精品解析：四川省成都市玉林中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度（下期）初2023级5月定时练习 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 6. 如图，线段经过平移得到线段，其中点A、B、、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点 8. 如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 当x= ______时，分式的值等于零． 10. 如果是多项式的一个因式，则m的值是_________． 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝15°将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′．若点B刚好落在BC边上，则α＝_____． 12. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是____ 13. 如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）因式分解：； （2）解不等式组： （3）解方程： 15. 先化简，再从中选择一个整数代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； 17. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 18. 如图，在，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点． （1）如图1；当时， ①求证：； ②若，求线段的长； （2）如图2，若，，求线段的长； B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，则（﹣）÷的值是_____． 20. 关于的不等式组恰有两个整数解．则实数的取值范围为________ 21. 如图，两个含角的三角尺的腰长为．两三角尺的斜边在同一条直线上，固定一个三角尺，另一个三角尺沿斜边平移，平移后重叠部分，则阴影部分的面积为________． 22. 定义：对于实数，表示，两数中较小的数，如，若关于的函数，且，则的取值范围是________． 23. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______． 二、解答题（第24题8分，第25题10分，第26题12分，共30分） 24. 年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． （1）求，两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点 （1）求直线解析式； （2）连接，将线段沿轴正方向平移到 ①若，求满足条件的点的坐标； ②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由． 26. 如图，和都是等腰直角三角形，是线段上一点，连接，过点作，交射线于点． （1）如图1，若点在线段上，连接，证明：； （2）若，，求的值； （3）如图3，若点在线段上，，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，请按题意画出图形，探索当时，的值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下期）初2023级5月定时练习 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：如果， A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式． A、选项化为分式的积，故错误， B、C没有化成积的形式，错误， D、符合因式分解的定义， 故选D． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 5. 把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的和， 得， ∴把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值不变， 故选：A． 6. 如图，线段经过平移得到线段，其中点A、B、、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据点A和的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标． 【详解】解；∵线段经过平移得到线段，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵线段上有一个点， ∴点P在上的对应点的坐标为， 故选：A． 7. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 8. 如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 当x= ______时，分式的值等于零． 【答案】3 【解析】 【详解】∵分式的值为0， ∴ ，解得：． 故答案为． 【点睛】点睛：使分式的值为0，分式中字母的取值需同时满足两个条件：（1）使分母的值不等于0；（2）使分子的值等于0． 10. 如果是多项式的一个因式，则m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式得到另一个因式为，计算对比得出答案． 【详解】解：∵是多项式的一个因式， ∴由二次项和常数项可得另一个因式为， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝15°将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′．若点B刚好落在BC边上，则α＝_____． 【答案】110° 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出∠B，由旋转的性质可得∠C=∠C'=15°，AB=AB'，可得∠AB′B，利用三角形内角和求出∠BAB′即可得到α． 【详解】解：∵∠BAC＝130°，∠C＝15°， ∴∠B=180°-130°-15°=35°， ∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'， ∴AB=AB'， ∴∠B=∠AB′B=35°， ∴∠BAB′=180°-35°×2=110°， ∴α=110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 12. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的解和解一元一次不等式，根据题意得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： 13. 如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是_________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数． 【详解】解：∵的平分线交于点E，， ∴， ∵垂直平分线段于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）因式分解：； （2）解不等式组： （3）解方程： 【答案】（1）；（2）；（3）无解 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式以及不等式组的解法，解分式方程，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （3）先化为整式方程，再解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 解：解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 所以，原不等式组的解集为：． （3）方程两边同时乘以得， 解得： 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解 15. 先化简，再从中选择一个整数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据不等式的范围，结合分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵，，且为整数， ∴， ∴原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标； 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图 旋转中心的坐标为 17. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，，进而由勾股定理可得，最后由三角形的面积即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 18. 如图，在，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点． （1）如图1；当时， ①求证：； ②若，求线段的长； （2）如图2，若，，求线段的长； 【答案】（1）①证明：， ， ， ， ， ， ． ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论； ②证明，根据，即可求解； （2）过点作，且，连接，证明，得出，设勾股定理求得，则，得出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：∵，，， ∴， ∵以为底，在的右侧作等腰直角， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴， 在中 ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，则（﹣）÷的值是_____． 【答案】- 【解析】 【分析】首先括号内的式子利用分式的减法法则求得，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后利用非负数的性质求得x-y和xy的值，代入化简后的式子即可求解． 【详解】原式= , ∵|xy+3|=0， ∴x−y−2=0且xy+3=0， ∴x−y=2，xy=−3. ∴原式== . 故答案为 . 【点睛】本题考查分式的化简求值，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方. 20. 关于的不等式组恰有两个整数解．则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的个数求解可得． 【详解】解： 解不等式①得： ∵不等式组恰有两个整数解 ∴不等式组的解集为： ∴ 故答案为：． 21. 如图，两个含角的三角尺的腰长为．两三角尺的斜边在同一条直线上，固定一个三角尺，另一个三角尺沿斜边平移，平移后重叠部分，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，平移的性质以及等腰直角三角形的性质，利用平移的性质得出是等腰直角三角形是解题关键．根据平移的性质得出是等腰直角三角形，进而得出其面积，即可得出阴影部分面积． 【详解】解：两个含角的等腰直角三角形的三角尺，腰长为．两三角尺的斜边在同一条直线上，固定一个三角尺，另一个三角尺沿斜边平移，平移后重叠部分， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 则阴影部分的面积为． 故答案为：． 22. 定义：对于实数，表示，两数中较小的数，如，若关于的函数，且，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查是新定义运算，一次函数的定义，不等式组的应用，根据新定义得出或，解不等式组，即可 【详解】解：依题意，或 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得： ∴或 故答案为：或 ． 23. 如图，在平分交于点D，则的长为 _____，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 _______． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的关键． 首先在中，由于，所以可以解，即可以过C作于O，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过D作于H，可以求出的长度，连接交于M，过Q作于G，可以证明，所以，由此得到Q在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当时，长度最小． 【详解】解：如图1，过C作于O，过D作于H， 在中， 在中， ∵平分 ， 在中， ∴可设 ， 如图2，过Q作于G，连接交于M， ∵四边形为平行四边形， 在与中， ， 故Q到直线的距离始终为2， ∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3， 最小值为： 故答案为：6， 二、解答题（第24题8分，第25题10分，第26题12分，共30分） 24. 年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． （1）求，两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 （2）种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元 【解析】 【分析】（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：种食材的单价为元，种食材的单价为元； 【小问2详解】 解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意， 解得：， 设总费用为元，根据题意， ∵，随的增大而增大， ∴当时，最小， ∴最少总费用为（元） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点 （1）求直线解析式； （2）连接，将线段沿轴正方向平移到 ①若，求满足条件的点的坐标； ②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或； ②点平移的距离为或或 如图，当时，点平移的距离为； 如图，当时，点平移的距离为； 当时，点平移的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键； （1）将代入，即可求解； （2）①根据解析式求得的坐标，设，根据，建立方程，解方程，即可求解； ②分别求得，分三种情况讨论，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，将代入得， 解得： ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：直线解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∵将线段沿轴正方向平移到， ∴的纵坐标为， 设， ∴ 解得：或 ∴或 ∵， ∴或 ②设点平移的距离为， ∴ ∵，， ∴，， 如图，当时， 解得： 如图，当时， 解得：或（舍去） 当时， 解得：或（舍去） 综上所述，点平移的距离为或或． 26. 如图，和都是等腰直角三角形，是线段上一点，连接，过点作，交射线于点． （1）如图1，若点在线段上，连接，证明：； （2）若，，求的值； （3）如图3，若点在线段上，，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，请按题意画出图形，探索当时，的值是多少？ 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） （3）如图，当时，的值是 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是正方形，证明，可得，进而证明得出，根据等角对等边可得； （2）过点作于点，连接，证明是等腰直角三角形，在，中，分求得，即可求解． （3）连接，根据题意得出在上，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，连接，根据折叠得出，，证明，进而可得，进而勾股定理分别求得线段的长，得出，根据折叠的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，连接， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴在上， 过点，分别作的垂线，垂足分别为，，连接， ∵将沿翻折，得到， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 又∵ ∴ 设 ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ 在中， ∵ ∴ 在中， 在中， 在中，，则， 在中， ∵在正方形对角线上， ∴到的距离相等，设为，设到的距离为 ∴ ∴， 在中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $