专题06 统计与概率、分布列（3大基础题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题06 统计与概率、分布列 题型概览 题型01 统计 题型02 概率 题型03 随机变量及其分布 ( 题型03 ) 统计 1．（23-24高二下·北京通州·期末）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图． (1)若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数； (2)开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率； (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望． 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； (3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． ( 题型02 ) 概率 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京通州·期末）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（    ） A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.090 3．（23-24高二下·北京房山·期末）某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知事件A，B相互独立，，，则等于（  ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京东城·期末）袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·北京怀柔·期末）2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为 . 9．（23-24高二下·北京丰台·期末）某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为 ． 10．（23-24高二下·北京房山·期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. (1)求第一次摸到白球的概率； (2)求第二次摸到白球的概率； (3)求两次摸到的小球颜色不同的概率. 11．（23-24高二下·北京丰台·期末）随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图：    根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表： 分数 满意度 非常满意 满意 不满意 假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立． (1)分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； (2)从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； (3)从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取人进行电话回访，记为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明） 12．（23-24高二下·北京通州·期末）某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示． 男生 女生 预习了所学内容 12 17 没预习所学内容 6 5 现从该班所有学生中随机抽取一人： (1)求抽到预习了所学内容的概率； (2)若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率； (3)试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由． ( 题型01 ) 随机变量及其分布 1．（21-22高二下·北京石景山·期末）下列命题错误的是（   ） A．随机变量，若，则 B．线性回归直线一定经过样本点的中心 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D．设且，则 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京房山·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（    ） A． B．随机变量的数学期望可以等于 C．当时， D．数列的通项公式可以为 4．（23-24高二下·北京通州·期末）某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是 ． （参考数据： ，） 5．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知随机变量取所有值是等可能的，且，则 . 6．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若随机变量X的分布列为（如表）， X 1 2 3 则 ；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= ．（用数字作答） 7． （23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 9．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. (1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； (2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小. （结论不要求证明） 10．（23-24高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 1．（23-24高二下·北京石景山·期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率. 2．（23-24高二下·北京丰台·期末）在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表： 胜负情况甲球员上场情况 获胜 未获胜 上场 40场 5场 未上场 2场 3场 (1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率； (2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 统计与概率、分布列 题型概览 题型01 统计 题型02 概率 题型03 随机变量及其分布 ( 题型03 ) 统计 1．（23-24高二下·北京通州·期末）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图． (1)若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数； (2)开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率； (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)800人； (2)； (3)分布列见解析，期望为1.8. 【详解】（1）由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1， 则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为， 估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4. 所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人. （2）阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1， 则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人， 设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件A， 所以. （3）从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为， 随机变量的可能取值为，得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； (3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3)甲生产线上的产品质量更好，理由见解析. 【详解】（1）记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”． 用频率估计概率，则． 所以该产品满足且的概率为． （2）由表格数据，用频率估计概率， 可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为； “从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为. 由题意，的所有可能取值为． ， ． 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为． （3）甲生产线上的产品质量更好， 因为甲生产线上值的平均值， 乙生产线上值的平均值， 所以甲生产线上值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好． 其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产品的值小于乙的概率为， 所以甲生产线上的产品质量更好． ( 题型02 ) 概率 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件为“A项指标合格”，事件为“B项指标合格”，则 ， 所以。 故选：C 2．（23-24高二下·北京通州·期末）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（    ） A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.090 【答案】B 【详解】记现任取一件零件它是次品为事件， 则. 故选：B 3．（23-24高二下·北京房山·期末）某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风， 则，， 则已知刮风的条件下，也下雨的概率， 故选：D. 4．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知事件A，B相互独立，，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为事件A，B相互独立，所以， 所以， 故选：B. 5．（23-24高二下·北京东城·期末）袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在第一次摸到黄球的前提下，此时袋中有：6个黄球，3个红球，共9个球， 所以所求概率为. 故选：A. 6．（23-24高二下·北京怀柔·期末）2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男）， 所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为. 故选：D 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为 【答案】 0.7 0.22. 【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为 . 【答案】/ 【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”， 事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”， “居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”， 则，且互斥，， 由题意可知，，， 且，， 由全概率公式可知 ， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为. 故答案为：. 9．（23-24高二下·北京丰台·期末）某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为 ． 【答案】 【详解】由条件概率可得所求概率为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·北京房山·期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. (1)求第一次摸到白球的概率； (2)求第二次摸到白球的概率； (3)求两次摸到的小球颜色不同的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）设第一次摸到白球的事件为，则 ，即第一次摸到白球的概率为. （2）设第二次摸到白球的事件为，则 ，即第二次摸到白球的概率. （3）设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则 ，即两次摸到的小球颜色不同的概率为. 11．（23-24高二下·北京丰台·期末）随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图：    根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表： 分数 满意度 非常满意 满意 不满意 假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立． (1)分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； (2)从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率； (3)从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取人进行电话回访，记为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)款满意度，款满意度； (2)； (3)． 【详解】（1）设事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则，； （2）设事件“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则； （3）样本中使用款软件不满意的概率为，使用款软件不满意的概率为， 且随机选取的人进行电话回访， 随机变量服从二项分布，，即方差为, 随机变量服从二项分布，，即方差为, ． 12．（23-24高二下·北京通州·期末）某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示． 男生 女生 预习了所学内容 12 17 没预习所学内容 6 5 现从该班所有学生中随机抽取一人： (1)求抽到预习了所学内容的概率； (2)若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率； (3)试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不独立，理由见解析. 【详解】（1）设抽到预习本节课所学内容的同学为事件A，抽到的同学是男生为事件B， 由数表知，该班共有40名同学, 预习了本节课所学内容的学生有29人， 则. （2）依题意，，因此， 所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为. （3）由数表知，，，，， 所以“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立. ( 题型01 ) 随机变量及其分布 1．（21-22高二下·北京石景山·期末）下列命题错误的是（   ） A．随机变量，若，则 B．线性回归直线一定经过样本点的中心 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D．设且，则 【答案】D 【详解】选项A：因为随机变量，且， 所以，解得，说法正确； 选项B：线性回归直线一定经过样本点的中心，说法正确； 选项C：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，说法正确； 选项D：因为且， 所以，说法错误； 故选：D 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 3．（23-24高二下·北京房山·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（    ） A． B．随机变量的数学期望可以等于 C．当时， D．数列的通项公式可以为 【答案】D 【详解】A选项：由已知，则，A选项正确； B选项：当时，期望为，B选项正确； C选项：由，则，C选项正确； D选项：由，则其前项和为，D选项错误； 故选：D. 4．（23-24高二下·北京通州·期末）某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是 ． （参考数据： ，） 【答案】1365 【详解】令高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩为，则，其中， 则， 所以成绩位于的人数大约是. 故答案为：1365 5．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知随机变量取所有值是等可能的，且，则 . 【答案】3 【详解】由题意可得， 所以， 解得. 故答案为：3. 6．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若随机变量X的分布列为（如表）， X 1 2 3 则 ；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= ．（用数字作答） 【答案】 /0.5 / 【详解】 Y=2X+1 . 故答案为：；. 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 【答案】 0，1； . 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 9．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响. (1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； (2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小. （结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A， 则 （2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为， 所以的所有可能取值为，         所以的分布列为：            （或则 ） （3）由（2）可得； 由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此， 可得. 因此. 10．（23-24高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)0.4； (2)分布列见解析； (3)应选. 【详解】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 1．（23-24高二下·北京石景山·期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在和的频率分别为和， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 所以可取0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）从所有花卉中随机抽取3株， 记至少有2株高度在为事件， 则. 2．（23-24高二下·北京丰台·期末）在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表： 胜负情况甲球员上场情况 获胜 未获胜 上场 40场 5场 未上场 2场 3场 (1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率； (2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望. 【详解】（1）设事件“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”， 则． （2）表中该球队未获胜的场次共有场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场， 则的可能取值为0，1，2，3． ， ，． 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$