为 PE⊥BC，由三线合一可知，此时 P为 BC中点， 故 BC＝6． 设过点（3，0）和（5，8）的直线解析式为 y＝kx+b， 则{ 3𝑘 + 𝑏 = 0 5𝑘 + 𝑏 = 8 ，可得{ 𝑘 = 4 𝑏 = −12 ，所以 y＝4x﹣12， 令 x＝6，则 y＝12，即 P到达 C点时，DE＝12， 由中位线定理可得此时 BC边上的高为 6，故△ABC的面积为 1 2 × 6 × 6 = 18． 故答案为：6，18． 4．（2025•兴隆县一模）如图 1，光滑桌面 AB的长为 120cm,两端竖直放置挡板 AC和 BD，小 球 P（看作一点）从挡板 AC出发，匀速向挡板 BD运动，撞击挡板 BD 后反弹，以原速返 回挡板 AC，过程中小球和挡板 AC的距离 y（cm）与时间 x（s）的关系图象如图 2所示．（注： 小球和挡板的厚度忽略不许，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中 m= ，n= ，小球的速度为 cm/s. （2）求图 2中直线 EF的函数解析式． （3）若小球从挡板 AC向挡板 BD运动的过程中，同时，挡板 AC以 6cm/s 的速度匀速向挡板 BD 运动，运动过程中（小球与挡板 BD撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时， 运动时间为 t,请直接写出 t的值． 解：（1）由函数图象可知 n=120，小球到达 BD时 x=12， ∴小球的速度为 120÷2=10cm/s. 由条件可得 m=12×2=24s. 故答案为：120，24，10； （2）直线 EF的函数解析式为 y=kx+b,把 E（12，120），F（24，0）代入，得{ 12𝑘 + 𝑏 = 120 24𝑘 + 𝑏 = 0 ， 可得{ 𝑘 = −10 𝑏 = 240 ∴y=－10x+240； （3）设挡板 AC运动后的位置为 A′C′，由题意得： A′P=10t－6t,BP=120－10t, 由条件可得 10t－6t=120－10t, 解得 t= 60 7 ，∴t 的值为 60 7 s． 专项练习三：参数型一次函数过定点问题 ➢ 知识指引 我们知道函数作为初中阶段比较重要的一块知识内容，呈现了变量之间的关系，而函数中的 变量常以字母的方式来表现，所以体现的是字母之间的关系。对于参数型函数，建立在常规 的函数知识的认知上，掌握参数函数的解题方法，能有效增强学生对数学抽象化的理解和数 学思维能力的提高，下面我们就来学习一下参数型一次函数过定点问题： 导例：已知一次函数 y=kx－1－3k（k≠0）．该函数图象一定经过定点 A，求 A 点 坐标； （1）由 y=kx－1－3k=（x－3）k－1， →分离参数 k 令 x－3=0， →赋值，令参数前的代数式为 0 ∴x=3，此时 y=－1， ∴A（3，－1）． →说明定点 ➢ 典型例题 1.如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的端点坐标为 A（1，1），B（3，2），一次函数 y＝ kx－2与线段 AB 有交点，则 k的值不可能是（ ） A． 4 3 B． 5 3 C．3 D．4 【解】把 A（1，1）代入 y＝kx－2得，1＝k－2，解得 k＝3， 把 B（3，2）代入 y＝kx－2得，2＝3k－2，解得 k＝ 4 3 ， 若直线 y＝kx－2 与线段 AB有交点，则 4 3 ≤k≤3，所以 k的值不可能是 4．故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，a），B（a+2，a），其中 a＞0，直线 y=kx－2 与 y 轴相交于 C 点． （1）已知 a=2， ①S△ ABC= ； ②若直线 y=kx－2 将线段 AB 分成 1∶2 两部分，求 k 的值； （2）当 k=2 时，若直线 y=kx－2 与线段 AB 交于点 D（点 D 不与 A、B 重合）， 且 AD＜3，求 a 的取值范围． 】解：（1）①当 a=2 时，则 A（2，2），B（4，2），∴AB=4－2=2， ∵直线 y=kx－2 与 y 轴相交于 C 点，∴C（0，－2）， ∴S△ ABC= 1 2 ×2×（2+2）=4；故答案为：4； ②∵直线 y=kx－2 将线段 AB 分成 1：2 两部分，A（2，2），B（4，2）， ∴直线 y=kx－2 与线段 AB 的交点为（2+ 2 3 ，2）或（2+ 4 3 ，2），即（ 8 3 ，2）或 （ 10 3 ，2）， 当交点为（ 8 3 ，2）时，代入 y=kx－2 得，2= 8 3 k－2，解得 k= 3 2 ； 当交点为（ 10 3 ，2）时，代入 y=kx－2 得，2= 10 3 k－2，解得 k= 6 5 ； ∴直线 y=kx－2 将线段 AB 分成 1：2 两部分，k 的值为 3 2 或 6 5 ； （2）当 k=2 时，y=2x－2， 当 y=a 时，a=2x－2，解得 x= 𝑎+2 2 ，∴D（ 𝑎+2 2 ，a）且 D 在 A 的右侧， ∵AD＜3，∴ 𝑎+2 2 －2＜3 且 𝑎+2 2 ＞2，解得 2＜a＜8． 故 a 的取值范围是 2＜a＜8． 3．（2025•邯郸一模）如图，直线 l1经过点 A（1，6），点 B（5，﹣2），直线 l2：y＝kx﹣3k+2 （k≠0）． （1）画出直线 l1，并求直线 l1的解析式； （2）请你通过计算说明：当 k≠0时，直线 l2总经过一个定点 P，且该定点在直线 l1上； （3）设直线 l1，直线 l2与 y 轴分别交于点 C，点 D，若点 D 在线段 CO 上，直接写出 PD 的取值范围． 【解答】解：（1）设直线 l的解析式为 y＝mx+n，将（1，6），（5，﹣2）代入得， { 6 = 𝑚 + 𝑛 −2 = 5𝑚+ 𝑛 ，解得{ 𝑚 = −2 𝑛 = 8 即直线 l的解析式为：y＝﹣2x+8． 画直线 l1如图所示： （2）y＝kx﹣3k+2＝k（x﹣3）+2，即函数过定点（3，2）． 当 x＝3时，y＝﹣2×3+8＝2，可知点（3，2）在直线 l1上； （3）3 ≤ 𝑃𝐷 ≤ 3√5；∵y＝﹣2x+8，当 x＝0时，y＝8，∴点 C（0，8）， 当点 D（0，2）时，PD 最短，PD最短为 3，当点 D，C重合时， PD 最长为√32 + 62 = 3√5．∴3 ≤ 𝑃𝐷 ≤ 3√5． 4．（2024秋•高青县期末）如图，四边形 OABC是平行四边形，其中点 A的坐标是（10，0）， 点 O的坐标是（0，0），点 C的坐标是（4，6）． （1）请求出点 B 的坐标； （2）已知点 D 是线段 CB 上一个动点，若三角形 OAD 是等腰三角形，请求出所有符合要 求的点 D 的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b恰好将▱OABC分成面积相等的两部分，请求出 k与 b之间满足 的关系式． 【解答】解：（1）点 A 坐标是（10，0），O（0，0），∴OA＝10， ∵四边形 OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA， ∵点 C坐标是（4，6），∴B（14，6）； （2）∵点 D是线段 CB 上一个动点，∴设 D（m，6）， ①当 OD＝OA＝10 时，三角形 OAD是等腰三角形，∴OD= √𝑚2 + 62 =10， ∴m＝8（负值舍去），∴D（8，6）， ②当 OD＝AD时，三角形 OAD是等腰三角形，则点 D在 OA的垂直平分线上，∴D（5，6）， ③OA＝AD＝10时，∴AD= √(10 −𝑚)2 + 62 =10，∴m＝2＜4（不合题意舍去）， 综上所述，D（8，6）或（5，6）； （3）如图，连接 AC，OB交于 E， ∵四边形 OABC是平行四边形，∴AE＝CE， ∵点 A坐标是（10，0），点 C坐标是（4，6），∴E（7，3）， ∵y＝kx+b正好将平行四边形 OABC分成面积相等的两部分， ∴直线 y＝kx+b过 E（7，3），∴3＝7k+b，∴k= 3−𝑏 7 ，即 k与 b的函数关系式为 k= − 1 7 b+ 3 7 ． 专项练习四：一次函数中平行 y 轴的线段长问题 ➢ 知识储备 如下图： 平行于 x 轴的线段长，相应横坐标之差 P1Q=x2－x1 平行于 y 轴的线段长，相应纵坐标之差 P2Q=y2－y1 平面内任意两点距离公式： 1 1 1P ( , )x y 、 2 2 2P ( , )x y ，则 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2( )PP x x y y= − + − ． 方法：学会引入点坐标，并用关系式来表示相应坐标 ➢ 典型练习 1．（2024 春•白云区期末）如图，直线 OC：y1＝x，直线 BC：y2＝﹣x+6． （1）点 C的坐标是 ；当 时，y1＞y2＞0； （2）点 D在直线 OC上，若 S△DOB= 1 2 𝑆△𝐶𝑂𝐵，求点 D的坐标； （3）作直线 a⊥x轴，并分别交直线 OC，BC于点 E，F，若 EF的长度不超过 3，求 x的 取值范围． 【解答】解：（1）由{ 𝑦 = 𝑥 𝑦 = −𝑥 + 6得，{ 𝑥 = 3 𝑦 = 3 ，所以点 C坐标为（3，3）． 令﹣x+6＝0 得，x＝6，所以点 B的坐标为（6，0）． 由函数图象可知， 当 3＜x＜6 时，函数 y1 的图象在函数 y2 图象的上方，且都在 x轴上方， 所以当 3＜x＜6 时，y1＞y2＞0． 故答案为：（3，3），3＜x＜6． （2）设点 D的坐标为（m，m）， 因为𝑆△𝐶𝑂𝐵 = 1 2 × 6 × 3 = 9，且 S△DOB= 1 2 𝑆△𝐶𝑂𝐵， 所以 S△DOB= 9 2 ， 则 1 2 × 6 × |𝑦 𝐷 | = 9 2 ， 所以𝑦𝐷 = ± 3 2 ． 所以点 D的坐标为（ 3 2 ， 3 2 ）或（− 3 2 ，− 3 2 ）． （3）将 x＝a代入直线 OC的函数解析式得， yE＝a． 同理可得，yF＝﹣a+6． 由|a﹣（﹣a+6）|＝3 得， a= 3 2 或 9 2 ， 所以当 3 2 ≤ 𝑥 ≤ 9 2 时，EF的长度不超过 3． 2．（2023 春•南沙区期末）一次函数 y＝kx+2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 C．一 次函数 y＝﹣x+4 的图象与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 D．两函数图象交于点 P（m， 3）． （1）求 k和 m的值； （2）求线段 AP的长； （3）若直线 AC 上有一动点 Q，过 Q 作直线 QH，QH 平行于 y 轴，QH 直线 BD 于点 H．当 QH＝OB时，求 Q的坐标． 【解答】解：（1）把 P（m，3）代入一次函数 y＝﹣x+4 中得 3＝﹣m+4， ∴m＝1， ∴P（1，3）， 把 P（1，3）代入一次函数 y＝kx+2 中得 3＝k+2， ∴k＝1； （2）由（1）知 y＝x+2，当 y＝0 时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0）， ∴AP= √(1 + 2)2 + 32 =3√2； （3）由（1）得 y＝x+2，令 y＝0，得 y＝﹣x+4＝0，∴x＝4，∴OB＝4， 设 Q（t，t+2），则 H（t，﹣t+4），∵QH＝OB，∴|﹣t+4﹣（t+2）|＝4，∴|﹣t+1|＝2， 解得 t＝3 或 t＝﹣1，当 t＝3 时，t+2＝5， 当 t＝﹣1 时，t+2＝1， ∴Q的坐标为（3，5）或（﹣1，1）． 3．（2024 春•裕华区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，直线𝑦 = − 3 4 𝑥 + 12与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，与直线𝑦 = 3 4 𝑥 + 6交于点 P．点 C为直线𝑦 = 3 4 𝑥 + 6 与 x轴的交点． （1）求点 P的坐标． （2）点 D是 y轴上一动点，当 S△PDC＝9 时，求点 D坐标． （3）点 Q是线段 CA上的一个动点（点 Q不与点 C，A重合），过点 Q作平行于 y轴的 直线 l，分别交直线 AB，PC于点 M，点 N，设点 Q的横坐标为 m，当 NQ＝2MN时，请 直接写出 m的值． 【解答】解：（1）∵直线𝑦 = − 3 4 𝑥 + 12与直线𝑦 = 3 4 𝑥 + 6交于点 P， ∴联立方程组{ 𝑦 = − 3 4 𝑥 + 12 𝑦 = 3 4 𝑥 + 6 ，解得{ 𝑥 = 4 𝑦 = 9 ，∴点 P的坐标为（4，9）； （2）如图，设点 D的坐标为（0，d），点 E为直线𝑦 = 3 4 𝑥 + 6与 y轴的交点， 令 x＝0，则𝑦 = 3 4 × 0 + 6 = 6； 令 y＝0，则0 = 3 4 𝑥 + 6，解得 x＝﹣8； ∴点 C的坐标为（﹣8，0），点 E的坐标为（0，6），∴DE＝|d﹣6|， 由题意得 1 2 𝐷𝐸 × (𝑥𝑃 − 𝑥𝐶) = 1 2 |𝑑 − 6| × (4 + 8) = 9，解得𝑑 = 15 2 或𝑑 = 9 2 ， ∴点 D的坐标为(0， 15 2 )或(0， 9 2 )； （3）点 Q的横坐标为 m，∵MN∥y轴，∴点 Q，M，N三点横坐标都为 m， ∴点 M坐标为(𝑚，− 3 4 𝑚+ 12)，点 N坐标为(𝑚， 3 4 𝑚 + 6)， ∴𝑀𝑁 = | 3 4 𝑚+ 6 + 3 4 𝑚 − 12| = | 3 2 𝑚− 6|，𝑄𝑁 = 3 4 𝑚+ 6， 由题意得2| 3 2 𝑚− 6| = 3 4 𝑚+ 6， 整理得3𝑚 − 12 = 3 4 𝑚 + 6或3𝑚 − 12 = − 3 4 𝑚− 6， 解得：m＝8 或 8 5 ． 专项练习五：含参型一次函数增减性问题 ➢ 知识指引 对于正比例函数𝑦 = 𝑘𝑥， 要点：（1）当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小， （2）|𝑘|越大，直线与 x 轴正半轴的夹角越大，直线越陡 ➢ 典型练习 1．（2025 春•西城区校级月考）在平面直角坐标系 xOy中，将函数 y＝2x的图象向下平移 1 个单位，与函数 y＝kx＋5 的图象交于点（2，n）． （1）求 k，n的值； （2）当 x≥3 时，对于 x的每一个值，函数 y＝mx（m≠0）的值大于函数 y＝kx＋5 的值， 且小于函数 y＝2x－1 的值，直接写出 m的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数 y＝2x的图象向下平移 1 个单位，与函数 y＝kx＋5 的图象交于 点（2，n） ∴将点（2，n）代入 y＝2x－1，解得 n＝3， 将点（2，3）代入 y＝kx＋5，解得 k＝－1， （2）把 x＝3 代入 y＝－x＋5，求得 y＝2， 把 x＝3 代入 y＝2x－1，求得 y＝5， ∵当 x≥3 时，y＝mx（m≠0）的值大于函数 y＝kx＋5 的值，且小于函数 y＝2x－1 的值， ∴当 x＝3 时，2＜3m＜5， 解得 2 3 ＜𝑚＜ 5 3 ． 2．（2025 春•如皋市期中）已知 y关于 x的一次函数 y＝kx－2k＋1 的图象为直线 l1． （1）试说明：无论 k为何值，直线 l1 总经过点（2，1）； （2）当 m≤x≤m＋2 时，函数最大值与最小值的差为 4，求 l1 的解析式； 【解答】（1）证明：对于 y＝kx－2k＋1＝k（x－2）＋1， 当 x＝2 时，y＝1， ∴无论 k为何值，直线 l1 总经过点（2，1）； （2）解：y＝kx－2k＋1＝k（x－2）＋1， 当 k＞0 时，y随 x增大而增大， 则当 m≤x≤m＋2 时，x＝m，y＝km－2k＋1 为最小值， x＝m＋2，y＝k（m＋2）－2k＋1＝km＋1 为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为 4， ∴（km＋1）－（km－2k＋1）＝2k＝4， 解得 k＝2， 此时，l1 的解析式为 y＝2x－3； 当 k＜0 时，y随 x增大而减小， 则当 m≤x≤m＋2 时，x＝m，y＝km－2k＋1 为最大值， x＝m＋2，y＝k（m＋2）－2k＋1＝km＋1 为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为 4， ∴（km－2k＋1）－（km＋1）＝－2k＝4， 解得 k＝－2， 此时，l1 的解析式为 y＝－2x＋5； 综上，l1 的解析式为 y＝2x－3 或 y＝－2x＋5； 3．（2025 春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系 xOy中，已知一次函数 y＝kx＋1（k≠0）．点 A（a，a＋2）是平面内一点，a为任意实数，将点 A向上平移 1 个单位长度得到点 B． （1）当 a＝1 时， ①若一次函数 y＝kx＋1 图象过点 A，则 k＝ ． ②若一次函数 y＝kx＋1 与线段 AB有公共点，求 k的取值范围． （2）如果当 2＜k＜4 时，存在一次函数 y＝kx＋1，它的图象与线段 AB有公共点，直接 写出满足题意的 a的取值范围 ． 【解答】解：（1）①由题意，∵a＝1， ∴A（1，3）． 又∵一次函数 y＝kx＋1 过 A（1，3）， ∴k＋1＝3． ∴k＝2． 故答案为：2． ②由题意，∵A（1，3）， ∴B（1，4）． ∴当 y＝kx＋1 过 B（1，4）时，则 4＝k＋1，可得 k＝3． ∵一次函数 y＝kx＋1 与线段 AB有公共点， ∴结合①可得，2≤k≤3． （2）由题意，∵A（a，a＋2）， ∴B（a，a＋3）． ∵当 2＜k＜4 时，存在一次函数 y＝kx＋1，它的图象与线段 AB有公共点， ∴当 k＝2 时，y＝2x＋1，则 2a＋1＝a＋3，可得 a＝2；当 k＝4 时，y＝4x＋1，则 4a＋1 ＝a＋2，可得 a= 1 3 ． ∴ 1 3 ＜a＜2． 故答案为： 1 3 ＜a＜2． 4．（2022 春•天河区期末）已知直线 y= 1 2 x，记为 l1． （1）填空：直线 y= 1 2 x＋1 可以看作是由直线 l1 向 平移 个单位得到； （2）将直线 l1 沿 x轴向右平移 4 个单位得到直线 l2，解答下列问题： ①求直线 l2 的函数解析式； ②若 x取任意实数时，函数 y＝|x－m|的值恒大于直线 l2 的函数值，结合图象求出 m的取 值范围． 【解答】解：（1）如图所示，y= 1 2 x＋1 是由 y= 1 2 x向上平移 1 个单位得到的； 故答案为：上，1； （2）①∵当 y= 1 2 x沿 x轴向右平移 4 个单位后经过点（4，0）， ∴平移得到的直线 l2 的函数解析式为 y= 1 2 （x－4）= 1 2 x－2； ②如图所示，画出 y＝|x|的图象， y＝|x－m|的函数图象可以看作是 y＝|x|沿 x轴水平移动 m个单位， 当 m＞0 时，y＝|x|向右平移 m个单位， 当 m＜0 时，y＝|x|向左平移 m个单位， 要是函数 y＝|x－m|的值恒大于直线 l2 的函数值，则函数 y＝|x－m|的图象位于直线 l2 的 上方， 由函数图象可知当 m＜4 时函数 y＝|x－m|的图象位于直线 l2 的上方， ∴m的取值范围为 m＜4． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/7 1 7:18:22；用户：几米的阳光；邮箱：U ID_08 E7C2812F708B566BF 38EA063C37C8A@qq.j yeoo.com；学号： 25146074 专项练习六：新定义下的一次函数问题 ➢ 知识指引 解新定义题型的步骤: (1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论!(2)重视“举例”, 利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳 “举例”提供的分类情况! (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题 ➢ 典型练习 1．（2022春•海珠区期末）当 m，n为实数，且满足 m＋nm＝n时，就称点 P（m， 𝑚 𝑛 ）为“状 元点”．已知点 A（0，7）和点 M都在直线 y＝x＋b上，点 B，C是“状元点”，且 B在直 线 AM上． （1）求 b的值及判断点 F（2，6）是否为“状元点”； （2）请求出点 B 的坐标； （3）若 AC≤5√2，求点 C的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）∵点 A（0，7）在直线 y＝x＋b上， ∴把 A（0，7）代入 y＝x＋b，得 7＝0＋b， ∴b＝7． ∵m＋nm＝n（mn≠0）， ∴ 𝑚 𝑛 ＋m＝1，即 𝑚 𝑛 =1－m， ∴P（m，1－m）， ∴点 P在直线 y＝1－x 上， 当 x＝2时，1－x＝－1≠6， ∴点 F（2，6）不是“状元点”； （2）由（1）求得直线 AM：y＝x＋7， ∵“状元点”B在直线 AM上，且满足 y＝1－x， ∴{ 𝑦 = 1 − 𝑥 𝑦 = 𝑥＋7 ，解得：{ 𝑥 = −3 𝑦 = 4 ， ∴点 B的坐标为（－3，4）； （3）∵点 C是“状元点”， ∴设 C（c，1－c）， ∴AC= √𝑐2＋(1 − 𝑐 − 7)2 = √2𝑐2＋12𝑐＋36 ≤ 5√2， 整理得：c2＋6c－7≤0，即（c＋7）（c－1）≤0， 解得：－7≤c≤1， 又∵m＋nm＝n ∴m≠0，m≠1 ∴c≠0，c≠1 ∴－7≤c＜0或 0＜c＜1． ∴点 C的横坐标 c 的取值范围为：－7≤c＜0或 0＜c≤1． 2．（2025春•崇明区期中）新定义[a，b]为一次函数 y＝ax＋b（a≠0，a、b为实数）的“关 联数”． （1）若“关联数”[3，2－b]的一次函数为正比例函数，求 b的值． （2）已知直角坐标系中点 A（1，3），点 B（2，7），求图象过 A、B两点的一次函数的关 联数． 【解答】解：（1）由题意得 y＝3x＋2－b， ∵“关联数”[3，2－b]的一次函数为正比例函数， ∴2－b＝0， ∴b＝2； （2）把点 A（1，3），点 B（2，7）代入 y＝ax＋b得， { 𝑎＋𝑏 = 3 2𝑎＋𝑏 = 7 ，解得{ 𝑎 = 4 𝑏 = −1 ， 过 A、B两点的一次函数的关联数为[4，－1]． 3. （2023 春•雨花区期末）对于平面直角坐标系 xOy 中的任意一点 P（x,y），给出如下定 义：记 a=x＋y,b=-y,将点 M（a,b）与 N（b,a）称为点 P的一对“相伴点”．例如：点 P （2，3）的一对“相伴点”是点（5，-3）与（-3，5）． （1）求点 Q（4，-1）的一对“相伴点”的坐标； （2）若点 A（8，y）的一对“相伴点”重合，求 y的值； （3）若点 B的一对“相伴点”之一为（-1，7），求点 B的坐标 解：（1）∵Q（4，-1），∴a=4＋（-1）=3，b-（-1）=1， ∴点 Q（4，-1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3），（3，1）； （2）∵点 A（8，y），∴a=8＋y,b=-y, ∴点 A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8＋y,-y）和（-y,8＋y）， ∵点 A（8，y）的一对“相伴点”重合，∴8＋y=-y,∴y=-4； （3）设点 B（x,y）， ∵点 B的一个“相伴点”的坐标为（-1，7）， ∴{ 𝑥＋𝑦 = −1 −𝑦 = 7 或{ 𝑥＋𝑦 = 7 −𝑦 = −1 ，∴{ 𝑥 = 6 𝑦 = −7 或{ 𝑥 = 6 𝑦 = 1 ， ∴B（6，-7）或（6，1）． 3.定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点 P（x，y）如果满足 y＝2|x|，我们就把点 P （x，y）称作“和谐点”． （1）在直线 y＝6 上的“和谐点”为 ； （2）求一次函数 y＝－x＋2的图象上的“和谐点”坐标； （3）已知点 P，点 Q 的坐标分别为 P（2，2），Q（m，5），如果线段 PQ 上始终存在“和 谐点”，直接写出 m的取值范围是 ． 【解答】（1）∵y＝2|x|，且 y＝6，∴x＝±3， ∴在直线 y＝6上的“和谐点”为（3，6）或（－3，6）， 故答案为：（3，6）或（－3，6）； （2）∵y＝2|x|，∴y＝2x 或 y＝－2x， ∴“和谐点”在直线 y＝2x或直线 y＝－2x 上， 由题意可得：{ 𝑦 = −𝑥＋2 𝑦 = 2𝑥 或{ 𝑦 = −𝑥＋2 𝑦 = −2𝑥 ， 解得{ 𝑥 = 2 3 𝑦 = 4 3 或{ 𝑥 = −2 𝑦 = 4 ， ∴一次函数 yy＝－x＋2的图象上的“和谐点”为（ 2 3 ， 4 3 ）或（－2，4）； （3）如图，作直线 y＝2，y＝5，线段 PQ一定在 y＝2，y＝5之间， 如果线段 PQ上始终存在“和谐点”，线段 PQ与 y＝2|x|一定有交点， 当 Q（m，5），在直线 y＝2x上时，∴m= 5 2 ， ∴当 m≤ 5 2 时，线段 PQ上始终存在“和谐点”； 当 Q（m，5），在直线 y＝－2x上时，∴m= − 5 2 ， ∴当 m≤ − 5 2 时，线段 PQ上始终存在“和谐点”； 综上所述：当 m≤ 5 2 时，线段 PQ上始终存在“和谐点”． 故答案为：m≤ 5 2 ． 专项练习七：一次函数与折叠问题 ➢ 知识解读 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称变换是一种变换体现的是由一个图形得到它的轴 对称图形的过程， 是一个运动的过程。 ➢ 轴对称图态剖析及性质 （1）全等变换：折叠前后对应边相等，对应角相等； （2）对称轴性质： 折叠前后对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 对称轴上的点与对应点距离相等． ➢ 折叠问题的处理思路 （1）找折痕（所在直线为对称轴）； （2）表达、转移； （3）利用勾股或相似来计算或列方程． （4）注意落点的确定性与不确定性，并考虑分类. ➢ 典型练习 1.（2025春•镇平县期中）如图，直线 y= 4 3 x+8与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，点 M是 线段 OB上一点，将△ABM沿 AM所在直线折叠后，点 B恰好落在 x轴上的点 B′处，则直 线 AM的解析式为 ． 答案为：y= 1 2 x+3． 2．（2024 秋•蜀山区校级期末）如图，直线 y=2x-6 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，C 在 y轴的正半轴上，D在直线 AB上，且 CB=10，CD=OD．若点 P为线段 AB上的一个动点， 横坐标为 m,且 P 关于 x轴的对称点 Q总在△OCD内（不包括边界）． （1）点 C的坐标为 ； （2）点 P的横坐标 m 的取值范围为 ． l A' B' C'C B A 解：（1）在 y=2x-6中，当 x=0时，y=2x-6=-6，当 y=2x-6=0时，x=3， ∴A（3，0），B（0，-6），∵C在 y轴的正半轴上，CB=10，∴C（0，4）， 故答案为：（0，4）； （2）∵CD=OD．∴点 D 在线段 OC的垂直平分线上，即在直线 y=2上， 在 y=2x-6中，当 y=2x-6=2时，x=4，∴D（4，2）； 设直线 CD解析式为 y=kx+b,，∴{ 4𝑘 + 𝑏 = 4 𝑏 = 4 ∴直线 CD解析式为 y=- 1 2 x+4． 同理可得直线 OD 的解析式为 y= 1 2 x, ∵点 P为线段 AB 上的一个动点，且其横坐标为 m,∴P（m,2m-6）， ∵P、Q关于 x轴对称，∴Q（m,6-2m）， ∵点 Q总在△OCD 内（不包括边界），∴ 1 2 m＜6-2m＜- 1 2 m+4． 解得 4 3 ＜m＜ 12 5 ．故答案为： 4 3 ＜m＜ 12 5 ． 3．（2022 春•罗湖区期末）如图，矩形 ABCO 中，点 C 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，点 B 的坐 标是（﹣6，8）．矩形 ABCO 沿直线 BD 折叠，使得点 A 落在对角线 OB 上的点 E 处，折痕 与 OA、x 轴分别交于点 D、F． （1）求证：△BOF是等腰三角形； （2）求直线 BD的解析式； （3）若点 P 是平面内任意一点，点 M 是线段 BD 上的一个动点，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂 足为点 N．在点 M 的运动过程中是否存在以 P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在， 直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCO是矩形，∴AB∥OC，∴∠ABF＝∠BFO， ∵矩形 ABCO沿直线 BD 折叠，使得点 A落在对角线 OB上的点 E处， ∴∠ABF＝∠OBF，∴∠BFO＝∠OBF，∴OB＝OF，∴△BOF是等腰三角形； （2）∵点 B 的坐标是（﹣6，8），∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∴OB= √𝑂𝐶2 + 𝐵𝐶2 =10， ∵矩形 ABCO沿直线 BD 折叠，使得点 A落在对角线 OB上的点 E处， ∴BE＝AB＝6，AD＝ED，∠BED＝∠BAD＝90°，∴OE＝OB﹣BE＝10﹣6＝4， 设 OD＝m，则 AD＝ED＝8﹣m， 在 Rt△ODE中，DE2+OE2＝OD2，∴（8﹣m）2+42＝m2，解得 m＝5， ∴OD＝5，D（0，5）， 设直线 BD解析式为 y＝kx+5，将 B（﹣6，8）代入得：﹣6k+5＝8，解得 k= − 1 2 ， ∴直线 BD解析式为 y= − 1 2 x+5； 4.（2022春•柳州期末）如图，矩形 OABC中，点 A在 x轴上，点 C在 y轴上，点 B的坐标 是（6，8），将矩形 OABC沿直线 BD折叠，使得点 C恰好落在对角线 OB上的点 E处，折痕 所在直线与 y轴、x轴分别交于点 D、F． （1）求线段 OE的长； （2）求点 F的坐标； （3）若点 M 在直线 y= − 1 2 x 上，则在直线 BD上是否存在点 P，使以 C、D、M、P 为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点 P的坐标；否则，说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形 OABC是矩形， ∴OA＝BC，BC∥OA（x 轴）， ∵点 B的坐标是（6，8）， ∴OA＝6，AB＝8，∠OAB＝90°， ∴𝑂𝐵 = √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √62 + 82 = 10， 由折叠知，BE＝BC＝6， ∴OE＝OB﹣BE＝10﹣6＝4； （2）设点 D的坐标为（0，a），则 OD＝a，CD＝8﹣a， ∵BC＝6，CD＝DE＝8﹣a，OB＝10， 𝑆△𝑂𝐷𝐵 = 𝑂𝐷⋅𝐵𝐶 2 = 𝑂𝐵⋅𝐷𝐸 2 ， ∴ 𝑎×6 2 = 10(8−𝑎) 2 ， 解得 a＝5， 即点 D的坐标为（0，5）， 设折痕所在直线 BD的解析式为 y＝kx+b， ∵点 D（0，5），点 B（6，8）在直线 BD上， ∴{ 𝑏 = 5 6𝑘 + 𝑏 = 8 ， 得{ 𝑘 = 0.5 𝑏 = 5 ， 即折痕所在直线 BD的解析式是 y＝0.5x+5， 当 y＝0时，0.5x+5＝0 解得 x＝﹣10， ∴点 F的坐标是（﹣10，0）； （3）在直线 BD上存在点 P，使以 C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形， 理由：由（2）知 BD的解析式 y＝0.5x+5， ∴D（0，5）， 又∵C（0，8）， ∴CD＝3， 点 M在直线 y＝﹣0.5x 上，点 P在直线 BD 上， 要使以 C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形， 需 CD与 MP平行且相等或 CP与 MD平行且相等， 当 CD与 MP平行且相等时，设 P点坐标为（m，0.5m+5），则 M（m，﹣0.5m）， ∴MP＝|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3， 解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8， ∴P1（﹣2，4），P2（﹣8，1） 当 CP与 MD平行且相等时，设 P点坐标为（m，0.5m+5），则 M（﹣m，0.5m）， ∴|8﹣（0.5m+5）|＝|0.5m﹣5|， 解得 m＝8， ∴P3（8，9） 由上可得，满足题意的点 P坐标是 P1（﹣2，4），P2（﹣8，1），P3（8，9）．