期末必刷题02 热考题与压轴题（30题型83题）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

期末必刷题02 热考题与压轴题（30题型83题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程组的特殊解法 题型二 方程组相同解问题 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型五 解三元一次方程组及其应用 题型六 求直线围成的图形面积 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题 题型八 根据平行线的性质探究角的关系 题型九 平行线的性质在生活中的应用 题型十 根据平行线的性质与判定求解 题型十一 与平行线有关的折叠问题 题型十二 平行线与三角板综合 题型十三 与三角形有关的折叠问题 题型十四 与平行线、角平分线有关的三角形内角、外角问题 题型十五 三角形内角和与外角和综合 题型十六 与三角形角度有关的热考模型 题型十七 利用全等三角形性质与判定求解 题型十八 倍长中线模型 题型十九 一线三等角模型 题型二十 截长补短模型 题型二十一 手拉手模型 题型二十二 利用等腰三角形性质与判定求解 题型二十三 利用等边三角形性质与判定求解 题型二十四 维维尼亚模型 题型二十五 利用角平分线与垂直平分线性质求解 题型二十六 解一元一次不等式组 题型二十七 解|x|≥a型不等式 题型二十八 由不等式组的解集求参数 题型二十九 根据两直线交点求不等式 题型三十 不等式组与实际问题 题型一 二元一次方程组的特殊解法 1．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 2．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 题型二 方程组相同解问题 3．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 4．若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 5．甲、乙两人共同解关于的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方②中的系数，解得，求的值． 6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 题型四 已知二元一次方程组解的情况求参数 7．是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 9．若关于x，y的二元一次方程组有整数解，则整数a的值是多少? 题型五 解三元一次方程组及其应用 10．解下列方程组： (1) (2) (3) 11．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 题型六 求直线围成的图形面积 12．如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． (1)直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 (2)求直线的解析表达式； (3)若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 13．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题 15．定义一种新运算“”，规定：，其中a，b为常数，已知，，求的值． 16．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 17．对于实数a，b定义运算#：例如，因为．若x，y满足方程组，求的值． 题型八 二元一次方程组与实际问题 18．如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 19．已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表： A型车（辆） B型车（辆） 共运货（吨） 3 2 17 2 3 18 某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，共有几种租车方案；请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 20．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 21．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 22．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 23．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 24．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 25．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 题型九 根据平行线的性质探究角的关系 26．已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 27．已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 28．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型十 平行线的性质在生活中的应用 29．已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 30．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 题型十一 根据平行线的性质与判定求解 31．问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移： （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动． ①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？ ②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系． 32．方法感知： （1）如图1，已知，求的度数．（要求有解答或者说理过程） 方法运用： （2）如图2，这是北斗七星的位置简图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，，探究满足的数量关系为__________________． 应用拓展： （3）如图3，在（2）的条件下，延长到点M，从延长到点N，过点B和点E分别作射线和，两线相交于点P，使得BD平分，EN平分，若，直接写出的度数为__________________． 题型十二 与平行线有关的折叠问题 33．数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 34．【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 题型十三 平行线与三角板综合 35．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 36．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 题型十四 与三角形有关的折叠问题 37．现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 38．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 题型十五 与平行线、角平分线有关的三角形内角、外角问题 39．如图，已知线段相交于点O，平分交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 40．如图，在中，于点D，平分，过点A作直线，的外角的度数是，．求的度数． 题型十六 三角形内角和与外角和综合 41．如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 42．一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 43．（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示） ②求的度数． 题型十七 与三角形角度有关的热考模型 44．已知，D为所在平面上一点，平分，平分． (1)若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明． (2)若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (3)若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (4)若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 45．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 46．【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 题型十八 利用全等三角形性质与判定求解 47．已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 48．如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 49．在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 题型十九 倍长中线模型 50．【阅读理解】如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点，使，连接． 根据可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． 【问题解决】 (1)上述问题中，的取值范围是_______； (2)如图2，中，是中点，连接．求证：． (3)如图3，在中，是边的中点，交于点交于点，连接．若，求的长度． 51．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 题型二十 一线三等角模型 52．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 53．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，，，求的长． 题型二十一 截长补短模型 54．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 55．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？ 题型二十二 手拉手模型 56．数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 57．【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 58．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．    【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为 ； 【模型应用】 （2）如图2，P为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接的度数是 ；如果，则 ； （3）如图3，点P是等腰直角中内一点， ，且，，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则的度数是是 ；的长为是 ； 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤⑥平分，恒成立的结论有 　 　 ． 【拓展提高】 （5）如图5，在中，，，若点是内一点，则的最小值为 ． （6）如图6，，，则BD的长为 ．    题型二十三 利用等腰三角形性质与判定求解 59．如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 60．如图，在中，，，点D为直线上的任意一点，过点D作交直线于点E，过点A作，交直线于点F，垂足为点F，直线与直线相交于点G． (1)如图1，当点D在边上时，则线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，则线段，，之间的数量关系是 ，请证明你的结论． 61．【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 题型二十四 利用等边三角形性质与判定求解 62．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 63．已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 64．如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 题型二十五 维维尼亚模型 65．已知中，，于点M，点D在直线上，，垂足为点E，，垂足为点F．    (1)如图1，点D在边上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了，，三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是_______； (2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中，，三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明． 66．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵， ； ______________________． 又∵，， ∴， ∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 题型二十六 利用角平分线与垂直平分线性质求解 67．如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，求证：． 68．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求点到边的距离． 69．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分； (3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示） 题型二十七 解一元一次不等式组 70．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 71．解不等式组，并把解集在数轴上表示． 题型二十八 解|x|≥a型不等式 72．【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 73．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 题型二十九 由不等式组的解集求参数 74．已知不等式组的解集为，求，的值． 75．如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 76．若不等式组的解集为，求m的取值范围． 题型三十 根据两直线交点求不等式 77．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是___________； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； (3)关于的不等式组的解集是___________． 78．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 题型三十一 不等式组与实际问题 79．为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 80．某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． (1)按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 81．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 82．为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套，B类玩具4套，需800元；A类玩具3套，B类玩具2套，则需450元． (1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元． (2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少套？ 83．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ $$期末必刷题02 热考题与压轴题（30题型83题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程组的特殊解法 题型二 方程组相同解问题 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型五 解三元一次方程组及其应用 题型六 求直线围成的图形面积 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题 题型八 根据平行线的性质探究角的关系 题型九 平行线的性质在生活中的应用 题型十 根据平行线的性质与判定求解 题型十一 与平行线有关的折叠问题 题型十二 平行线与三角板综合 题型十三 与三角形有关的折叠问题 题型十四 与平行线、角平分线有关的三角形内角、外角问题 题型十五 三角形内角和与外角和综合 题型十六 与三角形角度有关的热考模型 题型十七 利用全等三角形性质与判定求解 题型十八 倍长中线模型 题型十九 一线三等角模型 题型二十 截长补短模型 题型二十一 手拉手模型 题型二十二 利用等腰三角形性质与判定求解 题型二十三 利用等边三角形性质与判定求解 题型二十四 维维尼亚模型 题型二十五 利用角平分线与垂直平分线性质求解 题型二十六 解一元一次不等式组 题型二十七 解|x|≥a型不等式 题型二十八 由不等式组的解集求参数 题型二十九 根据两直线交点求不等式 题型三十 不等式组与实际问题 题型一 二元一次方程组的特殊解法 1．阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可． 【详解】解： 设，， 方程组变形得：， 整理得：， 得：，即， 把代入得：， ， 解得：． 2．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 题型二 方程组相同解问题 3．已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是正确求出方程组的解． （1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． （2）将代入，然后根据a,b的值即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， 它们的相同解是； （2）把代入 得 解得 所以． 4．若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，以及代数式求值．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键．根据方程有公共解，得到的解，即为方程组与的公共解，进行求解即可，将方程组的解方程组中，求出a，b的值，将代数式转化为，再代值计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有公共的解， ∴的解即为两个方程组的公共解， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 5．甲、乙两人共同解关于的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方②中的系数，解得，求的值． 【答案】1 【分析】根据题意可：把代入②中得：，从而可得：，然后再根据题意得：把代入①中得：③，把代入①中得：④，从而进行计算可求出a和b的值，最后把a，b，c的值代入式子进行计算即可解答． 本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：把代入②中得：，解得：， 由题意得：把代入①中得：③， 由题意得：把代入①中得：④， ④－③得：， 把代入③中得；， ∴． 6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． （1）把代入①，能求出，把代入②，能求出； （2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （3）加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：（1）把代入①，得， 解得：； 把代入②，得， 解得， 所以甲把看成了1，乙把看成了3； （2）解：把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； ∴，； （3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：． 题型四 已知二元一次方程组解的情况求参数 7．是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，再把，代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 将代入，得 解得， ∴当时，方程组的解满足． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 9．若关于x，y的二元一次方程组有整数解，则整数a的值是多少? 【答案】或或或或或或或 【分析】先求出原方程组的解，再根据关于，的二元一次方程组有整数解，得出、、、，解出即可． 【详解】解：解原方程组可得， 关于，的二元一次方程组有整数解， 、、、， 或或或或或或或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题关键． 题型五 解三元一次方程组及其应用 10．解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）原方程组可化为： ，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3） ，得：； ，得：； ，得：，解得：； 把代入③，得：，解得：； 把，代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 11．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 题型六 求直线围成的图形面积 12．如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． (1)直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 (2)求直线的解析表达式； (3)若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象问题，涉及直线的交点坐标与方程组的解的关系，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点P的横坐标为代入，求出点的坐标，即可求解关于x，y二元一次方程组的解； （2）将点代入解方程组即可； （3）根据面积关系，得到，求出，分两种情况，将代入直线表达式即可求解． 【详解】（1）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∴点P的坐标是， ∵直线与相交于点P， ∴关于x，y二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：∵B点坐标为，， ∴将代入得，则，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点P的横坐标为，， ， ∴， ①当时，代入解析式可得； ②当时，代入解析式可得. ∴点M的坐标是或， 故答案为：或． 13．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵点B的坐标为， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 14．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标或； (3)或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 题型七 与二元一次方程组有关的新定义问题 15．定义一种新运算“”，规定：，其中a，b为常数，已知，，求的值． 【答案】17 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．首先根据题意，可得：①，②，应用加减消元法，求出的a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 16．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 【答案】【小题1】 【小题2】，． 【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ，解得， ，． 17．对于实数a，b定义运算#：例如，因为．若x，y满足方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． 【详解】解：， 由，得， ， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为， ∵， ∴． 题型八 二元一次方程组与实际问题 18．如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 19．已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表： A型车（辆） B型车（辆） 共运货（吨） 3 2 17 2 3 18 某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，共有几种租车方案；请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案，最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2860元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据表格中的数据列出二元一次方程组，解出即可； （2）根据租用的车一次运完35吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a、b的二元一次方程，再结合a，b都是自然数，即可得出方案，分别求出选择各方案所需租车的费用，比较后得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，由题意得， ， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ， a，b均为自然数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，则租车费用为（元）， 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆，则租车费用为（元）， 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆，则租车费用为（元）， ， 最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2860元． 20．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 21．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 22．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 23．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 24．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 (2)有2种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意，得； 解得 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型 根据题意，得 ∴ ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 25．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 题型九 根据平行线的性质探究角的关系 26．已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）由平行线的性质即可求解； （）过点作，可得，再平行线的性质即可求解； （）过点作，可得，再根据平行线的性质及（）的结果即可求解； （）根据（）、（）、（）的结果找出规律即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，图形类规律变化问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（）可得， ∴， 即 （4）解：由图①得， 由图②得， 由图③得， ， ∴， 故答案为：． 27．已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）如图1，过P作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ∴； 即或； （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴． 28．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：如图3，作的角平分线交于点，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 题型十 平行线的性质在生活中的应用 29．已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 30．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值或或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分三种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 题型十一 根据平行线的性质与判定求解 31．问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移： （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动． ①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？ ②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①当点在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，；②当在延长线时，；当在之间时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当在延长线时，过作交于，结合图形可得；同理：可求当在之间时． 【详解】（1）解：如图：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解 ：①，理由如下： 如图：过作交于， ， ， ， ； ②如图：当 P 在延长线时， 如图：过作交延长线于， ， ， ， 如图：当在之间时， 如图：过作交于， ， ， ， ． 32．方法感知： （1）如图1，已知，求的度数．（要求有解答或者说理过程） 方法运用： （2）如图2，这是北斗七星的位置简图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，，探究满足的数量关系为__________________． 应用拓展： （3）如图3，在（2）的条件下，延长到点M，从延长到点N，过点B和点E分别作射线和，两线相交于点P，使得BD平分，EN平分，若，直接写出的度数为__________________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键； （1）如图1，过点作，则，，，由，可得，进而可求的度数； （2）如图2，过点作，则，，，由，可得； （3）如图3，过点作，则，，，由平分，，可得，，，由平分，可得，则，由（2）得，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的度数为． （2）解：，理由如下； 如图2，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴，即， ∴，即． 故答案为：． 题型十二 与平行线有关的折叠问题 33．数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 【答案】操作发现：垂直（或）；垂直（或）； C 解决问题：详见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，角平分线的定义，理解题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质及判定作答即可． 【详解】解：操作发现：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是；第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ∵，， ∴， ∴同位角相等，两直线平行 ∵，， ∴， ∴内错角相等，两直线平行 ∴小明画平行线的依据有同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直（或）；垂直（或）；． 解决问题：，理由如下： 由操作发现可得，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ 题型十三 平行线与三角板综合 35．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 36．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作直线， ， ， ，， ， ． 题型十四 与三角形有关的折叠问题 37．现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即，证明，可得． 【详解】解：（1）结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即 ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 题型十五 与平行线、角平分线有关的三角形内角、外角问题 39．如图，已知线段相交于点O，平分交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，三角形的外角，熟练掌握平行线的判定方法，三角形的外角的性质，是解题的关键： （1）角平分线的定义结合等量代换，得到，即可得出结果； （2）利用三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 40．如图，在中，于点D，平分，过点A作直线，的外角的度数是，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质、角平分线的定义、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先求出，，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十六 三角形内角和与外角和综合 41．如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数是定值； (3)． 【分析】（1）如图，过作，过作，证明，证明，，从而可得答案； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再利用角的和差运算可得结论； （3）如图，∵平分，平分，可得，，由三角形的内角和定理可得 ，结合（2）得：，从而可得． 【详解】（1）解：如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，是定值，理由如下： 如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵由（2）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 42．一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 【答案】(1) (2)3；21 (3)6秒或15秒或24秒 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质得到，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，再求出的度数即可得到答案； （3）分，，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图（1），当时，， ∵为的一个外角， ∴， ∴；    如图（2），当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3；21． （3）解：①如图（3），当时， ∵， ∴， ∴；    ②如图（4），当时， ∵，， ∴， ∴；    ③如图（5），当时， ， ∴， 综上所述：当t为6秒或15秒或24秒时，有两个内角相等． 43．（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示） ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和高线的定义分别求出，，即可求出； （2）①根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义即可求解； ②根据角平分线定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高， ∴， ∴在中，， ∴． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴ 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 题型十七 与三角形角度有关的热考模型 44．已知，D为所在平面上一点，平分，平分． (1)若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明． (2)若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (3)若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (4)若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 (4) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得出答案； （2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，，即可得出，从而得出答案； （3）由角平分线的定义可得：，，再由，即可得出答案． （4）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：结论：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）解：结论：， 证明：平分， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （3）解：结论：， 证明：平分，平分， ，， ，， ． （4）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 45．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 46．【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论； （3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），证明如下： ∵平分平分， ∴， 同（1）可得，， ∴ ∴； （3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H， 同（1）可得， ∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和）， ， ∴， ∵， ∴． 题型十八 利用全等三角形性质与判定求解 47．已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，从而可得结论； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 48．如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【答案】(1)①或②，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解， （2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】（1）解：可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 49．在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 【答案】①证明见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． ①先证明，再证明，即可证明； ②先由三角形内角和定理得到，再导角证明，据此可得答案． 【详解】证明：①∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十九 倍长中线模型 50．【阅读理解】如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点，使，连接． 根据可判定，得， 进而，在中利用三角形的三边关系求得的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． 【问题解决】 (1)上述问题中，的取值范围是_______； (2)如图2，中，是中点，连接．求证：． (3)如图3，在中，是边的中点，交于点交于点，连接．若，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理计算线段长度，掌握构造三角形全等是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据可判定，得，在中，根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到，再根据，即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，连接，可证，得到，，则，再证，得到，由，即可求证； （3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，得到，，由直角三角形两锐角互余，等量代换得到，即，由勾股定理得到，再证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图所示，延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长度为． 51．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）如图：延长至G，使，连接，先证明，得到、，再证明，即可得到即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图：延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 题型二十 一线三等角模型 52．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 【详解】解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 53．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，，可得，，则，证明； （2）同理可证；则，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ∴，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 题型二十一 截长补短模型 54．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 55．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？ 【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）；见解析；（3） 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB． （2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2AD2=（DC+BD）2； （3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知，据此可得答案． 【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB， 故答案为：DA=DC+BD； （2），如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°， ∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°， ∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，CE=BD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC=90°， ∴DA2+AE2=DE2， ∴； （3）如图3，连接PQ， ∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°， ∴QN=MN=1， ∴， 由（2）知． ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型二十二 手拉手模型 56．数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， ， 设和交于点， ， ； （3）解：， 理由：如图，在延长线上取一点，使得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 57．【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 58．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．    【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为 ； 【模型应用】 （2）如图2，P为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接的度数是 ；如果，则 ； （3）如图3，点P是等腰直角中内一点， ，且，，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则的度数是是 ；的长为是 ； 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤⑥平分，恒成立的结论有 　 　 ． 【拓展提高】 （5）如图5，在中，，，若点是内一点，则的最小值为 ． （6）如图6，，，则BD的长为 ．    【答案】（1）；（2）；（3），；（4）①②③⑤；（5）；（6） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识： （1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可； （2）由与都是等边三角形，得出，，，易证，由证得，得出，，则，推出，得出是直角三角形，得出，则，分别求出的面积即可得出结果． （3）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明， （4）①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出．③先证明，即可判断出，③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；⑥根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误； （5）根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题． （6）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴．， ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （2）∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴ 作交于点    ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴； 故答案为：； （3）如图，连接，    ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点B，点D共线， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （4）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 没有条件证出，④错误； ∵， ∴， ∴， ∴结论⑤正确． 过点C作于H，于G，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故⑥错误，符合题意； 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． （5）解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、PP′，如图所示，    则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值就是的值， 即的最小值就是的值， ∵， ∴， 又 ∴， ∴， 故答案为：． （6）过点A作，且，连接，如图所示：    则是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 题型二十三 利用等腰三角形性质与判定求解 59．如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 60．如图，在中，，，点D为直线上的任意一点，过点D作交直线于点E，过点A作，交直线于点F，垂足为点F，直线与直线相交于点G． (1)如图1，当点D在边上时，则线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，则线段，，之间的数量关系是 ，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）由题意知，则，由，可得，即，由三角形内角和定理求得，证明，，则，进而可得结果； （2）同（1）可知，，，，证明，，则；进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 同（1）可知，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 61．【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）6 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， 即， 在和中， ， ； （2）①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 负值舍去， 即的长为6． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型二十四 利用等边三角形性质与判定求解 62．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 63．已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 【答案】(1)是等边三角形； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等边三角形的判定，非负数的性质，熟知三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a，b，c满足， ∴，， ∴，， 解得， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数， ∴c是奇数， ∴； （3）解：由三边关系得， ，，， ∴原式 ． 64．如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型二十五 维维尼亚模型 65．已知中，，于点M，点D在直线上，，垂足为点E，，垂足为点F．    (1)如图1，点D在边上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了，，三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是_______； (2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中，，三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 【分析】（1）连接，利用等面积法即可证明； （2）连接，当点在点左边的直线上时，利用等面积法即可证明；当点点右边的直线上时，利用等面积法即可证明． 【详解】（1）连接，如图．   ， ， ， ． 故答案为：； （2）不成立．连接．当点在点左边的直线上时，如图．   ， ， ， ； 当点点右边的直线上时，如图．   ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握“等积法”是本题的关键．本题也可以利用三角形全等得出结论． 66．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：如图①在等腰三角形中，，，，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为，． (1)请你结合图形来证明：； 证明过程：连接，由题意得，，， ∵， ； ______________________． 又∵，， ∴， ∴． (2)如图（2），当点M在延长线上时，、、h之间又有什么样的关系，请写出结论并证明； (3)利用以上结论解答，如图③在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点M的坐标为或． 【分析】本题考查了等面积法，一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，正确理解“等面积法”并会灵活运用是解题的关键． （1）根据结合三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据题目要求作出图形，然后根据结合三角形的面积公式即可得出； （3）先求得为等腰三角形，再分情况讨论：①当点M在边上时，②当点M在延长线上时，③当点M在的延长线上时（此情况不存在），根据（1）（2）的结果分别求出点M的纵坐标，再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图，；理由如下， 证明：由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴ ， ∴； （3）解：在中，令得；令得， ∴，， 在中，令得， ∴， ∴，， ∴，即为等腰三角形， 设M点坐标为， ①当点M在边上时， 由得：， ∴， 把代入中求得：， ∴此时； ②当点M在延长线上时， 由得：， ∴， 把代入中求得：， ∴此时； ③当点M在的延长线上时，点M到的距离不可能为，此情况不存在； 综上所述：点M的坐标为或． 题型二十六 利用角平分线与垂直平分线性质求解 67．如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质得出，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 68．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，然后在中，由三角形内角和定理可得的度数； （2）过点作于，于，根据角平分线性质得，再根据得，则，由此根据三角形的面积公式可得，进而可得点到边的距离． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，； （2）解：过点作于，于，如图所示： 平分， ， 边上的高和边上的高相同， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，点到直线的距离，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，理解点到直线的距离，灵活运用三角形内角和定理和外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 69．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分； (3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； （3）先由三角形内角和定理得到，则，再推出，，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，   ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 题型二十七 解一元一次不等式组 70．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解：， ∴所有整数解的和为：． 71．解不等式组，并把解集在数轴上表示． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是求解不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：： 由②得：， 其解集在数轴上表示如图所示： 不等式组的解集为． 题型二十八 解|x|≥a型不等式 72．【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 73．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 题型二十九 由不等式组的解集求参数 74．已知不等式组的解集为，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先解不等式组求出，结合不等式组的解集为，即可求解． 【详解】解： 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为， 不等式组的解集为， ，， 解得：，． 75．如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 76．若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组的解集为，得，解不等式即可． 本题考查了不等式组的解集，解不等式，正确理解题意、熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：不等式组的解集为， 得， 解得． 题型三十 根据两直线交点求不等式 77．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是___________； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； (3)关于的不等式组的解集是___________． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：； （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为； 故答案为：； （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 78．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案为：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 题型三十一 不等式组与实际问题 79．为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【答案】(1)购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 (2)共有7种购买方案 (3)在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数； （3）根据题意甲种纪念品数量越少，总费用越少，则购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，进而计算花费资金，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元． （2）解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为34，35，36，37，38，39，40， 共有7种购买方案． （3）解：∵购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 ∴甲种纪念品数量越少，总费用越少， ∴购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 设所花资金最小为． 答：在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为670元． 80．某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． (1)按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18 (2)，生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． （1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件，根据题意列出不等式组，解出不等式组的解，即可得到结论； （2）根据已知生产一件A产品，可获利润700元；生产一件B种产品，可获利润1200元，可建立函数关系式，利用函数的增减性及（1）的结论，即可求得结论． 【详解】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 根据题意得， 解得 ∵x为整数， ∴整数，31或32； ∴当时，；当时，；当时，； ∴共有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18； （2）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 由题意得： ∵ ∴y随x的增大而减小， ∵，31或32， ∴当时，y有最大值为． ∴生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 81．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 82．为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具5套，B类玩具4套，需800元；A类玩具3套，B类玩具2套，则需450元． (1)求A、B两类玩具每套进价分别是多少元． (2)该玩具店购进B类玩具比A类玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A类玩具获利30元，销售1套B类玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元．问该玩具店至少购进A类玩具多少套？ 【答案】(1)A类玩具每套进价为100元，B类玩具每套进价为75元 (2)该玩具店至少购进A类玩具16套 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）设A类玩具每套进价为x元，B类玩具每套进价为y元．根据“A类玩具5套B类玩具4套，需800元；A类玩具3套B类玩具2套，则需450元”列出方程组，求解即可； （2）设该玩具店购进A类玩具n套，根据“全部售出后所获得利润不少于1200元”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设A类玩具每套进价为x元，B类玩具每套进价为y元．根据题意，得 ， 解得， 答：A类玩具每套进价为100元，B类玩具每套进价为75元． （2）解：设该玩具店购进A类玩具n套．根据题意，得 ， 解得， 答：该玩具店至少购进A类玩具16套． 83．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品5包，B种食品4包 (2)最多能选用2包A种食品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设选用A种食品包，B种食品包，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设选用包种食品，根据题意列出不等式，求出的范围，结合是整数，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包， 由题意得，， 解得：， 答：应选用A种食品5包，B种食品4包． （2）解：设选用包A种食品， 由题意得，， 解得：， 是整数， 的最大值为2， 答：最多能选用2包A种食品． $$