高二数学下学期期末押题试卷-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

2024-2025学年高二数学下学期期末押题试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、函数与导数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面解析几何 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据复数的模的计算公式，以及复数的运算，可求得.再由其为纯虚数知，实部为零，即可求解. 【详解】由题可得，又为纯虚数，所以． 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的模的计算，复数的概念，复数的运算，属于基础题. 2．已知向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影是 【答案】D 【分析】选项A，C，D均可利用向量数量积求解；选项B套用模长的坐标公式求解. 【详解】因为，，所以. 因为，所以，故选项A正确； 因为，所以，故选项B正确； 记向量，的夹角为，因为， 所以，即向量，的夹角为，故选项C正确； 在方向上的投影等于，故选项D错误. 故选：D. 3．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双勾函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由双勾函数的性质可得在上递减，在上递增， 则当或时，， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．给出四个命题：（1）若向量，则向量与向量所成角为锐角；（2）函数的最小值为2；（3）“”是“”的必要不充分条件；（4）一组数据：1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相等．其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式，可判定（1）不正确；由基本不等式，可判定（2）不正确；结合三角函数和充分、必要条件，可判定（3）正确；根据平均数、众数和中位数，可判定（4）正确. 【详解】（1）中，设向量的夹角为，其中， 因为，可得，所以，所以（1）不正确； （2）中，由函数， 当且仅当时，此时无解，所以，所以（2）不正确； （3）中，由，可得或，即充分性不成立， 当时，可得成立，即必要不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，即（3）正确； （4）中，数据：1，2，3，3，4，5，可得平均数， 众数为，中位数为，所以（4）正确. 故选：B. 5．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（    ） A．14.4 B．9.6 C．24 D．48 【答案】A 【分析】由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案. 【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布， 且，故， 从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数 故， 故选：A 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性可排除CD；利用时，可排除B. 【详解】定义域为，又， 为定义域上的偶函数，图象关于y轴对称，可排除CD； 当时，，，，可排除B. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．若，则函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论． 【详解】函数， 令，求得， 可得函数的增区间为，，． 再根据，，可得增区间为，， 故选． 【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，考查余弦函数的单调性，属于基础题． 8．已知定义在上的奇函数满足，，且对任意，，都有，又函数，则函数的零点个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性与单调性，作出与的大致图象，从而数形结合即可得解. 【详解】因为满足， 所以，则的对称轴为， 又为奇函数，所以，， 则，故的周期为4， 因为对任意，，都有， 所以在上单调递增， 又，则， 所以与的大致图象如图所示， 因为， 所以结合图象可知，与的图象共有10个交点， 即的零点个数为10. 故选：C. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知随机事件，，则（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若，则，互斥 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据条件概率公式，结合独立事件和互斥事件的定义，判断AB，举反例判断CD. 【详解】A．，故A正确； B．，得到，则，独立，故B正确； C．设样本空间，事件，事件， 此时，但，不互斥，故C错误； D．设样本空间，事件，事件， 则事件，此时， 但，，，故D错误； 故选：AB． 10．如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．与平面 C．平面 D．EF与所成的角为 【答案】ABC 【分析】连接，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断可得A、B、C正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得D错误． 【详解】对A：连接，，则交于，又为中点， 可得，由平面，平面， 可得，故，又，所以，故A正确； 对B：连接，，由正方体性质可知平面， 可得平面，故B正确； 对C：由，平面，平面， 故平面，故C正确； 对D：与所成角就是，连接， 由正方体性质可知，即为等边三角形， 故，即与所成的角为，故D错误； 故选：ABC. 11．已知函数，，且，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】化简函数解析式，由条件可得在处取得最大值，根据正弦函数的性质可得，与条件可求，由同角关系求，由此判断A，B，再结合正弦函数的性质判断C，D. 【详解】，，，因为在处取得最大值，所以，，即，，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，，故A正确，B错误；所以，，解得，，又，所以，故C正确；当时，因为，所以，所以在上不单调，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集定义计算． 【详解】由已知． 故答案为： 13．二项式展开式中含的项的系数是 ，所有项的系数和是 . 【答案】 . 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，求出的值，可得的项的系数，令，可得所有项的系数和 【详解】解：二项式展开式的通项公式为， 令，求得， 可得展开式中含的项的系数为. 令，可得所有项的系数和是， 故答案为：；. 14．锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为 ． 【答案】， 【分析】由题设可得，，结合及余弦定理可得，根据锐角三角形边的关系得到，最后由对勾函数性质求范围. 【详解】由题意，， 又，则， 所以，即， 由，，， 所以,， 由为锐角三角形及上式，则，即，可得， 所以在上递减，在上递增，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在平面四边形中，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别求得，，结合，得到，求得的长，在中，利用余弦定理，即可求解. （2）过点作，在直角中，求得，得到是正三角形，在中，利用正弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：在直角中，由勾股定理得， 在直角中，由勾股定理得， 因为，所以，所以， 所以， 在中，由余弦定理得. （2）解：如图所示，过点作，垂足为， 因为，且， 在直角中，可得，则， 所以是正三角形，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得.    16．如图1，在四边形ABCD中，，现将沿着AC进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图2. (1)若与平面所成的角为，证明：; (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作于，则由平面平面，可得平面，所以为与平面所成的角，则，再结合已知的数据可证得，然后由线面垂直的判定定理可得平面，则； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以为与平面所成的角， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以，所以, 因为，所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）过作于，由（1）可知平面， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，取的中点，连接, 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，所以，得， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中） 0 1 2 3 (1)记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由； (3)记表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得； （2）先由得到；再按照均值定义得出，消去得出方程，分析函数得其最小值为正，，方程无解，即不存在值，使得； （3）由题意得，运用条件概率公式和对立事件的概率公式化简得，再两边同减构造出，整理即得. 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 （2）由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 所以不存在使得.即不存在值，使得. （3）由题知，所以，因， 故， 所以， 即， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键是，根据题意，分析得到的值，从而得解. 18．已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于P，Q两点． （i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程； （ii）是否存在直线l，使F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，． 【分析】（1）由已知易求，进而可得椭圆方程； （2）（i）设直线，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到：，，设线段PQ中点为，利用中点坐标公式可求中点的轨迹方程； （ii）由F恰为的垂心，有，可得，代入即可求得直线方程. 【详解】（1）由题意得：，，则，所以，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）（i）由题意得：，因为，所以，则， 设直线，，， 联立，可得， ，所以， 由韦达定理得：，，，    设线段PQ中点为，则，， 则PQ中点的轨迹方程为． （ii）因为F恰为的垂心，有 所以 又，得， 即， 代入韦达定理得， 解得或．经检验符合条件， 则直线l的方程为：． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值的表达式； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解； （3）由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为. 当时，. ， 所以在点处的切线斜率， 又，即点坐标为， 所以点处的切线方程为； （2）因为. 所以， 当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减， 故函数在区间上的最大值为. 当时，令， 则在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以在上有唯一的一个零点. 令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得： 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最大值为， 由，有： 当时，； 当时，， 故； （3）由（2）可知，当时，在上单调递减， 故此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，在时，单调递减，在时，单调递增； 且，所以，① 又时，，当时，， 为了满足有两个零点，则有.② 对①两边取对数可得，③ 将①③代入②可得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末押题试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、函数与导数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面解析几何 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．5 D． 2．已知向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影是 3．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．给出四个命题：（1）若向量，则向量与向量所成角为锐角；（2）函数的最小值为2；（3）“”是“”的必要不充分条件；（4）一组数据：1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相等．其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（    ） A．14.4 B．9.6 C．24 D．48 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．若，则函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的奇函数满足，，且对任意，，都有，又函数，则函数的零点个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知随机事件，，则（    ） A． B．若，则A，B独立 C．若，则，互斥 D．若，则 10．如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．与平面 C．平面 D．EF与所成的角为 11．已知函数，，且，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，则 . 13．二项式展开式中含的项的系数是 ，所有项的系数和是 . 14．锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在平面四边形中，. (1)求； (2)求. 16．如图1，在四边形ABCD中，，现将沿着AC进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图2. (1)若与平面所成的角为，证明：; (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 17．某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中） 0 1 2 3 (1)记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由； (3)记表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：. 18．已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点，右焦点F，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于P，Q两点． （i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程； （ii）是否存在直线l，使F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 19．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值的表达式； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$