考前猜想10 概率统计九种考法-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

考前猜想10 概率统计九种考法 一、题型方法归纳 1.古典概型 （1）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． （2）解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件是什么． （3）解题一般步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； （3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； （4）利用公式求出事件的概率． 2.条件概率与全概率公式 （1）条件概率的性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． ③如果与互斥，则． 注：①如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； ②已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （2）用定义法求条件概率的步骤 ①分析题意，弄清概率模型； ②计算，； ③代入公式求． （3） 条件概率注意点： ①条件概率中“”后面就是条件； ②若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （4）全概率公式：； 定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 全概率公式注意点：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 3. 离散型随机变量及其分布 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式计算即可 4.二项分布 （1）判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； （2）当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 （3）二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 5.超几何分布 求超几何分布的分布列的步骤： ①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值； ②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率； ③用表格的形式列出分布列 6.正态分布 （1）会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 7.一元线性、非线性回归模型 线性回归分析的原理、方法和步骤： （1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值． （2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数． （3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量． （4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归 8.列联表与独立性检验 解独立性检验应用问题的注意事项． （1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题． （2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆． （3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错 9.概率、统计与其他知识的交汇问题 概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类： （1）所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解． （2）所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和 二、重难点例题及变式 类型一、古典概型 例．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园.假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率都是，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（ ） A． B． C． D．0 【变式训练2】如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 类型二、条件概率与全概率公式 例．（1）（多选）三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A． B． C． D． （2）设事件为两个随机事件，，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 类型三、离散型随机变量及其分布 例．（多选）设随机变量的分布列为，（），则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）已知随机变量X的分布列为，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（ ） X 0 1 2 P A．恒为1 B．随增大而增大 C．恒为 D．最小值为0 类型四、二项分布 例．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【变式训练1】某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 【变式训练2】小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号． (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； (2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望． 类型五、超几何分布 例．已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【变式训练1】为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． (1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 【变式训练2】某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 类型六、正态分布 例．根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图： (1)通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值． 参考数据： 【变式训练1】已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D． 【变式训练2】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【变式训练3】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 类型七、一元线性、非线性回归模型 例．随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【变式训练1】某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180 体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84 (1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测 （ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率； （ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率； (2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）． 参考公式及数据：样本相关系数 ，，，，． 【变式训练2】某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 类型八、列联表与独立性检验 例．“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史. 古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵. 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”. 作为传统养生功法，对人体有着很多的益处. 为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的 200 位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表： 类型 年龄 (岁) 合计 男性 36 111 女性 25 合计 200 (1)补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联? (2)在这 200 位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于 65 岁的情况下，为女性老年人的概率. 附： ，其中 . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【变式训练1】新能源汽车越来越引起广大消费者的关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表： 偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计 中老年驾驶者 200 100 年轻的驾驶者 合计 S00 (1)根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关： (2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【变式训练2】某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，． (1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 类型九、概率、统计与其他知识的交汇问题 例．在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.在维空间中，设点，定义维向量，数量积，为坐标原点，即. (1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点，求的概率； (2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量. （i）当时，若最大，求的值； （ii）求的分布列及期望值. 【变式训练1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【变式训练2】一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 三、考前突破练 1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 2．某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（ ） A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26 3．已知，，，则（ ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则（ ） A． B． C．与相互独立 D．与互斥 5．（多选）下列命题正确的是（ ） A．是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B．若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C．若随机变量，，则 D．若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 6.（多选）（多选）表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（ ） A．已知是事件与事件相互独立的充要条件 B．已知，则 C．已知是事件与事件互斥的充要条件 D．已知，则 7.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为 . 8.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 9．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 10．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 11.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 12.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 编号x 1 2 3 4 5 6 产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80 (1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望， 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为． 13.随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下： (1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异? 一级品 非一级品 合计 甲 乙 合计 (2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，. （i）求，； （ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品? 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14.如图，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．    (1)若蚂蚁爬行5次，求蚂蚁在下底面顶点的概率； (2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前猜想10 概率统计九种考法 一、题型方法归纳 1.古典概型 （1）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． （2）解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件是什么． （3）解题一般步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； （3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； （4）利用公式求出事件的概率． 2.条件概率与全概率公式 （1）条件概率的性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． ③如果与互斥，则． 注：①如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； ②已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （2）用定义法求条件概率的步骤 ①分析题意，弄清概率模型； ②计算，； ③代入公式求． （3） 条件概率注意点： ①条件概率中“”后面就是条件； ②若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （4）全概率公式：； 定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 全概率公式注意点：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 3. 离散型随机变量及其分布 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式计算即可 4.二项分布 （1）判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； （2）当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 （3）二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 5.超几何分布 求超几何分布的分布列的步骤： ①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值； ②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率； ③用表格的形式列出分布列 6.正态分布 （1）会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 7.一元线性、非线性回归模型 线性回归分析的原理、方法和步骤： （1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值． （2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数． （3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量． （4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归 8.列联表与独立性检验 解独立性检验应用问题的注意事项． （1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题． （2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆． （3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错 9.概率、统计与其他知识的交汇问题 概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类： （1）所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解． （2）所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和 二、重难点例题及变式 类型一、古典概型 例．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园.假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率都是，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等， 则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果， 若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等， 则①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为. 故选：B. 【变式训练1】印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（ ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】因为，所以是雷劈数.其余的不是雷劈数. 记： “从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件， 则. 故选：C 【变式训练2】如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【解析】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为： 类型二、条件概率与全概率公式 例．（1）（多选）三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． （2）设事件为两个随机事件，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 故选：B. 【变式训练1】（多选）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对A，，所以A错误； 对B，，故，所以B正确； 对C，，所以C正确； 对D，由题意：，所以， ，，所以， 所以， 则，所以D错误． 故选：BC． 【变式训练2】（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：由上可得， 又因为，故D错误， 故选：BC． 【变式训练3】（多选）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 类型三、离散型随机变量及其分布 例．（多选）设随机变量的分布列为，（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：由，得，故A正确； B：，故B正确； C：由选项A知，， 则 所以，故C正确； D：由选项A知，，则，故D错误. 故选：ABC 【变式训练1】（多选）已知随机变量X的分布列为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为随机变量的分布列为，，， 所以，所以，故A正确； 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差的定义可得 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练2】（多选）设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（ ） X 0 1 2 P A．恒为1 B．随增大而增大 C．恒为 D．最小值为0 【答案】AC 【解析】因为，解得：， 所以随机变量的分布列如下图， X 0 1 2 P 因为， 恒为1，故A正确；B错误； ， 故C正确，D错误. 故选：AC. 类型四、二项分布 例．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】(1)分布列见解析，;(2) 【解析】（1）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为 ， . 的分布列如下： 0 1 2 3 . （2）击中一次被扑灭的概率为 击中两次被火扑灭的概率为 击中三次被火扑灭的概率为 所求概率. 【变式训练1】某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 【答案】(1);(2)（i）证明见解析；（ii）不可信. 【解析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品， （2）（i）由题：若，则 又 所以或 由切比雪夫不等式可知， 所以； （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则， 所以， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 【变式训练2】小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号． (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； (2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望． 【答案】(1);(2)分布列见解析； 【解析】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件； 射击一次获得一等奖为事件，所以有，所以， ，所以. （2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，； 记“获得三等奖”为事件，所以， 所以，， ，， ，所以 显然，. 类型五、超几何分布 例．已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【答案】(1)分布列见详解；;(2) 【解析】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. （2）记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 【变式训练1】为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． (1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1)67（分钟）;(2)分布列见解析；期望为1 【解析】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1， 日均阅读时间的平均数为： （分钟） （2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人 的可能取值为：0，1，2 则     所以的分布列为： 0 1 2 【变式训练2】某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系(2)，;(3)分布列见解析；期望为 【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 类型六、正态分布 例．根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图： (1)通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值． 参考数据： 【答案】(1)0.71(2)①；②． 【解析】（1）由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： ， 所以，， 则，，， 则一等品内径在内，即， 二等品内径在内，即， 所以该企业生产的产品为正品的概率为： ． （2）①从件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法， 所以某箱产品抽检被记录为B的概率为：． ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p， 则5箱产品恰有3箱被记录为B的概率为： ， ， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 此时，，解得或（舍去）． 所以当时，取得最大值.   【变式训练1】已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【解析】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 【变式训练2】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 【变式训练3】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1);(2)的分布列为： 0 1 2 ； (3)6 【解析】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. 类型七、一元线性、非线性回归模型 例．随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 (1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； (2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1);(2)的分布列为 0 1 2 3 4 . 【解析】（1）两边同时取自然对数得. 设，所以， 因为，，， 所以. 把代入，得， 可得，. 所以， 即关于的回归方程为. （2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 【变式训练1】某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180 体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84 (1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测 （ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率； （ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率； (2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）． 参考公式及数据：样本相关系数 ，，，，． 【答案】(1)（ⅰ）; （ⅱ） ； (2)答案见解析 【解析】（1）（ⅰ）记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则，得．     （ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B． 因为样本中学生身高大于175cm的有4人，身高大于175cm且体重大于79kg的有2人， 身高小于175cm且体重大于79kg的有1人， 所以． （2）设未去离群点的样本相关系数为，去掉离群点后的样本相关系数为，则． 去掉离群点后，，， ，，          ， 由 得     因为，且相比更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点是合理的． 【变式训练2】某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)证明见解析；(2)，2.8千人． 【解析】（1）由题意知，， ， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人． 类型八、列联表与独立性检验 例．“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史. 古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵. 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”. 作为传统养生功法，对人体有着很多的益处. 为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的 200 位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表： 类型 年龄 (岁) 合计 男性 36 111 女性 25 合计 200 (1)补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联? (2)在这 200 位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于 65 岁的情况下，为女性老年人的概率. 附： ，其中 . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）补全 列联表如下： 类型 年龄 (岁) 合计 男性 36 75 111 女性 64 25 89 合计 100 100 200 零假设为 ： 老年人的性别与年龄是否大于 65 岁无关联. 根据列联表中的数据， 得 依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联，该推断犯错误的概率不大于 0.001 . （2）设事件 “抽取的一位老年人年龄大于 65 岁”，事件 “抽取的一位老年人为女性老年人”， 所求概率为 . 【变式训练1】新能源汽车越来越引起广大消费者的关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表： 偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计 中老年驾驶者 200 100 年轻的驾驶者 合计 S00 (1)根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关： (2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】(1)答案见解析；(2)的分布列如下： 0 1 2 【解析】（1）被调查的年轻驾驶者人数为， 其中偏好铅酸电池车的年轻的驾驶者人数为． 偏好石墨烯电池车的年轻的驾驶者人数为， 所以列联表为： 偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计 中老年驾驶者 200 100 300 年轻的驾驶者 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：驾驶者对使用这两种电池的新能源汽车的偏好与年龄无关， 根据列联表中的数据可以求得 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为驾驶者对使用这两种电池的新能源汽车的偏好与驾驶者的年龄有关． （2）因为所有参加调查的驾驶者中，中老年驾驶者和年轻驾驶者的比为， 所以由分层抽样知，随机抽取的5名驾驶者中，中老年驾驶者有3人，年轻驾驶者有2人． 根据频率估计概率知，中老年驾驶者偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为， 从选出的5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，则可能的取值为0，1，2． “3名被抽取的中老年驾驶者中，恰好抽到人参加座谈”记为事件， 则． “参加座谈的2名驾驶者中是偏好石墨烯电池电动车中老年驾驶者的人数恰好为人”记为事件， 则， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 故的分布列如下： 0 1 2 【变式训练2】某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，． (1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，不相互独立；(2) 【解析】（1）由已知， ， 又因为，所以， 所以， 又， 所以， 所以A与B不为独立事件； （2）假设原列联表为 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 根据原数据有 若将样本容量调整为原来的倍， 则新的列联表为： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 则 ，解得， 又，所以的最小值为. 类型九、概率、统计与其他知识的交汇问题 例．在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.在维空间中，设点，定义维向量，数量积，为坐标原点，即. (1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点，求的概率； (2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量. （i）当时，若最大，求的值； （ii）求的分布列及期望值. 【答案】(1)；(2)（i）5；（ii）答案见解析 【解析】（1）记“”为事件， 满足题意的两点坐标为， 则. （2）（i）当随机变量时，坐标与中有个对应的坐标值均为1即，剩下个坐标值满足，此时所对应情况数为种 即， 当时，设，要使得最大， 则， 即，所以； 因此，即， 综上可知，时取最大值. （ii）由（i）可知，， 故分布列为： 0 1 … … … … 所以 ， 设，则， 令可知， 设，则， 令可知，， 故. 【变式训练1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【答案】(1)，，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. （2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 【变式训练2】一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 【答案】(1)0.5;(2)证明见解析，，. 【解析】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）由题意，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 因为，所以， 即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意，则， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为. 三、考前突破练 1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 2．某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（ ） A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 又， 所以. 故选：C 3．已知，，，则（ ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 【答案】A 【解析】因为， 所以， 解得. 故选：A 4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则（ ） A． B． C．与相互独立 D．与互斥 【答案】C 【解析】抛掷2次， 两次的点数之和为偶数，则两次点数都为奇数或偶数， 所以， 两次的点数之积为奇数，则两次点数都为奇数， 所以， 第一次的点数小于的情况有4种，所以， 第一次的点数小于且为奇数有2种情况，第二次为奇数的情况有3种， 同理第一次的点数小于且为偶数有2种情况，第二次为偶数的情况有3种， 所以，所以与相互独立.故正确； 事件与事件能同时发生，所以不互斥，故错误. 故选：C. 5．（（多选）下列命题正确的是（ ） A．是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B．若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C．若随机变量，，则 D．若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BCD 【解析】A选项，从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后， 剩下10个数大小顺序不变，故剩下10个数的中位数和原来的中位数一样，A错误； B选项，事件A，B相互独立，且，， ， 所以，故事件A，B不互斥，B正确； C选项，随机变量，，设，， 则， ， 根据原则，可知，C正确； D选项，随机变量的方差，期望， 其中，故，， 故随机变量的期望，D正确. 故选：BCD 6.（多选）（多选）表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（ ） A．已知是事件与事件相互独立的充要条件 B．已知，则 C．已知是事件与事件互斥的充要条件 D．已知，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，得到， 故事件与相互独立，即充分性成立； 若事件与相互独立，则， 于是，即必要性成立，故A正确； 对于B，因为，因表示事件发生而不发生的概率， 而则表示事件都不发生的概率，故B错误； 对于C，因为， 所以，又，故事件与互斥，即充分性成立； 若事件与互斥，则，，即必要性成立，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 故选：ACD. 7.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为 . 【答案】 【解析】由题意可知，， 又因为， 所以 所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为. 故答案为： 8.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】/0.5 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 9．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1)；(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 10．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，. 【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 11.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 12.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 编号x 1 2 3 4 5 6 产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80 (1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望， 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）令 ，， 则， ， 所以， 所以 （2）由题意得， ， ， ， ， 分布列为： 1 2 3 4 数学期望 13.随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下： (1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异? 一级品 非一级品 合计 甲 乙 合计 (2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，. （i）求，； （ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品? 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析；(2)（i）求=0，=；（ii）答案见解析 【解析】（1）根据题意可得列联表： 一级品 非一级品 合计 甲 26 24 50 乙 70 30 100 合计 96 54 150 零假设为：甲、乙两批发生器的一级品率没有差异. 根据列联表中的数据，经计算得 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为甲、乙两批发生器的一级品率存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）（i）依题意可得. 记“按次按钮后显示的数字为1”， 由全概率公式，得 . （ii）由全概率公式，得 ， 所以， 即，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 所以. 因为，所以该发生器为一级品. 14.如图，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．    (1)若蚂蚁爬行5次，求蚂蚁在下底面顶点的概率； (2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)；(2)的分布列为： 0 1 2 的数学期望 【解析】（1）记蚂蚁爬行次在底面的概率为，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面， 结合题意易得，， 是等比数列，首项为，公比为， ， 则， （2）结合题意易得：， 当时，蚂蚁第3次、第5次都在处， 当时，蚂蚁第3次在处或第5次在处， 设蚂蚁第3次在处的概率为， 设蚂蚁第5次在处的概率为， 设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，设蚂蚁不过点且第3次在的概率为， 设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，由对称性知，， ，又， 得， ， ， 的分布列为： 0 1 2 的数学期望 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$