第4讲 不等式的性质、比较大小、证明讲义-2026届高三数学一轮复习

不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； (4)同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (6)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (7)可开方：a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2)． 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)特值法 3．不等式的证明方法 (1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； (2)作商法：如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． (3)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． (4)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； (5)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，推理形式是“要证，只需证明”． 考点一 不等式的性质 【例1】已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②．④正确．又正数大于负数，①正确，③错误． 【训练1】1．若＜＜0，则下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－中，正确的不等式是__________． 【答案】①③ 【解析】由＜＜0，可知b＜a＜0．①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0．故有＜，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0．故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，所以a－＞b－，故③正确．由以上分析，知①③正确． 2．下列命题中正确的是( ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，取则，故B错误； C选项，正确；对于D选项，取则，故D错误． 3．已知a>b，则下列不等式成立的是( ) A．a2－b2≥0 B．ac>bc C．|a|>|b| D．2a>2b 【答案】D　 【解析】A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立； 当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D． 4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是( ) A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a 【答案】D　 【解析】由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，又a＜0，∴ab＞ab2＞a． 5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 【答案】A　 【解析】由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1， 因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1．答案：A 6．（多选）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，，A错误； 对于B，，，，，，， ，即，B正确； 对于C，，，，即，C正确； 对于D，，D错误.故选：BC. 小结：1．判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 2．倒数关系在不等式中的作用：⇒＜；⇒＞． 考点二 做差比较大小 【例2】1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 【答案】B　 【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0．∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0．∴M>N． 【训练2】1．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________． 【答案】>　 【解析】作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，∵a1<a2，b1<b2， ∴(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1． 2．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________． 【答案】≥　 【解析】＋－＝＋＝(a－b)·＝． ∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0．∴＋≥＋． 3．已知，试比较与的值的大小． 【答案】时，；时，． 【解析】，可得， 当时，，，则，即； 当时，，则，即． 综上可得时，；时，． 4．已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小． 【答案】 【解析】∵ . 又a，b均为正实数，当时，； 当时，，则. 综上所述，. 考点三 做商比较大小 【例3】1．已知，试比较与的大小． 【答案】 【解析】， ，. 两数作商， . 【训练3】1．已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号） 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则. 故，当且仅当时，取等号，故选：D 3．设，试比较与的大小． 【答案】当时两者相等；当时． 【解析】依题意，，当时，；当时，： 当时，，所以； 当时，，所以. 故当时，，即. 小结：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积．商．幂的形式时，可考虑比商． 考点四 利用不等式求取值范围（同向可加性，可乘性） 【例4】1．设，，求，，的范围． 【答案】，， 【解析】∵，， ∴，，，， ∴，，∴. 故，，． 【训练4】1．（多选）已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，，所以，，则，，，即，，，则；故AB正确，CD错. 2．已知且满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，可得，解得， ，因为可得， 所以.故选：C. 3．，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】设， 则，解得，所以，， 因此，的最小值是. 4．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令则，∴， 又，…∴①，∴…②∴①+②得． 则．故选C． 5．已知实数满足，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设，得，解得， ∴，， ∴，即的取值范围为． 考点五 不等式的证明 【例5】1．已知，证明：． 【证明】∵， ，， ，. 【训练5】1．已知，求证． 【证明】 .由，可知，， 从而，又，，又， 因此上式分子、分母均小于零，，即. 2．已知，求证：． 【证明】．， ，，，，，． ，同理得，，． 又，． 3．（1）已知，求证：； （2）已知，求证：； （3）已知，求证：． 【证明】（1）因为，所以.则. （2）因为，所以.又因为，所以，即，因此. （3）因为，根据（2）的结论，得.又因为，则 ，即 考点六 糖水不等式 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 【例6】1．（多选）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可知，正确； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，即，错误； 对于D，，正确.故选：ABD 【训练6】1．我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）． 【答案】> 【解析】令，则，令，则， 所以，，根据题设知：. 故答案为：> ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； (4)同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (6)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (7)可开方：a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2)． 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)特值法 3．不等式的证明方法 (1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； (2)作商法：如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． (3)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． (4)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； (5)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，推理形式是“要证，只需证明”． 考点一 不等式的性质 【例1】已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】1．若＜＜0，则下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－中，正确的不等式是__________． 2．下列命题中正确的是( ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知a>b，则下列不等式成立的是( ) A．a2－b2≥0 B．ac>bc C．|a|>|b| D．2a>2b 4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是( ) A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a 5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 6．（多选）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 小结：1．判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 2．倒数关系在不等式中的作用：⇒＜；⇒＞． 考点二 做差比较大小 【例2】1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 【训练2】1．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________． 2．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________． 3．已知，试比较与的值的大小． 4．已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小． 考点三 做商比较大小 【例3】1．已知，试比较与的大小． 【训练3】1．已知，，试比较与的大小； 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 3．设，试比较与的大小． 小结：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积．商．幂的形式时，可考虑比商． 考点四 利用不等式求取值范围（同向可加性，可乘性） 【例4】1．设，，求，，的范围． 【训练4】1．（多选）已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知且满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．，，则的最小值是__________． 4．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，，则的取值范围为__________． 考点五 不等式的证明 【例5】1．已知，证明：． 【训练5】1．已知，求证． 2．已知，求证：． 3．（1）已知，求证：； （2）已知，求证：； （3）已知，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$