七下期末真题百题大通关（111题18题型）（提升版）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

七下期末真题百题大通关（111题18题型）（提升版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一元一次不等式的解集 题型二 求一元一次不等式的整数解 题型三 用一元一次不等式解决实际问题 题型四 求不等式组的解集 题型五 求一元一次不等式组的整数解 题型六 由不等式组解集的情况求参数 题型七 一元一次不等式组的应用 题型八 相交线 题型九 平行线的判定 题型十 平行线的性质 题型十一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型十二 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型十三 三角形的外角的定义及性质 题型十四 全等三角形的性质 题型十五 三角形全等的判定 题型十六 等腰三角形的性质 题型十七 等腰三角形的判定 题型十八 等边三角形 题型一 求一元一次不等式的解集 1．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 2．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解不等式． 3．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 4．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）  解不等式：． 题型二 求一元一次不等式的整数解 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 6．（23-24六年级下·上海青浦·期末）不等式的正整数解为 ． 题型三 用一元一次不等式解决实际问题 7．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）为了活跃学生们的课余生活，学校新建棋室，现欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元， (1)求每副象棋和围棋的价格． (2)如果学校准备购买象棋和围棋共100副，且总费用不超过3225元．那么最多能购买多少副围棋． 8．（22-23六年级下·上海普陀·期末）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈．她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有枝花，其中玫瑰至少有9枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中，如果总金额不能超过元，请帮助小丽设计出所有符合条件的购买方案． 9．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这斤杨梅． (1)若这批杨梅全部售完，销售总收入为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ (2)若杨梅大户留下）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为元，求的值． 题型四 求不等式组的解集 10．（23-24六年级下·上海·期末）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示． 12．（23-24六年级下·上海青浦·期末）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 13．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．    14．（22-23六年级下·上海宝山·期末）解不等式组：． 15．（21-22六年级下·上海闵行·期末）解不等式组： 题型五 求一元一次不等式组的整数解 16．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）不等式组的自然数解是 ． 17．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 18．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）求不等式组的整数解． 19．（22-23六年级下·上海黄浦·期末）求不等式组的整数解． 20．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，找出所有整数解．    21．（22-23六年级下·上海普陀·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解．    22．（23-24六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 23．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 24．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式组：，并写出它的整数解． 25．（22-23六年级下·上海宝山·期末）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例：． 已知，. (1)求，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 题型六 由不等式组解集的情况求参数 26．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 27．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 题型七 一元一次不等式组的应用 28．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 29．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 题型八 相交线 30．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知直线和直线相交于点O，，那么这两条直线的夹角等于 度． 31．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线交于O，且，，则 ．    32．（21-22七年级下·上海·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝ 度． 33．（21-22七年级下·上海·期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数． 题型九 平行线的判定 34．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 35．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式； 解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴ （        ）， ∴ （        ）． （2）与的位置关系是： ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴ ， ∴ （        ）． 题型十 平行线的性质 36．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 37．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 38．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则 ．    39．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线，直线与直线AB、CD相交与点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为 ． 40．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么 ．    41．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 ．    42．（22-23七年级下·上海闵行·期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．    43．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知与的两边分别平行，，的度数是 ． 44．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，已知点G、F分别在边、上，交的延长线于点E，且．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以（ ）． 因为（已知）， 所以 （等量代换）． 所以 （ ）． 所以（ ）． 45．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，，请说明的理由． 解：∵（对顶角相等）， 又∵， ∴ （等量代换）． ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（ ）． ∴（ ） ． 46．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 47．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且． (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光线互相平行？ 题型十一 与平行线有关的三角形内角和问题 48．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 题型十二 与角平分线有关的三角形内角和问题 49．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，则的度数为 度． 50．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则 °．    51．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 题型十三 三角形的外角的定义及性质 52．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 53．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，，则的度数是    54．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图， ． 55．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ．    56．（21-22七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，，是的一个外角，且，求的度数． 57．（21-22七年级下·上海·期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数． 解：因为DF⊥AB（已知）， 所以∠DFB＝90°（垂直的意义）． 因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ 　 　）， 又∠D＝42°， 所以∠B＝　 　°（等式性质）． 因为∠ACD＝∠A+∠B（ 　 　）， 又∠A＝35°，∠B＝　 　°， 所以∠ACD＝　 　°（等式性质）． 58．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 题型十四 全等三角形的性质 59．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 60．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 61．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，在长方形中，，，点为中点，如果点在线段上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以某个速度由点向点运动，如果经过一段时间后，与全等，则点的运动速度为 （单位：）．    62．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则 ．    题型十五 三角形全等的判定 63．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 64．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 65．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）下列命题错误的是（    ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 66．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．这条边上的高对应相等 B．这条边上的中线对应相等 C．这个角的角平分线对应相等 D．这个角的另一条邻边对应相等 67．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 68．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 69．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 70．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．    71．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，于F，将沿翻折至，联结并延长，在射线上取点D使得，若，，，则 ．    72．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，点是线段上一点，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为， 连接，以下结论中：①；②是等边三角形；③；④，正确的有 ．（填入序号）    73．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，已知，，点D在边上，连接，过点B作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F．试说明的理由． 解：因为（ ）． 同理：． 因为， 所以． 又因为， 所以． 因为（ ）， 所以∠ ∠ ． （完成以上说理过程） 74．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连． (1)求证：； (2)若，连接，平分，求的度数． 75．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）求作中，已知，，（利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹） 76．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 77．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 78．（22-23七年级下·上海·期末）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 题型十六 等腰三角形的性质 79．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 80．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于 ． 81．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 82．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）等腰三角形的两边之和为18，两边之差为8，那么这个等腰三角形的周长为 ． 83．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 84．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    85．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，，则的度数是    86．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ．    87．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 88．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 89．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，那么的周长是 ．      90．（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝ 度． 91．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，是的平分线，，试说明． 解：因为是的平分线（已知）， 所以_________=_________（         ）， 因为（已知）， 所以_________=_________（          ）， 因为（                     ）， 即， （等量代换）， （等式性质）， 所以（               ）． 92．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 93．（21-22七年级下·上海·期末）在中，，，，与相交于点，如图，的大小与的大小有什么关系？ 若，，则与大小关系如何？ 若，，则与大小关系如何？ 题型十七 等腰三角形的判定 94．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，CEAD交BA的延长线于点E，请判断△AEC的形状，并说明理由． 结论：△AEC是 三角形． 解：因为AB＝AC，BD＝CD （已知）， 所以∠BAD＝ ． 因为CEAD （已知）， 所以∠BAD＝       ． ∠CAD＝ ． 所以∠     ＝∠       ． 所以       ＝     ．（ ） 即△AEC是             三角形． 95．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 96．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，点D在边延长线上，点E在边上，且，延长线段交边于点F．      (1)说明是等腰三角形的理由； (2)如果是等腰三角形，求的度数． 97．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 98．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 99.（21-22七年级下·上海·期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D． (1)如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE． ①说明AE＝AC的理由； ②说明BE＝DE的理由； (2)如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由． 100．（22-23七年级下·上海闵行·期末）如图：在平面直角坐标系中，已知点，点是轴的正半轴上一点，横坐标为，联结，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点．    (1)在图中描出点和点（不写结论） (2)点的坐标为______（用含的代数式表示），四边形的面积为______； (3)联结． i）______； ii）说明点和点到线段的距离之和等于线段的长． 101．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 题型十八 等边三角形 102．（23-24七年级上·上海闵行·期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 103．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 104．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 105．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 106．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 107．（21-22七年级下·上海·期末）在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、． (1)与有怎样的关系？请说明你的理由． (2)把改成什么条件，还能得到中的结论？ 108．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 109．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 110．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 111．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七下期末真题百题大通关（111题18题型）（提升版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一元一次不等式的解集 题型二 求一元一次不等式的整数解 题型三 用一元一次不等式解决实际问题 题型四 求不等式组的解集 题型五 求一元一次不等式组的整数解 题型六 由不等式组解集的情况求参数 题型七 一元一次不等式组的应用 题型八 相交线 题型九 平行线的判定 题型十 平行线的性质 题型十一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型十二 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型十三 三角形的外角的定义及性质 题型十四 全等三角形的性质 题型十五 三角形全等的判定 题型十六 等腰三角形的性质 题型十七 等腰三角形的判定 题型十八 等边三角形 题型一 求一元一次不等式的解集 1．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 2．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解不等式． 【答案】或 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和不等式的解法是解题的关键．分别讨论当和当时，对不等式进行去分母后，再进行求解即可． 【详解】解：当时，即． 不等式两边同乘以，得，． ∴不等式解为 当时，即， 不等式两边同乘以，得，， ∴不等式解为 综上，不等式解为或． 3．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式．掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解： ． 4．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【详解】解： ． 题型二 求一元一次不等式的整数解 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 6．（23-24六年级下·上海青浦·期末）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式的解集． 去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1得， ∴正整数解为1，2， 故答案为：1，2． 题型三 用一元一次不等式解决实际问题 7．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）为了活跃学生们的课余生活，学校新建棋室，现欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元， (1)求每副象棋和围棋的价格． (2)如果学校准备购买象棋和围棋共100副，且总费用不超过3225元．那么最多能购买多少副围棋． 【答案】(1)每副象棋30元，每副围棋35元 (2)最多能购买45副围棋 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设每副象棋元，每副围棋元，根据购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买了副围棋，根据总费用不超过3225元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设每副象棋元，每副围棋元，由题意，得： ，解得： 答：每副象棋30元，每副围棋35元； （2）设购买了副围棋，由题意，得：， 解得：； 答：最多能购买45副围棋． 8．（22-23六年级下·上海普陀·期末）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈．她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有枝花，其中玫瑰至少有9枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中，如果总金额不能超过元，请帮助小丽设计出所有符合条件的购买方案． 【答案】(1)玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元 (2)有两种符号条件的购买方案：9枝玫瑰、枝康乃馨；枝玫瑰、枝康乃馨 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设小丽购买的花束中有枝玫瑰，则康乃馨有枝，由题意得：，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元， 由题意得：， 解得； 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元． （2）解：设小丽购买的花束中有枝玫瑰，则康乃馨有枝， 由题意得：， 解得， 因为至少要有9枝玫瑰，所以或； 所以，有两种符号条件的购买方案：9枝玫瑰、43枝康乃馨；10枝玫瑰、42枝康乃馨． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． 9．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这斤杨梅． (1)若这批杨梅全部售完，销售总收入为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ (2)若杨梅大户留下）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为元，求的值． 【答案】(1)圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮； (2)的值为或． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的取值范围以及为的倍数，从而得到的值． 【详解】（1）设圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮，由题意，得： ， 解得：， 答：圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮． （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，由题意，得： ， 解得：， 则有：，解得：， ∴的取值范围是：， 又∵为正整数，则有为的倍数， ∴的值为或． 【点睛】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般． 题型四 求不等式组的解集 10．（23-24六年级下·上海·期末）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，先解方程组，用m表示出x，y的值，然后根据x，y都是正数列关于的不等式组求解即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 关于x、y的方程组的解是正数， ， 解得：， 故答案为：． 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示． 【答案】，详见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，关键是掌握解不等式组的方法． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 12．（23-24六年级下·上海青浦·期末）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，把它的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 13．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】无解，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式的组的解集在数轴上表示为：    ∴原不等式组无解． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14．（22-23六年级下·上海宝山·期末）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：由①得： 由②得： 解得 ∴不等式组的解集为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．（21-22六年级下·上海闵行·期末）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别解出两个不等式的解集，最后结合两个不等式的解集进行判断即可． 【详解】解：解不等式 ， 解不等式 ， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解决本题的关键． 题型五 求一元一次不等式组的整数解 16．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）不等式组的自然数解是 ． 【答案】0、1、2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的自然数解为0、1、2， 故答案为：0、1、2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 17．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 18．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）求不等式组的整数解． 【答案】，0，1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】对于不等式组，分别求出其中每一个不等式，再取公共解，得到不等式组的解集，最后按照题意求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 由不等式②得， ∴不等式组解集为， ∵取的整数解， ∴不等式组的整数解为，0，1． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求解集的关键是“大取大，小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”． 19．（22-23六年级下·上海黄浦·期末）求不等式组的整数解． 【答案】， 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据一元一次不等式组的解法，求出的范围，按要求求出整数解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，解得； 由②得，解得； ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为，． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 20．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，找出所有整数解．    【答案】；数轴上表示见解析；整数解：，0，1 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】按照不等式的性质分别解出两个不等式的解集，利用不等式组解集口诀求出不等式组解集，最后在数轴上表示出来，找出所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示为：   整数解为：，0，1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集以及在数轴上表示出来，解题的关键在于熟练掌握不等式组解集口诀：大大取大，小小取小，大大小小无解集，大小小大取中间． 21．（22-23六年级下·上海普陀·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解．    【答案】原不等式组的解集为，解集在数轴上表示见解析，它的整数解是：、、0、1、2 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】. 解：由①得， 由②得， 所以原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为：    所以，它的整数解是：、、0、1、2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 22．（23-24六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，见解析，整数解为，0，1 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，在数轴上表示解集，然后求整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，； ， , ， 解得，； ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集如下； ∴整数解为，0，1． 23．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解是，，0，1，2 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集和解一元一次不等式组等知识点，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 所以不等式组的整数解是，，0，1，2． 24．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求不等式组的解集并确定不等式组的整数解，先分别解出两个不等式，进而求出不等式组的解集，即可确定整数解． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式得； ∴不等式组得解集为：， ∴整数解为：． 25．（22-23六年级下·上海宝山·期末）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例：． 已知，. (1)求，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的值分别为1，3 (2) 【知识点】构造二元一次方程组求解、求一元一次不等式组的整数解 【分析】(1)根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． (2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好有4个正整数解，确定出p的范围即可． 【详解】（1）解：由，， 得，， 即解得即，的值分别为1，3 （2）由（1）得， 则不等式组可以化为， 解得. 不等式组恰好有的3个整数解一定是0、1、2， 所以有， 解得． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型六 由不等式组解集的情况求参数 26．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了，可得关于的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组无解， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则，是解题的关键． 27．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式的解集，先解不等式，然后根据不等式组无解，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， ∵无解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 一元一次不等式组的应用 28．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 29．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 【答案】(1)见解析 (2)生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意得出关于x的不等式组，求解x的范围即可确定方案； （2）分别求出各方案的成本，比较即得结果. 【详解】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取38，39，40； 故有以下三种生产方案： 方案一 方案二 方案三 A型/台 38 39 40 B型/台 62 61 60 （2）方案一生产所需要的成本为：元， 方案二生产所需要的成本为：元， 方案三生产所需要的成本为：元， 所以该电器厂按方案三生产，即生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准不等关系列出需要的不等式组是解题的关键. 题型八 相交线 30．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知直线和直线相交于点O，，那么这两条直线的夹角等于 度． 【答案】或 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】根据，设，结合，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，补角的定义，熟练掌握补角的定义，方程的应用是解题的关键． 【详解】∵，设， ∵， ∴． 解得． 故答案为：或． 31．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线交于O，且，，则 ．    【答案】 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】根据，得，再根据，得，再根据对顶角相等得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线和对顶角的性质，解题的关键是熟练的从图中找到这些角的位置关系． 32．（21-22七年级下·上海·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝ 度． 【答案】50 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题 【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据邻补角的和等于180°求解即可． 【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65， ∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65＝130， ∴∠AOC＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及邻补角的定义．解题的关键是掌握角平分线的定义以及邻补角的和等于180，是基础题，比较简单． 33．（21-22七年级下·上海·期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数． 【答案】∠BCE＝25°；∠BCF＝65° 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】根据对顶角相等可直接求出∠BCE＝25°，根据CF⊥DE即可求出∠BCF的度数． 【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD（对顶角相等），∠ACD＝25°（已知）， ∴∠BCE＝25°（等量代换）． ∵CF⊥DE（已知）， ∴∠ECF＝90°（垂直的意义）， 即∠BCF+∠BCE＝90°， ∴∠BCF＝65°． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角等知识点，解决本题的关键是理解垂线的性质、对顶角相等． 题型九 平行线的判定 34．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得； （2）根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 35．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式； 解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴ （        ）， ∴ （        ）． （2）与的位置关系是： ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴ ， ∴ （        ）． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同角的补角相等，以及同位角相等，两直线平行，作答即可； （2）根据角平分线的定义以及内错角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴ （同位角相等，两直线平行）． （2）与的位置关系是：． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型十 平行线的性质 36．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图：    ∵， ， ， ； 当时，如图：    ∵， ； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 38．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则 ．    【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质求解，根据平行线性质求角度，根据题意分两种情况：①当绕点逆时针旋转当时；②当绕点逆时针旋转当时，分别画出图进行求解即可． 【详解】解：如图，当绕点逆时针旋转当时，   ， ， ， ； 当绕点逆时针旋转当时，   ， ， 故答案为：或． 39．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线，直线与直线AB、CD相交与点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确的作出图形，运用分类思想是解题的关键．当点Q在平行线之间时，设，由折叠可得根据平行线的性质即可得到结论；当点Q在的下方时，设，由得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：分两种情况： 如图，当点Q在平行线之间时， 设，由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点Q在的下方时， 设，由得，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或． 40．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么 ．    【答案】100 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， 故答案为：100． 41．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 ．    【答案】/度 【知识点】两直线平行内错角相等、与方向角有关的计算题 【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可求出答案． 【详解】解：过点作，如图所示：   ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键． 42．（22-23七年级下·上海闵行·期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式． 【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．    过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）． ∵， ∴， ∴（两直线平行，则内错角相等）， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起． 43．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知与的两边分别平行，，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】分两种情况：①是锐角，②是钝角，画出图形，根据图形求解即可． 【详解】解：如图，    当是锐角时，， 当是钝角时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角的计算，平行线的性质，解题的关键是根据已知画出符合条件的所有图形，运用分类讨论的思想解决问题． 44．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，已知点G、F分别在边、上，交的延长线于点E，且．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以（ ）． 因为（已知）， 所以 （等量代换）． 所以 （ ）． 所以（ ）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；，； 同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定与性质，结合上下文求解即可． 本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；，； 同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 45．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，，请说明的理由． 解：∵（对顶角相等）， 又∵， ∴ （等量代换）． ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（ ）． ∴（ ） ． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理及性质定理，结合已知证明过程，逐步推导论证即可． 【详解】解：∵（对顶角相等）， 又∵， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 46．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)62 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查平行线、垂线的作法，平行线的性质： （1）根据平行线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据平行线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：， ， ， ， 故答案为：62． 47．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且． (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】绝对值非负性、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）由非负数的性质即可得出结果； （2）如图1，过点作，可得，设两灯转动时间为秒，则，，根据角的和差关系得到关于的方程，解方程即可求解； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，； （2）解：如图，过点作，   ， ， 设两灯转动时间为秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图，   ， ， ， ， ， 在灯射线到达之前，由题意得：， 解得：； ②如图，   ， ， ， ， ， 在灯射线到达之后，由题意得：， 解得：． 综上所述，灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 题型十一 与平行线有关的三角形内角和问题 48．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 题型十二 与角平分线有关的三角形内角和问题 49．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，则的度数为 度． 【答案】85或135/135或85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，对顶角，直角三角形的性质以及角平分线的意义，分两种情况讨论，第一种情况：为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，，再由三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：第一种情况：为锐角，如图示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，为钝角，如图示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：85或135． 50．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则 °．    【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据题意可知，，，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理，求出，然后结合垂直的定义，推出，即可求出的度数． 【详解】解：比大， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形内角和等于是解题关键． 51．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理和角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由对顶角相等得到，然后根据即可得到； （2）根据题意分点G在点F右边和点G在点F左边两种情况讨论，首先得到，然后分别根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，当点G在点F左边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点G在点F右边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 综上所述，或． 题型十三 三角形的外角的定义及性质 52．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据角平分线定义及三角形外角性质，数形结合表示出角度即可得到答案． 【详解】解：连接并延长，如图所示：    由三角形外角性质可知；； 分别平分， ；； ， ， ， 连接并延长，如图所示：    ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及角平分线定义及外角性质，数形结合，准确表示各个角的和差倍分关系是解决问题的关键． 53．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，，则的度数是    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】首先根据，，利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角的性质求得，再根据得到，从而得到，进一步得到，最后利用得到． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角，难度不大． 54．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图， ． 【答案】180 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解，即可得到答案． 【详解】解：如图， ，，，， 又， ， 即， 故答案为：180． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，灵活运用三角形的外角是解题关键． 55．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：， ，设， ， ，设，则 ，即， 在中，，即 由得，，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键． 56．（21-22七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，，是的一个外角，且，求的度数． 【答案】． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出，从而求出的度数． 【详解】解：是的一个外角， ， ，，， ． 解得：． ． 【点睛】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出． 57．（21-22七年级下·上海·期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数． 解：因为DF⊥AB（已知）， 所以∠DFB＝90°（垂直的意义）． 因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ 　 　）， 又∠D＝42°， 所以∠B＝　 　°（等式性质）． 因为∠ACD＝∠A+∠B（ 　 　）， 又∠A＝35°，∠B＝　 　°， 所以∠ACD＝　 　°（等式性质）． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【详解】解：因为DF⊥AB（已知）， 所以∠DFB＝90（垂直的意义）． 因为∠DFB+∠B+∠D＝180（三角形内角和是180）， 又∠D＝42， 所以∠B＝48（等式性质）． 因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， 又∠A＝35°，∠B＝48°， 所以∠ACD＝83（等式性质）． 故答案为：三角形内角和是180，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48，83． 【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形外角与内角的关系. 58．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②或 (2)理由见解析 (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； ②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”； （3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案． 【详解】（1）①∵是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“奇妙互余三角形”． （3）解：当P在线段上时，如图： ，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图： ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（舍去）； 当时， ∵， ∴（舍去）． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． 题型十四 全等三角形的性质 59．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 60．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 【答案】2或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 设运动时间为t秒，根据题意可得：，再进行分类讨论即可①当时， ②当时． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意可得：， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， ②当时， ， 解得：， 此时厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：2或． 61．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，在长方形中，，，点为中点，如果点在线段上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以某个速度由点向点运动，如果经过一段时间后，与全等，则点的运动速度为 （单位：）．    【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】设点的运动速度为，先根据时间、速度表示路程：，，，根据点为中点表示，由与全等，可分两种情况按照对应边相等，列方程求解可得结论． 【详解】解：如图所示：    设点的运动速度为，则，，， ， ①当，时，则， ，解得； ②当，时，则， ，解得， 综上所述，经过秒，，此时点的速度是，经过秒，，此时点的速度是， 故答案为：或． 【点睛】本题是几何动点问题，本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、一元一次方程的综合应用，根据题意列方程是解题的关键． 62．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，，为射线，，点P从点B出发沿向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，能与全等，则 ．    【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】设运动时间为秒，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用全等三角形的性质，分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， ， ， ①当时，，， ，解得：， ②当时，，， ，解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 题型十五 三角形全等的判定 63．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、中心对称图形的识别、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 64．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 65．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）下列命题错误的是（    ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、判断命题真假 【分析】根据三角形全等的判断定理进行逐项判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用来证明这两个直角三角形全等，选项不符合题意； D、两个锐角对应相等的两个直角三角形，不能用来证明这两个直角三角形全等，选项符合题意； C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，可以用来证明这两个等腰三角形全等，选项不符合题意； B、一边一锐角对应相等的两个直角三角形，可以用或来证明这两个直角三角形全等选，选项不符合题意； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了命题真假判定，三角形全等的判定，掌握三角形全等的判断定理：、、、、是解题的关键． 66．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．这条边上的高对应相等 B．这条边上的中线对应相等 C．这个角的角平分线对应相等 D．这个角的另一条邻边对应相等 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据各选项提供的条件，分别画出图形，结合全等三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 增加：高高，    ∴， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； 增加：角平分线，    由角平分线的性质可得：，而， ∴， ∴，而，， ∴，故C不符合题意； 增加：，      显然：，故D不符合题意； 增加：中线，    无法证明全等，无法证明全等， ∴得不到全等，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法与性质是解本题的关键． 67．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 68．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解∶， 四边形的面积的面积的面积 故答案为：． 69．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 70．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，如果要说明，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．    【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】可以添加条件为，利用等角对等边得到，再利用全等三角形的判定条件，即可证明，本题为开放题，答案不唯一． 【详解】解：可添加条件， 理由如下：， ， 在与中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定条件，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 71．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，于F，将沿翻折至，联结并延长，在射线上取点D使得，若，，，则 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题 【分析】由翻折的性质可知，，，先利用“”证明，得到，，再利用“”证明，得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， , 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 72．（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，点是线段上一点，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为， 连接，以下结论中：①；②是等边三角形；③；④，正确的有 ．（填入序号）    【答案】①②③④ 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题 【分析】利用手拉手模型，即可得证；由及三角形全等的判定得到；由的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形；由三角形内角和定理，根据等边三角形性质，等量代换即可得证；从而确定①②③④均正确． 【详解】解：与都是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中， ， ，故④正确； ， ， ， 是等边三角形，故②正确； 在中，由三角内角和定理可知， ， ， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形全等综合，涉及等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 73．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，已知，，点D在边上，连接，过点B作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F．试说明的理由． 解：因为（ ）． 同理：． 因为， 所以． 又因为， 所以． 因为（ ）， 所以∠ ∠ ． （完成以上说理过程） 【答案】见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先根据，可得，再由可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确的找到三个条件是解题的关键． 【详解】解：∵（ 三角形内角和定理 ）． 同理：． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵（ 对顶角相等 ）， ∴． ， ， 又， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 74．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连． (1)求证：； (2)若，连接，平分，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵为中点， ， 在和中 ， ， ， ； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ． 75．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）求作中，已知，，（利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】先作，在射线上截取，以点C为圆心，为半径作弧，与射线分别交于点A和，连接，或即为所作． 【详解】解：如图，或即为所作， 76．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点，先证明，再证明即可． 【详解】解：如图，将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点， 在和中， ， ， ，， ， 在与中， ， ． 77．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或时，与全等 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 78．（22-23七年级下·上海·期末）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了几何变换综合题，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性质，是解题关键． （1）由，得．由，得，．由，得．故． （2）由，，得．由，得．．由，得，，得．故． （3）①当时，由，得．，，．由，得，故．②当时，如图所示．同①，． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ． ， ， ， ． ，即， ． 在和中， ， ． （2）解：结论成立， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ． ， ． ． ， ， ∵， ， ． 在和中， ． （3）①当时，如图所示． ， ． ，， ． ， ， ， ． ②当时，如图所示． 同①，． 综上所述，或． 题型十六 等腰三角形的性质 79．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 80．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于 ． 【答案】8 【分析】由于本题中等腰三角形的腰和底不确定，因此要分类讨论，最后还要根据三角形的三边关系将不合题意的解舍去． 【详解】解：分两种情况： 当底长为4时，腰长是：； 当腰长为4时，此时底长为：， ， 不能构成三角形，此种情况不成立，舍去． 故这个等腰三角形的腰长等于8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，还要注意看最后的结果是否符合三角形的三边关系． 81．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 82．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）等腰三角形的两边之和为18，两边之差为8，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】31或35或19 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知等腰三角形的两边之和是18，这两边之差是8，但没有明确腰和底的大小关系，因此应分两种情况，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设腰长为，则底长为， 当腰底，即时，，，三边之长为13，13，5，能构成三角形； 当底腰，即时，，，三边之长为5，5，13，不能构成三角形． 当腰+腰=18，则腰，底边长为，三边之长为9，9，17，能构成三角形； 当腰+腰=18，则腰=9，底边长为9-8=1，三边之长为9，9，1，能构成三角形； 综上所述，它的三边长分别是13，13，5，此等腰三角形的周长为； 三边之长为9，9，17，此等腰三角形的周长为； 三边之长为9，9，1，此等腰三角形的周长为； 故答案为：31或35或19． 83．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 84．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 85．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，，则的度数是    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】首先根据，，利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角的性质求得，再根据得到，从而得到，进一步得到，最后利用得到． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角，难度不大． 86．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：， ，设， ， ，设，则 ，即， 在中，，即 由得，，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键． 87．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 【答案】或 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】分两种情况进行讨论：①当绕点顺时针旋转时，②当绕点逆时针旋转时；根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据可得，即可得解． 【详解】解：①当绕点顺时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， ②当绕点逆时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 88．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 89．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，那么的周长是 ．      【答案】 【分析】设，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据题意得出，则，进而即可求解． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 90．（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝ 度． 【答案】108 【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，令∠B＝∠C＝x，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质分别用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 令∠B＝∠C＝x， 由折叠的性质可得∠D＝∠B＝x. ∵AE＝ED， ∴∠EAD＝∠D＝x. ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE=. ∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°， ∴∠AEB=∠EFD＝. ∵∠AEB＝∠AED， ∴∠AED＝， ∴∠FED＝x. 在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D＝180°， 即， 解得x＝36°， ∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝108°． 故答案为：108． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质，能用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED是解答本题的关键． 91．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，是的平分线，，试说明． 解：因为是的平分线（已知）， 所以_________=_________（         ）， 因为（已知）， 所以_________=_________（          ）， 因为（                     ）， 即， （等量代换）， （等式性质）， 所以（               ）． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了角平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，平行线判定，利用角平分线性质得到，利用等腰三角形性质得到，利用三角形外角性质得到，进而得到，即可说明． 【详解】解：因为是的平分线（已知）， 所以（角平分线性质）， 因为（已知）， 所以（等边对等角）， 因为（三角形外角定理）， 即， （等量代换）， （等式性质）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 92．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 93．（21-22七年级下·上海·期末）在中，，，，与相交于点，如图，的大小与的大小有什么关系？ 若，，则与大小关系如何？ 若，，则与大小关系如何？ 【答案】． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角 【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质即可计算． 【详解】解：，，， ， 即； ，， ， 即； ，， ， 即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握三角形内角和定理． 题型十七 等腰三角形的判定 94．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，CEAD交BA的延长线于点E，请判断△AEC的形状，并说明理由． 结论：△AEC是 三角形． 解：因为AB＝AC，BD＝CD （已知）， 所以∠BAD＝ ． 因为CEAD （已知）， 所以∠BAD＝       ． ∠CAD＝ ． 所以∠     ＝∠       ． 所以       ＝     ．（ ） 即△AEC是             三角形． 【答案】等腰、∠CAD、∠E、∠ACE、ACE、E、AC、AE、等角对等边、等腰 【分析】首先由等腰三角形的性质易得∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质得∠BAD＝∠E，等量代换可得∠ACE＝∠E，由等腰三角形的判定定理可得AC＝AE，即得结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE∥AD， ∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE， ∴∠ACE＝∠E， ∴AC＝AE（等角对等边）， 即△AEC是等腰三角形． 故答案为：等腰、∠CAD、∠E、∠ACE、ACE、E、AC、AE、等角对等边、等腰． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用平行线的性质和等腰三角形的性质是解答此题的关键． 95．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（同一个三角形中，等角对等边）． 因为点是的中点（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 96．（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，点D在边延长线上，点E在边上，且，延长线段交边于点F．      (1)说明是等腰三角形的理由； (2)如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据，得出，，根据，得出，证明，得出即可； （2）先证明，得出，分两种情况，或，分别求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵为的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在或， 当时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知，是等腰三角形时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，并注意分类讨论． 97．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和判定，由等腰三角形性质和三角形内角和、外角的性质证明角相等是解题关键． （1）根据等腰三角形性质求出，再由直角三角形两锐角互余即可求出． （2）先根据等边对等角证明，等腰三角形三线合一和同角的余角相等证明，进而由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 98．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质得到得到，根据等腰三角形的三线合一证明． 【详解】解：． 如图，延长交于点． 、分别平分和（已知） ，（角平分线定义） ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） （等式性质） （等角对等边） （等腰三角形三线合一）． 99.（21-22七年级下·上海·期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D． (1)如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE． ①说明AE＝AC的理由； ②说明BE＝DE的理由； (2)如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由． 【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析 (2)理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，根据垂直的定义可得∠AFE＝∠AFC＝90°，然后利用“角边角”证明△AEF和△ACF全等，进而结论得证；②利用“边角边”证明△AED和△ACD全等，则∠AED＝∠ACB，再根据三角形的外角的定义与性质可得∠AED＝∠B+∠BDE，然后求出∠B＝∠BDE，再根据等角对等边证明即可； （2）连接DN，证得△ABM和△ANM全等，则AB＝AN，再利用“边角边”证明△ABD和△AND全等，则∠ABD＝∠AND，根据三角形的外角的定义与性质可得∠ACB＝∠CDN+∠AND，然后求出∠CDN＝∠CND，再根据等角对等边证明即可． 【详解】（1）解：①∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵CF⊥AD， ∴∠AFE＝∠AFC＝90°， 在△AEF和△ACF中， ， ∴△AEF≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AC； ②由①可知，AE＝AC， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴∠AED＝∠ACB， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠AED＝2∠B， 又∵∠AED＝∠B+∠EDB， ∴∠B＝∠EDB， ∴BE＝DE； （2）解：如图，连接DN， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BM⊥AD， ∴∠AMB＝∠AMN＝90°， ∵AM=AM， ∴△ABM≌△ANM， ∴AB＝AN， 在△ABD和△AND中， ， ∴△ABD≌△AND（SAS）， ∴∠ABD＝∠AND， ∵∠ACB＝2∠ABC，即∠ACB＝2∠ABD， ∴∠ACB＝2∠AND， 又∵∠ACB＝∠CDN+∠AND， ∴∠CDN＝∠AND， ∴CD＝CN． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等角对等边，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形． 100．（22-23七年级下·上海闵行·期末）如图：在平面直角坐标系中，已知点，点是轴的正半轴上一点，横坐标为，联结，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点．    (1)在图中描出点和点（不写结论） (2)点的坐标为______（用含的代数式表示），四边形的面积为______； (3)联结． i）______； ii）说明点和点到线段的距离之和等于线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，16 (3)i）45；ii）见解析 【知识点】等腰三角形的定义、画旋转图形、面积问题(旋转综合题)、全等三角形综合问题 【分析】（1）先描出点，再描出点，根据旋转的性质，即可得到点； （2）过点作轴于点，过点作的延长线于点，利用证明，可得，进而求得，可得点的坐标，利用四边形的面积等于长方形的面积减去两个三角形的面积求解即可； （3）i）根据等腰直角三角形的性质可得到答案；ii）过点作于点，过点作于点，由i)可知，根据等腰直角三角形的性质可得，再利用证明，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：点和点如图所示， （2）解：如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点，   ， 由旋转的性质可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知， ， 故答案为：，16． （3）解：i）， ， 故答案为：； Ii）如图，过点作于点，过点作于点，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 即点和点到线段的距离之和等于线段的长． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，求不规则四边形的面积，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 101．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 题型十八 等边三角形 102．（23-24七年级上·上海闵行·期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移，旋转，以及等边三角形的判定和性质．熟练掌握平移和旋转的性质：对应边和对应角相等，是解题的关键．根据平移和旋转的性质，对应边和对应角相等，得到，为等边三角形，进而得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：将沿射线的方向平移，得到， ∴， 将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选：B． 103．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，等边三角形的性质，根据对称性得到，解方程组得到a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴， 故答案为：． 104．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 105．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【答案】6 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 106．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于 厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，从而求出是等边三角形，，从而得解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18． 107．（21-22七年级下·上海·期末）在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、． (1)与有怎样的关系？请说明你的理由． (2)把改成什么条件，还能得到中的结论？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)是边的中线或是的平分线 【分析】（1）由等边三角形的性质CD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由CE＝BC，得CE＝CD，则有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性质∠ACD＝∠E＋∠CDE，即有∠E＝∠ACD，从而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE； （2）根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 等边，， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ； （2）解：∵是等边三角形， 等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合， 可把改为：是边的中线或是的平分线，（1）的结论仍然成立． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”的掌握． 108．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【答案】(1)24 (2) (3)点P到边的距离相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 109．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 110．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)一定成立 (3) 【知识点】等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， 在中，， ， 同理可得，， ； （2）解：一定成立， 理由如下：如图，延长至，使，连接， ， 由（1）可知：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：一定成立； （3）解：如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 111．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$