第18讲 直线、平面平行的判定与性质-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第18讲 直线、平面平行的判定与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．平行的5条定理 2．平行的证明方法 一、教材概念·结论·性质重现 1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，bα，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b (1)证明线面平行常用的方法是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内． (2)辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)． 2．两个平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行． 3．常用结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)同一条直线与两个平行平面所成角相等． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 考点1　直线、平面平行的基本问题 例1．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　) A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 2．(多选题)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　) 3．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是(　　) A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APC C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ∥平面APC 考点2　直线、平面平行的判定与性质 例1．如图，在几何体E­ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点． 求证：GF∥平面ADE. 练习1．(多选题)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥n，n⊂α，α∥β，mβ，则m∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β 练习2．一个长方体被一个平面所截得的几何体如图所示，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 ． 练习3．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC. 考点3　面面平行的判定与性质及平行的综合问题 考向1　面面平行的判定与性质 例2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 变式1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 变式2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值． 考向2　平行关系的综合问题 例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 练习1．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且 ，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 练习2．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 ． 练习3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 多解探究： 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3. 证明：平面ABF∥平面DCE. 变式：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点．若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长． 1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．AC在此平面内 D．平行或相交 2．(多选题)下列命题中不是真命题的为(　　) A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，b∥α，则a∥α D．若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线 3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n； ②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n； ③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n； ④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n. 其中真命题的序号是(　　) A．②③ B．③④ C．①④ D．①② 4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F.若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　) A． B． C． D． 5．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．0条或2条 6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于 ． 7．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 8．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点．延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G.证明：GB∥平面DEF. 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD． (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由． 1．已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是(　　) A．若c⊂平面α，则a⊥α B．若c⊥平面α，则a∥α，b∥α C．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥α D．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α 2．(多选题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，下列四个结论中正确的为(　　) A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个 B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧 C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2 D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为 3．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线A1C1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为 ． 5．已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是 ． 6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，E为侧棱PD(不含端点)上的动点． (1)是否存在一点E，使得PB∥平面AEC？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． (2)若点F在CD上，且PE∶ED＝CF∶FD，在棱PA(不含端点)上是否存在点G，使得平面BCG∥平面AEF？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第18讲 直线、平面平行的判定与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　直线、平面平行的基本问题 例1．B　2．BCD　3．BC　 例1．证明：(方法一：线线平行，则线面平行)如图，取AE的中点H，连接HG，HD. 因为G是BE的中点， 所以GH∥AB，且GH＝AB. 又F是CD的中点， 所以DF＝CD. 由四边形ABCD是矩形得 AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 从而四边形HGFD是平行四边形， 所以GF∥DH. 又DH⊂平面ADE，GF平面ADE， 所以GF∥平面ADE. (方法二：面面平行，则线面平行)如图，取AB的中点M，连接MG，MF. 因为G是BE的中点，所以GM∥AE. 又AE⊂平面ADE，GM平面ADE， 所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中， 由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD. 又AD⊂平面ADE，MF平面ADE. 所以MF∥平面ADE. 又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE. 因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE. 练习1．BC　2．平行四边形 3． 证明：(方法一)连接AF，并延长交BC于点G，连接PG. 因为BC∥AD，所以＝. 又因为＝，所以＝，所以EF∥PG. 又因为PG⊂平面PBC，EF平面PBC， 所以EF∥平面PBC. (方法二)过点F作FM∥AD，交AB于点M，连接EM. 因为FM∥AD，AD∥BC，所以FM∥BC.又因为FM平面PBC，BC⊂平面PBC，所以FM∥平面PBC.由FM∥AD得＝.又因为＝，所以＝， 所以EM∥PB. 因为PB⊂平面PBC，EM平面PBC，所以EM∥平面PBC. 因为EM∩FM＝M，EM，FM⊂平面EFM， 所以平面EFM∥平面PBC， 因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC. 考点3　面面平行的判定与性质及平行的综合问题 考向1　面面平行的判定与性质 例2．证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以GH是△A1B1C1的中位线， 所以GH∥B1C1. 又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC， 所以B，C，H，G四点共面． (2)因为E，F分别是AB，AC的中点， 所以EF∥BC. 因为EF平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB， 所以A1G∥BE且A1G＝BE， 所以四边形A1EBG是平行四边形， 所以A1E∥GB. 又因为A1E平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 变式1．证明：如图，连接A1C，与AC1交于点M. 因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD. 因为D为BC的中点， 所以A1B∥DM. 因为A1B⊂平面A1BD1，DM平面A1BD1， 所以DM∥平面A1BD1. 由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， 所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以DC1∥BD1. 又DC1平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， 所以DC1∥平面A1BD1. 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， 所以平面A1BD1∥平面AC1D. 变式2．解：连接A1B，交AB1于点O，连接OD1. 因为平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O， 所以BC1∥D1O，则＝＝1. 同理AD1∥DC1. 又AD∥D1C1， 所以四边形ADC1D1是平行四边形， 所以AD＝D1C1. 又AC＝A1C1，所以＝，所以＝1，即＝1. 考向2　平行关系的综合问题 例3．解：在棱C1D1上存在一点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下： 如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG. 因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以D1C∥A1B. 又E，G分别为D1D，CD的中点， 所以EG∥D1C，从而EG∥A1B. 这说明A1，B，G，E四点共面． 所以BG⊂平面A1BE. 因为四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点， 所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B， 所以四边形B1BGF是平行四边形， 所以B1F∥BG， 而B1F平面A1BE，BG⊂平面A1BE， 故B1F∥平面A1BE. 练习1．C　2．平面ABC，平面ABD　 3．证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又因为SB⊂平面BDD1B1， EG平面BDD1B1， 所以直线EG∥平面BDD1B1. (2)如图，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD. 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG平面BDD1B1， 所以FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1，EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 多解探究： 证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD， 所以DE∥AF.因为AF平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为AB平面DCE，所以AB∥平面DCE. 因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE. 变式：解：(方法一)如图①，取AB1的中点P，连接NP，PM.因为N是AB的中点，所以NP∥BB1. 因为CM∥BB1，所以NP∥CM，所以NP与CM共面． 因为CN∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP. 所以四边形CNPM为平行四边形，所以CM＝NP＝CC1＝2. 1．A　2．ABC　3．A　4．C　5．C　 6．　 7．解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.故只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1. 8．证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F(图略)． 因为CBD1A1，D1A1＝A1G， 所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C． 又GB平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD， 所以GB∥平面A1B1CD． 又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF. 9．(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝AB. 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH为平行四边形， 所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD，CE平面PAD， 所以CE∥平面PAD． (2)解：存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF. 证明如下： 取AB的中点F，连接CF，EF， 则AF＝AB. 因为CD＝AB，所以AF＝CD． 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD． 又AD⊂平面PAD，CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD． 由(1)知CE∥平面PAD， 又CE∩CF＝C， 故平面CEF∥平面PAD， 故存在AB的中点F满足要求． 1．C　2．ABD　3．D　4．　5．平行四边形　 6． 解：(1)当E为PD的中点时，PB∥平面AEC．证明如下：如图，连接BD，设AC∩BD＝O，则O为BD的中点．连接EO，由E，O分别为PD，BD的中点，知EO为△PBD的中位线，所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC． (2)不存在符合题意的点G. 理由如下：假设存在点G满足题意． 如图，因为平面BCG∩平面ABCD＝BC，平面AEF∩平面ABCD＝AF， 又平面BCG∥平面AEF，所以BC∥AF. 又在菱形ABCD中，BC∥AD， 所以在平面ABCD内，过A点有两条直线AF，AD同时平行于BC，矛盾． 所以，在棱PA(不含端点)上不存在点G，使得平面BCG∥平面AEF. $$