第01讲 空间向量及其运算（8个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第01讲 空间向量及其运算 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 【例1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【变式1-1】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 【变式1-2】如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 【变式1-3】（2025·高二·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 【变式1-4】（2025·高二·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， , 故选：A 题型二：共线向量定理的应用 【例2】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式2-1】（2025·高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 【变式2-2】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【解析】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 【变式2-3】（2025·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 题型三：共面向量及应用 【例3】已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式3-1】（2025·高二·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 【变式3-2】（2025·高二·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【变式3-3】（2025·高二·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 题型四：空间向量的数量积 【例4】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【解析】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 【变式4-1】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【解析】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    【答案】/0.25 【解析】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高二·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ． 故答案为：-12 题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【例5】（2025·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【解析】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 【变式5-1】（2025·高二·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式5-2】如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式5-3】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 【例6】在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【解析】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 【变式6-1】（2025·高二·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【解析】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 【变式6-2】如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【解析】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 【变式6-3】（2025·高二·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【解析】（1）因为，所以， 所以. （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 题型七：利用空间向量的数量积证垂直 【例7】（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【解析】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 【变式7-1】如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【解析】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【变式7-2】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即． 【变式7-3】如图，四棱锥的各棱长都为． (1)用向量法证明； 【解析】(1)证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示； 四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，且OA＝OC，即⊥，0； 又PB＝PD＝a，∴PO⊥BD，即⊥，0， ∴()＝0，即0， ∴⊥，即BD⊥PC； 1．（2025·高二·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 2．（2025·高二·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 3．（2025·高二·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，， . 故 故选：A 4．（2025·高二·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【解析】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 5．（2025·高二·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 6．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 7．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 8．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】依题意，，所以. 故选：A 9．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 10．（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 11．（2025·高二·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 12．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【解析】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 13．（多选题）三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而， 所以，即A正确； 对于B，易知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为， 可得，可得，即D正确. 故选：ABD 14．（多选题）（2025·高二·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 【答案】ACD 【解析】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 15．（2025·高二·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【解析】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 16．已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 17．（2025·高二·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【解析】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得. 故答案为： 18．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【解析】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ，于是得：，即共面，它们有公共点E， 所以E，F，G，H四点共面. 19．（2025·高二·江苏常州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 【解析】（1）连接与交点为，在连接， 则为中点，为中点， 所以平面平面， 所以平面； （2）， ， 底面是菱形，且， ， ，即， . 20．（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1）因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）由， 所以 . 21．（2025·高二·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【解析】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 22．（2025·高二·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【解析】（1） （2）， ， . 23．（2025·高二·浙江丽水·期中）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【解析】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其运算 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 【例1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【变式1-1】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-2】如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2025·高二·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·高二·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：共线向量定理的应用 【例2】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2-1】（2025·高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式2-2】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【变式2-3】（2025·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 题型三：共面向量及应用 【例3】已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式3-1】（2025·高二·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（2025·高二·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 题型四：空间向量的数量积 【例4】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【变式4-1】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【变式4-2】如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    【变式4-3】（2025·高二·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【例5】（2025·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【变式5-1】（2025·高二·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式5-2】如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式5-3】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 【例6】在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【变式6-1】（2025·高二·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【变式6-2】如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【变式6-3】（2025·高二·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 题型七：利用空间向量的数量积证垂直 【例7】（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【变式7-1】如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【变式7-2】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【变式7-3】如图，四棱锥的各棱长都为． (1)用向量法证明； 1．（2025·高二·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 5．（2025·高二·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 10．（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 11．（2025·高二·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 13．（多选题）三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 14．（多选题）（2025·高二·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 15．（2025·高二·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 16．已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 ． 17．（2025·高二·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    18．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 19．（2025·高二·江苏常州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 20．（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 21．（2025·高二·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 22．（2025·高二·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 23．（2025·高二·浙江丽水·期中）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$