八下数学期末复习专题二：勾股定理 2023-2024学年人教版数学八年级下册

八下数学期末复习专题（2）勾股定理 【基础知识】 一、勾股定理 1．命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． 2．证明：（1）毕达哥拉斯：第一个图中两个正方形的面积等于第二个图中两个正方形的面积． （2）赵爽的弦图：以斜边为边长的正方形的面积＋4个三角形的面积＝外正方形的面积．（这是等积的思想，即用不同代数式表示相同图形的面积） （3）《原本》：正方形DGHI的面积等于△CDI的面积的2倍，长方形ADJK的面积等于△ADG的面积的2倍，又△CDI≌△ADG，可得正方形DGHI的面积等于长方形ADJK的面积．同理，正方形CEFG的面积等于长方形BCJK的面积． 3．常见的勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④8，15，7． （1） （2） （3） 4．勾股定理可以用来证明：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等． 二、勾股逆定理——判定直角三角形的一个依据 1．命题：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．如果把勾股定理叫做原命题，那么勾股逆定理叫做勾股定理的逆命题；如果把勾股逆定理叫做原命题，那么勾股定理叫做勾股逆定理的逆命题．一个命题成立，它的逆命题未必成立，例如：如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 3．证明：画一个Rt△A’B’C’，使B’C’=a，A’C’=b，∠C’=90°．根据勾股定理，A’B’2= B’C’2+ A’C’2．因为a2+b2=c2，所以A’B’=c．在△ABC和△A’B’C’中，BC=a=B’C’，AC=b=A’C’，AB=c=A’B’，所以△ABC≌△A’B’C’．因此∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形． 三、应用 1．勾股定理的应用：（1）在数轴上表示二次根式：先在数轴上表示出两个直角边，再表示斜边． （2）水中芦苇问题：设水深为x，利用勾股定理列方程． （3）最短路径：画展开图，然后计算． 2．勾股逆定理的应用：（1）判断某三边能否组成直角三角形：计算两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． （2）证明某个角是直角：证明某三边能组成直角三角形，得直角三角形，则直角为90°． 四、拓展 1．费马大定理：当自然数n≥3时，方程xn+yn=zn没有正整数解，最终由怀尔斯完成证明．被数学界称为是一只“会下金蛋的鹅”“世纪性的成就”．并被列入1993年的世界科技十大成就之一． 2．直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，满足． 3．如果a，b，c，为一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数． 4．如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数． 【典例分析】 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为 ． 2．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a．较长直角边长为b，那么(a+b)2的值为 ． 3．已知a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有以下说法： ①a2，b2，c2能组成三角形；②，，能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形．其中正确的个数有 ． 4．如图，某工人在两墙AB，CD之间施工（两墙与地面垂直），斜靠了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点0.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长． 5．同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O离地面的距离为2.4m，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m．试求出秋千荡出的水平距离BC的长． 6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证： （1）； （2）CD2=AD·BD． 7．如图，△ABC中，AD是中线，求证：AB2+AC2=2(AD2+BD2)． 8．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2，D为AB上的点，E为AC上的点，ED垂直平分AB，求AE的长． 9．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作等边△ACD，求BD的长． 10．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，点B落在点B’处．当△CEB'为直角三角形时，求CB'的长． 【训练能力】 1．在大小为4×4的正方形方格中，三个顶点都在单元小正方形的顶点上的直角三角形有 个（全等的三角形只算一个）． 2．如图，一根长18 cm的牙刷置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是 ． 3．如图，△ABC中，AB=AC，点P是直线BC上一点． （1）当点P在BC边上时，求证：AB2-AP2=BP·PC． （2）当P 在BC的延长线或反向延长线上时，画出图形，判断（1）中的结论是否仍成立，若成立，请证明，若不成立，直接写出你的结论． 4．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，且CA=CB． （1）如图1，若△ECD也是等腰直角三角形，且CE=CD，△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2=2AC2． （2）如图2，E为AB上一点，AE=l，CE=2，直接写出BC的长为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)． （1）OA的长是 ． （2）点P为x轴正半轴上一点，且△AOP是等腰三角形，求P点坐标． 6．（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N是BC上任意两点，且乙MAN=45°，求证：BM2＋CN2=MN2． （2）如图2，已知△AMC中，N为MC上一点，∠MAN=∠C=45°，AC=6，MC=9．①求CN的长；②求AN的长． 7．（1）如图1，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆．求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积． ( A ) ( E )（2）如图2，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．求证：AE2+AD2=2AC2． ( A B D C B ) ( D ) ( C E F G H ) ( A D ) 图1 图2 8．在平面直角坐标系中，A(m，0)，B(0，n)，，C为AB上一动点，D为BC的中点． （1）求点A，B 的坐标； （2）如图1，连接OC，OD，若OC=OD，求OC 的长； （3）如图2，过点A，C作AE⊥OD，CM⊥OD，垂足为E，M．当点C在AB上运动时，直接写出CM2与AE2的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$