7.1&7.2&7.3&7.4&7.5&7.6&7.7 概念与抽象、命题、实验、归纳、类比、演绎、证明（七大题型提分练）（题型专练）数学新教材北京版七年级下册

7.1&7.2&7.3&7.4&7.5&7.6&7.7 概念与抽象、命题、实验、归纳、类比、演绎、证明 题型一 概念与抽象 1．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 2．手电筒发射出来的光线，给我们以（   ）的形象． A．线段 B．射线 C．直线 D．折线 3．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A． B． C．   D．   5．下列图形中是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列代数式中，不是单项式的是（    ） A． B． C．0 D． 7．某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．正数与负数统称为有理数 B．单项式和多项式统称整式 C．经过两点能确定无数条直线 D．等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍是等式 9．下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 10．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 题型二 命题 1．下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 2．“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴”这个句子是（　　） A．定义 B．命题 C．基本事实 D．定理 3．下列命题是真命题的是（   ） A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．有一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线，中线，角平分线互相重合 D．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 4．下列命题中，假命题是（  ） A．的绝对值是2 B．对顶角相等 C．如果直线，，那么直线 D．1.01001000100001…是有理数 5．要证明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．对于命题：“如果，那么．”下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题而其逆命题是假命题 C．该命题及其逆命题都是假命题 D．该命题是假命题而其逆命题是真命题 7．一个命题是由 两部分组成． 8．命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．请写出这个命题的题设是 ． 9．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 10．下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 题型三 实验 1．观察下面的变化规律，解答下列问题： =1-，=-，=-，=-． (1)若n为正整数，猜想=　　； (2)根据上面规律解方程： =． 2．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 题型四 归纳 1．如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 2．如图： (1)图中有几条直线？ (2)图中有几条射线？能用图中字母表示的射线有几条？写出可以用字母表示的射线； (3)图中有几条线段？有哪些线段可用图中字母表示？ (4)如果一条直线上标注了n个点，那么有几条射线？ 3．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 4．观察下面图形，解答下列问题．    (1)在图④中，画出缺少的一条对角线． (2)观察规律，把下表填写完整． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 _______ _______ … _______ (3)若n边形的内角和为，求n的值，并写出对角线的条数． 5．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 题型五 类比 1．【观察】 ，，，…，，，，，，…，，，． 【发现】 根据以上材料，回答下列问题： （1）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是______； 【类比】 观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，． （2）猜想的最大值为______，并用你学过的知识加以证明． 2．先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答． 思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果： 解答： 解： 解决问题： 请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答． 3．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如， 等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”， 一般地把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ， ． （3）算一算：． 4．下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 5．数学思想·类比思想十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你根据如图几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 ___________ 正八面体 __________ 8 12 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是___________． 题型六 演绎 1．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为 ． 2．（推理能力）用等号或不等号填空． (1)比较与的大小： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； ④当时，_______． (2)当取任意实数时，_______； (3)当，取任意实数时，_______． 3．例：求 的值． 可令， 则， 因此， 由此得出的值为． 请仿照以上推理： (1)计算出的值． (2)计算出（其中m为正整数）的值． 4．【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 题型七 证明 1．在下面的括号内填上推理的依据． 如图，和相交于点，．    证明：（已知）， ， ； ∴ ． 2．完成下列证明． 已知：如图，，，求证： 证明：∵（已知）， ∴___________（　　） ∵（已知）， ∴___________（　　）， ∴（　　） 3．证明题 (1)已知直线a，b，c，d，e，且，．请证明a与c平行． (2)已知直线与相交于点D，且．请证明：直线与平行．（本题可用多种方法，选择一种即可） 4．已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 5．规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 1．在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 2．如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．综合与实践． 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． （1）若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； 【拓展应用】 （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时平分，他们发现，请你进行证明． 4．如图： (1)试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画 条直线；图②中最多可以画 条直线；图③中最多可以画 条直线． (2)探索归纳：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直线．（用含n的式子表示） ． (3)解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 5．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 6．【探究发现】 （1）如图1，中，，，点M为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是__________． 【类比应用】 （2）如图2，中，，，点M为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点M为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，，请直接写出的长． 7．阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务． 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)Ⅰ．直接写出研究报告中“△”处短缺的内容______． Ⅱ．给出下列式子：①，②，③，④，其中是对称式的是______（填序号即可）； (2)Ⅰ．写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； Ⅱ．写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 8．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且 求证：． 证明：平分， （① ）． 平分（已知）， ② （角的平分线的定义）． （③ ） 即． （已知）， ④ （⑤______） （⑥_______）． 9．如图，点O为直线上一点，，在的内部作射线、射线，且满足． (1)如图1，证明：； (2)如图2，作平分，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，在内部作，射线平分，若，试求的度数． 10．定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1&7.2&7.3&7.4&7.5&7.6&7.7 概念与抽象、命题、实验、归纳、类比、演绎、证明 题型一 概念与抽象 1．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 【答案】C 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．手电筒发射出来的光线，给我们以（   ）的形象． A．线段 B．射线 C．直线 D．折线 【答案】B 【详解】解：手电筒发射出来的光线，手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故手电筒发射出来的光线，给我们以射线的形象． 故选：B． 3．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 4．如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A． B． C．   D．   【答案】A 【详解】解；A、图中时针与分针所成角的度数在0到90度之间，是锐角，符合题意； B、图中时针与分针所成角的度数是0度，不是锐角，不符合题意； C、图中时针与分针所成角的度数大于90度，不是锐角，不符合题意； D、图中时针与分针所成角的度数等于90度，不是锐角，不符合题意； 故选A． 5．下列图形中是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：三角形的边与角都在平面内，是平面图形，故A符合题意； 正方体，球，六棱柱都是立体图形，故B，C，D不符合题意； 故选A． 6．下列代数式中，不是单项式的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：解：A．是单项式； B．，是单项式； C．0，是单项式； D．，是多项式． 故选：D． 7．某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含． 故选：D ． 8．下列说法正确的是（   ） A．正数与负数统称为有理数 B．单项式和多项式统称整式 C．经过两点能确定无数条直线 D．等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍是等式 【答案】B 【详解】解：A、正有理数与负有理数和0，统称为有理数，原说法错误，不符合题意； B、单项式和多项式统称整式，原说法正确，符合题意； C、经过两点能确定一条直线，原说法错误，不符合题意； D、等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式，原说法错误，不符合题意； 故选B． 9．下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、有不相同的字母，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 10．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故填：相交；垂直． 题型二 命题 1．下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意； 故选：D． 2．“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴”这个句子是（　　） A．定义 B．命题 C．基本事实 D．定理 【答案】A 【详解】解：“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴”这个句子是定义. 故选：A. 3．下列命题是真命题的是（   ） A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．有一个角等于的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线，中线，角平分线互相重合 D．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 【答案】A 【详解】解：A、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，所以A是真命题，符合题意． B、有一个角是的三角形不一定是等边三角形，所以B不是真命题，不符合题意． C、等腰三角形底边上的高线，中线，顶角平分线互相重合，所以C不是真命题，不符合题意． D、在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或，所以D不是真命题，不符合题意． 故选：A． 4．下列命题中，假命题是（  ） A．的绝对值是2 B．对顶角相等 C．如果直线，，那么直线 D．1.01001000100001…是有理数 【答案】D 【详解】解：A、的绝对值是2，原命题正确，不符合题意； B、对顶角相等，原命题正确，不符合题意； C、如果直线，，那么直线，原命题正确，不符合题意； D、1.01001000100001…是无理数，原命题错误，符合题意； 故选：D． 5．要证明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、，，满足，但，能作为反例正确，不符合题意； B、，，满足，但，能作为反例正确，不符合题意； C、，，满足，但，能作为反例正确，不符合题意； D、，，满足，，不能作为反例，错误，符合题意； 故选D． 6．对于命题：“如果，那么．”下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题而其逆命题是假命题 C．该命题及其逆命题都是假命题 D．该命题是假命题而其逆命题是真命题 【答案】B 【详解】解：“如果，那么是真命题，其逆命题为： “如果，那么，是一个假命题，如，就不成立． A、故此选项错误； B、故此选项正确； C、故此选项错误； D、此选项错误； 故选：B． 7．一个命题是由 两部分组成． 【答案】题设（或条件）和结论 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 8．命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．请写出这个命题的题设是 ． 【答案】两条平行线被第三条直线所截 【详解】解：两条直线平行被第三条直线所截，内错角相等的题设是：两条平行直线被第三条直线所截，结论是：内错角相等， 故答案为：两条平行直线被第三条直线所截． 9．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为 【详解】解：如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为， 故答案为：如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为． 10．下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 【答案】(1)不是，是作图语言，没有判断 (2)不是，是问句 (3)是，能作出判断 (4)不是，是问句 【详解】（1）解：“连接A，B两点”是作图语言，没有判断，不是命题； （2）解：“这本书是你的吗？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； （3）解：“邻补角不相等”是陈述语句，进行了判断，符合命题概念，是命题； （4）解：“小亮今天是不是生病了？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； 题型三 实验 1．观察下面的变化规律，解答下列问题： =1-，=-，=-，=-． (1)若n为正整数，猜想=　　； (2)根据上面规律解方程： =． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意得：； 故答案为：； （2）方程变形得：， 整理得：，即， 去分母得：-x=x+3， 解得：x=， 检验：把x=代入得：， ∴分式方程的解为x=． 2．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【答案】(1)2；3或5 (2)9 (3) (4)65；130对 【详解】（1）解：当时，如图： 故答案：． 当时，如图 故答案：3或5． （2）解：当时，如图 故答案：． （3）解：由（1）（2）得： 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； ．．．．．． 条直线时，交点个数最多：    故答案：． （4）解：当时，， ． 答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角． 题型四 归纳 1．如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （2）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， ， 当线段上有个点时，线段总数共有：条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （3）解：当时， 线段总数共有条， 答：当时，线段总数共有条． 2．如图： (1)图中有几条直线？ (2)图中有几条射线？能用图中字母表示的射线有几条？写出可以用字母表示的射线； (3)图中有几条线段？有哪些线段可用图中字母表示？ (4)如果一条直线上标注了n个点，那么有几条射线？ 【答案】(1)有1条直线 (2)有8条射线，能用字母表示的射线有6条，分别是射线，射线，射线，射线，射线，射线 (3)有6条线段，分别是线段，线段，线段，线段，线段，线段 (4)一条直线上标注了n个点时，有条射线 【详解】（1）解：图中有1条直线； （2）解：以，，，为端点的射线共有8条， 能用字母表示的射线有6条，分别是射线，射线，射线，射线，射线，射线； （3）解：图中有6条线段，分别是线段，线段，线段，线段，线段，线段． （4）解：如果一条直线上标注了n个点，以每个点为端点的射线有2条， ∴有条射线． 3．在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 【答案】(1)8 (2)10 【详解】（1）解：根据已知表格中数据变化规律得出：当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为8条； 故答案为：8； （2）根据已知表格中数据变化规律得出：若一条直线上共有20条射线时，则该直线上点的个数为10个． 4．观察下面图形，解答下列问题．    (1)在图④中，画出缺少的一条对角线． (2)观察规律，把下表填写完整． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 _______ _______ … _______ (3)若n边形的内角和为，求n的值，并写出对角线的条数． 【答案】(1)见解析 (2)9，14， (3)10，35 【详解】（1）解：画出图形如图所示：   ； （2）解：填写表格如下： 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 9 14 … （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， ∴对角线条数为条． 5．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 题型五 类比 1．【观察】 ，，，…，，，，，，…，，，． 【发现】 根据以上材料，回答下列问题： （1）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是______； 【类比】 观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，． （2）猜想的最大值为______，并用你学过的知识加以证明． 【答案】（1）；（2）1600，证明见解析． 【详解】解：（1）由题意可得：； 故答案为：； （2）1600 证明如下： 由题意，得． 将代入， 得， ∴当时，的最大值为1600． 故答案为：1600． 2．先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答． 思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果： 解答： 解： 解决问题： 请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答． 【答案】 【详解】①观察、判断运算类型：有理数的加法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定和的符号：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，因为， ，所以确定和的符号为“”； ④确定和的绝对值：根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，所以 ； ⑤得出结果：， 解：． 3．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如， 等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”， 一般地把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ， ． （3）算一算：． 【答案】（1） ； （2）， （3） 【详解】解（1）：； ， 故答案为： ；； （2） ； ； 故答案为：，； （3） ． 4．下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 【答案】（1）一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2））①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3），； 【详解】解：（1）类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根． （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）；（2）； 5．数学思想·类比思想十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你根据如图几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 ___________ 正八面体 __________ 8 12 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是___________． 【答案】(1)12，6 (2) (3)18 【详解】（1）解：依题意，结合题干的图形，作答如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 故答案为：12，6； （2）解：观察模型中的四面体，长方体，正八面体的顶点数（V），面数（F），棱数（E）， 则有，，， ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （3）解：∵一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：18． 题型六 演绎 1．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为 ． 【答案】/ 【详解】解：因为，即 所以的整数部分为3，小数部分为． 故答案为：． 2．（推理能力）用等号或不等号填空． (1)比较与的大小： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； ④当时，_______． (2)当取任意实数时，_______； (3)当，取任意实数时，_______． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)； (3)． 【详解】（1）解：当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即． 故答案为：；；；． （2）解：由（1）可推测：当取任意实数时， ， ． 故答案为：． （3）解：当，取任意实数时， ， ． 故答案为：． 3．例：求 的值． 可令， 则， 因此， 由此得出的值为． 请仿照以上推理： (1)计算出的值． (2)计算出（其中m为正整数）的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除． 题型七 证明 1．在下面的括号内填上推理的依据． 如图，和相交于点，．    证明：（已知）， ， ； ∴ ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）； ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等. 2．完成下列证明． 已知：如图，，，求证： 证明：∵（已知）， ∴___________（　　） ∵（已知）， ∴___________（　　）， ∴（　　） 【答案】C；两直线平行，同位角相等；A；等量代换；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知）， ∴（　等量代换　）， ∴（　内错角相等，两直线平行　） 3．证明题 (1)已知直线a，b，c，d，e，且，．请证明a与c平行． (2)已知直线与相交于点D，且．请证明：直线与平行．（本题可用多种方法，选择一种即可） 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； 4．已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ，， ． 5．规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【答案】(1)3，2，3； (2)0； (3)见解析． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 1．在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵长方形纸片 ∴， ∴， 由折叠的性质得出， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 3．综合与实践． 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． （1）若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； 【拓展应用】 （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时平分，他们发现，请你进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵， ， ∵， ； （2）过点作．如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点作，如图所示： 平分， ， 又 ， ， ， ， 又， ， ． 4．如图： (1)试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画 条直线；图②中最多可以画 条直线；图③中最多可以画 条直线． (2)探索归纳：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直线．（用含n的式子表示） ． (3)解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 【答案】(1)3，6，10 (2) (3)1431 【详解】（1）解：根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画3条直线；图②中最多可以画6条直线；图③中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）解：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）解：某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 故答案为：1431. 5．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 6．【探究发现】 （1）如图1，中，，，点M为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是__________． 【类比应用】 （2）如图2，中，，，点M为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点M为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，，请直接写出的长． 【答案】【探究发现】；【类比应用】；【拓展延伸】或 【详解】解：【探究发现】∵，，点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【类比应用】取的中点，连接，如图所示： ∵，，点M为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【拓展延伸】当点在线段上时，此时点在射线上， 取的中点，连接，如图所示： 由【类比应用】可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在射线上时，此时点在射线上， 取的中点，连接，如图所示： 由【类比应用】可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长为或 7．阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务． 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)Ⅰ．直接写出研究报告中“△”处短缺的内容______． Ⅱ．给出下列式子：①，②，③，④，其中是对称式的是______（填序号即可）； (2)Ⅰ．写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； Ⅱ．写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)不是，①③； (2)， (3)，不是 【详解】（1）解：Ⅰ．根据对称式的定义：因为，所以不是对称式． 根据对称式的定义：①，故①是对称式；②，故②不是对称式；③，故③是对称式．④，故④不是对称式； 故答案为：不是；①③； （2）解：Ⅰ．根据题意可写出对称式为：； Ⅱ．根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式为： （系数相同加上常数即可，答案不唯一）， （3）解： ； 根据对称式的定义，，结果不是对称式． 8．请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分，平分，且 求证：． 证明：平分， （① ）． 平分（已知）， ② （角的平分线的定义）． （③ ） 即． （已知）， ④ （⑤______） （⑥_______）． 【答案】①角平分线的定义；②；③等式性质；④；⑤等量代换；⑥同旁内角互补，两直线平行 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， （角的平分线的定义）． （等式性质）． 即． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 9．如图，点O为直线上一点，，在的内部作射线、射线，且满足． (1)如图1，证明：； (2)如图2，作平分，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，在内部作，射线平分，若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵点O为直线上一点， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：， 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵平分．   ∴． ∴． 由（1）知， ∴．即． （3）解：如图， 由（2）可得， ． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴. 10．定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)不会发生变化，线段的长度为5． 【详解】（1）解：当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 填表如下： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 5 … （2）解：根据题意得，在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是． 证明：设点在点的右侧， ∴，， ∴在a和b的中间． （3）解：设点P表示的数为m ∵在数轴上点、表示的数分别是6、，为的中点，为的中点 ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长度为5． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$