专题04 第7章 三角函数的图象与性质（4考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单04 第7章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数的简图，并指出该函数的单调区间. 【变式1-1】.（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）用五点法作出函数在一个周期内的图象，并说明该函数在整个定义域上的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到. 【变式1-2】.（23-24高一下·上海崇明）已知函数，． （1）将函数化简并表示成（其中，，，）形式； （2）用五点法列表并作出函数一个周期内的图象． 【变式1-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）用五点法作出函数在一个周期上的大致图象． 【变式1-4】.（2024高一·上海·专题练习）利用“五点法”作函数（）的图象． 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 【变式2-1】.（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【变式2-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【变式2-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【变式3-2】.（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【变式3-3】.（24-25高一下·上海·期中）设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 【变式3-4】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值及x的取值； (2)求函数的单调增区间. 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 【变式4-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式4-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 【变式4-4】.（24-25高二下·上海·阶段练习）函数为奇函数，则 . 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【变式5-1】.（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【变式5-2】.（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 【变式5-3】.（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【变式5-4】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（23-24高一下·上海杨浦·期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】.（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【变式6-4】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的对称轴方程是 【考点题型七】正余弦函数的值域（最值）问题（） 【例7】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【变式7-1】.（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式7-2】.（24-25高一上·上海·单元测试）函数的值域是 . 【变式7-3】.（24-25高一下·上海静安·期中）定义行列式运算，若. (1)求和的值； (2)求函数的值域. 【变式7-4】.（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【考点题型八】正切函数的定义（） 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【变式8-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【变式8-2】.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域是 ． 【变式8-3】.（23-24高一下·上海闵行·期中）函数 的定义域是 . 【变式8-4】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的定义域是 ． 【考点题型九】正切函数的单调性（） 【例9】（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式9-1】.（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【变式9-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【变式9-3】．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【考点题型十】正切函数的奇偶性（） 【例10】（23-24高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【变式10-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式10-2】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【变式10-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）给出下列函数：①；②；③.其中所有奇函数的序号为 . 【变式10-4】（23-24高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【考点题型十一】正切函数周期性（） 【例11】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【变式11-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的最小正周期是 . 【变式11-2】.（23-24高一下·上海金山·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【变式11-3】.（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【考点题型十二】正切函数对称性（） 【例12】（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）函数的对称中心为 . 【变式12-1】.（24-25高三下·江西·阶段练习）曲线的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三】正切函数的值域（） 【例13】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【变式13-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【变式13-2】.（2024高一·上海·专题练习）已知，求它的最小值 【变式13-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最值． 【变式13-4】（23-24高一下·上海·课后作业）若，求的最大值和最小值. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则 ． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 3．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为 . 4．（24-25高一下·上海·期中）如图为函数 的部分图象，则 的值为 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图，则 的值为 . 7．（24-25高一下·上海徐汇·期中）定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ． 8．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是 ． 9．（24-25高一下·上海·期中）函数有零点，则实数的范围是 10．（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数，，则函数的最小值为 二、单选题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 13．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 三、解答题 15．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 16．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 17．（24-25高一下·上海·期中）已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值； (3)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第7章 三角函数的图象与性质 （4个考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 清单02 周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 清单03 三角函数奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 清单04 三角函数对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象（） 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数的简图，并指出该函数的单调区间. 【答案】答案见解析. 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】根据五点法的法则和画函数图象的步骤，结合正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】解：列表如下： 0 0 2 0 -2 0 图象如下， 由图象知，在一个周期内，函数在上严格减，在上严格增， 又因为函数的周期为， 所以函数的严格减区间为（），严格增区间为（）. 【变式1-1】.（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）用五点法作出函数在一个周期内的图象，并说明该函数在整个定义域上的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到. 【答案】答案见解析. 【知识点】五点法画正弦函数的图象、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】按定义五点法作图即可；由平移伸缩与对应系数的对应关系判断说明即可. 【详解】对应五点如下： 0 0 2 0 0 则图象为： 法一：将向右平移单位得到， 再将纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到， 最后将横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即得； 法二：将纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到， 再将向右平移单位得到， 最后将横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即得． 【变式1-2】.（23-24高一下·上海崇明）已知函数，． （1）将函数化简并表示成（其中，，，）形式； （2）用五点法列表并作出函数一个周期内的图象． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【知识点】五点法画正弦函数的图象、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可求得. （2）先完善表格，再依据各点绘制一个周期内的图象. 【详解】（1） ．                         （2）列表如下： 0 0 - 0 图象如图所示： 【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，从而可用借助正弦函数的图象和性质研究的图象和性质． 【变式1-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）用五点法作出函数在一个周期上的大致图象． 【答案】图象见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】分别令的取值分别为、、、、，计算出对应的和值，经过列表、描点、连线可得出函数在一个周期上的大致图象. 【详解】列表如下： 函数在一个周期内的图象如下图所示： 【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的图象，属于基础题. 【变式1-4】.（2024高一·上海·专题练习）利用“五点法”作函数（）的图象． 【答案】答案见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】根据列表、描点、连线即可. 【详解】解：列表，如下： 其图象如下： 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象（） 【例2】（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象、函数图象的应用 【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围 【详解】 则单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又， 又函数的图像与仅有两个不同交点， 则的取值范围是 故答案为： 【变式2-1】.（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【答案】图象见解析 【知识点】画出具体函数图象、含绝对值的正弦函数的图象、奇偶函数对称性的应用 【分析】列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像. 【详解】解：列表 x 0 0 1 0 -1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称，即可作出的图像. 【变式2-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】五点法画余弦函数的图象、含绝对值的余弦函数的图象 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 【变式2-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）作出函数的大致图像. 【答案】图象见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、含绝对值的正弦函数的图象、画出具体函数图象 【分析】列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像. 【详解】解：列表 x 0 0 1 0 1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称，即可作出的图像. 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题（） 【例3】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 【变式3-1】.（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、求cosx型三角函数的单调性 【分析】化简函数解析式为，利用余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为. 对于A选项，当时，. 因为在上单调递增，而, 故函数在上单调递增，故A错； 对于B选项，当时，. 因为在上单调递减，而, 故函数在上单调递减，故B对； 对于C选项，当时，. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上先增后减，故C错； 对于D选项，当时，. 因为在上单调递减，在上单调递增， 故函数在上先减后增，故D错. 故选：B. 【变式3-2】.（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高一下·上海·期中）设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数的图象与性质直接求解即可； （2）令，，再根据即可求出增区间. 【详解】（1）令，所以或，， 因为，所以. （2）令，，解得. 因为，所以的增区间为. 【变式3-4】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值及x的取值； (2)求函数的单调增区间. 【答案】(1)时，； (2)单调增区间为. 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，结合正弦函数的性质求最大值，并确定对应自变量取值； （2）由正弦函数的性质及整体法求单调增区间. 【详解】（1）由， 当，即时，. （2）令，则， 所以函数的单调递增区间为. 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题（） 【例4】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 【答案】/ 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答. 【详解】函数是奇函数，则，而， 所以. 故答案为： 【变式4-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C 【变式4-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx的函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 【变式4-4】.（24-25高二下·上海·阶段练习）函数为奇函数，则 . 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题（） 【例5】（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 【变式5-1】.（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 【变式5-2】.（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 【答案】2 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由周期公式即可求解； 【详解】， 解得：， 故答案为：2 【变式5-3】.（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可. 【详解】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 【变式5-4】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用诱导公式，二倍角余弦公式化简函数解析式，利用周期公式求解. 【详解】， 所以最小正周期为. 故答案为：. 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题（） 【例6】（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 【变式6-1】.（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】辅助角公式、求函数零点或方程根的个数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 【变式6-2】.（23-24高一下·上海杨浦·期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用和、差角的余弦公式化简、求值、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误. 【详解】对于（1），即为， 即， 两边平方后可得，故或. 若，则，故， 此时， 若，则，故， 此时， 若或，则，故（1）成立. 对于（2），因为，则， 若均为零， 则, 其定义域为，且，故为奇函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为奇函数； 故（2）正确. 对于（3），因为，则， 若均为零， 则， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 故（3）正确. 对于（4），因为， 故， 整理得到：， 取，则， 即，故， 令，则， 而，故，故（4）错误， 故选：A. 【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论. 【变式6-3】.（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 【变式6-4】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的对称轴方程是 【答案】， 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据诱导公式化简函数，利用正弦函数的对称性，整体代换即可求解. 【详解】， 令，得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故答案为：，. 【考点题型七】正余弦函数的值域（最值）问题（） 【例7】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，由题知，解得，则， 由，解得， 所以单调递增区间为； （2）由，知， 当时，，所以， 所以. 【变式7-1】.（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值. 【详解】因 ，故其最大值为1. 故选：A. 【变式7-2】.（24-25高一上·上海·单元测试）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和与差的正弦公式和二倍角公式进行化简,再利用余弦函数的取值范围即可求解. 【详解】 , 因为, 所以, 则, 所以函数的值域是. 故答案为:. 【变式7-3】.（24-25高一下·上海静安·期中）定义行列式运算，若. (1)求和的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)； (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据行列式运算的定义得到，利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式求得答案即可. （2）首先对函数化简，然后根据正弦函数的值域结合二次函数的性质可知当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，进而求出函数的值域即可. 【详解】（1）因为，所以， 则，得到，即， 由二倍角公式得， 因为，所以， 因为，所以， 解得，则. （2）由题意得，且， 则， 令，则原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则当时，；当时，， 当时，，得到， 故当时，；当时，， 故函数的值域为． 【变式7-4】.（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为 (2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可. 【详解】（1）已知向量，， 所以. 故函数的最小正周期为； 由，解得：，， 故函数的严格增区间为. （2）由于，得. 故当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 【考点题型八】正切函数的定义（） 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【知识点】求正切（型）函数的定义域、求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 【变式8-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【答案】且 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】利用分式和正切函数的定义域求法，列不等式求解. 【详解】由函数， 则，即， 所以函数的定义域且， 故答案为：且 【变式8-2】.（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据被开放数的非负性和正切函数有意义的条件列不等式求解，再取交集． 【详解】解：要使得有意义， 则， 解得：，同时去掉和， 故函数的定义域是：， 故答案为：． 【变式8-3】.（23-24高一下·上海闵行·期中）函数 的定义域是 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用根式函数的定义域求法和正切函数不等式求解. 【详解】解：由函数 ， 则，即， 解得， 所以函数的定义域是， 故答案为： 【变式8-4】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的定义域是 ． 【答案】且. 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的性质可求出. 【详解】由题可得，解得且， 故函数的定义域为且. 故答案为：且. 【考点题型九】正切函数的单调性（） 【例9】（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 【变式9-1】.（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 【变式9-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 【变式9-3】．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)单调递减区间为，，无单调递增区间 【知识点】求正切型三角函数的单调性、诱导公式二、三、四 【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得； （2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间； （2）， 由题意得，， 解得， 所以函数的单调递减区间为，，无单调递增区间. 【考点题型十】正切函数的奇偶性（） 【例10】（23-24高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、诱导公式二、三、四、由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果. 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 【变式10-1】.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 【变式10-2】.（23-24高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或， ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又， ∴，∴是奇函数． 故答案为：奇函数. 【变式10-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）给出下列函数：①；②；③.其中所有奇函数的序号为 . 【答案】①③ 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性 【分析】利用奇偶性定义逐项判断可得答案. 【详解】①，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数； ②，定义域关于原点对称， ，所以是偶函数； ③，定义域关于原点对称， ，所以是奇函数. 故答案为：①③. 【变式10-4】（23-24高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【知识点】由正切函数的周期求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 【考点题型十一】正切函数周期性（） 【例11】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 【变式11-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的最小正周期是 . 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求结论. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 【变式11-2】.（23-24高一下·上海金山·阶段练习）函数的最小正周期为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】由正切的周期公式计算即可. 【详解】. 故答案为： 【变式11-3】.（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据，直接计算可得结果. 【详解】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 【考点题型十二】正切函数对称性（） 【例12】（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）函数的对称中心为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】利用正切函数的对称中心求解. 【详解】令，解得， 所以的对称中心为， 故答案为： 【变式12-1】.（24-25高三下·江西·阶段练习）曲线的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】根据正切函数的对称轴性质，结合绝对值函数的特点来求解曲线的对称轴方程. 【详解】设曲线的对称轴方程为，则，即. 故选：A 【考点题型十三】正切函数的值域（） 【例13】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【知识点】基本不等式求和的最小值、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 【变式13-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 【变式13-2】.（2024高一·上海·专题练习）已知，求它的最小值 【答案】2 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２. 【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题. 【变式13-3】.（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最值． 【答案】，． 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】令，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】因为， 令， 则． 因此，当时，该函数取得最小值； 当时，该函数取得最大值． 【变式13-4】（23-24高一下·上海·课后作业）若，求的最大值和最小值. 【答案】最小值为；最大值为4. 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】由题意得出，换元，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】， ，令， 则. 因此，当时，该函数取得最小值为；当时，该函数取得最大值为. 故答案为：最小值为；最大值为. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式 【分析】用二倍角公式化简得，再根据最小正周期的计算方法求解即可. 【详解】函数化简为，所以函数的最小正周期为，所以. 故答案为： 2．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为 . 【答案】2 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 4．（24-25高一下·上海·期中）如图为函数 的部分图象，则 的值为 【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数图象确定函数周期，求出的值，再结合在函数单调递增区间上，代入求解，即可得答案. 【详解】由图可知，则， 由图象可知点在函数单调递增区间上，则， 则，则， 由于，故， 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】根据正弦函数的图象及性质分析即可求解. 【详解】由图可知，关于的方程，对任意的都至少有2个不同解， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图，则 的值为 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由函数的周期性求函数值 【分析】先由函数图象得到符合题意的的表达式，再求出一个周期的值，再根据函数的周期性求值即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又因为，所以，所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，因为，令，可得， 所以. 所以， 因为，所以， 因为一共有2026项，且， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海徐汇·期中）定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】三角函数新定义、函数不等式恒成立问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值 【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可. 【详解】由已知可得， 即， 因为，所以， 则， 因，当且仅当时等号成立， 此时，故. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是 ． 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·期中）函数有零点，则实数的范围是 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、二倍角的余弦公式 【分析】根据条件，利用余弦的倍角公式得到，令，得到，令，，根据条件可知与有交点，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 令，则，令，得到，所以， 令，，当时，， 又因为函数有零点， 所以与有交点，则， 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数，，则函数的最小值为 【答案】 【知识点】辅助角公式、基本不等式求和的最小值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先换元，令，再利用三角恒等变换和基本不等式求解即可. 【详解】设，所以， 则，， ， 由可得，且， 故 或， 则， 当且仅当即时取等号，所以函数的最小值为. 故答案为：. 二、单选题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】y=Asinx+B的图象 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 12．（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用函数周期的定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 13．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 14．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【知识点】余弦函数图象的应用、求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 三、解答题 15．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 【答案】(1)； (2)； (3)或或或. 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、给值求角型问题 【分析】（1）结合二倍角公式化简函数解析式可得，结合正弦函数性质求结论； （2）根据函数的偶函数定义列关系式，结合三角形的函数的性质化简即可求出； （3）先求出的值，化简方程，结合特殊值的三角函数解方程可得结论． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的取值范围为， （2）因为， 所以， 因为为偶函数，所以， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，，或，， 所以，，或，， 因为， 所以或或或. 16．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【知识点】求函数的零点、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求增区间； （3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. 17．（24-25高一下·上海·期中）已知，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值； (2)当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值； (3)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题意可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求解； （2）根据三角函数图象变换规律得到，求出函数的零点，利用正弦型函数的周期性求解； （3）分别求出两个函数在上的值域，利用值域间的包含关系得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意，， 因为对任意的恒成立，且， 所以函数的最小正周期为，所以，得. （2）当时，， 则，最小正周期， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在上恰好有100个零点， 所以的最小值为. （3）当时，， 当时，，所以， 所以函数的值域为， 因为对任意，存在，使得成立，即成立， 设在上的值域为， 当时，，所以， 因为，所以的值域， 根据题意，， 则有，解得，又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 18．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题意写出函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意写出函数进行整理，令，根据二次函数性质求解最值； （3）根据题意写出函数进行整理，运用三角函数性质进行求解b和不等式解集. 【详解】（1）因为，当时， ，因为， 所以，故的值域为； （2）因为， 当时，， 因为，所以， 令，由（1）可知，则， 当时，，故的最大值为. （3）当时，，其中， 因为函数图像关于直线对称，故， 整理得，即，故， 又因为将函数的图像向右平移单位， 得到函数，由题可知， 计算得，故， 即， 所以的解集为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$