暑假作业05 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业05 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 1. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 3. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 3．盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 5．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 6．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（   ） A． B． C． D． 7．甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 8．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 9．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）设为一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A． B． C． D． 14．（多选）从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（   ） A．事件，是互斥事件 B．事件，是对立事件 C． D． 15．为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ． 16．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 17．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 18．某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 19．（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率． 20．现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 1．为两个随机事件，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．事件相互独立 D． 2．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 3．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则 ； . 4．有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 5．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 1．正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．（多选）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 3．（多选）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 4．调研数据显示，有超过七成的消费者对新能源汽车较为看好，目前中国消费者对新能源汽车的系别选择以国产车为主．已知2024年第一季度，在某地上牌照的新能源汽车中，国产车占比70%，上牌照的国产新能源汽车中，甲品牌与乙品牌的占比分别为40%，20%． (1)从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取2辆，求抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率； (2)已知该地上牌照的新能源车中，外国产新能源汽车中价位不超过30万元的占比为20%，在国产新能源汽车中，甲品牌、乙品牌与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为40%，30%，50%，从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过30万元，求该车是甲品牌车的概率． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业05 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 1. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 3. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 又，则. 故选：C 2．已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立的概率公式可得，再根据相互独立事件的性质求解条件概率即可. 【详解】因为事件与独立，所以， 因为，所以， 所以（事件与独立，故事件与独立）. 故选：C 3．盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意求得第1次抽到白球的概率，再求得第1次抽到白球，同时第2次抽到白球的概率，从而利用条件概率公式求解即可. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到白球为事件B， 则， 所以在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到白球的概率为. 故选：A. 4．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 5．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】根据全概率公式可得: . 故选：C． 6．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型公式、条件概率公式计算可得答案. 【详解】事件A包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个， 其中，事件B包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个， 概率. 故选：A. 7．甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式直接计算可得结果. 【详解】易知，； 所以. 故选：C 8．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求得正确答案 【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”， 则， 所以 ， 故选；B 9．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组， 所以，， 所以. 故选：B. 10．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：. 故选：B 11．（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 12．（多选）设为一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率的性质，可得，，结合全概率公式可求得，再利用和事件概率与条件概率，逐项求解即可. 【详解】由，，，得，，， 由，得， 解得，B错误； 对于D，由，得，D错误； 对于A，，A正确； 对于C，，，C正确． 故选：AC. 13．（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件＂零件为第台车床加工＂，事件＂零件为次品＂， 则， ，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 14．（多选）从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（   ） A．事件，是互斥事件 B．事件，是对立事件 C． D． 【答案】AC 【分析】利用互斥事件、对立事件和条件概率的计算公式依次判断各选项即可得出结果. 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出的数要么是奇数要么是偶数， 不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确. 当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误． ，，D错误. ，C正确． 故选：AC 15．为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式公式直接求解即可. 【详解】设A：抽到一名学生是甲班的，B：抽到一名女生， 则，，， 所以由全概率公式可知，． 故答案为： 16．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【答案】 0.1/ 0.3/ 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 17．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值； （2）利用条件概率公式可求得的值. 【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区， 记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . （2）由条件概率公式可得. 18．某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】(1)0.86 (2) 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 19．（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率． 【答案】（1）①；② （2） 【分析】（1）①根据题意分析第一次取完球后袋中剩余球情况即可直接列式求解；②根据题意分析可得事件为第一次取得白球第二次取得红球及概率的乘法公式即可求解. （2）根据两台车床的次品率及其零件比例计算总次品率即可得解. 【详解】（1）①根据题意，若第一次取出红球，此时袋中剩余个红球，5个白球. 则在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.。 ②根据题意，用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球即为第一次取到白球，第二次取到红球， 其概率为. （2）根据题意，记事件为“车床加工的零件为次品”，事件为“该零件由第台车床加工”，则. 已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为,则. 故. 则这个零件是次品的概率为. 20．现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两球颜色不同”，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，利用条件概率的计算公式，即可求解； （3）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，得到，结合全概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”，则， 则. （2）解：由（1）知：， 若从甲袋中取出的是红球，放入乙袋中，取得红球的概率为， 所以从甲袋中取出红球的条件下，则从乙袋中取出红球的概率为. （3）解：设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则， 则. 1．为两个随机事件，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．事件相互独立 D． 【答案】D 【分析】根据已知及全概率公式易得 ，进而得到，再应用条件概率、独立事件的判定及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由，且， 所以 ，则，同理，A对； 由，，即，B对； 由，即事件相互独立，C对； 由，D错. 故选：D 2．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出第一步掷骰子弟弟能吃到花生的概率为，再通过分类讨论求出第一次掷出非6，后续阶段弟弟能吃到花生的概率，二者相加即为任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率. 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为. 故选：D 3．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则 ； . 【答案】 / 【分析】分析出：若奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值. 【详解】奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故； 奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为， 奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 由全概率公式可得：. 故答案为：；. 4．有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【详解】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率. 5．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中.A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答. (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目. ①求乙从A箱中抽出2道代数题的概率； ②求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率. 【答案】(1) (2)①；    ② 【分析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果； （2）①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，根据古典概型即可求解； ②针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果. 【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，则. 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以. 故. （2）①设事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 设. 乙从A箱中抽出2道代数题的概率为. ②设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则. 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，. 由全概率公式可得. 【点睛】本题综合考查条件概率乘法公式与全概率公式，全概率公式解题的关键是确定试验结果的样本空间的一个划分，然后求出实验结果有关的事件的概率，再利用全概率公式即可求解. 1．正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可. 【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D表示此人感冒， 则, ， 则， 因为来自高二年级概率最大，所以, 即, 即， 即，即， 故选：D. 2．（多选）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 【答案】BCD 【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D. 【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案， 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言， 各有种方案，∴； 甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，∴； 甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案，∴， 对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误； 对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 3．（多选）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【答案】ABD 【分析】根据古典概型公式判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据相互独立事件的定义判断C，对于D，分两种情况讨论，若取出颜色相同与颜色不同，分别计算出概率即可判断. 【详解】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误； 由题可得，，所以与相互独立，故C正确； 对于D，事件分为三类： 颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率； 颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为- 颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对， 故选：ABD 4．调研数据显示，有超过七成的消费者对新能源汽车较为看好，目前中国消费者对新能源汽车的系别选择以国产车为主．已知2024年第一季度，在某地上牌照的新能源汽车中，国产车占比70%，上牌照的国产新能源汽车中，甲品牌与乙品牌的占比分别为40%，20%． (1)从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取2辆，求抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率； (2)已知该地上牌照的新能源车中，外国产新能源汽车中价位不超过30万元的占比为20%，在国产新能源汽车中，甲品牌、乙品牌与其他品牌车价位不超过30万元的占比分别为40%，30%，50%，从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过30万元，求该车是甲品牌车的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取1辆，该车是甲品牌车的概率，再用反面求解抽取的2辆车不全是甲品牌车的概率； （2）记该车是国外、甲、乙、其他品牌新能源汽车分别为事件，，，，价位不超过30万元为事件B，求出和，代入条件概率的公式即可. 【详解】（1）从该地上牌照的新能源汽车中，随机抽取1辆， 该车是甲品牌车的概率为， 所以随机抽取2辆，抽取的两辆车不全是甲品牌车的概率为． （2）从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆， 记该车是国外、甲、乙、其他品牌新能源汽车分别为事件，，，， 价位不超过30万元为事件B， 则，， ，， ，，，， 所以 ， 又， 所以， 所以从该地上牌照的新能源汽车中随机抽取1辆，若该车价位不超过30万元， 该车是甲品牌车的概率为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$