专题01 第6章 正弦 余弦 正切 余切（6考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单01 第6章 正弦 余弦 正切 余切 （6个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 余切 cot= 清单06 同角三角函数基本关系 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 【变式1-2】.（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 【变式1-3】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【答案】(1)4种； (2)–315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°； (3)，． 【知识点】找出终边相同的角 【分析】（1）由终边相同的角，所以可以按除以4的余数进行分类讨论； （2）解不等式即可求解； （3）由（1）可知，， 【详解】（1）（1）当（）时，，与45°角的终边重合； 当（）时，，与135°角的终边重合； 当（）时，，与225°角的终边重合； 当（）时，，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角. （2）由，得． 又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3． 所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是： –315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°． （3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为，． 【变式2-1】.（23-24高一·上海·课堂例题）在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（    ） A．与677° B．900°与 C．与960° D．150°与630° 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案. 【详解】A选项，由于，所以和终边相同； B选项，由于，所以和终边相同； C选项，由于，所以和终边相同； D选项，由于，所以和终边不相同. 故选：D. 【变式2-2】.（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是 . ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【答案】②④ 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、用弧度制表示角的集合 【分析】①③举反例即可；②与的终边关于轴对称即可判断；④分别写出终边在直线上，在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可. 【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确； 对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确； 对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确； 对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是 ； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确. 故选：②④. 【变式2-3】.（24-25高一上·上海·期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，2025°的角属于第 象限. 【答案】三 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【分析】根据终边相同角的概念求解判断. 【详解】， 与终边相同，是第三象限角. 故答案为：三. 【变式2-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 【答案】或 【知识点】找出终边相同的角 【分析】先根据任意角的定义写出满足的条件，然后结合的范围求解. 【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为， 由题意，，则， 注意到，则只有符合题意， 故或 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： . 【答案】 【知识点】角度化为弧度 【分析】利用角度和弧度互化求解. 【详解】. 故答案为： 【变式3-1】.（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了 ．（用弧度制表示） 【答案】 【知识点】任意角的概念、用弧度制表示角的集合 【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可. 【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了. 故答案为： 【变式3-2】.（24-25高一下·上海浦东新·期中） 弧度. 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）4弧度是第 象限角． 【答案】三 【知识点】确定已知角所在象限、弧度化为角度 【分析】利用角度与弧度的互化，转化成角度，进而得出答案． 【详解】，故4弧度角是第三象限角． 故答案为：三 【变式3-4】.（24-25高一上·上海·课前预习）已知角，则角的终边在第 象限. 【答案】二 【知识点】找出终边相同的角、弧度化为角度、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同角的概念，结合弧度制可解. 【详解】终边落在第几象限就是第几象限角，则. 根据终边相同角概念，与终边相同，则的终边在第二象限. 故答案为：二. 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【知识点】扇形面积的有关计算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据基本不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 【变式4-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长计算即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为. 故答案为：. 【变式4-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为36°，半径r=10cm，则扇形的弧长为 cm 【答案】 【知识点】角度化为弧度、弧长的有关计算 【分析】设圆心角为，将化成弧度数，再利用扇形的弧长公式即可求得答案. 【详解】设圆心角为，则， 由弧长公式，得扇形的弧长为 故答案为：. 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 【变式4-4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【答案】时，扇形的面积取最大值，最大值为． 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小． 【详解】 设扇形的半径为，弧长为，则 ，即． 扇形的面积，将上式代入， 得， 所以当且仅当时，有最大值16， 此时， 可得：． 所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为． 【考点题型五】n分角（） 【例5】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限. 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当，此时在第二象限； 当，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 【变式5-1】.（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 【变式5-2】.（23-24高一下·上海·阶段练习）如果是第一象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】确定n倍角所在象限、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、确定n分角所在象限 【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A. 【详解】因为是第一象限角，则，， 所以，， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D； 又，， 所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则， 当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A. 故选：C 【变式5-3】.（22-23高一下·上海·期中）已知θ为第二象限角，若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】确定n分角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断. 【详解】解：因为θ为第二象限角， 所以， 则， 当时，，当时，， 因为， 所以，所以在第三象限， 故选:C 【变式5-4】.（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【答案】一或三 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【详解】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，求、、、的值. 【答案】，，不存在，. 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角三角函数的定义计算求解即可. 【详解】; ; 不存在，. 【变式6-1】.（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）若角的终边在直线上，则的值为 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】在直线方程任取一点，利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边在直线上，取直线上任一点， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为. 故答案为：. 【变式6-2】.（23-24高二上·上海·阶段练习）设角的终边上有一点，则 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义求出，即得解. 【详解】根据题意，， ，， . 故答案为：. 【变式6-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边分别经过以下各点，求角的正弦、余弦、正切和余切值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据角的终边经过点的三角函数计算公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以 【变式6-4】.（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）（2）根据三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以，； （2）由题设，， 所以. 【考点题型七】由某一三角函数求其余三角函数值（） 【例7】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知为第二象限角，点在其终边上，且，则 ． 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据根据三角函数定义和所在象限求出x值，再根据三角函数定义求出正切值. 【详解】根据三角函数定义，解得， 因为为第二象限角，所以， 所以. 故答案为：. 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求. 【详解】因为，角是第四象限角， 所以，又， 所以， 又，所以. 故答案为：. 【变式7-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 【变式7-3】.（23-24高一上·上海·期末）平面直角坐标系 中，单位圆与 轴正半轴交于点 ，角 的终边与单位圆的交点 位于第二象限. (1)若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形 的面积； (2)角的终边绕点逆时针旋转 后恰与角的终边重合，若，求 的值. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】（1）利用弧长公式求出角，联立求坐标，再用扇形面积公式计算即可. （2）依据角的旋转关系结合两角正切的和差公式求解即可. 【详解】（1）的长为，，解得， 若点位于第二象限，且在单位圆上，设，扇形的面积为， 故有，，故， 结合扇形面积公式得， （2）易知角的终边绕点逆时针旋转后恰与角的终边重合， 故，即. 【变式7-4】.（23-24高一下·上海·期中）已知，为钝角，角的终边上一点为，求： (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）由同角间的三角函数关系，可求；由三角函数的定义，可求； （2）由（1）可求出，根据三角函数的定义求出，利用两角差的正切公式，即可求得. 【详解】（1）因为，为钝角，所以； 因为角的终边上一点为，所以. （2）由（1）和已知得， 角终边上的一点为，则， 所以. 【考点题型八】由求分式或多项式值（） 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用商数关系，得到，再由条件，即可求出结果；（2）根据条件及平方关系，得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，又，所以. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 【变式8-1】.（24-25高一下·上海·期中）若，则 . 【答案】2 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 【变式8-2】.（24-25高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【详解】 . 故答案为：. 【变式8-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则= ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 【变式8-4】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知，则 . 【答案】/0.4 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 【考点题型九】与的关系（） 【例9】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）令换元，得到关于的表达式，代入已知等式求得，从而求得的值； （2）利用三角函数的基本关系式化简所求即可得解； （3）利用立方和公式将所求转化为与的表达式，从而得解； （4）利用完全平方公式，结合配方法即可得解. 【详解】（1）因为， 令，则，， 所以，整理得，解得或， 又，故，即， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为，， 所以 . （4）因为， 所以 . 【变式9-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 【变式9-2】.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若角A是三角形ABC的一个内角，且，则 . 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】先判断，再利用，开方即可. 【详解】因为角A是三角形ABC的一个内角，所以， 又 因为. 所以. 故答案为： 【变式9-3】.（2024高一下·上海·专题练习）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）由已知可得，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，， ，解得或， 由，得或， ； （2）， 又由（1）可得，， ， ． 【变式9-4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于x的方程的两根为和，，求： (1)m的值； (2)的值. 【答案】(1) (2). 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）由根与系数的关系，结合平方关系求出； （2）将余切、正切化为弦，利用平方差得出答案. 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，① . ② 将①式平方得， ∴，∴. （2）原式. 【考点题型十】利用诱导公式化简（） 【例10】（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，即可化简. 【详解】（1） ； （2） . 【变式10-1】.（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则 ． 【答案】4 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：4. 【变式10-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用诱导公式进行化简即可求得结果. 【详解】 故答案为：. 【变式10-3】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）化简： . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】应用诱导公式化简即可. 【详解】. 故答案为： 【变式10-4】（24-25高一下·上海·阶段练习）化简：. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简得解. 【详解】 . 【考点题型十一】由正弦值（余弦值，正切值）求角（） 【例11】（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角： (1)已知； (2)已知； (3)已知. 【答案】(1)，. (2)，. (3)，. 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】（1）由题意结合特殊解和正弦函数周期性即可得解. （2）由题意结合特殊解和余弦函数周期性即可得解. （3）由题意结合特殊解和正切函数周期性即可得解. 【详解】（1），原式等价于求解，从而其解为，. （2），原式等价于求解， 从而其解为，. （3），原式等价于求解，从而其解为，. 【变式11-1】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角、找出终边相同的角 【分析】由题意得，进一步即可得解. 【详解】由已知，得，得，即方程的根为. 故选：A. 【变式11-2】.（24-25高一下·上海·开学考试）已知，是第二象限的角，那么 ． 【答案】， 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】由反三角及终边相同角的表示即可求解； 【详解】因为，是第二象限的角， 所以，， 故答案为：， 【变式11-3】.（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知三角函数值求角、特殊角的三角函数值 【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 【变式11-4】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)若角与角的终边关于轴对称，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知三角函数值求角、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式化简求值； （2）根据对称关系得到，再根据两角差的余弦公式计算可得； 【详解】（1）因为角的终边过点， 可知角的终边在第一象限，且， 则. （2）因为角和角的终边关于轴对称，且， 所以， 因为角的终边在第一象限，所以的终边在第四象限，所以 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【分析】根据任意角定义找到对应的最小正角，即可得. 【详解】由，而为第三象限角， 所以是第三象限角. 故答案为：三 2．（24-25高一下·上海·期中）半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的面积和弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，圆心角为， 则扇形的面积为， 所以，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，.则函数所有零点组成的集合为 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、特殊角的三角函数值 【分析】求函数的零点，令，在区间内，解出即可. 【详解】令，则， 因为，所以和， 则函数所有零点组成的集合为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角. 【答案】二 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】弧度转化成角度，即可判断. 【详解】，是第二象限角. 故答案为：二 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角诱导公式，得到，再由，即可得到答案. 【详解】由，又由. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知米，米（），线段、线段、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式. 【详解】根据题意，利用弧长公式可知（米），（米）， 整理得：， 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，是第三象限角，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据所给条件，利用诱导公式及同角间关系公式计算得解. 【详解】由，得，则， 由，又是第三象限角，则， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）函数的值域的真子集的个数为 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】分为第一、二、三、四象限角讨论，根据三角函数值的正负求得值域，再得到真子集的个数. 【详解】当是第一象限角，，此时， 当是第二象限角，，此时， 当是第三象限角，，此时， 当是第四象限角，，此时， 所以，值域为，所以有个真子集， 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期末）角的终边在第二象限，，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系可求出的值，再利用诱导公式及商数关系，即可求解. 【详解】因为，又角的终边在第二象限， 所以， 所以， 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 二、单选题 11．（24-25高一下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数定义求，结合诱导公式求. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故选：B. 12．（多选）（24-25高一下·上海·阶段练习）以下四个命题中，正确的是（   ）. A．若，则与的终边相同 B． C．若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则 D．第四象限角的集合为 【答案】BC 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】对于A，，则与的终边相同或即可判断，对于B，即可判断，对于C，与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则即可判断，对于D，第四象限的集合为即可判断. 【详解】对于A：若，则与的终边相同或，故A错误； 对于B：，所以 ，故B正确； 对于C：若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则，故C正确； 对于D：第四象限的集合为，故D错误. 故选：BC. 13．（24-25高一上·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意分析可得集合中的元素为区间上等间隔地取个点，集合中的元素为函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值，由中的元素个数为个，即可逐个选项判断即可. 【详解】由题意得，集合中的元素为，，，，，， 即在区间上等间隔地取个点， 集合中的元素为，， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值. 因为中的元素个数为个， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值有个， 所以，所以的最小值为， 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除A； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故不可能为，故选B； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除C； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除D. 故选：B 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，则“ (k∈Z)，是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】分别判断当时的值，以及当时的取值情况. 【详解】判断充分性 当时，根据余弦函数的性质，. 所以由能推出，充分性成立. 判断必要性 当时，，满足的不只是，还有情况. 所以由不能推出，必要性不成立. 是的充分非必要条件. 故选：A. 三、解答题 15．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、正切函数的诱导公式 【分析】（1）由商数关系得，再应用诱导公式求函数值； （2）应用齐次式得到关于的表达式，即可求值. 【详解】（1）由，则，得， 所以； （2）. 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用条件化简得出，再利用齐次化的思想解决剩余两问. 【详解】（1）若，则不符合题意，故， 则由可得，得； （2）； （3） 17．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，且． (1)求实数a的值； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用平方关系求参数、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用的范围求出的范围，再利用平方关系求出； （2）求出，可得答案． 【详解】（1）由题意得：，解得：或1 因为，所以，， 解得：， 综上：； （2）由（1）得：，， 故，， 故． 18．（24-25高一下·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)已知，求值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】（1）由诱导公式，，后利用可得答案； （2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案. 【详解】（1）由诱导公式，， 若，则,即这不可能， 所以，所以. （2）因， 则， 即一正一负，又，则， 即. 又， 则. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第6章 正弦 余弦 正切 余切 （6个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 清单02 轴线角 ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 清单03 终边相同的角 所有与角终边相同的角为 清单04 扇形的弧长和面积 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 清单05 三角函数定义 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 余切 cot= 清单06 同角三角函数基本关系 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 【考点题型一】区间角的表示（） 【例1】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【变式1-2】.（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【变式1-3】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【考点题型二】终边相同的角的集合（） 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【变式2-1】.（23-24高一·上海·课堂例题）在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（    ） A．与677° B．900°与 C．与960° D．150°与630° 【变式2-2】.（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是 . ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【变式2-3】.（24-25高一上·上海·期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，2025°的角属于第 象限. 【变式2-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 【考点题型三】角度制与弧度制（） 【例3】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： . 【变式3-1】.（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了 ．（用弧度制表示） 【变式3-2】.（24-25高一下·上海浦东新·期中） 弧度. 【变式3-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）4弧度是第 象限角． 【变式3-4】.（24-25高一上·上海·课前预习）已知角，则角的终边在第 象限. 【考点题型四】扇形弧长与面积公式（） 【例4】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【变式4-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为 ． 【变式4-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为36°，半径r=10cm，则扇形的弧长为 cm 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【变式4-4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【考点题型五】n分角（） 【例5】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【变式5-1】.（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【变式5-2】.（23-24高一下·上海·阶段练习）如果是第一象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式5-3】.（22-23高一下·上海·期中）已知θ为第二象限角，若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-4】.（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【考点题型六】定义法求三角函数（） 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，求、、、的值. 【变式6-1】.（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）若角的终边在直线上，则的值为 . 【变式6-2】.（23-24高二上·上海·阶段练习）设角的终边上有一点，则 ． 【变式6-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边分别经过以下各点，求角的正弦、余弦、正切和余切值： (1)； (2)． 【变式6-4】.（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点， (1)求的值； (2)求的值． 【考点题型七】由某一三角函数求其余三角函数值（） 【例7】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知为第二象限角，点在其终边上，且，则 ． 【变式7-1】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角是第四象限角，且，则 ． 【变式7-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【变式7-3】.（23-24高一上·上海·期末）平面直角坐标系 中，单位圆与 轴正半轴交于点 ，角 的终边与单位圆的交点 位于第二象限. (1)若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形 的面积； (2)角的终边绕点逆时针旋转 后恰与角的终边重合，若，求 的值. 【变式7-4】.（23-24高一下·上海·期中）已知，为钝角，角的终边上一点为，求： (1)求的值； (2)求的值. 【考点题型八】由求分式或多项式值（） 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【变式8-1】.（24-25高一下·上海·期中）若，则 . 【变式8-2】.（24-25高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【变式8-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则= ． 【变式8-4】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知，则 . 【考点题型九】与的关系（） 【例9】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 【变式9-2】.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若角A是三角形ABC的一个内角，且，则 . 【变式9-3】.（2024高一下·上海·专题练习）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 【变式9-4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于x的方程的两根为和，，求： (1)m的值； (2)的值. 【考点题型十】利用诱导公式化简（） 【例10】（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【变式10-1】.（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则 ． 【变式10-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）化简： ． 【变式10-3】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）化简： . 【变式10-4】（24-25高一下·上海·阶段练习）化简：. 【考点题型十一】由正弦值（余弦值，正切值）求角（） 【例11】（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角： (1)已知； (2)已知； (3)已知. 【变式11-1】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】.（24-25高一下·上海·开学考试）已知，是第二象限的角，那么 ． 【变式11-3】.（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则 ． 【变式11-4】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)若角与角的终边关于轴对称，求． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 2．（24-25高一下·上海·期中）半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为 . 3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，.则函数所有零点组成的集合为 . 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知米，米（），线段、线段、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是 ． 7．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，是第三象限角，则 ． 8．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）函数的值域的真子集的个数为 9．（24-25高一上·上海·期末）角的终边在第二象限，，则 ． 10．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 二、单选题 11．（24-25高一下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 12．（多选）（24-25高一下·上海·阶段练习）以下四个命题中，正确的是（   ）. A．若，则与的终边相同 B． C．若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则 D．第四象限角的集合为 13．（24-25高一上·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，则“ (k∈Z)，是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题 15．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 16．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 17．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，且． (1)求实数a的值； (2)求． 18．（24-25高一下·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)已知，求值； (2)已知，，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$