精品解析：云南省玉溪市、保山市2025届高三下学期复习教学质量检测数学试题

【考试时间：2025年4月27日15:00~17:00】 2025届高三复习教学质量检测 数学试题卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知ⅰ为虚数单位，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（ ） A. p和q都是假命题 B. 和q都是假命题 C. p和都是假命题 D. 和都是假命题 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 5. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（ ） A. 2 B. C. D. 8 6. 已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 10. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 在的展开式中，常数项为 C. 若二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大，则 D. 在的展开式中，的系数为85 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若在上单调递增，则 B. 当时，函数有两个极值点 C. 曲线的对称中心的横坐标与c有关 D. 当时，过点可作曲线的切线有3条 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则__________． 13. 已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前9项和________． 14. 生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为，，，中所包含的不同整数的个数，比如：，．当时，有序数组的个数为______；当取遍所有的个有序数组时，）的总和为______． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记内角的对边分别为，已知，． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求． 16. 函数在处的切线垂直于y轴． （1）求实数a； （2）若方程有两根，求b的取值范围． 17. 如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，． （1）求证：； （2）若，，，求与平面所成角的余弦值． 18. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 19. 已知双曲线的右焦点为，点在C上． （1）求双曲线C的方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点． （ⅰ）设双曲线C在点P处的切线为，求双曲线左支上的点到直线距离的最小值； （ⅱ）设直线是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线的对称点为M，求点M满足的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【考试时间：2025年4月27日15:00~17:00】 2025届高三复习教学质量检测 数学试题卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知ⅰ为虚数单位，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以.. 故选：C． 2. 已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（ ） A. p和q都是假命题 B. 和q都是假命题 C. p和都是假命题 D. 和都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可. 【详解】由，可得或，则可以推出，充分性成立； 当时，或，故必要性不成立， 所以可得是的充分不必要条件，故p是真命题，则是假命题； 令，得到，化简得，解得或， 则“，”，故q是真命题，则是假命题，即和都是假命题，故D正确， 故选：D． 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的模长与数量积的关系就得的值，再根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，，， 得，则， 所以在上的投影向量为. 故选：A． 4. 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（ ） A. B. C. 0.1 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值，最后由残差的定义求解即可. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以时，有，故残差为， 故选：B． 5. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设 在 轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出，结合题意可得，求解即可. 【详解】由题知，双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点，准线方程为． 由，得A，B两点坐标为，， 所以． 因为的周长为8，所以，解得，故A，C，D错误. 故选：B. 6. 已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先推得的对称性与单调性，又也关于对称，由对称性可知方程唯一的根在对称轴上，代入即可解得. 【详解】因为，则， 所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减； 又，故可看作由函数向右平移1个单位得到， 所以的图象也关于对称； 又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根， 因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得. 故选：C． 7. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 8. 设函数，，若存在，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，又由，得到在上单调递增，得到，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，且，进而得到的单调性和极值（最值），即可求解. 【详解】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 令，则， 令，则，可得， 所以在上单调递减，且， 当时，，，则在上单调递增； 当时，，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，所以. 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 10. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 在的展开式中，常数项为 C. 若二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大，则 D. 在的展开式中，的系数为85 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法易得；对于B，写出二项展开式的通项，依题求出的值代入即得；对于C，根据题意分为奇数或偶数进行分析讨论即可判断；对于D，根据项的系数要求，只需考虑从每个括号中每次选出的项的特点，再进行合并即得. 【详解】对于A，令，可得， 令，得，故，故A正确： 对于B，的展开式的通项公式为：， 令，解得，所以第5项为常数项，为，故B正确； 对于C，当n为偶数时，最中间项只有一项，又第4项的二项式系数最大，故展开式共有7项，即，解得； 当n为奇数时，中间项有两项，又第4项的二项式系数最大，故可能第3项与第4项的二项式系数相等且为最大 或第4项与第5项的二项式系数相等且为最大，此时或，解得或，故C错误； 对于D，展开式中的系数为 ，故D正确. 故选：ABD． 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时，若在上单调递增，则 B. 当时，函数有两个极值点 C. 曲线的对称中心的横坐标与c有关 D. 当时，过点可作曲线的切线有3条 【答案】BD 【解析】 【分析】当 时，在上单调递增，所以在上恒成立，转换不等式构造函数求最值即可得 的取值范围，即可判断A；根据导函数的根的根个数确定极值点个数，即可判断B；由函数对称的坐标关系即可判断C；根据导数的几何意义设切点坐标为，求切线方程解得切点恒坐标的根的个数即可得判断D. 【详解】对于A，当 时，在上单调递增，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 而，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，， 方程有两个不等实根，易得有两个极值，故B正确； 对于C，若曲线称中心为，则， 因为，所以， 则， 整理得：， 所以若有对称中心则：，解得， 故对称中心横坐标为，与无关，故C错误； 对于D，当时，，设切点，，， 所以切线， 因为切线过点， 所以，化简得， 方程有三个根，切点有三个，故切线有三条，故D正确. 故选：BD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角 的终边过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义求出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为 的终边过点，根据三角函数的定义，可得， . 故答案为：. 13. 已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前9项和________． 【答案】36 【解析】 【分析】设等差数列的公差为 ，根据题意，求得，得到，得出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 ， 因为，，可得，解得， 所以，，所以， 所以，所以数列为等差数列， 所以，可得， 故答案为：36． 14. 生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为，，，中所包含的不同整数的个数，比如：，．当时，有序数组的个数为______；当取遍所有的个有序数组时，）的总和为______． 【答案】 ①. 4 ②. 700 【解析】 【分析】根据的概念直接求解有序数组的个数即可；根据题意得数据中的整数个数可能有四种情况，分别进行讨论即可得出结果. 【详解】由题意知，当时，四个位置的数字必须相同， 故有序数组的个数为； 按的取值分类， 当时，有组， 当时，可分两种情况：其中一个数出现次，另一个数出现次或这两个数均出现 次， 则按照先分组再分配的方式得出共有组， 当时，的情况为：一个数出现 次，另外两个数均出现次， 则按照先分组再分配的方式得出共有组， 当时，有组， 所以总和为. 故答案为：4；700 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记内角的对边分别为，已知，． （1）求 的大小； （2）若，的面积为，求 ． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，得到，再由，求得，得到或，进而得到 的大小； （2）由及（1）得到，，利用正弦定理，得到，，根据的面积为，列出方程，即可求得 的值. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理可得， 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以或，所以或． 【小问2详解】 解：由及（1）可得，． 因为， 由正弦定理得，得，， 所以． 又因为已知的面积为，可得，解得． 16. 函数在处的切线垂直于y轴． （1）求实数a； （2）若方程有两根，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合题意分析可知，代入运算求解即可； （2）根据导数分析的单调性和最值，进而可得的图象，分析可知与有2个交点，结合图象即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：， 因为在处的切线垂直于y轴， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，定义域是，且， 令，解得， 当x变化时，，的变化情况如下： x 0 单调递减 单调递增 令，解得，当时，；当时，． 所以的图象经过特殊点，，， 且当 趋近于时， 趋近于0；当 趋近于时， 趋近于， 所以的大致图象如图； 若方程有两根，即与有2个交点， 由图象可知：，所以b的取值范围为. 17. 如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，． （1）求证：； （2）若，，，求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） ∵在四棱柱中且， ∴． 又∵在菱形ABCD中，，， 平面，∴平面，平面， ∴，O是AC的中点，∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）结合菱形性质及线面垂直的判定定理证得平面，从而利用线面垂直的性质定理得，即可证明； （2）结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证得平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ∵底面ABCD为菱形，，， ∴是正三角形，，． 又∵，， ∴，，，所以． 又∵，，平面ABCD，∴平面ABCD． 如图，以点O为坐标原点，以OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系： ，，，， ，． 设平面的法向量为， 则，即，取． 设与平面所成角为，且， ∴． 又，∴， 所以与平面所成角的余弦值． 18. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． （1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【答案】（1） （2）分布列： X 3 4 5 P 数学期望为 （3）比赛局数越多，对实力较强者越有利，理由： 采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：． 令， 因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，． 所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利； 当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响． 由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 【解析】 【分析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，利用独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，得到比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望； （3）分别求得三局二胜制进行比赛甲获胜的概率和五局三胜制进行比赛甲获胜的概率，结合作差比较法，以及函数的性质，即可得到结论. 【小问1详解】 设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则． 【小问2详解】 比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5， 可得，， ． 所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为． 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的右焦点为，点在C上． （1）求双曲线C的方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点． （ⅰ）设双曲线C在点P处的切线为，求双曲线左支上的点到直线距离的最小值； （ⅱ）设直线是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线的对称点为M，求点M满足的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，求解即可； （2）（ⅰ）法一：设的方程为：，与双曲线方程联立，求得的方程，利用平移法可求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；法二：因为点在双曲线上，由双曲线的切线的性质可求得切线方程，进而利用平移法可求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；（ⅱ）法一：分切线斜率是否存在两种情况讨论，设，利用判别式法求得，设点关于直线的对称点，可得，两式联立可得，化简整理可得轨迹方程.法二：设切点，双曲线在点Q处的切线为：， 设，分，两种情况讨论，当时，可得，∵利用点在双曲线上，代入计算化简即可. 【小问1详解】 ∵双曲线的右焦点为，点在C上． ∴，且， 解得：，∴双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）法一： 显然过点的切线斜率存在，设的方程为：， 联立，消y得：． 由，得，此时：． 设与平行且与双曲线左支相切的直线方程为， 联立，消y得， 由，得或（舍去）， ∴与平行且与双曲线左支相切的直线方程为， ∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为． 法二： ∵切点，∴双曲线在点P处的切线， 设平行于且与双曲线左支相切的直线为：， 联立，消y得， 由，得或（舍去）， ∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为． （ⅱ）法一： ①当双曲线的切线斜率不存在时，，易得点； ②当双曲线的切线斜率存在时，设， 联立，消y得：， 由，，得：． 设点关于直线的对称点， 则，解得， 代入，得：． 化简：， 展开得， 即：， 化简得：． ． 当时，即， M点的轨迹为点与F重合不合题意； 当时，即， M点的轨迹为以点圆心，半径为的圆， 此时点在圆上． 综上，点M的轨迹方程为. 法二： 设切点，双曲线在点Q处的切线为：， ∵点关于直线的对称点为M，设， ①当时，，，易得． ②当时，直线，斜率， 所以，解得， ∵点在双曲线上， ∴，即， ∴， 展开得， 即， 化简得， ． 当时，即，M点的轨迹为点与F重合不合题意； 当时，即， M点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 此时点在圆上． 综上，点M的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $