专题02 勾股定理（云南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理 题型02 勾股定理的逆定理 一、题型01勾股定理题型01 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（   ） A．15 B． C．20 D． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在中，过点A作的垂线交的延长线于点D，已知，，，则的长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．24 5．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在水塔O的东北方向24处有一抽水站A，在水塔的东南方向18处有一建筑工地B，在之间搭建一条直水管，则水管的长为（    ） A．27 B．30 C．36 D．40 6．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 7．（23-24八年级下·云南红河·期末）图2是等腰三角形屋架（如图1）的平面示意图，立柱垂直横梁．若米，，则横梁的长为（    ） A．米 B．8米 C．米 D．12米 8．（23-24八年级下·云南大理·期末）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（    ） A．5或 B． C．7 D．5 9．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 10．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，以点F为圆心，长为半径作圆弧交于点H，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 11．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 12．（23-24八年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 13．（23-24八年级下·云南昆明·期末）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（    ）． A．10 B．15 C．20 D．25 14．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．0.6，0.8，1 D．6，8，10 15．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（   ） A．5 B．8 C．10 D．20 17．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（    ） A．3.57 B．3.6 C． D． 18．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，一竖直的木杆高8米，折断后木杆顶端落在离其底端4米处．折断处离地面的高度是（    ） A．3米 B．米 C．4米 D．5米 19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）在直角三角形中，，，，则的取值范围在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·云南昆明·期末）一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 22．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米． A．4 B．6 C．8 D．10 25．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，于，若，，则（    ） A． B． C． D．5 26．（23-24八年级下·福建厦门·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 27．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（    ） A．12 B．6 C． D．15 28．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A． B． C． D． 29．（17-18八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（　　） A．6 B． C． D．4 30．（20-21八年级上·江苏盐城·期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 31．（19-20八年级下·湖北孝感·期中）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1， S2， S3．若S1 36，S2 64，则S3（  ）    A．8 B．10 C．80 D．100 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形的腰长为13，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为3，则该等腰三角形底边上的高为 ． 33．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为 ． 34．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为 ． 35．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为 ． 36．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，点P是x轴上的一个动点，则的最小值为 ． 37．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图1，第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若正方形与正方形的面积之比为m，，则m的值是 ． 38．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧，交轴正半轴于点，点表示的实数为 ． 39．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若，，则 ． 40．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点，连接，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．    41．（18-19八年级下·安徽·期中）如果直角三角形的两条直角边的长为，斜边的长是 ． 42．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是 ． 43．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 44．（23-24八年级下·云南文山·期末）已知和都是等边三角形． (1)如图1，点D在边上，连接、．求证：； (2)如图2，将绕点B顺时针旋转，当点E落在的平分线上（在的内部），连接，求此时的度数； (3)如图3，F是的中点，若等边三角形的边长为6，等边三角形的边长为4，绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段的长度最小？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 45．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标是______； (2)在轴上找一点，使得周长最小，请画出； (3)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是______． 46．（17-18八年级上·河南南阳·期末）已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5．试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值． 二、题型02 勾股定理的逆定理题型02 47．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 48．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．1，1， C．4，5，6 D．5，12，23 49．（23-24八年级下·云南大理·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．2，3，4 C．1，1， D．4，5，6 50．（23-24八年级下·云南德宏·期末）以下列各组数据为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（  ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．13，14，15 D．5，12，13 51．（23-24八年级下·云南普洱·期末）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 52．（23-24八年级下·云南文山·期末）以下列线段a、b、c的长为边，能构成是直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．，2， C．6，8，12 D．1，2， 53．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，3，4 B．1，1， C．13，14，15 D．3，4，5 54．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（    ） A．，，1 B．3，4，5 C．6，8，10 D．，， 55．（23-24九年级下·湖南永州·期中）若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 56．（23-24八年级上·云南文山·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 57．（21-22八年级下·北京西城·期末）在△ABC中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D． 58．（15-16八年级下·重庆璧山·阶段练习）下列命题中，其中正确命题的个数为（    ）个 ①在中，若三边长，则是直角三角形； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为a，b，c，若，则； ④在中，，则是直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 59．（2018八年级下·全国·专题练习）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”) 60．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是一个单位长度），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)在图中描出，连接、、，试判断的形状； (2)求的面积． 61．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动；点Q从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果同时出发，当运动到时，P，Q之间的距离为多少？    62．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知、，则两点间的距离为___________； (2)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 63．（23-24八年级下·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 64．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）为落实中小学生劳动教育课程，八（3）班和八（4）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（3）班和八（4）班实践基地的位置，两处相距60米，、两处相距80米，两处相距100米．为了更好的使用自来水灌溉，八（3）班和八（4）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（3）班方案：沿线段铺设二段水管； 八（4）班方案：过点作于点，沿线段铺设三段水管． (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 65．（23-24八年级下·云南昭通·期末）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，． (1)求B、D之间的距离． (2)该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本为多少？ 66．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 67．（23-24八年级下·广东云浮·期中）3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 68．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 69．（23-24七年级上·山东威海·期中）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    70．（23-24八年级上·山西太原·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离． 试卷第2页，共19页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理 题型02 勾股定理的逆定理 一、题型01 勾股定理题型01 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（   ） A．15 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，根据轴对称的性质可判断两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，根据轴对称的性质可得出，根据等边对等角和平行线的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，然后根据三线合一求出即可． 【详解】解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F， ∴，， ∴，， ∴，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于， 依题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 即两次传球中皮球飞过的最短路径为， 故选：B． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 4．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在中，过点A作的垂线交的延长线于点D，已知，，，则的长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，先利用勾股定理求解的长，即可得的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】∵过点A作的垂线交的延长线于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在水塔O的东北方向24处有一抽水站A，在水塔的东南方向18处有一建筑工地B，在之间搭建一条直水管，则水管的长为（    ） A．27 B．30 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解:∵是东北方向，是东南方向， ∴， 又∵， ∴． ∴水管的长为30， 故选：B． 6．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 7．（23-24八年级下·云南红河·期末）图2是等腰三角形屋架（如图1）的平面示意图，立柱垂直横梁．若米，，则横梁的长为（    ） A．米 B．8米 C．米 D．12米 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形中30度角所对边是斜边的一半求出米，再利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解：米，， ， ， 米， 米， 米， 故选：D． 8．（23-24八年级下·云南大理·期末）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（    ） A．5或 B． C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，分长为4的边为直角边和长为4的边为斜边，两种情况利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当长为4的边为直角边时，则第三边长为， 当长为4的边为斜边时，则第三边长为， 综上所述，第三边长为5或， 故选；A． 9．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 10．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，以点F为圆心，长为半径作圆弧交于点H，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，由作图可知，即可得到的长. 【详解】解：在中，， ∴， ∵以点F为圆心，长为半径作圆弧交于点H， ∴， ∴， 故选：C 11．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 12．（23-24八年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面上两点间的距离，掌握距离公式是解题的关键． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选C． 13．（23-24八年级下·云南昆明·期末）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（    ）． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后结合题意即可求解． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意可得图形： 在中：， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 故选：B． 14．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．0.6，0.8，1 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键． 根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、0.6，0.8，1，都是小数，不是正整数，不符合题意； D、且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； 故选：D． 15．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 16．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（   ） A．5 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据，以及，即可得到的值． 【详解】解：，，，，分别表示三个正方形的面积， ，， ， ， ， ， 故选：C． 17．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（    ） A．3.57 B．3.6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】由题意可知，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为点C在正半轴， 所以点C对应的实数为． 故选：C． 18．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，一竖直的木杆高8米，折断后木杆顶端落在离其底端4米处．折断处离地面的高度是（    ） A．3米 B．米 C．4米 D．5米 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是米，根据勾股定理即可列出方程进行求解．解题的关键是熟知勾股定理的应用． 【详解】解：设折断处离地面的高度是米， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是3米， 故选：A． 19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）在直角三角形中，，，，则的取值范围在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的估算．根据勾股定理求出，再估算出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴的取值范围在6到7之间． 故选：C 20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺， 根据题意，得， 故答案为：A． 21．（23-24八年级下·云南昆明·期末）一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理求得斜边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6和8， ∴斜边长为， 故选：C． 22．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，在中，由勾股定理可得，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 设旗杆的高度为米， 米，米， 根据以上信息，在中，由勾股定理可得， 故选：D． 23．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，由勾股定理可得，据此即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， 由题意可得，， 故选：． 24．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，根据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∵，， ∴（负值舍去） ∴ ∴小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了8米 故选：C． 25．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，于，若，，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，然后根据面积法计算的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 故选：C． 26．（23-24八年级下·福建厦门·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题以“赵爽弦图”为背景，考查勾股定理，三角形的面积计算，完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题关键． 根据勾股定理求出等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出的值，求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9． ∴一个小三角形的面积是．三角形的斜边为． ， ， 故选：C． 27．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（    ） A．12 B．6 C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质，勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的面积． 故选：B． 28．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点B对应的数为1， 点D表示的数是， 故选：A． 29．（17-18八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（　　） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】由勾股定理先求出Rt△ADB的直角边AD的长，然后再根据勾股定理求Rt△ADC的斜边AC的长即可． 【详解】解：如图， ∵在△ABC中，AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2， ∴AD＝=， 在Rt△ADC中，AD＝，CD＝1， ∴AC＝ 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解勾股定理． 30．（20-21八年级上·江苏盐城·期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a−b）2＝4，再由勾股定理a2＋b2＝c2，从而可得出ab的值． 【详解】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a−b）2＝4， ∵a2＋b2＝c2＝20，（a−b）2＝4， ∴a2＋b2−2ab＝4，即20−2ab＝4．　　 ∴ab＝8． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度． 31．（19-20八年级下·湖北孝感·期中）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1， S2， S3．若S1 36，S2 64，则S3（  ）    A．8 B．10 C．80 D．100 【答案】D 【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 又由正方形面积公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2， ∴S3=S1+S2=100． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形的腰长为13，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为3，则该等腰三角形底边上的高为 ． 【答案】12或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及勾股定理，要求学生借助图形，采用数形结合及分类讨论的思想，求出底边的长，同时注意因为没有指明周长分成两部分的长短，故求出有两解，不要遗漏． 先根据题意画出图形，设为底边上的高，由为中点，得到，再根据将其周长分成两部分的差为3，分别表示出分三角形周长的两部分，相减等于 3 列出关于的方程，求出方程的解得到的长，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到为中点，由求出的得到的长，再由的长，在直角三角形中，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图所示，为中点，于． ∵为的中点， ∴， 根据题意得：或， 即或， 解得：或16． （1）当时， ， ， 在 中，， 根据勾股定理得：； （2）当时， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：． 综上，底边上的高为12或． 故答案为：12或． 33．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况，①当5为斜边，②5不是斜边时，分别根据勾股定理求出第三边边长即可． 【详解】解：分两种情况： ①当5为斜边时，第三边边长为； ②当5不是斜边时，第三边边长为； 综上所述，第三边边长是或， 故答案为：或． 34．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，由题意得， ， 故． 故答案为：10． 35．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，根据题意将圆柱展开，得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ∴， ∴， ∴最短路程为13， 故答案为：13． 36．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，点P是x轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和最小值问题，两点间连线段最短，点关于坐标轴对称，勾股定理；作关于轴的对称点，连接交轴于，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；利用两点间连线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：作关于轴的对称点，连接交轴于， 由对称得：， ， 此时取得最小值， ， ， 故答案：． 37．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图1，第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若正方形与正方形的面积之比为m，，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由正方形与正方形的面积之比为m，得到，设，，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵正方形与正方形的面积之比为m， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 38．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧，交轴正半轴于点，点表示的实数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先利用勾股定理求出，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由作图方法可知， ∴， 点表示的实数为， 故答案为：． 39．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先分别表示出，再结合勾股定理即可求解，正确表示出半圆的面积是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点，连接，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．    【答案】4 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，两点间的距离公式，分类讨论是解决问题的关键．先求出，设点P的坐标为，表示出的长，根据是等腰三角形分三种情况进行讨论：①，②，③，根据每一种情况求出点P的坐标即可得出符合条件的点P的个数． 【详解】解：点， ， 点P在y轴上， 设点P的坐标为， ， 又是等腰三角形， 有三种情况： ①当时， 则， 整理得：， ， 由，解得， 此时点P与原点O重合，故不合题意，舍去， 由，解得：， 此时点P的坐标为； ②当时， 则， 解得：，或， 此时点P的坐标为或； ③当时， 则， 整理得：， 解得：， 此时点P的坐标为． 综上所述：符合条件的点P有4个，其坐标分别是或或或． 故答案为：4． 41．（18-19八年级下·安徽·期中）如果直角三角形的两条直角边的长为，斜边的长是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可求出斜边的长度． 【详解】解：斜边的长为：． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的运算，涉及勾股定理的应用． 42．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是 ． 【答案】125 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG =SA+SB+SC+SD =62+82+32+42 =125 故答案为：125． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 43．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1)等腰三角形；理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理. （1）由题意可得，因此，根据等角对等边即可得出答案； （2）根据含角的直角三角形的性质，可得， 在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）由（1）可知， ∴， ∴， 在中，米． 44．（23-24八年级下·云南文山·期末）已知和都是等边三角形． (1)如图1，点D在边上，连接、．求证：； (2)如图2，将绕点B顺时针旋转，当点E落在的平分线上（在的内部），连接，求此时的度数； (3)如图3，F是的中点，若等边三角形的边长为6，等边三角形的边长为4，绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段的长度最小？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，，，即可由得出结论． （2）先证明，得到．再由角平分线定义，求得，即可求解． （3）连接，当点D落在线段上时，线段的长度最小．根据等边三角形的性质与勾股定理求出，即可由求解． 【详解】（1）证明：等边三角形， ，． 是等边三角形， ， 在和中， （2）解：∵等边三角形， ，． ∵是等边三角形， ， 即 在和中， ∵ ． ． ∵，且是的平分线， （3）解：存在．连接，当点D落在线段上时，线段的长度最小．如图， ∵F是的中点，且是边长为6的等边三角形， ，，． 在中，根据勾股定理得 ∵是边长为4的等边三角形， 的最小值为 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，两点之间线段最短，勾股定理．根据两点之间线段最短得到当点D落在线段上时，线段的长度最小是银题的关键． 45．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标是______； (2)在轴上找一点，使得周长最小，请画出； (3)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、勾股定理、等腰三角形的定义，解题关键是掌握平面直角坐标系中求解图形面积的方法、轴对称的性质、利用两点之间直线段最短求得最短距离． （1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，连接对称点即可； （2）如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时最小， （3）设，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，取点关于轴的对称点， 连接，交轴于点，连接，此时最小， 最小，即周长最小．则即为所求． （3）解：设 依题意，， ∴ 解得：或 ∴的坐标为：或． 故答案为：或． 46．（17-18八年级上·河南南阳·期末）已知将边长分别为a和2b（a＞b）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，正方形的边长为5．试通过你获取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值． 【答案】a2+b2＝25，a2﹣b2＝7． 【分析】根据勾股定理，长方形的面积为24，正方形的面积计算方法，列出关于a、b方程组，然后求解． 【详解】解：根据题意得 a2+b2＝52＝25， a•2b＝24， ∴a2+b2+2ab=49， ∴a+b＝7， 由图2得（a-b）2=52-24=1， ∵a＞b， ∴a-b=1， ∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=7×1=7， ∴a2+b2＝25，a2﹣b2＝7． 【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质及直角三角形．解题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系． 二、题型02 勾股定理的逆定理题型02 47．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 48．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．1，1， C．4，5，6 D．5，12，23 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故此选项符合题意； C、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 49．（23-24八年级下·云南大理·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．2，3，4 C．1，1， D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项进行判断，只需验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项符合题意； D．，故选项不符合题意． 故选：C． 50．（23-24八年级下·云南德宏·期末）以下列各组数据为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（  ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．13，14，15 D．5，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、， 3，4，5能构成直角三角形，故不符合题意； B、， ∴6，8，10能构成直角三角形，故不符合题意； C、， 13，14，15不能构成直角三角形，故符合题意； D、， 5，12，13能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 51．（23-24八年级下·云南普洱·期末）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，深刻理解定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A. ，能构成直角三角形，故选项符合题意； B. ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D. ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 52．（23-24八年级下·云南文山·期末）以下列线段a、b、c的长为边，能构成是直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．，2， C．6，8，12 D．1，2， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 53．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，3，4 B．1，1， C．13，14，15 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，逐项验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 54．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（    ） A．，，1 B．3，4，5 C．6，8，10 D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，1的三条线段可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为，，的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 55．（23-24九年级下·湖南永州·期中）若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 56．（23-24八年级上·云南文山·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，即较小两边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，， ， 故选项A不符合题意； B、，， ， 故选项B不符合题意； C、，， ， 故选项C不符合题意； D、，， ， 故选项D符合题意； 故选：D． 57．（21-22八年级下·北京西城·期末）在△ABC中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】求出a2＋b2＝c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D． 【详解】解：A、根据选项，化简得a2＝c2−b2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意； B、根据选项中，，，可得， ∴12＋22≠32，即， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、根据选项∠A＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意； D、根据选项中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设，则由三角形内角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得，解得， ∴最大角∠C＝＝75°＜90°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 58．（15-16八年级下·重庆璧山·阶段练习）下列命题中，其中正确命题的个数为（    ）个 ①在中，若三边长，则是直角三角形； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为a，b，c，若，则； ④在中，，则是直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，利用边和勾股定理，或角和三角形内角和定理的关系即可判定． 【详解】解：（1）由题意可设，，，则， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； （2）∵三角形的内角和为， ∴若三角形中一个内角等于其它两个内角的和，则这个角的度数为90°， ∴这个三角形是直角三角形，故②正确； （3）∵三角形的三边a、b、c满足， ∴中，，故③错误； （4）∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上所述，上述四个命题中，正确的有3个． 故选∶C． 59．（2018八年级下·全国·专题练习）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”) 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 60．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是一个单位长度），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)在图中描出，连接、、，试判断的形状； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，直角三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）先描点，再画，再利用勾股定理的逆定理作答即可； （2）先求解，再利用直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 【点睛】本题考查的是坐标系内描点，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积的计算，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 61．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动；点Q从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果同时出发，当运动到时，P，Q之间的距离为多少？    【答案】当运动到时，P，Q之间的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设为，为，为，根据的周长为，列出方程求出x的值，证明出是直角三角形，经过3秒时，，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：设为，为，为， ∵的周长为， ∴， 即， 解得：， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，且． 经过3秒时，，， 又∵在中，， ∴． ∴当运动到时，P，Q之间的距离为． 62．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知、，则两点间的距离为___________； (2)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由两点坐标特征得到轴，再由材料中当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或列式求解即可得到答案； （2）由两点间的距离公式，结合求出三角形三边长度，再由勾股定理的逆定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：、的纵坐标相等，则轴， 当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或可知A、B两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 两点间的距离公式，， ；；； ， 是直角三角形，且． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及两点距离公式、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、二次根式性质等知识，读懂题意，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 63．（23-24八年级下·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接． ， ∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ∴满足， ∴是直角三角形且． ∴零件的面积 ． 64．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）为落实中小学生劳动教育课程，八（3）班和八（4）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（3）班和八（4）班实践基地的位置，两处相距60米，、两处相距80米，两处相距100米．为了更好的使用自来水灌溉，八（3）班和八（4）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（3）班方案：沿线段铺设二段水管； 八（4）班方案：过点作于点，沿线段铺设三段水管． (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)从节约水管的角度考虑，应选择八（3）班铺设方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用， （1）证明，即可利用勾股定理的逆定理得到，即； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 是直角三角形，且， ； （2）从节约水管的角度考虑，应选择八（3）班铺设方案，理由如下： ， ， ， ， ，且， 八（3）班方案中水管的长度小于八（4）班方案中水管的长度， 从节约水管的角度考虑，应选择八（3）班铺设方案． 65．（23-24八年级下·云南昭通·期末）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（4）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，． (1)求B、D之间的距离． (2)该班计划将该区域全部种植向日葵，若种植向日葵每平方米成本为12元，则该班种植向日葵的成本为多少？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求四边形的面积，即可求解； 掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ， ()， 故B、D之间的距离为； （2）解：， ， 是直角三角形， ， (元)， 故则该班种植向日葵的成本为元． 66．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)相等，且垂直 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案． 【详解】（1）四边形的面积； 故答案为：12； （2）四边形的周长为 ； 故答案为：； （3）相等，且垂直． 理由：如图所示，连接． 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以，且． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键． 67．（23-24八年级下·广东云浮·期中）3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理，先在 中,根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可．熟练掌握勾股定理和它的逆定理是解题的关键． 【详解】在 中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 68．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)或，理由见详解 【分析】（1）根据可证明； （2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：存在．或， 理由如下， 由题意可得， ∴ ∵以点为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴ 即 解得：， 当， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：， 综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 69．（23-24七年级上·山东威海·期中）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    【答案】够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 70．（23-24八年级上·山西太原·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离． 【答案】，两点间的距离为15米 【分析】本题考查了勾股定理逆定理及勾股定理，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，从而得出，再由勾股定理进行计算即可，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：米，米，米， ，， ， 是直角三角形，其中， ， 米， 在中，由勾股定理得，米， 答：，两点间的距离为15米． 试卷第2页，共3页 试卷第2页，共54页 学科网（北京）股份有限公司 $$