专题01 几何模块-冲刺2025年中考数学知识模块复习突破训练

几何模块知识复习 专项练习一：中位线知识复习 专项练习二：见中点倍长中线构造全等 专项练习三：构造一线三直角全等来处理问题 专项练习四：正方形中的角含半角（90 度含 45 度） 专项练习五：正方形中的一类一线三直角构图 专项练习六：几何图形中的旋转构图问题 专项练习七：与正方形有关的旋转构图问题 专项练习八：菱形含 60°内角类型 专项练习九：与夹角定位法有关的直线型轨迹问题和最值 专项练习十：与逆等线线段有关的折线段最值问题 专项练习十一：胡不归点问题处理 专项练习一：中位线知识复习 ➢ 知识指引 中位线定理：如图，△ABC中，若 AD=CD，CE=BE，即点 D,E分别为 AC,BC 的中点，则 DE∥ AB且 DE= 1 2 AB． ➢ 典型练习 1．如图，在平行四边形 ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接 AE，G是 AB的中点，连接 GF，若 AE＝4，则 GF＝_____． 2．（2024春•新乡期末）如图，在矩形 ABCD中，点 E，F分别是边 AB，BC的中点，连接 EC， FD，点 G，H分别是 EC，FD的中点，连接 GH，若 AB＝4，BC＝6，则 GH的长度为 ． 3.（2025 春•丹阳市期中）已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD，垂 足为 D，点 G 是 BC 的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若 DG=2，AC=5，则 AB= ． 4.（2023 春•建昌县期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D，E 分别在 AB，AC上，且 AD＝AE，连接 DE，CD，M，N分别为 DE，CD的中点． （1）如图 1，请直接写出MN与 BD的数量关系； （2）如图 2，将△ADE 若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； （3）若 AD＝2，AB＝5，直接写出将△ADE绕点 A在平面内旋转过程中 MN的最大值． 专项练习二：见中点倍长中线构造全等 ➢ 知识指引 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和 证明边之间的关系 ➢ 图态剖析 ➢ 典型练习 1．（2021秋•南关区校级期末）矩形 ABCD与矩形 CEFG如图 1放置，点 B、C、E共线，点 C、 D、G共线，连接 AF，取 AF的中点 H，连接 GH．若 BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则 GH＝ ． 2．（2023秋•芝罘区期末）如图，矩形 ABCD中，E是 BC中点，DF⊥AE于点 F，连接 CF．若 ∠ADF＝40°，则∠BCF的度数是 ． 3．（2020春•定远县期末）如图 1，已知 AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C． （1）求证：四边形 ABCD为矩形； （2）M为 AD的中点，在 AB上取一点 N，使∠BNC＝2∠DCM． ①如图 2，若 N为 AB中点，BN＝2，求 CN的长； ②如图 2，若 CM＝3，CN＝4，求 BC的长． 4．（2023 春•嘉定区期末）在平行四边形 ABCD中，点 E是 BC的中点，连结 AE，将△AEB 沿直线 AE翻折，得到△AFE． （1）如图 1，延长 AF交 CD于点 G，求证：CG＝FG； （2）如图 2，连结 CF并延长交 AD于 H，求证：AH＝DH； （3）当 AD＝4，∠CEF＝∠DAF＝30°时，求线段 AE的长． 专项练习三：构造一线三直角全等来处理问题 ➢ 一线三等直角模型： （同侧） （异侧） ➢ 处理一线三等角类问题的步骤： 首先，找角，其中会涉及到角度的计算和对等处理； 其次，找线，也就是所给的定线，往往是指全等时对等的那组对应边； 最后，用来判断全等，进而利用全等三角形的性质来证明或求取相应的问题. ➢ 辅助线指引： 向坐标轴作垂线，转化线段长和点坐标之间的关系，利用垂线得到的直 角，进而结合条件证明全等， ➢ 典型练习： 1．（2024 秋•沭阳县期末）如图 1，已知等腰直角△ABC的顶点 B，C分别在 x、y轴上，∠ ABC＝90°，点 B 的坐标是（﹣1，0），C 的坐标是（0，3），则直线 AC 的函数关系式 为 ． 图 1 图 2 2．（2022 秋•汝州市期末）如图 2，点 A在线段 BG上，四边形 ABCD和四边形 DEFG都是 正方形，面积分别是 10 和 19，则△CDE的面积为 ． 3．（2024 秋•武侯区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝kx+3 分别交 x 轴 和 y轴于 A，B两点，点 C的坐标为（2，﹣1），连接 BC． （1）直接写出点 B的坐标及直线 BC的函数表达式； （2）在第一象限内的直线 AB上取一点 D，连接 CD，当△BCD是等腰直角三角形时，求点 D 的坐标． 4．（2025春•成都期中）如图 1，直线 y＝﹣x+6 与 x轴、y轴分别交于点 C和点 B，点 A在 x 轴负半轴，且 OB＝2OA． （1）求直线 AB的解析式； （2）点 M 是 BC 的中点，N 为直线 AB 上的一个动点，连接 MN，若∠BNM＝45°，求 N 点 的坐标． 专项练习四：正方形中的角含半角（90 度含 45 度） ➢ 知识指引 旋转作为初中三大图形变换之一，在改变图形位置的同时，又可以形成新的对应关系， 通过这种变换，可以有效的把图形的性质或关系体现出来，下面我们就来学习一下在正方形 中含 45°的半角旋转模型： ➢ 图态剖析: 在正方形 ABCD中，∠EAF= 1 2 ∠BAD=45° 操作：延长 BC 至点 G，使得 BG=DE，连接 AG（补短法） 结论：（1）补短全等：△ABG≌△ADE （2）对称全等：△FAG≌△FAE， （3）EF=BF+DE，进而得到𝐶△𝐶𝐸𝐹 = 2𝑎（a为正方形的边长） （4）AF 平分∠BFE，AE 平分∠DEF ➢ 典型例题 1.如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作∠EAF=45°，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG． （1）求证：GE=FE； （2）若 DF=3，求 BE 的长为 ． 2．（2021 春•白云区期中）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 被两条与正方形的边平行的线段 EF，GH分割成四个小矩形，EF与 GH交于点 P，连接 AF，AH． （1）若 BF＝DH，求证：AF＝AH； （2）连接 FH，若∠FAH＝45°，求△FCH的周长（用含 a的代数式表示）； （3）连接 GF，若 Rt△GBF的周长为 a，求矩形 EPHD的面积（用含 a 的代数式表示）． 3．（2024秋•漳州期中）如图，点 A，B分别是一次函数 y＝x﹣4与 x轴，y轴的交点，E为 线段 OB的中点，点 F 是直线 OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接 AE，BF，且 BF∥x轴． （1）求 A，B 两点的坐标； （2）若 AE⊥OC，求 k 的值； （3）连接 EF，是否存在 k 值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出 k值；若不存在，请说 明理由． 4．（2024 春•南沙区期末）四边形 ABCD是正方形，点 E是射线 CB上一动点，过点 A作 AE ⊥AF交直线 CD于点 F，作∠EAF的平分线 AH交直线 BC于点 H，连接 HF． （1）如图 1，若点 E在线段 CB延长线上，点 H在线段 CB上． ①求证：∠1＝∠2； ②如图 2，连接 BD交 AH于点 K，交 AF于点 L，请探索 BK，KL，DL之间的数量关系 并证明． （2）请直接写出 BH，BE和 HF之间的数量关系． 专项练习五：正方形中的一类一线三直角构图 ➢ 正方形中的一线三直角旋转构图： 条件：E为正方形 ABCD边上的一点，EF⊥AE交外角∠DCG平分线于 F 方法指引：连接对角线 AC,过 E作 EH⊥BC交 AC 于 H，可证△AHE≌△FCE， 结论 AE=EF，∠ECF=135°，∠DCF=45°，进而得出点 F在∠DCG的平分线上运动 ➢ 典型练习 1.如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外 角的平分线 CF 于点 F，连接 DF．若 AB=3，BE=1，则 DF 的长为 ． 2．（2025•河西区模拟）如图，正方形 ABCD边长为 6，点 E在边 CD上，CE＝2，∠BEF＝90° 且 EF＝BE，G为 DF的中点，则： （Ⅰ）∠ADF的度数为 ； （Ⅱ）BG的长为 ． 3．（2024 秋•锦江区校级期末）如图，直线 y＝kx﹣6k（k≠0）与坐标轴分别交于点 A，B， 过点 A、B作直线 AB，以 OA为边在 y轴的右侧作四边形 AOBC，S△AOB＝18． （1）求点 A，B的坐标； （2）如图，点 D 是 x 轴上一动点，点 E在 AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①若点 D 是线段 OB的中点，求点 E坐标； ②若点 D 是线段 OB上任一点，如图 1，问点 E是否在定直线上，若是，求该直线的解析 式；若不是，说明理由； ③若点 D（2，0），∠CAO＝∠CBO＝90°，另一动点 H在直线 BE上且满足∠HAC＝∠OAD， 请求出点 H的坐标． 4.（2023春•番禺区期末）如图，点 E是正方形 ABCD边 BC上一动点（不与 B、C重合），CM 是外角∠DCN的平分线，点 F在射线 CM上． （1）当∠CEF＝∠BAE时，判断 AE与 EF是否垂直，并证明结论； （2）若在点 E运动过程中，线段 CF与 BE始终满足关系式 CF= √2BE． ①连接 AF，证明 𝐴𝐹 𝐴𝐸 的值为常量； ②设 AF与 CD 的交点为 G，△CEG的周长为 a，求正方形 ABCD的面积． 专项练习六：几何图形中的旋转构图问题 ➢ 三爪图图态剖析 模型归类：共点等长线段旋转构图 条件：AO=A′O 方法：作∠BOB′=∠AOA′，且 OB′=OB， 结论：△AOB≌△A′OB′ 作用：转移线段、建构新关系及应用环境 ➢ 共顶点构造口决： （60度 ） （90度） （一般等腰三角形） ➢ 典型练习 1.（2019•白云区一模）如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1， CD=3，则 BD= ． 2．（2025春•铁一期中）如图，在 Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为斜边 AB的中点， P 为△ABC形外一点，∠BPC＝60°． ①若 AC＝2，则 OC＝ ； ②若𝑃𝐵 = 6√3，𝑃𝑂 = 7√2，则 PC的值为 ． 3．（2024 春•花都区期末）如图 1，已知△ABC 和△EFC 都是等边三角形，且点 E 在线段 AB 上． （1）求证：BF∥AC； （2）过点 E作 EG∥BC交 AC于点 G，试判断△AEG的形状并说明理由； （3）如图 2，若点 D在射线 CA上，且 ED＝EC，求证：AB＝AD+BF． 4．（2025春•海门区期中）【探究与证明】 在正方形 ABCD中，G是射线 AC上一动点（不与点 A，C重合），连接 BG，作 BH⊥BG，且 使 BH＝BG，连接 GH、CH． （1）如图 1，若点 G在 AC上，则： ①图中与△ABG全等的三角形是 ； ②线段 AG，CG，GH之间的数量关系是 ； （2）如图 2，若 G在 AC的延长线上，那么线段 AG，CG，BG之间有怎样的数量关系？写 出结论，并给出证明． 专项练习七：与正方形有关的旋转构图问题 1.（2025•朝阳区校级一模）如图，点 E在正方形 ABCD外，连接 AE、BE、DE，过点 A作 AE 的垂线交 DE于点 F．若 AE=AF=4√2，BF=10，则下列结论： ①△AFD≌△AEB； ②EB⊥ED； ③点 B到直线 AE的距离为 4√2； ④S△ABF+S△ADF=40． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 2.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 F是射线 AD上的动点，连接 CF，以 CF为对角线作正方 形 CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接 BE，DG． （1）当点 F在线段 AD上时． ①求证：BE=DG； ②求证：CD－FD=√2BE； 3.正方形 ABCD 中，E，F 分别为 CD，AD 上一点，CE=DF，BE，CF 交于点 G，O 为 BD 的中点． （1）求证：△BCE≌△CFD； （2）求证：BE⊥CF； （3）求证：BG-CG=√2OG 4.（2022春•荔湾区期中）如图，在正方形 ABCD 中，O是 AC的中点，E是 AD上一点，连接 BE，交 AC于点 H，作 CF⊥BE 于点 F，AG⊥BE 于点 G，连接 OF． （1）求证：AG=BF； （2）请找出线段 FG与 OF的数量关系并证明； （3）证明：FH 2 +HG 2 =2OH 2 ． 专项练习八：菱形含 60°内角类型 1.如图，点 E，F 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，∠ADC=120°， ∠BEC=∠CBF=50°，ED 与 BF 的延长线交于点 M．则对于以下结论： ①∠BME=30°；②△ADE≌△ABE；③EM=BC；④AE+BM=√3EM．其中正确结论的个 数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2.（2023•新城区校级二模）如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，对角 线交于点 O，F，E 分别是 AD，BO 的中点，则线段 EF 的长度为 ． 3.（2025 春•广州期中）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，点 E，F 分别是 边 BC，CD 上一点，若 CE=DF． （1）求证：AE=AF； （2）若菱形边长为 4，CE=1，求△AEF 的周长． 4.（2022 年白云区期末改编）在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，点 P 是平面内一 动点，以 AP 为边作等边△APE，其中 A，P，E 按逆时针方向排列． （1）如图①，当点 P 在线段 BD 上，点 E 在菱形 ABCD 内部时，连接 CE，则线 段 BP 与 CE 的数量关系是 ；BP 与 CE 的夹角度数是 ； （2）如图②，当点 P 在线段 BD 上，点 E 在菱形 ABCD 外部时，连接 CE，求 证：√3AD=PD＋CE； （3）如图③，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 CE，请直接用等式表示线 段 AD，PD，CE 之间的数量关系： ． 专项练习九：与夹角定位法有关的直线型轨迹问题和最值 ➢ 知识补充：“夹角定位法” 所谓的 “夹角定位法” 是指：在平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线上 运动，如图，已知直线 1 与定点 A， 动点 B运动的轨迹为直线 AB，当直线 AB与直线 L 的夹 角α一定时，则动点 B的运动轨迹线即为定直线 AB . ➢ 60度下旋转构图图态剖析（等边三角形） ➢ 典型例题 1.（2023•工业园区校级二模）如图，直角△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点 E 是边 AC上一点，将 BE绕点 B顺时针旋转 60°到点 F，则 CF长的最小值是（ ） A．√3 B．2 C．2√2 D．2√3 2.在平面直角坐标系中，已知 x 轴上一点 A（2√3，0），B 为 y 轴上的一动点， 连接 AB，以 AB 为边作等边△ABC 如图所示，已知点 C 随着点 B 的运动形成的图 形是一条直线，连接 OC，则 AC+OC 的最小值是 ． 3.如图 1，Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，BC=√3，点 D在边 BC上，连接 AD，在 AD 上方作等边三角形 ADE，连接 EC． （1）求证：DE=CE； （2）若点 D在 BC延长线上，其他条件不变，直接写出 DE，CE之间的数量关系（不必证 明）； （3）当点 D从点 B出发沿着线段 BC运动到点 C时，求点 E的运动路径长． 4．（2024 春•越秀区期末）如图，直线 y＝﹣2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 为线 段 OB上一个动点，连接 AP． （1）如图 1，若点 P为线段 OB中点，求△PAB的面积． （2）如图 2，经过点 P 的直线 l：y＝kx﹣k+2（k≠﹣2）交 x 轴于点 C，交直线 y＝﹣ 2x+4于点 D．当 P 为线段 CD的中点时，求 k的值． （3）如图 3，以 AP为边在 AP的下方作等边三角形 APQ，连接 OQ．当 OQ取最小值时，求 点 P的坐标． 专项练习十：与逆等线线段有关的折线段最值问题 ➢ 知识导入 两线段和的最值问题, 大家首先想到的都是 “将军饮马”问题， 即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点. 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线段 始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这 就是今天咱们要说的逆等线最值问题. ➢ 图态剖析 在△ABC 中，D、E 分别为边 AB、AC 上的动点，且 AD=CE，即逆向相等，则称 AD 为 CE 的逆 等线，求 BE+CD的最小值 ➢ 方法指引 第一步：把两条相等线段中的一条线段归位于图中的某个三角形；DC归位于△ADC 第二步：未归位的线段固定其定端点，在动端点处构造相应的三角形与第一步中的三角形全 等；构造△CEF≌△DAC，得到 EF=CD 第三步：利用全等化折为直，利用两点之间线段最短来进行解答.BE+CD 转化为 BE+EF,进而 求线段 BF的值即可 ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E 分别是 AC，AB 上的动点，且 AD＝BE，连结 BD，CE，则 BD+CE的最小值为 ． 2．（2025 春•越秀区校级期中）如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F 分别是边 BC 和对角线 BD上的动点，且 BE＝DF，则 AE+AF的最小值为 ． 3．（2025春•海淀区校级期中）如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点 M、N分别是边 BC、 DC 上的动点，且 BM＝CN，连接 BN，DM，则 BN+DM的最小值为 ． 4.（2024 秋•嵊州市期末）如图，直线 y= − 3 4 x+15 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，D，E 分别是线段 AB，OA上的点． （1）若 BD＝5． ①求 AD的长． ②若△ODE是等腰三角形，求点 E的坐标． （2）连结 BE，若 BD＝AE，当 OD+BE最小时，求点 E的坐标． 5．（2025 春•越秀区校级期中）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 P 为正方形 ABCD 的对 角线 AC上一动点． （1）如图①，过点 P作 PE⊥PB交边 DC于点 E．当点 E在边 CD上时，求证：PB＝PE； （2）如图②，在（1）的条件下，过点 E作 EF⊥AC，垂足为点 F，在点 P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由． （3）如图③，若点 Q是射线 CD 上的一个动点，且始终满足 AP＝CQ，设 BP+BQ＝t，请直接 写出 t2的最小值． 专项练习十一：胡不归点问题处理 ➢ 知识解读 如图，已知平面上两定点 A，B，对于动点 P满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P的运动轨迹是一条直线，这样的动点问题称之为“胡不归”问题，那么对于当“PA + k·PB” 的值最小时，点 P 的位置如何确定呢? ➢ 图态剖析 “PA + k·PB”（说明：PH=PBsinα= k·PB） 注意：一般系数 k 满足 0＜K＜1 时，直接构造；若 K＞1 时，需要先提系数，如 PA+2BP=2( 𝟏 𝟐 𝑷𝑨+ 𝑷𝑩),PA+√𝟐PB=√𝟐（ √𝟐 𝟐 𝑷𝑨 +𝑷𝑩 ➢ 方法解读 通过构造三角函数模型，将系数化为 1，即过定直线上的定点向这条定直线的某一侧（依 情况而定）作一个锐角，使其正弦值等于要处理的系数，然后利用“两点之间线段最短”， 化“折”为“直”，再利用“垂线段最短”解决问题． ➢ 典型练习 1.如图，在△ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=3，D 为 AB 的中点，E 为 线段 AC 上任意一点（不与端点重合），当 E 点在线段 AC 上运动时，则 DE+ 1 2 CE 的最小值为 ． 2.（2025春•江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB=AC=8，∠ABC=75°．BD是△ABC的边 AC 上的高，点 P是 BD上动点，则 √3 2 BP+CP的最小值是 ．． 3.（2025春•东台市期中）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，点 O位于对角线 BD上，将△ADE， △CBF分别沿 DE、BF翻折，点 A，点 C都恰好落在点 O处． （1）四边形 DEBF是 ．（从“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形” 中选择一个填写） （2）如图 2，若 AD=2，点 P是线段 ED上的动点，AP+ 1 2 DP的最小值是 ． 4．（2025春•花都区期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形 AOBC 的顶点 B，A分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，顶点 C 的坐标为（a，b），且 a，b 满足：|𝑎 − 4| + √4 − 𝑏 = 0， 点 D为边 OA上的一个动点，将△BOD沿 BD 翻折，得到△BED． （1）求出 a，b的值； （2）如图 1，若点 D为 AO中点，延长 DE交 AC于点 F，求 CF的长； （3）如图 2，若∠OBD＝30°，点 M为线段 BD上的动点，求 2OM+MB的最小值． 几何模块知识复习 专项练习一：中位线知识复习 专项练习二：见中点倍长中线构造全等 专项练习三：构造一线三直角全等来处理问题 专项练习四：正方形中的角含半角（90 度含 45 度） 专项练习五：正方形中的一类一线三直角构图 专项练习六：几何图形中的旋转构图问题 专项练习七：与正方形有关的旋转构图问题 专项练习八：菱形含 60°内角类型 专项练习九：与夹角定位法有关的直线型轨迹问题和最值 专项练习十：与逆等线线段有关的折线段最值问题 专项练习十一：胡不归点问题处理 专项练习一：中位线知识复习 ➢ 知识指引 中位线定理：如图，△ABC中，若 AD=CD，CE=BE，即点 D,E分别为 AC,BC 的中点，则 DE∥ AB且 DE= 1 2 AB． ➢ 典型练习 1．如图，在平行四边形 ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接 AE，G是 AB的中点，连接 GF，若 AE＝4，则 GF＝_____． 【详解】在平行四边形 ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC． ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE． ∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是 AB的中点，∴GF是△ABE的中位线， ∴GF= 1 2 AE，∵AE=4，∴GF=2．故答案为：2． 2．（2024春•新乡期末）如图，在矩形 ABCD中，点 E，F分别是边 AB，BC的中点，连接 EC， FD，点 G，H分别是 EC，FD的中点，连接 GH，若 AB＝4，BC＝6，则 GH的长度为 ． 【解答】连接 CH 并延长交 AD于 P，连接 PE， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边 AB，BC的中点，AB＝4，BC＝6， ∴AE= 1 2 AB= 1 2 ×4＝2，CF= 1 2 BC= 1 2 ×6＝3， ∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH， 在△PDH与△CFH 中，{ ∠𝐷𝑃𝐻 =∠𝐹𝐶𝐻 ∠𝐷𝐻𝑃 = ∠𝑃𝐻𝐶 𝐷𝐻 = 𝐹𝐻 ，∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝3，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝3， ∴PE= √𝐴𝑃2 + 𝐴𝐸2 = √32 + 22 = √13，∵点 G是 EC的中点，∴GH= 1 2 EP= √13 2 故答案为： √13 2 ． 3.（2025 春•丹阳市期中）已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD，垂 足为 D，点 G 是 BC 的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若 DG=2，AC=5，则 AB= ． （1）证明：如图，延长 CD 交 AB 于 E， ∵AD 平分∠BAC，CD⊥AD， ∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°， 在△ADE 和△ADC 中，{ ∠𝐸𝐴𝐷 =∠𝐶𝐴𝐷， 𝐴𝐷 = 𝐴𝐷， ∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐴𝐷𝐶， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴CD=DE， ∵点 G 是 BC 的中点，∴DG 是△AEB 的中位线，∴DG∥AB； （2）解：由（1）可知：△ADE≌△ADC，DG 是△AEB 的中位线， ∴AE=AC=5，BE=2DG=4，∴AB=AE+BE=5+4=9，故答案为：9． 4.（2023 春•建昌县期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D，E 分别在 AB，AC上，且 AD＝AE，连接 DE，CD，M，N分别为 DE，CD的中点． （1）如图 1，请直接写出MN与 BD的数量关系； （2）如图 2，将△ADE 若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； （3）若 AD＝2，AB＝5，直接写出将△ADE绕点 A在平面内旋转过程中 MN的最大值． 【解答】解：（1）MN= 1 2 BD，理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即 BD＝CE， ∵M，N分别为 DE，CD的中点，∴MN是△CDE的中位线，∴MN= 1 2 CE，∴MN= 1 2 BD； （2）（1）中结论依然成立，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE， ∵M，N分别为 DE，CD的中点，∴MN是△CDE的中位线，∴MN= 1 2 CE，∴MN= 1 2 BD； （3）如图： 将△ADE绕点 A在平面内旋转过程中，同（2）可证MN= 1 2 CE= 1 2 BD， ∴当 BD最大时，MN最大，∵AD＝2，AB＝5， ∴当 D，A，B共线，且 D在 BA的延长线上时，BD最大，BD的最大值即为 AD+AB＝7， 如图： 此时 MN= 1 2 BD= 7 2 ， ∴MN的最大值是 7 2 ． 专项练习二：见中点倍长中线构造全等 ➢ 知识指引 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和 证明边之间的关系 ➢ 图态剖析 ➢ 典型练习 1．（2021秋•南关区校级期末）矩形 ABCD与矩形 CEFG如图放置，点 B、C、E共线，点 C、 D、G共线，连接 AF，取 AF的中点 H，连接 GH．若 BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则 GH＝ ． 【解答】延长 GH 交 AD于 M点，如图所示：∵四边形 ABCD与四边形 CEFG 都是矩形， ∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG， ∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG， ∵AF的中点 H，∴AH＝FH， 在△AMH和△FGH 中，{ ∠𝐻𝐴𝑀 =∠𝐻𝐹𝐺 𝐴𝐻 = 𝐹𝐻 ∠𝐴𝐻𝑀 = ∠𝐹𝐻𝐺 ，∴△AMH≌△FGH（ASA）． ∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2， 在 Rt△MDG中，GM= √𝑀𝐷2 + 𝐷𝐺2 = √22 + 22 =2√2，∴GH= 1 2 GM= √2， 故答案为：√2． 2．（2023秋•芝罘区期末）如图，矩形 ABCD中，E是 BC中点，DF⊥AE于点 F，连接 CF．若 ∠ADF＝40°，则∠BCF的度数是 ． 【解答】解：如图，延长 AE、DC交于点 G， ∵E是 BC中点，∴BE＝CE，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ECG＝90°，AD＝BC，AB＝CD， 在△ABE 和△GCE 中，{ ∠𝐵 =∠𝐸𝐶𝐺 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐺𝐸𝐶 ，∴△ABE≌△GCE（ASA），∴AB＝CG，∴CD＝CG， ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠DFG＝90°， ∵∠ADF＝40°，∴∠CDF＝50°， ∵∠DFG＝90°，CD＝CG，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝50°， ∴∠DCF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝90°﹣80°＝10°， 故答案为：10°． 3．（2020春•定远县期末）如图 1，已知 AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C． （1）求证：四边形 ABCD为矩形； （2）M为 AD的中点，在 AB上取一点 N，使∠BNC＝2∠DCM． ①如图 2，若 N为 AB中点，BN＝2，求 CN的长； ②如图 2，若 CM＝3，CN＝4，求 BC的长． 【解答】（1）证明：如图 1中， ∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形 ABCD是矩形． （2）①如图 2中，延长 CM、BA交于点 E． ∵AN＝BN＝2，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD， 在△AEM和△DCM 中，{ ∠E =∠MCD ∠AME = ∠CMD AM = DM ，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD＝4， ∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6． ②如图 3 中，延长 CM、BA交于点 E． 由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN， ∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设 BN＝x，则 BC 2 ＝CN 2 ﹣BN 2 ＝CE 2 ﹣EB 2 ， ∴4 2 ﹣x 2 ＝6 2 ﹣（x+4） 2 ，∴x= 1 2 ， ∴BC= √CN2 − BN2 = √42 − ( 1 2 )2 = 3√7 2 ． 4．（2023 春•嘉定区期末）在平行四边形 ABCD中，点 E是 BC的中点，连结 AE，将△AEB 沿直线 AE翻折，得到△AFE． （1）如图 1，延长 AF交 CD于点 G，求证：CG＝FG； （2）如图 2，连结 CF并延长交 AD于 H，求证：AH＝DH； （3）当 AD＝4，∠CEF＝∠DAF＝30°时，求线段 AE的长． 【解答】（1）证明：见图 1，连接 GE并延长交 AB的延长线于M， ∵CG∥BM，∴∠CGE＝∠M，∠C＝∠EBM； ∵点 E是 BC的中点，∴CE＝BE； 在△CGE和△BME中， { ∠𝐶𝐺𝐸 =∠𝑀 ∠𝐶 = ∠𝐸𝐵𝑀 𝐶𝐸 = 𝐵𝐸 ，∴△CGE≌△BME（AAS），∴BM＝CG，ME＝GE， 即 E为 MG的中点；∴S△AEM＝S△AEG； 又∵AE为∠GAM的平分线，且设 E点到 AM、AG的距离分别为 a、b， 则 a＝b；∴ 1 2 𝐴𝑀 × 𝑎 = 1 2 𝐴𝐺 × 𝑏，∴AM＝AG； ∵AB＝AF，∴AM﹣AB＝AG﹣AF，即 BM＝FG，∴BM＝CG，∴FG＝CG； （2）证明：见图 2，延长 AF交 CD于 G，设 GM与 CH交于点 N， 由（1）知，△AMG为等腰三角形， ∵等腰三角的三线合一， ∴∠AEG＝90°； 在△FGE和△CGE中，{ 𝐹𝐸 = 𝐶𝐸 𝐹𝐺 = 𝐶𝐺 𝐸𝐺 = 𝐸𝐺 ，∴△FGE≌△CGE（SSS）， ∴∠CEG＝∠FEG， ∴EN垂直平分 FC，∠EFN+∠FEN＝90°； 又∵∠FEN+∠AEF＝90°，∴∠EFN＝∠AEF； ∴HC∥AE；∵AH∥EC，即四边形 AHCE为平行四边形， ∴𝐴𝐻 = 𝐸𝐶 = 1 2 𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐷，即 AH＝DH； （3）解：同图 2， ∵AD∥BC，∠DAG＝30°，∠CEF＝30°， ∴∠AFE＝60°＝∠ABE＝∠D， ∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°， ∴∠𝐺𝐴𝐸 = 120°−30° 2 = 45°； 在△ADG中， ∠ADG＝30°，∠D＝60°， ∴∠AGD＝90°， ∵AD＝4，∴𝐺𝐷 = 2，𝐴𝐺 = 2√3；在直角三角形 AEG中， ∠GAE＝45°，∠AEG＝90°，∴△AEG 为等腰直角三角形，∴𝐴𝐸 = 𝐴𝐺 √2 = 2√3 √2 = √6． 专项练习三：构造一线三直角全等来处理问题 ➢ 知识解读： 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在初二阶段往往用来证 明三条线段的和差或线段的求值以及角度的证明，是一类比较典型的全等模型，下面我们就 来学习一下与等腰直角三角形有关的一线三等角下的全等问题. ➢ 一线三等直角模型： （同侧） （异侧） ➢ 处理一线三等角类问题的步骤： 首先，找角，其中会涉及到角度的计算和对等处理； 其次，找线，也就是所给的定线，往往是指全等时对等的那组对应边； 最后，用来判断全等，进而利用全等三角形的性质来证明或求取相应的问题. ➢ 辅助线指引： 向坐标轴作垂线，转化线段长和点坐标之间的关系，利用垂线得到的直 角，进而结合条件证明全等， ➢ 典型练习： 1．（2024 秋•沭阳县期末）如图，已知等腰直角△ABC 的顶点 B，C 分别在 x、y 轴上，∠ ABC＝90°，点 B 的坐标是（﹣1，0），C 的坐标是（0，3），则直线 AC 的函数关系式 为 ． 【解答】解：过 A点坐标 AD⊥x轴于 D点，如图， ∵B（﹣1，0），C（0，3）， ∴OB＝1，OC＝3， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB＝BC， ∵∠ABD+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°， ∴∠ABD＝∠BCO， 在△ABD和△BCO中， { ∠𝐴𝐷𝐵 =∠𝐶𝑂𝐵 ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐶𝑂 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 ， ∴△ABD≌△BCO（AAS）， ∴AD＝OB＝1，BD＝CO＝3， ∴A（﹣4，1）， 设直线 AC的解析式为 y＝kx+b， 把 A（﹣4，1），C（0，3）分别代入得{ −4𝑘 + 𝑏 = 1 𝑏 = 3 ， 解得{𝑘 = 1 2 𝑏 = 3 ， ∴直线 AC的解析式为 y= 1 2 x+3． 故答案为：y= 1 2 x+3． 故答案为：48． 2．（2022 秋•汝州市期末）如图，点 A在线段 BG上，四边形 ABCD和四边形 DEFG都是正 方形，面积分别是 10 和 19，则△CDE的面积为 ． 【解答】解：如图：过点 E作 EH⊥CD，交 CD的延长线于 H． ∵四边形 ABCD和四边形 DEFG都是正方形，面积分别是 10 和 19 ∴AD⊥CD，DG＝DE= √19，∠BAD＝90°，AD＝CD= √10 在 Rt△ADG中，AG= √𝐷𝐺2 − 𝐴𝐷2 =3 ∵∠ADG+∠GDH＝90°，∠DGH+∠EDH＝90° ∴∠EDH＝∠ADG，且∠DAG＝∠H＝90°，DE＝DG ∴△ADG≌△DEH ∴EH＝AG＝3 ∴S△CDE= 1 2 ×CD×EH= 3√10 2 故答案为 3√10 2 3．（2024 秋•武侯区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝kx+3 分别交 x 轴 和 y轴于 A，B两点，点 C的坐标为（2，﹣1），连接 BC． （1）直接写出点 B的坐标及直线 BC的函数表达式； （2）在第一象限内的直线 AB上取一点 D，连接 CD，当△BCD是等腰直角三角形时，求点 D 的坐标． 【解答】解：（1）在 y＝kx+3中，令 x＝0 得 y＝3， ∴B（0，3）， 设直线 BC的函数表达式为 y＝mx+n， 把 B（0，3），C（2，﹣1）代入得：{ 𝑛 = 3 2𝑚 + 𝑛 = −1 ， 解得{ 𝑚 = −2 𝑛 = 3 ， ∴直线 BC的函数表达式为 y＝﹣2x+3； （2）设 D（p，q）， 当 B为直角顶点时，过 D作 DE⊥y轴于 E，过 C作 CF⊥y轴于 F，如图： ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴∠DBC＝90°，BD＝BC， ∴∠DBE＝90°﹣∠CBF＝∠BCF， ∵∠DEB＝∠BFC＝90°， ∴△DBE≌△BCF（AAS）， ∴DE＝BF，BE＝CF， ∵B（0，3），C（2，﹣1）， ∴{ 𝑝 = 3 − (−1) 𝑞 − 3 = 2 ， 解得{ 𝑝 = 4 𝑞 = 5 ， ∴D（4，5）； 当 C为直角顶点时，过 C作 GH⊥y轴于 G，过 D作 DH⊥GH于 H，如图： 同理可得△BCG≌△CDH（AAS）， ∴BG＝CH，CG＝DH， ∴{ 3 − (−1) = 𝑝 − 2 2 = 𝑞 − (−1) ， 解得{ 𝑝 = 6 𝑞 = 1 ， ∴D（6，1）； 当 D 为直角顶点时，过 D作 MN∥y轴，过 B 作 BM⊥MN 于 M，过 C作 CN⊥MN于 N，如图： 同理可得△BMD≌△DNC（AAS）， ∴BM＝DN，DM＝CN， ∴{ 𝑝 = 𝑞 − (−1) 3 − 𝑞 = 𝑝 − 2 ， 解得{ 𝑝 = 3 𝑞 = 2 ， ∴D（3，2）； 综上所述，D的坐标为（4，5）或（6，1）或（3，2）． 4．（2025春•成都期中）如图 1，直线 y＝﹣x+6 与 x轴、y轴分别交于点 C和点 B，点 A在 x 轴负半轴，且 OB＝2OA． （1）求直线 AB的解析式； （2）点 M 是 BC 的中点，N 为直线 AB 上的一个动点，连接 MN，若∠BNM＝45°，求 N 点 的坐标． 【解答】解：（1）∵直线 y＝﹣x+6与 x轴、y轴分别交于点 C和点 B， ∴点 B（0，6），点 C（6，0）， ∴OB＝OC＝6， ∵OB＝2OA， ∴OA＝3， ∴点 A（﹣3，0）， 设直线 AB的解析式为 y＝kx+6， ∴0＝﹣3k+6， ∴k＝2， ∴直线 AB的解析式为 y＝2x+6； （2）如图，当点 N在点 B 下方时，过点 M 作 MH⊥AB 于 H，过点 M 作 MD⊥AC 于 D，过点 N 作 NF⊥直线 MD 于 F，过点 H作 HE⊥直线 MD于 E， ∴∠NMH＝90°＝∠HEM＝∠NFM， ∴∠NMF+∠HME＝90°＝∠NMF+∠MNF， ∴∠HME＝∠MNF， ∵∠BNM＝45°， ∴△NHF是等腰直角三角形， ∴MN＝MH， ∴△NMF≌△MHE（AAS）， ∴HE＝MF，NF＝EM， ∵点 M是 BC的中点，点 B（0，6），点 C（6，0）， ∴点 M（3，3）， 设点 N（n，2n+6）， ∴MF＝3﹣2n﹣6＝﹣3﹣2n＝EH，NF＝3﹣n＝EM， ∴H（6+2n，6﹣n）， ∴6﹣n＝2（6+2n）+6， ∴n= − 12 5 ， ∴点 N坐标为（− 12 5 ， 6 5 ）； 当点 N在点 B 上方时，同理可得点 N（ 6 5 ， 42 5 ）， 综上所述：点 N（− 12 5 ， 6 5 ）或（ 6 5 ， 42 5 ）． 专项练习四：正方形中的角含半角（90 度含 45 度） ➢ 知识指引 旋转作为初中三大图形变换之一，在改变图形位置的同时，又可以形成新的对应关系， 通过这种变换，可以有效的把图形的性质或关系体现出来，下面我们就来学习一下在正方形 中含 45°的半角旋转模型： ➢ 图态剖析: 在正方形 ABCD中，∠EAF= 1 2 ∠BAD=45° 操作：延长 BC 至点 G，使得 BG=DE，连接 AG（补短法） 结论：（1）补短全等：△ABG≌△ADE （2）对称全等：△FAG≌△FAE， （3）EF=BF+DE，进而得到𝐶△𝐶𝐸𝐹 = 2𝑎（a为正方形的边长） （4）AF 平分∠BFE，AE 平分∠DEF ➢ 典型例题 1.如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作∠EAF=45°，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG． （1）求证：GE=FE； （2）若 DF=3，求 BE 的长为 ． （1）证明：∵将△ADF 绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG， ∴AG=AF，∠DAF=∠BAG， ∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠BAG+∠EAB=45°，即∠EAF=∠EAG， 在△EAG 和△EAF 中，{ 𝐴𝐺 = 𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐺 =∠𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐸 = 𝐴𝐸 ∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE=FE； （2）设 BE=x,则 EF=GE=3+x,CE=6-x,∵CD=6，DF=3，∴CF=CD-DF=3， ∵∠C=90°∴（6-x） 2 +3 2 =（3+x） 2 ，解得 x=2，即 BE=2． 2．（2021 春•白云区期中）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 被两条与正方形的边平行的线段 EF，GH分割成四个小矩形，EF与 GH交于点 P，连接 AF，AH． （1）若 BF＝DH，求证：AF＝AH； （2）连接 FH，若∠FAH＝45°，求△FCH的周长（用含 a的代数式表示）； （3）连接 GF，若 Rt△GBF的周长为 a，求矩形 EPHD的面积（用含 a 的代数式表示）． 【解答】证明：（1）连接 AH、AF， ∵ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°． ∵ADHG与 ABFE都是矩形，∴DH＝AG，AE＝BF， 又∵BF＝DH，∴AE＝BF． 在△ADH与△ABF 中，{ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 ∠𝐷 = ∠𝐵 = 90° 𝐷𝐻 = 𝐵𝐹 ，∴△ADH≌△ABF（SAS），∴AF＝AH； （2）证明：将△ADH绕点 A顺时针旋转 90°到△ABM的位置，连接 GF， ∵∠FAH＝45°， ∴∠MAF＝∠MAH﹣∠FAH＝90°﹣45°＝45°＝∠FAH， 在△AMF和△AHF 中，{ 𝐴𝑀 = 𝐴𝐻 ∠𝐹𝐴𝑀 = ∠𝐹𝐴𝐻 𝐴𝐹 = 𝐴𝐹 ，∴△AMF≌△AHF（SAS），∴MF＝HF， ∵MF＝MB+BF＝HD+BF， ∴△FCH的周长＝CF+FH+CH＝CF+BF+CH+DH＝2a； （3）设 BF＝x，GB＝y，则 FC＝a﹣x，AG＝a﹣y，（0＜x＜a，0＜y＜a）， 在 Rt△GBF中，GF 2 ＝BF 2 +BG 2 ＝x 2 +y 2 ， ∵Rt△GBF的周长为 a， ∴BF+BG+GF＝x+y+√𝑥 2 + 𝑦 2 =a， 即 √𝑥 2 + 𝑦 2 =a﹣（x+y）， 即 x 2 +y 2 ＝a 2 ﹣2a（x+y）+（x+y） 2 ， 整理得 2xy﹣2ax﹣2ay+a 2 ＝0， ∴xy﹣ax﹣ay= − 1 2 a 2 ， ∴矩形 EPHD的面积 S＝PH•EP＝FC•AG＝（a﹣x）（a﹣y）＝xy﹣ax﹣ay+a 2 = − 1 2 a 2 +a 2 = 1 2 a 2 ． 3．（2024秋•漳州期中）如图，点 A，B分别是一次函数 y＝x﹣4与 x轴，y轴的交点，E为 线段 OB的中点，点 F 是直线 OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接 AE，BF，且 BF∥x轴． （1）求 A，B 两点的坐标； （2）若 AE⊥OC，求 k 的值； （3）连接 EF，是否存在 k 值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出 k值；若不存在，请说 明理由． 【解答】解：（1）在 y＝x﹣4中，当 x＝0 时，y＝﹣4，当 y＝0时，x＝4， ∴A（4，0），B（0，4）； （2）由（1）知，B（0，4），∴OB＝4， ∵E为线段 OB的中点，∴OE＝2，∴E（0，﹣2）， 设直线 AE的解析式为 y＝mx+n，∴{ 4𝑚 + 𝑛 = 0 𝑛 = −2 ，∴{ 𝑚 = 1 2 𝑛 = −2 ， ∴直线 AE的解析式为 y= 1 2 x﹣2；∵AE⊥OC，∴k＝﹣2； （3）存在，如图，过 A作 AD⊥BF于 D， ∵OA＝OB＝4，∠OBD＝∠AOB＝∠ADB＝90°， ∴四边形 AOBD是正方形，∴BD＝AO＝4， 设 BF＝x，则 DF＝4﹣x，延长 BD到 G，使 DG＝OE＝2， ∵AD＝OB，∠AOE＝∠ADG＝90°，∴△AOE≌△ADG（SAS），∴∠OAE＝∠GAD， ∵∠EAF＝45°，∴∠OAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF， ∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝6﹣x， ∵EF2＝BE2+BF2，∴（6﹣x）2＝22+x2，∴x= 8 3 ，∴F（ 8 3 ，﹣4）， 把 F（ 8 3 ，﹣4）代入 y＝kx得 k= − 3 2 ． 4．（2024 春•南沙区期末）四边形 ABCD是正方形，点 E是射线 CB上一动点，过点 A作 AE ⊥AF交直线 CD于点 F，作∠EAF的平分线 AH交直线 BC于点 H，连接 HF． （1）如图 1，若点 E在线段 CB延长线上，点 H在线段 CB上． ①求证：∠1＝∠2； ②如图 2，连接 BD交 AH于点 K，交 AF于点 L，请探索 BK，KL，DL之间的数量关系 并证明． （2）请直接写出 BH，BE和 HF之间的数量关系． 【解答】（1）①证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，即∠1+∠BAF＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°，即∠2+∠BAF＝90°， ∴∠1＝∠2； ②解：BK2+DL2＝KL2，证明如下： 在 AE上取点 G，使 AG＝AL，连接 BG，KG，如图： 在△ABG和△ADL中，{ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ∠1 = ∠2 𝐴𝐺 = 𝐴𝐿 ，∴△ABG≌△ADL（SAS）， ∴BG＝DL，∠ABG＝∠ADL， ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠ADL＝45°， ∴∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，∴BK2+BG2＝GK2， ∴BK2+DL2＝GK2， ∵AH平分∠EAF，∴∠GAK＝∠LAK， ∵AG＝AL，AK＝AK， ∴△AGK≌△ALK（SAS）， ∴GK＝KL， ∴BK2+DL2＝KL2； （2）解：当 E在线段 CB延长线上，H在线段 CB上时，如图： ∵∠1＝∠2，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF， ∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH， ∴△EAH≌△FAH（SAS）， ∴EH＝HF， ∴BE+BH＝HF； 当 E在线段 CB延长线上，H在线段 CB延长线上时，如图： 同理可得 BE﹣BH＝HF， 当 E在线段 CB上时，如图： ∵∠BAE＝90°﹣∠DAE＝∠DAF，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF， ∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH， ∴△EAH≌△FAH（SAS）， ∴EH＝HF， ∴BH﹣BE＝HF； 综上所述，当 E在线段 CB延长线上时，BE+BH＝HF或 BE﹣BH＝HF；当 E在线段 CB 上时，BH﹣BE＝HF． 专项练习五：正方形中的一类一线三直角构图 ➢ 正方形中的一线三直角旋转构图： 条件：E为正方形 ABCD边上的一点，EF⊥AE交外角∠DCG平分线于 F 方法指引：连接对角线 AC,过 E作 EH⊥BC交 AC 于 H，可证△AHE≌△FCE， 结论 AE=EF，∠ECF=135°，∠DCF=45°，进而得出点 F在∠DCG的平分线上运动 ➢ 典型练习 1.如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外 角的平分线 CF 于点 F，连接 DF．若 AB=3，BE=1，则 DF 的长为 ． 答案√5 2．（2025•河西区模拟）如图，正方形 ABCD边长为 6，点 E在边 CD上，CE＝2，∠BEF＝90° 且 EF＝BE，G为 DF的中点，则： （Ⅰ）∠ADF的度数为 ； （Ⅱ）BG的长为 ． 【解答】（Ⅰ）过 F作 FH⊥CD于 H，如图： ∵∠BEF＝90°，∴∠BEC+∠FEH＝90°， ∵∠BEC+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠FEH， 在△BCE和△EHF 中，{ ∠𝐶 =∠𝐹𝐻𝐸 = 90° ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐹𝐸𝐻 𝐵𝐸 = 𝐸𝐹 ，∴△BCE≌△EHF（AAS）， ∴BC＝EH，CE＝FH，∵四边形 ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴CD＝EH， ∴CE+DE＝DE+DH，∴CE＝DH，∴FH＝DH，∴△DFH为等腰直角三角形， ∴∠FDH＝45°，∴∠ADF＝45°；故答案为：45°； （2）过 G作 GM⊥BC于 M，GN⊥CH于 N，如图： ∴GN∥FH，∵G为 DF中点，∴GN为△DFH的中位线， ∴GH= 1 2 FH= 1 2 CE＝1，DN＝GN＝1，∴CN＝CD+DN＝7， ∵∠C＝∠CMG＝∠CNG＝90°，∴四边形 CNGM为矩形， ∴CM＝GN＝1，MG＝CN＝7，∴BM＝BC﹣CM＝5， 在 Rt△BMG中，BG= √𝑀𝐺2 + 𝐵𝑀2 = √74．故答案为：√74． 3．（2024 秋•锦江区校级期末）如图，直线 y＝kx﹣6k（k≠0）与坐标轴分别交于点 A，B， 过点 A、B作直线 AB，以 OA为边在 y轴的右侧作四边形 AOBC，S△AOB＝18． （1）求点 A，B的坐标； （2）如图，点 D 是 x 轴上一动点，点 E在 AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①若点 D 是线段 OB的中点，求点 E坐标； ②若点 D 是线段 OB上任一点，如图 1，问点 E是否在定直线上，若是，求该直线的解析 式；若不是，说明理由； ③若点 D（2，0），∠CAO＝∠CBO＝90°，另一动点 H在直线 BE上且满足∠HAC＝∠OAD， 请求出点 H的坐标． 【解答】解：（1）在直线 y＝kx﹣6k（k≠0）中， 当 x＝0时，y＝﹣6k；当 y＝0时，x＝6， ∴A（0，﹣6k），B（6，0）， ∵S△AOB＝18， ∴ 1 2 × 6 × (−6𝑘) = 18，解得 k＝﹣1， ∴A（0，6），B（6，0）； （2）①如图，作 EF⊥x轴，垂足为点 F， 在△AOD和△DFE 中，{ ∠𝐴𝑂𝐷 =∠𝐷𝐹𝐸 ∠𝑂𝐴𝐷 = ∠𝐹𝐷𝐸 = 90° − ∠𝐴𝐷𝑂 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸 ， ∴△AOD≌△DFE（AAS）， ∴AO＝DF，OD＝EF， ∵点 D是线段 OB 的中点，A（0，6），B（6，0）； ∴OD＝EF＝3，AO＝DF＝6， ∴OF＝OD+DF＝6+3＝9， ∴E（9，3）； ②点 E在定直线 y＝x﹣6上，理由如下： 如图，作 EF⊥x轴，垂足为点 F， 由①可知△AOD≌△DFE（AAS）， ∴AO＝DF，OD＝EF， 设点 E（x，y），则 D（y，0），F（x，0）， ∵OF＝OD+DF＝OD+OA＝y+6， ∴E（y+6，y），即 y＝x﹣6， ∴点 E在定直线 y＝x﹣6上； ③∵A（0，6），B（6，0）；∠CAO＝∠CBO＝90°， ∴四边形 OACB是边长为 6的正方形， 如图，当 AH在 AC 下方时，交 BC于点 M，则∠MAC＝∠DAO，点 H为直线 AM与 BE的交点， ∵AC＝OA，∠AOD＝∠ACM， ∴△AOD≌△ACM（ASA）， ∴CM＝OD＝2，BM＝6﹣2＝4， ∴M（6，4）， 设直线 AM的解析式为 y＝kx+6，代入点 M坐标得：6k+6＝4，解得 k= − 1 3 ， ∴直线 AM的解析式为 y= − 1 3 𝑥 + 6， 联立方程组得{ 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 6 𝑦 = 𝑥 − 6 ，解得{ 𝑥 = 9 𝑦 = 3 ， ∴H（9，3）， 当 AH在 AC上方时，作点 M关于 AC的对称点 N， ∴N（6，8）， 设直线 AN的解析式为 y＝mx+6，代入点 N（6，8）得：8＝6m+6，解得 m= 1 3 ， ∴直线 AN的解析式为 y= 1 3 𝑥 + 6， 联立方程组{ 𝑦 = 1 3 𝑥 + 6 𝑦 = 𝑥 − 6 ，解得{ 𝑥 = 18 𝑦 = 12 ． ∴H（18，12）， 综上分析，满足条件的 H点坐标为（9，3）或（18，12）． 4.（2023春•番禺区期末）如图，点 E是正方形 ABCD边 BC上一动点（不与 B、C重合），CM 是外角∠DCN的平分线，点 F在射线 CM上． （1）当∠CEF＝∠BAE时，判断 AE与 EF是否垂直，并证明结论； （2）若在点 E运动过程中，线段 CF与 BE始终满足关系式 CF= √2BE． ①连接 AF，证明 𝐴𝐹 𝐴𝐸 的值为常量； ②设 AF与 CD 的交点为 G，△CEG的周长为 a，求正方形 ABCD的面积． 【解答】（1）解：垂直，理由如下： ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵∠CEF＝∠BAE，∴∠CEF+∠AEB＝90°，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF； （2）①证明：如图 1，作 FG⊥BN于 G， ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠DCN＝∠BCD＝90°，AB＝BC， ∵CM平分∠DCN，∴∠DCM＝∠MCN＝45°，∴CF= √2𝐶𝐺 = √2𝐹𝐺， ∵CF= √2𝐵𝐸，∴BE＝CG＝CF，∴BE+EC＝CG+EC，∴BC＝EG，∴EG＝AB， ∵∠FCG＝∠B＝90°，∴△ABE≌△EGF（SAS），∴AE＝EF，∠FEG＝∠BAE， ∴由（1）得：∠AEF＝90°，∴ 𝐴𝐹 𝐴𝐸 = √2； ②解：如图 2，在 CB的延长线上截取 BH＝DG，连接 AH， ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD， ∴△ABH≌△ADG（SAS），∴∠DAG＝∠BAH，AH＝AG，由①知：∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAG＝45°，∴∠BAE+∠BAH＝45°，∴∠EAH＝45°，∴∠EAH＝∠EAF， ∵AE＝AE，∴△AEH≌△AEG，∴EG＝EH＝BH+BE＝DG+BE， ∴EG+CG+EC＝DG+BE+CG+EC＝CD+BC＝2BC＝a，∴BC= 1 2 𝑎，∴S 正方形 ABCD＝BC 2 = 1 4 𝑎2． 专项练习六：几何图形中的旋转构图问题 ➢ 三爪图图态剖析 模型归类：共点等长线段旋转构图 条件：AO=A′O 方法：作∠BOB′=∠AOA′，且 OB′=OB， 结论：△AOB≌△A′OB′ 作用：转移线段、建构新关系及应用环境 ➢ 共顶点构造口决： （60度 ） （90度） （一般等腰三角形） ➢ 典型练习 1.（2019•白云区一模）如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1， CD=3，则 BD= ． 解：如图，过点 A 作 AE⊥AD 交 CD 于 E，连接 BE． ∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，∴∠ADE=∠AED=45°， ∴AE=AD=1，DE=√2，∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC，∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，∴∠BED=90°， ∴BD=√𝐵𝐸2 + 𝐷𝐸2=√32 + (√2)2=√11． 2．（2025春•铁一期中）如图，在 Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为斜边 AB的中点， P 为△ABC形外一点，∠BPC＝60°． ①若 AC＝2，则 OC＝ ； ②若𝑃𝐵 = 6√3，𝑃𝑂 = 7√2，则 PC的值为 ． 【解答】（1）在 Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为斜边 AB的中点，如图 1，连接 CO，