专题04 三角形（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编
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内容正文：
专题04 三角形
题型概览
题型01认识三角形
题型02全等三角形
(
题型01
) 认识三角形
一、单选题
1．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）绝缘梯多用作电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A． B．AD C． D．AF
4．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，是△ABC的中线，是上一点，，连接并延长交于点．若的面积为2，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（23-24七下·甘肃省平凉市静宁县第三中学·期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在中，，的角平分线交于点，，，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
7．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，△ABC是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
9．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）在△ABC中，平分，则的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．9
11．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．13cm、、 B．、、 C．、、 D．、、
12．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在锐角中，分别是边上的高，交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，点分别是边上一点，，连接交于点F，若的面积为12，则与的面积之差等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（23-24七下·甘肃省酒泉市·期末）如图，△ABC中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
二、填空题
15．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，在△ABC中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
16．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B = °．
17．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，为△ABC的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线．若△ABC的面积为16，则的面积为 ．
18．（23-24七下·甘肃省武威市凉州区凉州区洪祥镇九年制学校·期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，其中AC=6，BC=8，AB=10，CD=4.8，那么点B到AC的距离是 ．
19．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为 ．
20．（23-24七下·甘肃省天水市麦积区·期末）在△ABC中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
21．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC= cm2．
三、解答题
22．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．
23．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
概念应用：
（2）如图2，在△ABC中，为角平分线，，．求证：为△ABC的等角分割线；
动手操作：
（3）在△ABC中，若，是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的的度数．
24．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数；
（2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由．
25．（22-23七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数．
26．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图所示，在四边形中，，平分交于点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，试说明．
27．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）在△ABC中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求三角形各边的长．
28．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，锐角，点，分别在，上．
(1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ；
(2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数；
(3)如图，点是线段延长线上一点，过点作于点，与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
(
题型02
) 全等三角形
一、单选题
1．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，，请补充一个条件： ，使．
4．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
5．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ．
6．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，在△ABC和中，，则 ．
7．（23-24七下·甘肃省酒泉市·期末）如图，在△ABC中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ．
三、解答题
8．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，在四边形中，，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了80步，并且小刚一步大约0．5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．
10．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究：
(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是__________；
(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知△ABC，请完成作图：以、为边分别向△ABC外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数．
11．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
12．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，米，于点B，于点A，已知米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．
(1)如图，______．（用t的代数式表示）
(2)点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值．使得与△BCF全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
13．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
14．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）在△ABC中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，于点，交于点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当，求△ADE的面积．
15．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，在三角形中，，点B、P、Q三点在同一条直线上，且，．求的度数．
16．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题．
(1)如图①，“智慧组”在等边△ABC中，作于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
①中等于的角为_____；②______ （直接填空）
(2)“奋进组”直接探究了下面的问题：
已知：在△ABC中，，，以为腰，在△ABC外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值，利用图②求出的度数；
(3)“创新组”发现：在图②取中点F，连接并延长交直线于点G，若，，则可得出线段的长．请求出线段的长．
17．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．
(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
18．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，且，．求证．
19．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
20．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
21．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒：
(1)______．（用 的代数式表示）
(2)当 为何值时，?
(3)当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
22．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，已知，点B、E、C、F在同一直线上，，，，．
(1)求的度数与的长；
(2)求证：．
23．（23-24七下·甘肃省酒泉市·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1，
条件：（1）△ABC和△ADE都是等腰三角形；
（2）（顶角相等）
结论：．
解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得．
解决问题：如图2，△ABC和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G．
(1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
(2)求的度数．
24．（23-24七下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：．
25．（23-24七下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．利用卡钳测量花瓶内径的示意图如图所示，已知，O是线段和的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸入在花瓶内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度．
请你写出这样测量的理由．
26．（23-24七下·甘肃省白银市·期末）如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：．
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专题04 三角形
题型概览
题型01认识三角形
题型02全等三角形
(
题型01
) 认识三角形
一、单选题
1．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的性质以及即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∵
∴，
∴，
故选B．
2．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）绝缘梯多用作电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系可得，即可求解．
【详解】解：∵的长度都为，，
∴
则两点之间的距离可能是，
故选：A．
3．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A． B．AD C． D．AF
【答案】A
【分析】根据三角形高线的定义解答.
【详解】根据题意：AC边上的高即为过点B向AC边作垂线，交AC的延长线于点E，即线段BE，
故选：A.
【点睛】此题考查三角形的高线：过边所对角的顶点向该边作垂线，角的顶点与垂足之间的线段即为该边的高线，正确理解定义并运用解题是关键.
4．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，是△ABC的中线，是上一点，，连接并延长交于点．若的面积为2，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．连接，由得出，，设，则，即可得出的面积，由是△ABC的中线得出，，求出的面积，即可列出关于的方程求解，从而求出△ABC的面积．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
的面积为2，
，
设，
则，
，
∵BD是△ABC的中线，
，，
，
，
，
，
解得，
，
，
故选：C．
5．（23-24七下·甘肃省平凉市静宁县第三中学·期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得∠6＝65°，根据对顶角相等可得∠4＝55°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°，
∴∠6＝65°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠4＝55°，
在△ABC中，∠6＝65°，∠4＝55°，
∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、对顶角相等、三角形内角和定理是解题的关键．
6．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在中，，的角平分线交于点，，，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查角平分线的性质．由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3．
【详解】解：过点作交于点，
如图所示：
，
，
又是的角平分线，，
，
又，，，
，
，
即点到的距离是3，
故选：A．
7．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，△ABC是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解．
【详解】解：为等边三角形，
，
是等边三角形的中线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
8．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】三角形第三边的长度大于两边差，且小于两边和．根据已知边长求第三边长度的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：设第三边的长为，
则，
故．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解并掌握三角形的三边关系．
9．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出．
【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意，
B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意，
C选项是作AB边上的高，不符合题意，
D选项是作AC边上的高，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键．
10．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）在△ABC中，平分，则的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式进行计算．
【详解】解：过D点作于F，如图，
∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
11．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．13cm、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
根据三角形三边关系定理对各选项分析即可．
【详解】解：A、，长度是、、13cm的木棒不能做成三角形框架，故A不符合题意；
B、，长度是、、的木棒不能做成三角形框架，故B不符合题意；
C、，长度是、、的木棒不能做成三角形框架，故C不符合题意；
D、，长度是、、的木棒能做成三角形框架，故D符合题意．
故选：D．
12．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在锐角中，分别是边上的高，交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．
【详解】解∶BE⊥AC，CD⊥AB，
∠ADC＝∠AEB＝90°
∠BPC＝∠DPE＝180°-50°＝130°
故选：B
【点睛】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．
13．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，点分别是边上一点，，连接交于点F，若的面积为12，则与的面积之差等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的面积，三角形中线、二元一次方程组的解法等知识点，掌握等积变换是解答此题的关键．由△ABC的面积为12，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵，，，
∴，
即①，
同理：∵，
∴，
∴，
即②，
得：，
故选：A．
14．（23-24七下·甘肃省酒泉市·期末）如图，△ABC中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【分析】根据的周长为30，可得BD+AD=15，结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解：∵的周长为30，
∴AB+BD+AD=30，
∵BD+AD=30-AB=30-15=15，
∵是边上的中线，
∴AD=CD，
∴的周长=CD+BD+BC=AD+BD+BC=15+9=24．
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义，是 解题的关键．
二、填空题
15．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，在△ABC中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】解：∵在△ABC中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．
16．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B = °．
【答案】95
【详解】∵MF//AD，FN//DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°.
在△BMN中，∠B=180°－（∠BMN＋∠BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°.
故答案为：95
17．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，为△ABC的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线．若△ABC的面积为16，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据三角形的中线性质，可得的面积为：，的面积为：，……，进而即可得到答案．
【详解】解：∵为△ABC的中线，
∴的面积为：，
同理的面积为：，……，
的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键．
18．（23-24七下·甘肃省武威市凉州区凉州区洪祥镇九年制学校·期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，其中AC=6，BC=8，AB=10，CD=4.8，那么点B到AC的距离是 ．
【答案】8
【分析】由题意即可推出点B到AC的距离即为点B到AC的垂线段的长度即为BC的长度．
【详解】∵AC⊥BC，BC=8，
∴点B到AC的距离为8.
故答案为：8.
【点睛】考查点到直线的距离的定义，点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度.
19．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了角平分线的性质，即“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，掌握角平分线的性质是解本题的关键．
过作于，则，根据角平分线性质求出，求出，再计算即可得出结果．
【详解】解：如图，过作于，
点到的距离为6，
，
，平分，
，
，
，
．
故答案为：18．
20．（23-24七下·甘肃省天水市麦积区·期末）在△ABC中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④．
【详解】∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴；故②正确，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确，
综上正确的有：①②④．
【点睛】此题考查了三角形内角和性质和外角和的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．
21．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC= cm2．
【答案】12
【分析】根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC的面积的一半．
【详解】解：∵CE是△ACD的中线，
∴S△ACD=2S△ACE=6cm2．
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ACD=12cm2．
故答案为：12．
【点睛】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
三、解答题
22．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．
【答案】65°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABD的度数，再由角平分线的性质求出∠ABF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AD⊥BC，∠BAD=40°，
∴∠ABD=90°-40°=50°．
∵BE是△ABC的内角平分线，
∴∠ABF=
∠ABD=25°，
∴∠BFD=∠BAD+∠ABF=40°+25°=65°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
23．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
概念应用：
（2）如图2，在△ABC中，为角平分线，，．求证：为△ABC的等角分割线；
动手操作：
（3）在△ABC中，若，是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的的度数．
【答案】（1）△ABC与，△ABC与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据垂线的定义和三角形内角和定理分别证明，即可得到结论；
（2）先利用三角形内角和定理求出，则由角平分线的性质得到，则，，可证明，再求出，得到，由此即可证明为△ABC的等角分割线；
（3）分当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，五种情况根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质和等边对等角进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC与，△ABC与，与是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴为△ABC的等角分割线；
（3）当是等腰三角形，时，如图，
则，
∴；
当是等腰三角形，时，如图，
则，，
∴；
当是等腰三角形，的情况不存在；
当是等腰三角形，时，如图，
则，
∴；
当是等腰三角形，时，如图，
则，
设，则，
则，
由题意得，，
解得，，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或或或．
24．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数；
（2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析；
【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
（1）根据外角的性质，可得，结合角平分线的定义可得，，，然后由求解即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，由三角形内角和定理可得，即有，然后结合，即可证明结论．
【详解】如图所示：
解：（1）根据外角的性质得，
平分，平分，
，，
，
；
（2）、是两外角的平分线，
，，
而，，
，，
，
，
即，
，
．
25．（22-23七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数．
【答案】
【分析】三角形内角和求出的度数，角平分线求出的度数，互余关系求出的度数，利用，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴ ．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵为的角平分线，
∴．
∴．
【点睛】本题考查含角平分线的三角形的内角和的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
26．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图所示，在四边形中，，平分交于点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，试说明．
【答案】(1)
(2)说明见解析
【分析】本题考查了四边形内角和公式、三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和．
（1）求出，求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）由（1）知：，根据，，，即可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：说明如下：
由（1）知：，
，
∵平分
∴
∵
，
∵
．
27．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）在△ABC中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求三角形各边的长．
【答案】三角形的各边长为或
【分析】由在△ABC中，，边上的中线把三角形的周长分成和两部分，可得，，然后分别从与去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵是边上的中线，
即，
∴，
若，则，
又∵，
联立方程组:,
解得：，
三边能够组成三角形；
若，则，
又∵，
联立方程组,
解得：，
三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义．注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
28．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，锐角，点，分别在，上．
(1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ；
(2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数；
(3)如图，点是线段延长线上一点，过点作于点，与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)；；(2)或；(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求的度数，根据邻补角定义以及角平分线性质求的度数，再求度数即可．
（2）分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求的度数，根据三角形内角和定义即可求解．
（3）由三角形外角性质可知，再由角平分线性质可得，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，分别平分，，
，，
，
，
．
（2）点在上方时，如图，
，
，
，分别平分，，
，
，，
；
点在下方时，如图，
，
∴
∴
即，
∴，
，分别平分和，
∴
综上所述，的度数为或．
（3），理由如下：
，分别是和的平分线，
，，
，
，
即，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质.
(
题型02
) 全等三角形
一、单选题
1．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．
【详解】解：∵，
∴，
A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意．
C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据三角形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：当时，
不能判断三角形全等，故符合题意，
当时，
满足边角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
当时，
满足角角边判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
当时，
满足角边角判定，能判断三角形全等，故不符合题意，
故选：A．
二、填空题
3．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，，请补充一个条件： ，使．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴根据，可以添加，使得；
根据，可以添加，使得；
根据，可以添加，使得；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
4．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，已知AB=CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
【答案】∠ABD=∠CBD（或AD=CD）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：已知，BD=BD，
要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，
须使，
①可通过SAS来证明，
即添加的条件是；
②可通过SSS来证明，
即添加的条件是AD=CD；
故答案为：或AD=CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解∶，
∵AD=AB
四边形的面积的面积的面积
故答案为：．
6．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，在△ABC和中，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的两锐角互余得到，结合题意利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵∠D=90º，
∴，
∵，
∴，
在△ABC和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
7．（23-24七下·甘肃省酒泉市·期末）如图，在△ABC中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ．
【答案】6
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6．
三、解答题
8．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，在四边形中，，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）结合（1）可得，可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∴．
9．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了80步，并且小刚一步大约0．5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．
【答案】合理，小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
【分析】根据AAS可得出△ABC≌△DEC，由该全等三角形的性质AB＝DE，故可求解．
【详解】解：合理，理由如下：
根据题意，得．
在△ABC和中，
∴．
∴．
又∵小刚走完用了80步，一步大约0.5米，
∴（米）．
∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．
10．（23-24七下·甘肃省兰州六十六中·期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究：
(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是__________；
(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知△ABC，请完成作图：以、为边分别向△ABC外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数．
【答案】(1)，
(2)，，理由见解析
(3)图见解析，，
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．
（1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得；
（2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得；
（3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：，，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
（3）解：完成作图如下：
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴．
11．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，在△ABC中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析;(2)
【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证出，进而证明是解题的关键．
（1）由为中点，得，而， ，即可根据“”证明；
（2）由， ，得，由全等三角形的性质得，则．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴的度数是．
12．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）如图，米，于点B，于点A，已知米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．
(1)如图，______．（用t的代数式表示）
(2)点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值．使得与△BCF全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)平方米;(2)的值为3或4
【分析】（1）先根据路程速度时间得出米，再利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于，所以当与全等时，分两种情况：①；②．根据全等三角形对应边相等列出方程，即可求解．
【详解】（1）米，，米，
（平方米）．
故答案为：平方米；
（2）由题意可得，，，．
当与全等时，分两种情况：
①如果，那么，，
，，
解得；
②如果，那么，，
，，
解得，．
故所求的值为3或4．
【点睛】本题结合动点问题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，难度适中．用的代数式表示出是解决第（1）小题的关键，进行分类讨论是解决第（2）小题的关键．
13．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或或
【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题．
（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明△AEF≌△AEG，可得，即可解题；
（2）如图2，同理可得：；
（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和△AEF≌△AEG．可得新的结论：．
【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接，
∵
∴
∴，
∴
∴．
∵，
∴△AEF≌△AEG．
∴．
∵．
∴；
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到G，使，连接
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴．
∵，
∴△AEF≌△AEG．
∴．
∵．
∴；
（3）若如图1，则结论成立，
若如图3，则或
证明：在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵
∴
∴
∴．
∴
∵，
∴△AEF≌△AEG
∴．
∵
∴．
同理可得：
∵
∴．
故答案为：或或．
14．（23-24七下·甘肃省兰州市兰州树人中学·期末）在△ABC中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，于点，交于点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当，求△ADE的面积．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【分析】（1）由等边对等角，三角形内角和定理可得，由，可得，根据，，可得，进而结论得证；
（2）如图2，作于N，证明，则，由，可得，证明，则，，由，可得，则；
（3）如图2，设，由（2）知，，，则，， 证明，则，可求得，，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，作于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：如图3，
设，由（2）知，，，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴△ADE的面积为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定与性质是解题的关键．
15．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）如图，在三角形中，，点B、P、Q三点在同一条直线上，且，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
证明，得出，根据等腰三角形的性质即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题．
(1)如图①，“智慧组”在等边△ABC中，作于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
①中等于的角为_____；②______ （直接填空）
(2)“奋进组”直接探究了下面的问题：
已知：在△ABC中，，，以为腰，在△ABC外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值，利用图②求出的度数；
(3)“创新组”发现：在图②取中点F，连接并延长交直线于点G，若，，则可得出线段的长．请求出线段的长．
【答案】(1)①；②;(2);(3)8
【分析】（1）①由直角三角形的性质得出答案；②由等边三角形形的性质可得出答案；
（2）由等边三角形及等腰三角形的性质求出和的度数，则可得出答案；
（3）在上截取，连接，，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案．
【详解】（1）①∵，，
∴，
故答案为：；
②∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）∵，，
∴△ABC是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在上截取，连接，，
∵，F为的中点，
∴，，
∴是的中垂线，
∴，
由（2）可知，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当大于度时，点G在线段上，同理求得．
∵，
∴不合题意，
综上可得，的长为8．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17．（23-24七下·甘肃省兰州市第十一中学·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．
(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析;(2)，理由见解析;(3)，理由见解析
【分析】（1）过点作于点，由点在的角平分线上，且于，M，得，，进而证明（），即可得证明；
（2）过点作于点，同（），可证，得，证，得，从而即可得解；
（3）过点作于点，同（），可证，，又证，得，从而即可得解．
【详解】（1）解：．理由：
过点作于点，
∵点在的角平分线上，且于，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
（2）解：结论：，理由如下：
如图，过点作于点，
同（），可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
同（），可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键。
18．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，且，．求证．
【答案】见解析
【分析】根据平行线性质，得出，结合，， 推出，得到，推出．
【详解】证明：∵，
∴，
在△ABC与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形，平行线．熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，是解此题的关键．
19．（23-24七下·甘肃省白银市第十一中学·期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答；
（2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论；
（3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案
【详解】（1）①∵△ABC和都是等边三角形，
∴
∴，即
在和中
∴
∴
∵
∴
② ∵
∴
故答案为：①，②；
（2），理由如下：
∵△ABC和都是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴，即
在和中
∴
∴
∵
∴
∵是等腰直角三角形，为中边上的高
∴
∵
∴
（3）∵是等腰三角形，
∴
∴
同（1）可得：
∴
∴
∵△ABC是等腰三角形，
∴
∴
20．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．
【分析】（1）根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论；
（2）根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
【详解】（1）证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
21．（23-24七下·甘肃省张掖市甘州区·期末）如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒：
(1)______．（用 的代数式表示）
(2)当 为何值时，?
(3)当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1);(2);(3)当秒或秒时和全等
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）根据题意写出表达式即可；
（2）根据题意得出当时，，据此计算出即可；
（3）分情况根据三角形全等得出的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：当时，，
当时，，
，
在和中，
，
；
∴，
（3）解：①当，时，，
，
，
，
即，
解得；
②当，时，，
，
，
，
解得，
，
即，
解得；
综上所述，当秒或秒时和全等．
22．（23-24七下·甘肃省天水市秦安县秦安五中和兴国中学·期末）如图，已知，点B、E、C、F在同一直线上，，，，．
(1)求的度数与的长；
(2)求证：．
【答案】(1)，;(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理得出，再根据全等三角形的性质，即可得出，即可求出；
（2）根据全等三角形的性质得出，即可求证．
【详解】（1）解：在△ABC中，，
，
，
，
．
（2）证明：
，
∴．
23．（23-24七下·甘肃省酒泉市·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1，
条件：（1）△ABC和△ADE都是等腰三角形；
（2）（顶角相等）
结论：．
解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得．
解决问题：如图2，△ABC和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G．
(1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
(2)求的度数．
【答案】(1)，详见解析;(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据等边三角形的性质，结合证明即可；
（2）全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到，利用平角的定义，即可求出的度数．
【详解】（1）解：
理由：∵△ABC和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴（）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（23-24七下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在△ABC和中，
，
∴。
25．（23-24七下·甘肃省兰州市教育局第四片区·期末）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．利用卡钳测量花瓶内径的示意图如图所示，已知，O是线段和的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸入在花瓶内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度．
请你写出这样测量的理由．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件证明，即可得解．
【详解】解：∵，O是线段和的中点，
∴，
在△AOB和中，
∵，，，
∴，
∴，
故点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件证明三角形全等．
26．（23-24七下·甘肃省白银市·期末）如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
证明，则．证明，可得 ．
【详解】解：在和中，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
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