第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（3个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一：空间向量的坐标表示 【例1】（2025·高二·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，. 故选：A 【变式1-1】在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 【变式1-2】（2025·高二·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 【变式1-3】已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 题型二：空间向量的直角坐标运算 【例2】（2025·高二·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，，则. 故选：D. 【变式2-1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以则. 故选：A. 【变式2-2】（2025·高二·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则. 故选：B. 【变式2-3】（2025·高二·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】空间向量，则. 故选：D. 题型三：空间向量的共线与共面 【例3】已知，，若与共线，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】∵，， ∴，. ∵与共线， ∴，即. 故选：B. 【变式3-1】（2025·高二·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 【变式3-2】（2025·高二·新疆伊犁·期中）已知，，，若四点共面，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解析】向量，，，而四点共面， 则存在有序实数对使得，即， 则，解得，所以. 故选：A 【变式3-3】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】C 【解析】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 题型四：空间向量模长坐标表示 【例4】已知向量，，则 【答案】 【解析】，， ， . 故答案为：. 【变式4-1】已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 【答案】 【解析】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 【变式4-2】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，且，则 . 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，可得， 解得，所以， 又， 则. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高二·山东枣庄·期末）已知点，，则AB的中点坐标为 ，= . 【答案】 【解析】设线段的中点坐标为， 由中点坐标公式可得， 即线段的中点坐标为， 所以． 故答案为：；. 题型五：空间向量平行坐标表示 【例5】（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 . 【答案】 【解析】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高二·广西来宾·期末）已知，，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 故答案为： 【变式5-2】（2025·高二·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 【答案】2 【解析】向量 ，， ， 与互相平行，， ，解得 故答案为： 【变式5-3】（2025·高二·广东江门·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则 . 【答案】 【解析】由题设有，，故， 因为，故，故. 故答案为： 题型六：空间向量垂直坐标表示 【例6】已知空间向量，，若，则 ． 【答案】// 【解析】因为，所以，解得． 故答案为：． 【变式6-1】已知空间向量，若，则 【答案】 【解析】因为空间向量， 所以， 由于， 所以，解得. 故答案为： 【变式6-2】（2025·高二·湖北·期末）已知，，若，则实数λ= ． 【答案】 【解析】因为， 由， 所以. 故答案为： 【变式6-3】（2025·高二·江苏南通·期末）已知空间向量，，若，则 . 【答案】16 【解析】因为空间向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 题型七：空间向量夹角坐标表示 【例7】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 【变式7-1】已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 【变式7-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【解析】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 【变式7-3】已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【解析】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 1．已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A， 在上的投影向量为，故A正确； 对于B，，且所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以与不平行，故D错误. 故选：A 2．（2025·高二·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 3．（2025·高二·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 4．（2025·高二·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 5．（2025·高二·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 6．（2025·高二·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 7．（2025·高二·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为空间向量，，所以， ， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 9．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】已知，，，根据向量坐标运算可得，. 根据向量数量积坐标运算：可得. 根据向量模长公式：可得，. 根据向量夹角公式可得. 因为. 根据平行四边形面积公式，可得. 则邻边的平行四边形的面积为. 故选：B. 10．（多选题）（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【解析】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 11．（多选题）（2025·高二·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 12．（多选题）（2025·高二·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则 【答案】BD 【解析】对于A选项，，， 所以，， 因此，不存在实数，使得，A错； 对于B选项，若存在实数，使， 即，解得，B对； 对于C选项，由题意可得， 若为锐角，则，解得， 且、不共线，若、共线，则，解得， 所以，当、不共线时，， 因此，若为锐角，则且，C错； 对于D选项，若、、共面，则存在、，使得， 则，解得， 因此，若为一组基底，则，D对. 故选：BD. 13．（2025·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【解析】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 14．（2025·高二·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 15．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 16．（2025·高二·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 17．已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【解析】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 18．（2025·高二·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【解析】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 19．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 【解析】（1）由平面平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是. （2）因为底面，在底面内， 所以，由底面为长方形，有， 而，都在平面内， 所以平面平面，所以 又因为，点是的中点，所以，而，都在平面内， 所以平面 （3） 由题意，如图建立空间直角坐标系，设，，， 所以 当且仅当时，取得最小值. 20．已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【解析】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量， 所以； （3）因为，，， 所以，， 所以， 即，又， 所以， 所以的面积， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为． 21．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，，点E､F､G分别为线段､､的中点.    (1)证明：∥平面； (2)设直线与平面的交点为，求长度. 【解析】（1）取线段的中点，连接、， 在菱形中，点为线段的中点，则， 且平面，平面，可得∥平面， 又因为中，点为线段的中点，点为线段的中点，则， 且平面，平面，可得∥平面， 且，且平面，可得平面∥平面， 由平面，所以∥平面． （2）连接和交于点， 过点作直线垂直于平面， 如图，以为坐标原点，以向量为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设， 则，故， 依题意可得向量与共面，， 所以存在实数，，使得， 则，解得， 则，且， 则运用两点间的距离公式计算得到. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一：空间向量的坐标表示 【例1】（2025·高二·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型二：空间向量的直角坐标运算 【例2】（2025·高二·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量的共线与共面 【例3】已知，，若与共线，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【变式3-1】（2025·高二·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-2】（2025·高二·新疆伊犁·期中）已知，，，若四点共面，则（   ） A． B．6 C． D．3 【变式3-3】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 题型四：空间向量模长坐标表示 【例4】已知向量，，则 【变式4-1】已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 【变式4-2】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，且，则 . 【变式4-3】（2025·高二·山东枣庄·期末）已知点，，则AB的中点坐标为 ，= . 题型五：空间向量平行坐标表示 【例5】（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 . 【变式5-1】（2025·高二·广西来宾·期末）已知，，且，则 . 【变式5-2】（2025·高二·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 【变式5-3】（2025·高二·广东江门·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则 . 题型六：空间向量垂直坐标表示 【例6】已知空间向量，，若，则 ． 【变式6-1】已知空间向量，若，则 【变式6-2】（2025·高二·湖北·期末）已知，，若，则实数λ= ． 【变式6-3】（2025·高二·江苏南通·期末）已知空间向量，，若，则 . 题型七：空间向量夹角坐标表示 【例7】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【变式7-1】已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【变式7-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【变式7-3】已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 1．已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 2．（2025·高二·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 3．（2025·高二·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（2025·高二·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·高二·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 10．（多选题）（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 11．（多选题）（2025·高二·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 12．（多选题）（2025·高二·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则 13．（2025·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 14．（2025·高二·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 15．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ． 16．（2025·高二·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 17．已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 18．（2025·高二·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 19．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 20．已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 21．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，，点E､F､G分别为线段､､的中点.    (1)证明：∥平面； (2)设直线与平面的交点为，求长度. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$