专题04 数列（4大基础题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题04 数列 题型概览 题型01数列的概念与通项公式 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04数列求和 ( 题型01 ) 数列的概念与通项公式 1．（24-25高二下·北京平谷·期中）在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，可得，若是单调递增数列，则对任意都成立， 可得，可得结论. 【详解】因为，，所以，解得， 若是单调递增数列，则对任意都有： , 所以对任意都成立，又, 所以是数列是单调递增数列的充要条件. 故选：C. 2．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 3．（24-25高二下·北京顺义·期中）在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以3为周期的周期数列，根据周期性计算即可求解. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A. 4．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 5．（24-25高二下·北京·期中）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的表达式，再由即可得解. 【详解】因为数列的前项和为，点在函数的图象上， 所以，，故. 故选：A. 6．（24-25高二下·北京·阶段练习）在数列中，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的递推式和首项依次求出，可得数列是以4为周期的周期数列，从而可求出. 【详解】因为，， 所以， ， ， ， 所以数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：C 7．（24-25高二上·北京东城·期末）在数列中，（    ） A．2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可求解. 【详解】因为 所以，， 故， ， 故数列是周期为3的周期数列， 从而 由知，，， 故. 故选：D. 8．（14-15高二上·辽宁·期末）已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（    ） A．130 B．120 C．55 D．50 【答案】C 【分析】先由题设结合等比数列定义得数列是等比数列并求出，进而可得，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】由题可知，，， 所以 ，故数列是以为首项和公比的等比数列， 所以，故， 所以数列的前10项和为. 故选：C. ( 题型02 ) 等差数列 1．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以， 所以当时，取得最大值． 故选：B． 2．（24-25高二下·北京大兴·期中）若，，，，是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则的值不可能是（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等差数列的条件结合各个选项计算判断即可. 【详解】若，，，，是等差数列，分别取符合题意，A选项正确； 若，，，，是等差数列，分别取符合题意，B选项正确； 若，，，，是等差数列，分别取符合题意，C选项正确； 若，，，，是等差数列，， 因为是等差数列，且为数列中的项，则该数列为递减数列，设公差为， 设，其中且， 则，， 两式相除得，经检验，此方程在，上无解， 则不可能为，所以D选项不成立. 故选：D. 3．（24-25高二下·北京顺义·期中）等差数列中，则前9项和（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】D 【分析】由等差数列的性质以及求和公式求解即可得答案. 【详解】由等差数列的求和公式可得， 故选：D. 4．（24-25高二下·北京房山·期中）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由等比中项的定义得到，再根据等差数列的通项公式将首项，公差代入计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即， 整理可得， 因为，，所以解得. 故选：A 5．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知， ， 故选：C. 6．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（   ） A． B． C．30 D．60 【答案】B 【分析】由等差数列的求和公式结合下标的性质计算即可. 【详解】由题意可得. 故选：B 7．（24-25高二上·北京·期末）和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（    ） A．32 B．48 C．64 D．128 【答案】D 【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由已知条件可得，，则， 根据等差中项的性质，，所以. 故选：D. 8．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得 ， 所以. 故选： C. ( 题型03 ) 等比数列 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是等比数列，，则（    ） A．5 B．12 C．20 D．50 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质和通项公式计算即可. 【详解】因为是等比数列，设公比为， 由题意得，所以， 故选：D 2．（11-12高三上·北京·期中）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】按照和分类讨论，利用等比数列通项公式和求和公式列方程组求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，的值是1或. 故选：C 3．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】在已知条件下，，都与等价，由此即可得解. 【详解】， 而，所以，充分性成立； 反过来若，若，则一定有， 所以，，故，必要性成立； 也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 5．（23-24高二下·北京怀柔·期末）等比数列，，，，……，则数列的第七项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等比数列的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项. 【详解】设该等比数列为，数列的公比为， 由已知，，， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 【答案】D 【分析】利用作差法及等比数列通项公式得到，即可判断C、D，利用特殊值判断A、B. 【详解】因为等比数列的前项和为，公比为，显然， 若，即，所以， 所以是递减数列，故C错误、D正确； 若，，则，满足， 但是，则不具有单调性，故A、B错误. 故选：D. 7．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，则“”是 “”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的意义判断即得. 【详解】设等比数列的公比为，而， 若，则，解得，于是； 若，则，解得或，当时，， 所以“”是 “”的充分不必要条件. 故选：B 8．（23-24高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. ( 题型03 ) 数列求和 1．（23-24高二下·北京·期中）设数列的前n项和，若，则（   ） A．数列满足 B．数列为递增数列 C．的最小值为 D．，，不成等差数列 【答案】C 【分析】对于A，验证即可判断；对于B，比较和的大小即可判断；对于C，先证明，再由即可得到C正确；对于D，直接计算是否等于即可判断. 【详解】由于，且当时，有. 所以. 对于A，由于，，，故，故A错误； 对于B，由于，故B错误； 对于C，由于，且当时，有 ， 从而，而，所以的最小值是，故C正确； 对于D，由于 ， 所以，，成等差数列，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义、之间的关系，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是等差数列时，设公差为，由， 因此， 当时，因为， 所以为等差数列； 当为等差数列时，设公差为，则有， 所以当时，， 两式相减，得， ，或，因为该数列是正项数列，所以舍去， 因此，显然当时，成立， 当时，因为， 所以是等差数列，因此“是等差数列”是“为等差数列”的充要条件， 故选：C 3．（23-24高二上·北京·期末）已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合等比数列的前项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项即可. 【详解】由于数列是等比数列，当且时，， 充分性：当，且公比时，得，，则，不满足充分性； 必要性：当，且公比时，得，，满足，但不满足，不满足必要性； 故选：D. 4．（24-25高二下·北京·期中）等比数列中，，记，则数列（　　） A．无最大项，无最小项 B．有最大项，有最小项 C．无最大项，有最小项 D．有最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意可知等比数列的公比，由此结合|an|的变化规律进行分析，即可得到本题的答案． 【详解】设等比数列的公比为q，则，即，解得． 由且，可得：的各项正负交替出现，且|随n的增大而减小． 所以恒成立，且随着n的增大，变小． 因此，当时，最小，且时，，无最大值． 故选：C． 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知是无穷等比数列，其前项和为，，.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求解出，然后对分奇偶讨论可得和，结合函数的单调性可求结果. 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：B 6．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】充分性的证明可分和时，当取反例即可；必要性的证明可假设. 【详解】充分性： 当时，，所以为递增数列； 当，若时，假设，则数列，则， 所以充分性不成立； 必要性：假设，则数列为， 取，则，，，但， 所以必要性不成立， 故选：D 7．（24-25高二上·云南保山·期末）已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用退位作差得到，从而，裂项相消法求和. 【详解】∵，∴，而符合上式，， ， ∴数列的前2025项的和， 故选：C． 8．（24-25高二上·福建福州·期末）设等差数列的前项和为，则“是递增数列”是“有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】递增时，公差，则， 作为关于的二次函数，由于二次项系数为正，一定有最小值，充分性满足， 反之，若有最小值，如，有最小值2，但此时，是常数列，不必要， 因此是充分不必要条件， 故选：A． 1．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， . 2．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知求出，，即可得出证明； （2）根据等比数列通项公式得出，即可得出答案； （3）根据已知得出，进而裂项求和，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有， 所以，. （3）由（2）可知， 所以， 所以，， 所以有数列的前n项和. 3．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d，代入等差数列的通项公式即可得解； （2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求数列前n项和为. 【详解】（1）在等差数列中，是与的等比中项， 所以    所以        因为，解得，          所以. （2）因为，   所以，     所以 . 4．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由分析计算即可求解； （2）由累加法即可求解； （3）由错位相减法计算求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【答案】(1) (2)；最大值为 【分析】（1）设公差，得出关于的方程组即可求； （2）利用等差数列的前项和公式求，再结合二次函数的单调性即可求最值. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列 题型概览 题型01数列的概念与通项公式 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04数列求和 ( 题型01 ) 数列的概念与通项公式 1．（24-25高二下·北京平谷·期中）在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 3．（24-25高二下·北京顺义·期中）在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京·期中）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京·阶段练习）在数列中，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京东城·期末）在数列中，（    ） A．2 B．2 C． D． 8．（14-15高二上·辽宁·期末）已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（    ） A．130 B．120 C．55 D．50 ( 题型02 ) 等差数列 1．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高二下·北京大兴·期中）若，，，，是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则的值不可能是（    ） A．4 B．0 C． D． 3．（24-25高二下·北京顺义·期中）等差数列中，则前9项和（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 4．（24-25高二下·北京房山·期中）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（24-25高二上·北京密云·期末）已知等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（   ） A． B． C．30 D．60 7．（24-25高二上·北京·期末）和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（    ） A．32 B．48 C．64 D．128 8．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 ( 题型03 ) 等比数列 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是等比数列，，则（    ） A．5 B．12 C．20 D．50 2．（11-12高三上·北京·期中）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 3．（23-24高二下·北京石景山·期末）已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·北京怀柔·期末）等比数列，，，，……，则数列的第七项为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 7．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，则“”是 “”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． ( 题型03 ) 数列求和 1．（23-24高二下·北京·期中）设数列的前n项和，若，则（   ） A．数列满足 B．数列为递增数列 C．的最小值为 D．，，不成等差数列 2．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高二上·北京·期末）已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·北京·期中）等比数列中，，记，则数列（　　） A．无最大项，无最小项 B．有最大项，有最小项 C．无最大项，有最小项 D．有最大项，无最小项 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知是无穷等比数列，其前项和为，，.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）设等比数列的前项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二上·云南保山·期末）已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建福州·期末）设等差数列的前项和为，则“是递增数列”是“有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 2．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前n项和.. 3．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和. 4．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$