第十七章 专题2 勾股定理与实际问题-【中考123】2024-2025学年八年级下册数学全程导练（人教版）

第十七章 专题2勾股定理与实际问题 题型描述：将实际问题抽象成数学问题，利用勾3.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提 股定理求直角三角形的边长，并判断所求是否 高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带 满足实际要求 与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传 1.身高1.6m的小明想利用勾股定理测量下图 送带AB长为42m 中风筝的高度CE,于是他测得BD的长度为 (1)求新传送带AC的长度； 25m,并根据手中剩余线的长度计算出风筝 (2)若需要在货物着地点C的左侧留出2m 线BC的长为65m,求风筝的高度CE. 的通道，试判断和点B相距5m的货物 MNQP是否需要挪走，并说明理由. (参考数据：2≈1.4,3≈1.7) A ∠30°Z45 B 1题图 3题图 2.如图，一个机器人从A处先往东走4m,又往 北走1.5m,遇到障碍后又往西走2m,再转向 北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了 B处.问机器人从点A到点B之间的直线距离 是多少？ 05B 2m 4m 2题图 27⊙ 。中春123 龟呈程写练了数学·八年级下册 4.如图，去年某省将地处A,B两地的两所大学5.如图，已知AD=15cm,AH=10cm,HG= 合并成了一所综合性大学，为了方便A,B两 20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁 地师生的交往，学校准备在相距(1+√3)km 如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去 的A,B两地之间修筑一条笔直公路（即图 吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？ 中的线段AB).经测量，在A地的北偏东 E 60°方向、B地的北偏西45°方向的交汇点C 处有一个半径为0.7km的公园，问计划修 筑的这条公路会不会穿过这个公园？为什么？ 609 45° 5题图 4题图 方法小结： 1.在解决实际问题时，首先要画出恰当的示意 图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角 三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题 2.在实际问题中的图形中，通常利用割补法建立 直角三角形，以公共边作为等量关系，两次利 用勾股定理建立方程，求解相应线段。 3.解决立体图形表面最短路径问题，先将立体图 形展开成平面图形，再探究平面最短路径 问题 ⊙.2811.解：由题意，得MN⊥AC于点E, 2.解：如答图，过点B作BC⊥AD于点C, AB =5 n mile,BC =12 n mile,AC =13 n mile ÷AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m). 在△MBC中， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB+BC=169,AC=169. .AB +BC=AC, AB=√BC+AC=√6+2.5=6.5(m). 即机器人从点A到点B之间的直线距离是6.5m .△ABC是直角三角形，∠ABC=90. ,MN⊥AC 05B ∴走私艇C进人我国领海的最近距离是CE, .CE +BE BC ,AE BE =AB 即CE2+BE2=144.(13-CE)2+BE2=25, 2m 日 整理，得cE告 4 m C 借13x60-51m, 2题答图 .'9 h 50 min +51 min =10 h 41 min, 3.解：(1)在R△ABD中，AB=42,∠ABD=45°， .走私艇最早在l0h41min进入我国领海. ,AD=4. 专题1勾股定理与作图 在Rt△ACD中，∠ACD=30°， 1.解：(1)如答图①所示： ∴.AC=2AD=8. 即新传送带AC的长度为8m (2)结论：货物MNQP不需要挪走，理由如下： 在R△ABD中，BD=AD=4. B 1题答图① 在R△ACD中，CD=√82-42=45， (2)如答图②所示： CB-CD-BD=43-4=2.8. PC=PB-CB≈5-2.8=2.2(m),2.2m>2m, ,货物MNQP不需要挪走， 4.解：如答图，过点C作CD⊥AB,垂足为点D. 1题答图② 由题意，得∠CAB=30°，∠CBA=45. 2.解：(1)如答图①所示： 在Rt△CDB中，∠BCD=45°， ∴∠CBA=∠BCD,BD=CD., 在Rt△ACD中，∠CAB=30°， .AC =2CD. 设CD=DB=x,则AC=2x 、 由勾股定理，得AD=AC2-CD,,AD=3x 2题答图① (2)如答图②所示： .AD+DB=AB, 5x+x=1+5,解得x=1. CD=1>0.7, :计划修筑的这条公路不会穿过公园。 459 2题答图② :60 3.略 D 4.略 4题答图 专题2勾股定理与实际问题 5.解：将长方体沿CF,FG,GH剪开，向右翻折， 1.解：在Rt△CBD中， 使面FCHC和面ADCH在同一个平面内， .BD +CD=BC, 连接AB,如答图①， 252+CD2=652, 由题意，得BD=BC+CD=5+I0=15(cm), ,∴.CD=60. CE =CD DE. AD CH=15 cm. ,.CE=60+1.6=61.6(m). 在R△ABD中，根据勾股定理，得 即风筝的高度CE为61.6m AB=√BD+AD=152(cm). ·5 数学·八年级下册·参考答案 将长方体沿DE,EF,FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面： 3.(1)证明：∠B=90°，AB∥DF ADCH在同一个平面内， ∴∠D=∠B=90°. 连接AB,如答图②， ,AC⊥CE 由题意，得BH=BC+CH=5+15=20(cm), ∠ACE=90°， AH=10 cm. .∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+LECD=90°， 在Rt△ABH中，根据勾股定理，得 ,.∠ACB=∠CED AB=√Br+AF=105(cm). (2)解：在△ABC和△CDE中， ∠B=∠D: 将长方体沿CD,CF,EF剪开，向左翻折，使面DEFC和面 ∠ACB=∠CED ADEI在同一个平面内. LAC=CE, 连接AB,如答图③， ·△ABC≌△CDE(AAS), 由题意，得AC=AD+CD=15+10=25(cm),BC=5cm. ∴.AB=CD=3cm, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 ∴DE=BC=8-3=5(cm). AB=√AC+BC=5/26(cm). 第十七章知识清单 152<105<5√/26， 1.①定理 ∴.需要爬行的最短距离是152cm. 2.②a2+b2=e2 3.③a2+b=c2④直角三角形 4.⑤题设⑥结论 D C B 5.⑦正确 D 6.⑧正整数 第十七章易错强化训练 1.解：在R△ABC中， 5题答图① 5题答图② 5题答图③ 当BC是直角边时，利用勾股定理，得 专题3与勾股定理有关的动点问题 1.解：(1)6 BC=√AB-AC=2万； 当BC是斜边时，利用勾股定理，得 (2)经过6：或号。后，△BPQ是直角三角形 BC=√AB+AC=10. (3)如答图，过点Q作QD⊥AB于点D. 综上所述，BC的长是2万或10. ∴.∠QDB=90°，∴∠DQB=30°， 2.5或6 设P、Q两点移动时间为x8,则AP=x,BQ=2x, 3.解：a2=6,b=1,c2=5, DB=280=x 6+2=d2, ∴由a,b,c为边长能够组成斜边长为a的直角三角形 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=3x, 4.解：(1)a2+62=58.25,62=56.25, 2-5x=105, a2+c2≠b2, 2 ∴此三角形不是直角三角形. 解得x1=10,名=2 当x=10时，2x>12,故含去，x=2 2d+8-gc-器 则经过2秒△BPQ的面积等于103cm2. a2+b2=c2, “.此三角形是直角三角形. 第十七章中考模拟单元测 1.A2.C3.C4.B5.B6.D 7.768.5或139.510.2m11.(2)2m D 281罗 5 14.9或13或49 1题客图 15.解：(1)，AD平分∠CAB.DE⊥AB 2.解：设AD=xm,则AB=(10+x)m, ∠C=90°∴DE=CD=3. AC=(15-x)m,BC=5m, (2)在B△ABC中，由勾股定理，得 .(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2, AB=√AC+BC=10, .10+x=12(m) 答：树高AB为12m 5m=24B·DE=l15. ·6