精品解析：辽宁省葫芦岛市连山区东北师范大学连山实验高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

东北师范大学连山实验高中高二年级2024-2025学年度下学期期中考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400 4. 若函数在区间内为增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为16 10. 一只口袋中装有形状、大小都相同8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（ ） A. 若有放回摸球，设摸出红色球个数为，则方差 B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率 C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望 D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为 11. 下列说法正确的是（ ）． A. 函数在区间的最小值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求数列__________. 13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 14. 对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 16. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 17. 已知等比数列前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 18. 当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 188 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. （1）根据所给数据，求出关于的回归方程； （2）已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套餐”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 19. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学连山实验高中高二年级2024-2025学年度下学期期中考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式计算，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 2. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的基本性质得出，再结合对数的运算性质可求得结果. 【详解】因为等比数列各项均为正数，且， 由等比数列的性质得， 因此，. 故选：B. 3. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400 【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量的密度函数可求，由条件，利用正态分布的性质可求，由此可求结论. 【详解】依题意可知，，又因为， 所以， 所以数学成绩超过120分的人数约为， 故选：B. 4. 若函数在区间内为增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，由题意可得对任意上恒成立，分离参数后，利用函数单调性求出的范围，从而得到答案. 【详解】由，得， 因为函数在区间内为增函数， 所以对任意恒成立，即在上恒成立， 令，所以在上单调递减， 所以，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分第1次按对和第2次才按对两种情况，利用条件概率公式和加法公式计算概率可得. 【详解】记“小王第一次按对”=, “第二次按对”, ,； 小王1次就按对的概率即为， 小王恰好需要2次才按对的概率. 所以小王不超过2次就按对的概率为. 故选：B. 6. 已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 7. 若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围. 【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离， 将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小． 而，令，则，可得， 此时，Q到直线的距离，故， 所以． 故选：B 【点睛】关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围. 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设函数，分析函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式. 【详解】设，， 则，. 因为，所以，即在上恒成立. 所以函数在上单调递增. 且，所以不等式的解为：. 又， 所以. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以,故C错误； 对于D，， 因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确. 故选：AD. 10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（ ） A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为，则方差 B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率 C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望 D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意有放回摸球时服从二项分布，无放回摸球时服从超几何分布，根据两种不同方式和条件概率判断各个选项； 【详解】对于A，若有放回摸球时，摸到红球的概率为， 依次摸出3个球，则，所以，A正确； 对于B，若有放回摸球时，摸到黑球的概率为， 摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，依次摸出3个球， 所以摸出是同一种颜色球的概率，B错误； 对于C，无放回摸球时，依次摸出3个球，设摸出红色球的个数为，服从超几何分布， 的可能取值为0，1，2，3， 则 则期望，C正确； 对于D，若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色时，即黑白、黑红、红白， 则摸出的球只有两种不同颜色的概率为， 摸出球是2红1白的概率为， 在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为，D正确； 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ）． A. 函数在区间的最小值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断A；计算出即可判断B；依题意时，都有成立，令，则，从而在上单调递增，在上恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围，即可判断C；将变为即，构造新函数，利用其单调性得到，即可判断D. 【详解】对于A：，， 则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确； 对于B：因为，则， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：因为时，都有成立， 即时，都有成立， 即时，都有成立， 令，则， 则在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，又在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为，故C错误； 对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立， 故 ， 当 时， ，此时不等式恒成立； 不等式在上恒成立, 即在上恒成立, 而即， 设 ，当 时，， 故是增函数， 则即，故， 设， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 故 ，则 ， 综上可得，实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求数列__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式. 【详解】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以. 故答案为： 13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，，由全概率公式先求，由即可求解. 【详解】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，， 则，， 由全概率公式有， 所以， 故答案为：. 14. 对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，令，则，其中 求得恒成立，得到在递增，转化为，转化为，令，得到在为单调递增函数，得到，得到，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即， 令，则，其中 又由恒成立，则在单调递增， 所以，即，即，所以， 令，可得， 所以在为单调递增函数，所以，即，所以， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出单调区间. （2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此函数有两个零点，且，即， 则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为 所以曲线在点处的切线方程为. 16. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下产品作检验. 【解析】 【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件； （2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值 件产品中恰有件不合格品的概率为. 因此. 令，得.当时，；当时，. 所以最大值点为； ［方法二］：【最优解】均值不等式 由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为． ，当且仅当，即可得所求． （2）由（1）知，. （i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法； 方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解． 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 18. 当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. （1）根据所给数据，求出关于的回归方程； （2）已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套餐”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望= 【解析】 【分析】（1）根据数据和最小二乘法公式求出a和即可； （2）因为是一家4口购买不同的套餐，套餐的种类只有6种，所以X的取值为2,3,4，按照超几何分布的模式写出分布列和数学期望. 【小问1详解】 因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为， 由，则， ，故变量关于的回归方程为.又， 故， 综上，关于的回归方程为； 小问2详解】 由，解得， 而，所以即为“主打套餐”. 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是， 且， 分布列为 2 3 4 期望. 19. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，结合数列为递减数列可求得、的值，即可得出等比数列的通项公式；推导出，结合可求得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由题意可得，则， 因为数列是等比数列，解得，所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以， ，故. 【小问2详解】 当为奇数时，，令， 则， 所以，， 两个等式作差可得 ， 化简得； 当为偶数时，， 令，则 ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $