对称和谐函数压轴题研究讲义-2027届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦新定义“对称和谐函数”压轴题，整合函数性质、充要条件证明、复合函数探究、概率统计计算及不等式证明等核心考点，按概念理解到综合应用的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题解析环节，帮助学生构建知识网络和解题思路。 讲义以新定义题型创新教学，如在充要条件证明中引导学生用数学思维构建逻辑链条，在概率统计部分结合二项分布模型培养数据观念，设置基础巩固与综合提升分层练习。通过针对性训练提升学生数学语言表达与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供实用参考。

基于2026年新高考新定义类型原创压轴综合题 摘要： 文章以2026年新高考数学压轴题为背景，围绕“对称和谐函数”新定义，完整呈现试题内容、详细解析。解析涵盖函数充要条件证明、复合函数探究、概率统计计算与不等式证明，兼顾逻辑推导、代数运算与数学建模能力，贴合高中数学核心要求，为高考提供备考参考。 关键词：对称和谐函数；新高考压轴题；概率统计；不等式证明；高中数学 正文： 题目：若定义域为的函数满足恒等式其中，则称为对称和谐函数，三元有序整数数组称作的和谐系数；记所有和谐系数为整数的对称和谐函数构成集合。 数学课题组收集两类不同和谐系数的对称和谐函数样本： 类型：和谐系数，单次有放回独立抽取抽到类的概率； 类型：和谐系数，单次抽到类的概率。 现抽取容量为的简单随机样本，各次抽取相互独立；设随机变量表示个样本中类对称和谐函数的个数。 记事件：样本中类函数数量不少于个；事件：样本中类函数恰好个。 (1)求证：对任意，设二者和谐系数依次为，则的充要条件是； (2)已知，和谐系数为，令，定义。 ① 证明：对任意实数，恒有； ② 若为二次函数（为实数），求满足的关系式； (3) 固定样本容量： ①求条件概率； ②记，为的方差，证明：对任意整数，不等式恒成立。 解析： (1)证明： 充分性：若，则满足相同的方程。 对于，有： 故是对称和谐函数，且和谐系数为，属于。 必要性：若，设其和谐系数为。 则： 展开左边 展开右边 对比的系数： 故，，， 即。 (2)已知，和谐系数， 故满足核心等式： 换元关系：，，即。 ① 证明 令，分别计算式中自变量： ； ； ；； 。 将全部替换代入的恒等式： 对任意实数恒成立，得证。 ② ，求满足的关系式 等式左边 等式右边 利用对恒成立 则有 两边同时消去相同项， 整理得： 移项合并： 下面分析是否恒为 0 将其视为关于的一元二次式：， 其判别式 仅当时取等，时，无法对所有恒等于 0。 因此只能系数，可取任意实数。 综上满足的关系式：。 (3) ， ① 求条件概率 定义：，，显然， 由条件概率公式： 二项分布概率公式：，。 分子： 所以 ② 证明：时，， 前置知识点：二项分布各阶原点矩 一阶矩：； 二阶矩：； 三阶矩：； 四阶矩：； 方差核心公式：。 由期望线性性质：。 代入各阶矩，并统一分母 ： 三式分子相加合并同类项： 。 则有 所以 那么，要证： 就要证： 也就是要证： 即证： 令，二次项系数，抛物线开口向上，的解集在两根之间。 求方程的根： 估算：， 开口向上的二次函数满足的区间为。 题干限定整数，全部落在该区间内，故恒成立， 逆推可得原不等式对的所有正整数恒成立，得证。 学科网（北京）股份有限公司 $