精品解析：2025年河北省唐山市路南区中考二模数学试题

2024-2025学年度九年级学业水平数学试卷抽样评估（二） 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若向东走5米，记为米，那么米表示（ ） A. 向东走3米 B. 向西走3米 C. 向南走3米 D. 向北走3米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．正负数来表示具有意义相反的两种量：向东记为正，则向西就记为负，由此得出结论． 【详解】解：向东走5米记作米，那么米表示向西走3米． 故选：B． 2. 如图，的同位角是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角，根据同位角的定义“两条直线被第三条所截，在截线的同旁，在被截线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角”选择的同位角即可，熟练掌握同位角的定义判断是解题的关键． 【详解】解：根据同位角的定义可得的同位角是， 故选：C． 3. 下列四个叙述，哪一个是正确的（ ） A. 3x表示3+x B. x2表示x+x C. 3x2表示3x•3x D. 3x+5表示x+x+x+5 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式表达的意义判断各项． 【详解】A、3x=3•x， B、x2=x•x， C、3x2=3x•x， D、3x+5=x+x+x+5． 故选D． 【点睛】此题主要考查代数式表达的意义，注意把运算顺序表述清楚，要明白幂与乘法的区别． 4. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，找到从物体的左面看得到的图形是关键．找到从左面看得到的图形，再比较即可． 【详解】解：A、从左面看得到的图形为， B、从左面看得到的图形为， C、从左面看得到的图形为， D、从左面看得到的图形为， 可以看出只有选项B从左面看得到的图形与其他选项从左面看得到的图形不同， 故选：B． 5. 已知算式“■”的运算结果为，“■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的加法运算、有理数的减法运算、有理数的乘法运算、有理数的除法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，有理数的除法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 6. 据中国新闻网消息，2023年我国基站总数突破290万个，位居世界第一．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万 故选：B． 7. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数，以及他选择从口进入从口离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种． 他选择从口进入，从口离开的概率为， 故选：A． 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）“设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 走路快的人要走200步才能追上 D. 从走路快的人出发时开始算，当走路慢的人再走600步后，两人相隔400步 【答案】B 【解析】 【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走， 依题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 以下文字是嘉淇设计的一个尺规作图的过程： ①在直线上取一点，外取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点； ③作直线，则直线即为所求． 通过作图，可以得出的结论为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段，相似三角形的性质与判定，根据作图可得，进而证明得出即可判断C成立，判断其他选项条件不足，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴ 又∵ ∴ ∴，即，故C正确， A. ∵不一定成立，故不一定成立，故A错误， B. 没有条件能说明，故B错误， D.∵不一定成立，故不一定成立，故D错误， 故选：C． 10. 二次方程的两根为和，则一次函数不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次方程的两根为和， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第三象限， 故选：． 11. 如图，直线l与正方形的边，分别相交于点M，N，如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质和三角形内角和定理，根据正方形的性质得出，根据 三角形内角和得出，结合平角的定义即可求解． 【详解】解：根据正方形可得， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 12. 如图，在平行四边形中，是锐角，于点为的中点，连接，若，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，延长交的延长线于，连接，设．首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接，设， 四边形是平行四边形， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 14. 如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则_______°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出底角，再根据，求出，最后利用外角的性质即可得解．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵以点B为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：30． 15. 如图，数轴上点A对应的数为，线段AB垂直于数轴，线段的长为2．若要使线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的______倍． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，实数与数轴，关键是运用了旋转的性质解决问题． 根据点A到原点的距离是1，旋转后，，点与原点重合，即可求解． 【详解】解：点A对应的数为，点A到原点的距离是1， 旋转后，， ∵点与原点重合， ∴数轴的单位长度扩大2倍即可． 故答案为：2． 16. 如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接，．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，进一步求出点B的坐标即可得到所在的函数表达式即可． 【详解】解：过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： 则， ∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴，，，， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在轴正半轴，则，点B在x轴的上方，， ∴此时点B的坐标为：， ∵， ∴此时点B在直线上； 综上分析可知，无论取何值时，点始终在直线上． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是一个数学游戏活动，、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化（提示：①每次游戏都涉及、、三种运算；②运算过程中自动添加必要的括号）． （1）数经过、、的顺序运算后，结果是多少？ （2）数经过，，的顺序运算后，结果是负数，的最小整数是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的运算，不等式的计算，掌握其运算法则，不等式的性质是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的混合运算，结合负数列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，； 【小问2详解】 由题意可得， ， a的最小整数是3． 18. 下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 15.3分式方程 一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿江顺流航行110km|所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，江水的流速为多少？ 甲： 乙： 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学所列方程中的表示___________；乙同学所列方程中的表示___________； （2）两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题． 【答案】（1）江水的流速，轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据“最大航速沿江顺流航行110km|所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等”，建立方程，故未知数为：江水的流速 （2）对分式方程进行求解，检验即可． 【小问1详解】 根据“所用时间相等”，建立的方程，故等式的左边和右边均表示所用的时间，则和分别表示“最大航速”和“最小航速”，故未知数为：江水的流速； 根据“顺流的速度逆流的速度静水的速度”，建立的方程，故和分别表示“顺流航行的速度”和“逆流航行的速度”，故未知数为：轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间）； 故答案为：江水的流速；轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间）． 【小问2详解】 选甲： 两边都乘以 得 解得 经检验是原方程的根 答：江水流速为5km/h． 选乙： 两边都乘以得解得 经检验是原方程的根 答：江水流速为5km/h． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，然后列出方程． 19. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形统计图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵． 【答案】（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵． 【解析】 【分析】（1）条形统计图中D的人数错误，利用总人数乘对应的百分比求解即可，应为20×10%； （2）根据中位数、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案； （3）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的； ②根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以260即可得到结果． 【详解】解：（1）类型错误，理由如下： （名），而条形统计图中，类型人数是3名，故类型错误； （2）众数为5棵，中位数为5棵． （3）①第二步． ②（棵）． （棵）． 故估计这260名学生共植树1378棵． 故答案为（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，弄清题意是解题的关键． 20. 如图1和图2，为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为，，，，，，，．已知两个圆的半径分别为，． （1）如图1，若大圆中的弦与小圆相切于点，求的长； （2）通过计算比较弧的长和小圆的周长的大小； （3）如图2，连接，，通过说理判断和的位置关系，并求点到的距离． 【答案】（1） （2）弧的长大于小圆的周长 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧长公式，解直角三角形； （1）连接，，则，得出，在中，，，勾股定理即可求解； （2）连接，由题意得，分别求得弧的长和小圆的周长，比较大小，即可求解； （3）连接，，得出，，过点作于点，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接，，则， ， 在中，，， ， ； 【小问2详解】 如图1，连接，由题意得， 弧的长为小圆的周长为 ， 弧的长大于小圆的周长； 【小问3详解】 如图2，连接， 由题意得，，， ， ， 过点作于点，则. ， 点到的距离为 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 【答案】（1）， （2）8 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、勾股定理求两点坐标距离，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）把代入中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标为，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）根据一次函数解析式可得过定点，根据x轴上的点E， ，则，进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中，解得， ∴， 将，代入中， 得 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 令，解得， ∴点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 ∴当时，， ∴该定点为， ∵ ∴ 当时，该定点与点E的距离为： 当时，该定点与点E的距离为： 综上所述，该定点与点E的距离为或 22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 【答案】（1） （2）不会，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：延长交于点， ， ，， ， 在中，，， ， ，， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头的端点到桌面的距离约为； 【小问2详解】 解：投影探头不会与桌面发生碰撞， 理由：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， 在中，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离． 投影探头不会与桌面发生碰撞． 23. 综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 （1）当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． （2）问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建以上 （2）当时，防守方无须加高城墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； ②令，求出值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高； （2）设抛物线的解析式为，，则，得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当时，，即可求解． 【小问1详解】 ①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， ，， ， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ，， ， 令，则， ， 进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ， 城墙应加建以上； 【小问2详解】 设抛物线的解析式为，，则， 将代入抛物线解析式得：， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， 当时，防守方无须加高城墙． 24. 如图，在中，，，，M为中点．过点A作于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以为斜边向左上方作等腰直角，连接． （1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：； （2）在点E的运动过程中，若，求线段CE的长； （3）在点E的运动过程中． ①直接写出点F运动的路径长． ②若，直接写出线段AE的长． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）①8；②或 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一性质得，再证明，可得结论； （2）过点E作过点E作于点N，设长为x，可得，求出长，再根据勾股定理，求出x，即可解答． （3）①确定点F的运动轨迹，即可解答； ②AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，先计算PF的长；分两种情况：①如图2，当点F落在线段AD左侧时，②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，证明，列比例式可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 过点E作于点N， 设长为x， ∴，，， 即为等腰直角三角形， ∴，即 在是等腰直角三角形中，，， ∴， 即， ∴， ∴， 即 解得， ∴或． 【小问3详解】 ①当点E在A点时，点F是的中点；当点E在C点时，点F与点M重合； 如图，即点F的运动轨迹为． ②连接，设直线与相交于点P， 在中，M为中点，， 有， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵△DFE是等腰直角三角形， ∴＝， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴且， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 当点F落在线段左侧时，如图2 ∵， ∴， ∴； ∴． 当点F落在线段AD的右侧时，如图3 ∴， 同理得， ∴， ∴． 综上，的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级学业水平数学试卷抽样评估（二） 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若向东走5米，记为米，那么米表示（ ） A. 向东走3米 B. 向西走3米 C. 向南走3米 D. 向北走3米 2. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个叙述，哪一个是正确的（ ） A. 3x表示3+x B. x2表示x+x C 3x2表示3x•3x D. 3x+5表示x+x+x+5 4. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知算式“■”的运算结果为，“■”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（ ）． A. B. C. D. 6. 据中国新闻网消息，2023年我国基站总数突破290万个，位居世界第一．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）“设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 走路快的人要走200步才能追上 D. 从走路快的人出发时开始算，当走路慢的人再走600步后，两人相隔400步 9. 以下文字是嘉淇设计的一个尺规作图的过程： ①在直线上取一点，外取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ③作直线，则直线即为所求． 通过作图，可以得出的结论为（ ） A. B. C. D. 10. 二次方程的两根为和，则一次函数不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 11. 如图，直线l与正方形的边，分别相交于点M，N，如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形中，是锐角，于点为的中点，连接，若，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13 计算：__________． 14. 如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则_______°． 15. 如图，数轴上点A对应的数为，线段AB垂直于数轴，线段的长为2．若要使线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的______倍． 16. 如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接，．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图是一个数学游戏活动，、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化（提示：①每次游戏都涉及、、三种运算；②运算过程中自动添加必要的括号）． （1）数经过、、的顺序运算后，结果是多少？ （2）数经过，，的顺序运算后，结果是负数，的最小整数是多少？ 18. 下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 15.3分式方程 一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿江顺流航行110km|所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，江水的流速为多少？ 甲： 乙： 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学所列方程中的表示___________；乙同学所列方程中的表示___________； （2）两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题． 19. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形统计图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①小宇分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵． 20. 如图1和图2，为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为，，，，，，，．已知两个圆的半径分别为，． （1）如图1，若大圆中的弦与小圆相切于点，求的长； （2）通过计算比较弧的长和小圆的周长的大小； （3）如图2，连接，，通过说理判断和的位置关系，并求点到的距离． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 23 综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 （1）当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． （2）问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 24. 如图，在中，，，，M为中点．过点A作于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以为斜边向左上方作等腰直角，连接． （1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：； （2）在点E的运动过程中，若，求线段CE的长； （3）在点E的运动过程中． ①直接写出点F运动的路径长． ②若，直接写出线段AE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$