精品解析：广东省佛山市禅城区佛山实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考数学卷

2024—2025学年度第二学期七年级第二阶段核心素养展示活动 （数学）学科 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子运算正确的是( ) A. B. C. D. 2. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求．我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在以内．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D，点E是边上一动点，连接．若，则线段的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 13. 是任意一个锐角，则的补角比的余角大_____． 14. 将一张上下边沿互相平行的纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为_____． 15. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 三、解答题（一）（共3小题，每题8分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式 ……………………第一步； ……………………第二步； ……………………第三步． （1）小刚的解答过程是从第______步开始出错的； （2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 18. 生活现象 如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成． 数学模型 如图2，是杆秤的示意图，，经测量发现，，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 在一个不透明的袋子里装有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．每个小球除数字外都相同． （1）小军随机从中摸出一个小球，摸到标有数字4的小球的概率是______，摸到标有数字是偶数的小球的概率是______． （2）若小军摸出小球上的数字恰好是4，且没有放回袋中．然后小颖从袋中随机摸出一个小球，求小球上的数字大于4的概率是多少？ 20. 如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴． 21. 如图，工人师傅要检查模型中的∠A和∠B是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺，请你设计一个方案来说明∠A和∠B是否相等． 五、解答题（三）（共2小题，每题12分，共24分） 22. 综合与探究． 数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图1，中，，．点D是边上一点，连接，以为直角边作，其中，． [知识初探] 兴趣小组提出的问题是：“线段和有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案_________． [类比再探] 睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，交于点F，其它条件不变，线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由． [特例探究] 启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若平分，其它条件不变，结果他们发现线段与也存在着特殊的数量关系和位置关系．请你直接写出启航小组所发现的正确结果是__________． [归纳总结] 此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是________．（填正确选项代码） A.数形结合 B.从一般到特殊 C.归纳 23. 【问题提出】 如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系． 【问题思考】 我们先将问题特殊化， （1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________． 【问题解决】 我们再将问题一般化， （2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立． （3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期七年级第二阶段核心素养展示活动 （数学）学科 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则及多项式乘法运算公式对每一选项进行计算，即可得到解答 ． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则或公式是解题关键． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）依次进行判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意； B、是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意； C、不是轴对称图形，选项说法错误，符合题意； D、是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 3. 航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求．我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在以内．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义进行计算即可得． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法． 4. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】， 平分 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题关键． 5. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意； B 、，能做成三角形框架，选项说法正确，符合题意； C 、，不能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意； D 、，能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系． 6. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用全等三角形的判定定理，逐一判定即可． 【详解】∵ ∴， ∵， ∴添加，不能得出，故A选项符合题意； 添加，则，可根据得出，故B选项不符合题意； 添加，可根据得出，故C选项不符合题意； 添加，可根据得出，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键． 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 8. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 9. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D，点E是边上一动点，连接．若，则线段的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图得平分，过D点作于E，如图，根据角平分线的性质得到则，利用垂线短最短即可得到答案． 【详解】由作法得平分， 过D点作于E，如图，则， 由垂线段的性质“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”得到的最小值就为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图：作角平分线，角平分线的性质，垂线短最短等知识点，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，用多项式的每一项除以单项式． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.25＝5（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是5个， 故答案是：5． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数． 13. 是任意一个锐角，则的补角比的余角大_____． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题概念．先表示出的补角和余角，再作差求解即可． 【详解】解：是任意一个锐角， 的补角为，的余角为， ， 的补角比的余角大， 故答案为：． 14. 将一张上下边沿互相平行的纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题运用了平行线性质，但须考虑到纸带折叠后相等的角，掌握折叠的性质是解题的关键．先找出与的关系，再根据平行线性质求出，进而利用三角形的内角和定理和对顶相等即可得解． 【详解】解：根据题意，； ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 15. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，， ， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 三、解答题（一）（共3小题，每题8分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂以及底数幂乘法和积的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算、乘方，再计算加减法即可； （2）逆用同底数幂乘法和积的乘方计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式 ……………………第一步； ……………………第二步； ……………………第三步． （1）小刚的解答过程是从第______步开始出错的； （2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 【答案】（1）二 （2）解： ， 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，乘法公式，单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，即可作答； （2）先根据完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式展开，再去括号、合并同类项，最后代入计算求值即可． 【小问1详解】 解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二 【小问2详解】 略 18. 生活现象 如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成． 数学模型 如图2，是杆秤的示意图，，经测量发现，，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由． 【答案】 ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求得，即,再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补；内错角相等、两直线平行是解答本题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 在一个不透明的袋子里装有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．每个小球除数字外都相同． （1）小军随机从中摸出一个小球，摸到标有数字4的小球的概率是______，摸到标有数字是偶数的小球的概率是______． （2）若小军摸出小球上的数字恰好是4，且没有放回袋中．然后小颖从袋中随机摸出一个小球，求小球上的数字大于4的概率是多少？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）直接由概率公式求解即可； （2）在剩下的5个数中，大于4的数有2个，由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小军随机从标有数字1，2，3，4，5，6的小球中摸出一个小球，摸到标有数字4的小球的概率是，摸到标有数字是偶数的小球的概率是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：小颖从从标有数字1，2，3， 5，6的小球中袋中，随机摸出一个小球，摸到小球上的数字大于4的概率是． 20. 如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴． 【答案】 解：如图，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，属于基础题型．首先画出对称轴，然后根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】略 21. 如图，工人师傅要检查模型中的∠A和∠B是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺，请你设计一个方案来说明∠A和∠B是否相等． 【答案】 ①分别在AC和BD上取AE=BG； ②在AB上取AW=BF； ③量出WE的长a米，FG的长b米． 如果a=b，则说明∠B和∠A是相等的． 【解析】 【分析】运用两个三角形全等时对应的角相等，即可得出答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等，了解SSS的判定定理是解决本题的关键. 五、解答题（三）（共2小题，每题12分，共24分） 22. 综合与探究． 数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图1，中，，．点D是边上一点，连接，以为直角边作，其中，． [知识初探] 兴趣小组提出的问题是：“线段和有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案_________． [类比再探] 睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，交于点F，其它条件不变，线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由． [特例探究] 启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若平分，其它条件不变，结果他们发现线段与也存在着特殊的数量关系和位置关系．请你直接写出启航小组所发现的正确结果是__________． [归纳总结] 此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是________．（填正确选项代码） A.数形结合 B.从一般到特殊 C.归纳 【答案】[知识初探]，； [类比再探]，；理由如下： ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴ ∴在中，， ∴； [特例探究]，；[归纳总结]B 【解析】 【分析】[知识初探]： ，得出，，证明，得出即可得出答案； [类比再探]：证明，得出，，证明，得出即可； [特例探究]：根据[类比再探]得出，，从而得出，证明，得出，证明，得出，从而得出，即可证明； [归纳总结]：此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊， 【详解】解：[知识初探]：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． [类比再探]：略 [特例探究]：根据[类比再探]可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． [归纳总结]：此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 23. 【问题提出】 如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系． 【问题思考】 我们先将问题特殊化， （1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________． 【问题解决】 我们再将问题一般化， （2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立． （3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），， （2）证明：∵在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，当在上， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 同（2）可知， 则， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积等于长×宽列式计算，得，结合三角形的面积等于高×底，即可作答． （2）证明，则，，结论得证； （3）同（2）可知，则，根据，作答即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质．列代数式，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：（1）∵长方形的面积等于长×宽列式计算， 得， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $