第1课时 菱形的性质-【中考123】2024-2025学年八年级下册数学全程导练（华东师大版）

(2)连结AC,在△QAC中，QA=12-t, 9.解：△MEF是等腰直角三角形.理由如下： 边QA边上的高DC=AB=24cm, 连结AM,:∠BAC=90°，DF⊥AB,DE⊥AC, 六s0c=240:0c=14-124 .∠BAC=∠DFA=∠DEA=90°， 四边形AEDF是矩形，.DF=AE 在△APC中，AP=2L,BC=12cm, ,AB=AC,M为BC的中点，∠BAC=90°， 5sr=pc=12. ∴.∠BAM=∠MAC=45°，∴∠AMB=90°， ∴.∠B=∠MAC=45°.AM=BM. :Sasour =Sso+Su =144(cm ) :∠FDB=∠B=45°，BF=DF.BF=AE ∠B=∠MAE,BM=AM,.△BFM≌△AEM, .FM=EM,∠FMB=∠EMA. ∠AMB=∠FMB+∠AMF=90 B ∴.∠FME=∠EMA+∠AMF=90°， 11题客图 ,△MEF是等腰直角三角形. 第2课时矩形的判定 1.证明：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=∠DAC AN是∠CAM的平分线， ,∴，∠MAE=∠CAE. ∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=90P B D M 'AD⊥BC.CE⊥AN.∴∠ADC=∠CEA=90°， 9题客图 ,四边形ADCE为矩形. 19.2菱形 2.证明：(1)路 第1课时菱形的性质 (2)AB=EC,AB∥EC 1.解：设∠ABE=x,.∠BAD=180°-x .四边形ABEC是平行四边形. AB =AE =AF=AD. ∴.AF=EF,BF=CF,.∠ABC=∠D. ∴.∠BAE=∠DAF=180°-2x :∠AFC=2∠D,∴，∠AFC=2∠ABC :∠BAE+∠EAF+∠FAD=∠BAD, ∠AFC=∠ABF+∠BAF,∠ABF=∠BAF, ∴.180°-2x+180°-2x+60°=180°-x,.x=80° .FA=FB,..FA FE FB=FC. ∴.∠BAD=100°. AE=BC,四边形ABEC是矩形 2.(1)证明：四边形ABCD是菱形， 3.B4.矩形5.126.23 ∴DC∥AB,DC=AB. 7.证明：：△ABD和△BCD是两个全等的等边三角形， BE =AB,.'.DC=BE. ·,AD=BD=AB=BC,∠ADB=∠DBC=6O°， .四边形DBEC为平行四边形， .MD∥BN .BD =EC. M为AD的中点， (2)解：：四边形DBEC是平行四边形， MD=之AD,BM⊥AD, ∴.CE∥BD,∴.∠DBA=∠E=50 :∠DMB=0同理BN=BC 四边形ABCD是菱形，.∠BOA=90°， ∴.∠BA0=40°. ·MD=BN,四边形BMDN是平行四边形. 3.3844.B ∠DMB=90°，∴.四边形BMDN是矩形. 5.5解析AC交BD于，点O,作点E关于AC的对称点N,连 8.(1)解：：△ABC是等边三角形，D是BC的中点， 结NF,交AC于，点P,则此时PE+PF的值最小，根据菱形性 ∴.AD平分∠BAC,即∠DAB=∠DAC=30 质推出N是AD的中点，点P与点O重合，推出PE+PF= △DAE是等边三角形，∴.∠DAE=60°， NF=AB,根据勾股定理求出AB的长即可： ,∴.∠CAE=∠DAE-∠CAD=30 6.2或6 (2)证明：△BAC是等边三角形，F是AB的中点， 7.(I)证明：四边形ABCD是菱形，.∠BAC=∠DAC .CF⊥AB,∴.∠BFC=90°. 由(1)知∠CME=30°.∠BAC=60° EFLACAEAMAB-TAD, .∠FAE=90°，∴.AE∥CF. AM DM. △BAC是等边三角形，AD、CF分别是边BC,AB (2)解：连结BD,,四边形ABCD是菱形. 的中线， AB∥CD,DB⊥AC. ..AD=CF. EF⊥AC,EF∥DB AD=AE,..CF =AE, ∴四边形EBDF是平行四边形， ,四边形AFCE是平行四边形 ∠AFC=90°， ∴DF=BE=2AB=2AB=4. ,四边形AFCE是矩形 ∴.菱形ABCD的周长为16. ·17· 数学·华师版·八年级下册·参考答案 8.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， :4.B5.C ,AB=AD,∠BMC=∠DAC,AE=AE 6.90°7.185em2 .△BAE≌△DAE,∠ABE=∠ADE. 8.①③④解析根据已知判断△ABC≌△EFA,则∠AEF= .·∠ABE+∠CBE=∠ABC ∠BAC,得出EF⊥AG.由等边三角形的性质得出∠BDF= ∠APD+∠ADE=180°-∠DAB ∠ABE+∠CBE=180°-∠DAB, 30°，从而得证△DBF≌△EFA,则AE=DF,再由FE=AB,得 ..∠APD=∠CBE. 出四边形ADEF为平行四边形而不是菱形，据平行四边形的 (2)解：点P在AB的中点时，△ADP的面积等于菱形 性质得出AD=4AG,从而得到答案。 ABCD面积的子理由如下： 9.证明：，∠ACB=90°，AE平分∠BAC,EH⊥AB. .CE HE. 过点D作DG⊥AB于点G, AE=AE,.Rt△ACE≌Rt△AHE 2AP·DG=4AB·DG, .AC=AH,∠CEA=∠HEL :AE平分∠CAB,.∠CAF=∠HAF 六AP=了B,即点P运动到B的中点时，△DP的 AF=AF,∴△CAF≌△HAF,∴CF=HF CD⊥AB,EH⊥AB,∴.CD∥EH. 面积等于菱形ABCD面积的子 ∴.∠CFE=∠HEA,,∠CFE=∠CEM 9.(1)证明：连结AC, ∴CF=CE,CE=EH=GF=HF, 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，△AEF为 ∴.四边形CFHE是菱形 等边三角形， 10.(1)证明：，AB∥CD,CE∥AD .∠I+∠EMG=60°，∠2+∠EMC=60°. ,四边形AECD是平行四边形， ∠1=∠2. ∠E4C=∠ACD. ∠BAD=120° AC平分∠BAD,∠EAC=∠DAC, .∠ABC=60° .∠ACD=∠DAC,.AD=CD ,△ABC和△ACD均为等边三角形， ∴，四边形AECD是菱形， .∠3=60°，AC=AB, (2)解：△ABC是直角三角形.理由如下： ,.B=∠3， .△ABE≌△ACF 四边形AECD是菱形 .BE =CF ∴，AE=CE,∠EAC=∠ECA (2)解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化 ,E是AB的中点，.AE=BE 理由如下： CE=BE∴∠B=∠BCE. 由(I)得△ABE≌△ACF,.S4E=Sar, :∠EAC+∠ACE+∠B+∠BCE=I80° S国边形r=S△FG+SAe=Sar+Sat=SAAe是 .2∠ACE+2∠BCE=180°， 定值. ∴.∠ACE+∠BCE=90°，即∠ACB=90°， 作AH⊥BC于点H,则BH=2, ∴，△ABC是直角三角形 S系=Sae=2BC·AH=4B, 11.(1)证明：当旋转90时，∠AOF=∠BA0=90°， 由垂线段最短可知，当等边△AEF的边AE与BC垂直 ·EF∥AB. 时，边AE最短.故△AEF的面积会随着AE的变化而变 :四边形ABCD是平行四边形， 化，且当AE最短时，等边△AEF的面积最小 ∴.AF∥BE, ySAr=Ss边移r-SaEn, .四边形ABEF是平行四边形， 则此时△CEF的面积最大，一.Sacr=3 (2)证明：，AD∥BC,∴.∠FA0=∠ECO ,A0=C0,∠AOF=∠COE, .△AOF≌△COE,AF=CE (3)解：可能.由(2)知△AOF≌△C0E.OF=OE. B D .四边形BEDF是平行四边形. 当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形. 3 ·AB=1,BC=5,∠BAC=90° 9题客图 .AC=2..A0=AB=1, 第2课时菱形的判定 .∠A0B=45°. 1.B 即顺时针旋转45时，四边形BEDF是菱形. 2.解：BF=DF.理由如下： 9.3正方形 ·,四边形ABCD是矩形，，FD∥BC, 1.B2.D ,.∠FDB=∠CBD. 3.22.5° 由折叠知∠FBD=∠CBD 4.证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠FBD=∠FDB,∴.BF=DF 3.解：当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形.理由如下： ∴.AD=BC=DC.∠AIDC=∠DCB=90 .AE =2AD,..AD =DE. “△DEC是等边三角形， .D是BC的中点，BD=CD ,∴，DE=CE=DC,∠EDC=∠ECD=60°， ,,四边形ABEC是平行四边形 .∠ADE=∠BCE=30°， ,AD是边C上的高，∴，AE⊥BC .△ADE≌△BCE. ∴.四边形ABEC是菱形. 5.C6.D7.D ·18第19章 19.2 菱形 第1课时 菱形的性质 。过基础知识婴点分类练 。过能力「规律方法综合练 知识点1菱形的定义及边的性质 4.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱 L.如图，等边△AEF与菱形ABCD有一个公共顶 形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中 点A,且边长相等，三角形另两角的顶点E和 点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE, F分别在菱形的边BC和CD上，求∠BAD的 则∠DEC的度数为 () 度数 A.78° B.75 C.60 D.459 1题图 4题图 5题图 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8, E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运 动，在运动过程中，存在PE+P℉的最小值，则 这个最小值是 6.已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长 为23，则另一条对角线的长为 知识点2菱形对角线的性质 7.如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作 2.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O, AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线 延长AB至点E,使BE=AB,连结CE, 于点F (1)求证：BD=EC; (1)求证：AM=DM: (2)若∠E=50°，求∠BAO的度数： (2)若DF=2,求菱形ABCD的周长， 2题图 7题图 知识点3菱形的面积 3.已知菱形ABCD的周长为80，对角线AC、BD 相交于点O,且BD:AC=3:4,则菱形ABCD的 面积为 87 。中雪12气全醒号练了数学·华师版·八年级下册 8.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点 ⊙过提升「拓展探究创新练 (不与点A、B重合)，连结DP交对角线AC于 9.如图.在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°， 点E,连结BE. △AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的 (1)求证：∠APD=∠CBE: 边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、 (2)试问点P运动到什么位置时，△ADP的面 D重合 积等于菱形ABCD面积的好？为什么？ (1)求证：无论点E、F在BC、CD上如何滑动， 总有BE=CF; (2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨 四边形AECF和△CEF的面积是否发生 P B 变化？如果不变，求出这个定值：如果变 8题图 化，求出最大（或最小）值 9题图 88