精品解析：广东省深圳市深圳科学高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

深圳科学高中2024-2025学年第二学期期中考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：陈钦 审题人：吴冰欣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A 1 B. C. D. 4. 已知函数，其中，则（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 将一边长为2正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆锥的侧面积为 10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（ ） A. 甲同学：第25百分位数为3，众数为5 B. 乙同学：平均数为3，方差为2.4 C. 丙同学：中位数为3，极差为2 D. 丁同学：平均数为3，中位数为4 11. 已知函数定义域为，对于任意非零实数，均有，且，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直观图是边长为2的等边，则的面积是________． 13. 若是奇函数,则________． 14. 瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求与的夹角； （2）若向量为在上的投影向量，求. 16. 某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表） 17. 如图，在凸四边形ABCD中，，． （1）求证：； （2）若，求四边形ABCD面积的最大值． 18. 已知函数 （1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； （2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 19. 若函数满足：对于，都有，且，则称函数为“函数” （1）试判断函数与是否为“函数”，并说明理由 （2）设函数为“函数”，且存在，使，求证： （3）试写出一个“函数”，满足，且使集合中元素最少（只需写出你的结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳科学高中2024-2025学年第二学期期中考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：陈钦 审题人：吴冰欣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用两角和的正弦公式求解即可． 【详解】 ， 故选：B. 4. 已知函数，其中，则（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的意义求值. 【详解】，其中， . 故选:D． 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 6. 连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率. 【详解】由题设，向量的可能组合有36种， 要使向量与向量的夹角，则，即， 满足条件的情况如下： 时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是. 故选：D 7. 将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令正方形对角线与的交点为，如图所示： 由正方形中，, 则，那么, 将正方形沿对角线折起，如图所示： 则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为， 故外接球的表面积为. 故选：D 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于基础题. 8. 记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充要条件性质、正弦定理、二倍角的正弦公式计算即可得. 【详解】当时，由正弦定理可得， 又，在中，， 故， 即，故“”是“”的充分条件； 当时，例如，，，， 有，符合题意，但， 故“”不是“”的必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆锥的侧面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求圆锥的母线长，进而求圆柱、圆锥的侧面积以及圆柱、圆锥、球的表面积，结合选项分析判断. 【详解】由题意可知：圆锥的母线长为， 则圆柱、圆锥的侧面积分别为、； 圆柱、圆锥、球的表面积分别为、、； 故A、D正确； 可知三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小，故B错误； 圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确； 故选：ACD. 10. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（ ） A. 甲同学：第25百分位数为3，众数为5 B. 乙同学：平均数为3，方差为2.4 C. 丙同学：中位数为3，极差为2 D. 丁同学：平均数为3，中位数为4 【答案】AB 【解析】 【分析】根据百分位数、中位数、众数、平均数、极差、方差定义求解. 【详解】对A，因为，比邻整数为2， 则可取统计点数1,3,5,5,6，满足题意，A正确； 对B，构造统计点数为2,2,2,3,6， 平均数为， 方差为， 满足题意，B正确； 对C，若出现6，且极差为2，则最小数为4，则中位数不可能为3，故C错误； 对D，因为平均数为3，所以5个数总和为15， 若要出现6，且中位数为4，则剩余三个数之和为5，则剩余三个数都比4小， 那么中位数不可能是4，矛盾，故D错误， 故选：AB. 11. 已知函数的定义域为，对于任意非零实数，均有，且，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，令，结合题意分析即可；对于D：整理可得，令，分析讨论的符号即可判断. 【详解】对于选项A：因为对于任意非零实数x，y，均有， 令，则，可得，故A正确； 对于选项B：例如，显然， 对于任意非零实数，，且，符合题意， 但，显然不为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，整理可得， 令，可得， 又因，且， 可得，故C正确； 对于选项D： 若，由可知成立； 若，由，整理可得， 令，可得， 当时，由可知，即， 所以； 当时，对于， 令，则， 可得，可知， 由可知，即， 可得； 综上所述：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：1.对于CD：结合选项要适当整理函数关系式，方便理解和运算； 2.也可以整理得，以指数函数为基础理解，可以快速作出选择. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的直观图是边长为2的等边，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图和原图面积的关系求解即可. 【详解】因为直观图等边的高为， 所以直观图面积为， 又因为原图的面积为直观图面积的倍， 所以的面积是， 故答案为：. 13. 若是奇函数,则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到,即可求出的值,求出函数的定义域，再由奇函数的性质,求出的值,即可得到结果。 【详解】因为是奇函数, 定义域关于原点对称, 由,可得, 所以且, 所以,解得, 所以函数的定义域为, 则,即, 解得, 此时, ,符合题意; 故答案为:. 14. 瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 【答案】 ①. 3 ②. 或 【解析】 【分析】根据重心的性质得出，进而都化为以点为起点的向量，即可得出空一；根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 【详解】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，. 故答案为：3；或. 【点睛】思路点睛：根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求与的夹角； （2）若向量为在上的投影向量，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）根据投影向量的公式气促，再根据及数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，即，解得， 设与的夹角为， 则，所以， 故与的夹角为； 【小问2详解】 向量为在上的投影向量， 则， 故 . 16. 某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表） 【答案】（1），中位数为82.5． （2），有520名学生获奖． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解； （2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数乘以不低于平均值的频率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，解得， 设此次竞赛活动学生得分的中位数为， 因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得， 由，得， 所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图及（1）知： 数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ， 此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为， 则， 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖 17. 如图，在凸四边形ABCD中，，． （1）求证：； （2）若，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，则，根据正弦定理得，结合余弦定理，再边化角得，结合三角函数和差角公式可证； （2）根据（1）结合条件得，，，则，在中，根据余弦定理，结合基本不等式得，从而可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 由，则， 根据正弦定理得，则， 又根据余弦定理， 所以， 即， 再由正弦定理得， 即， 则， 所以， 因为，则， 所以或， 得或（舍）， 故； 【小问2详解】 根据（1），又， 所以，所以，， 所以，且， 在中，， 根据余弦定理， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形ABCD面积的最大值为. 18. 已知函数 （1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； （2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【小问1详解】 若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. 【小问2详解】 若，, 函数 由，得 ,当，则 则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. 【小问3详解】 因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数. 19. 若函数满足：对于，都有，且，则称函数为“函数” （1）试判断函数与是否为“函数”，并说明理由 （2）设函数为“函数”，且存在，使，求证： （3）试写出一个“函数”，满足，且使集合中元素最少（只需写出你的结论） 【答案】（1）是“函数”， 不是 “函数”；（2）证明见解析；（3）(答案不唯一). 【解析】 【分析】（1）利用“函数”定义，结合与解析式，判断上的符号，利用作差法、函数单调性比较对应函数的大小，进而确定是否为“函数”； （2）令且，结合“函数”性质判断大小关系，讨论、、确定是否符合题设，即可证结论. （3）写出一个“函数”，并应用“函数”性质判断是否符合题设. 【详解】（1）在上恒成立，恒成立， 对于，则，， ∴，即成立； ，， ∴，即，又为增函数， ∴， 综上，是“函数”， 不是 “函数”. （2）令，且，， ∴，即， ∴对于在上，一定有. ∵为“函数”， ∴，. 若，则不合题意； 若，则不合题意； ∴，得证. （3）， 当，，则， 当，，则，而此时，则， ∴，且，元素个数最少. 【点睛】关键点点睛：第二问，令，应用“函数”性质易得，再讨论大小关系证明结论；第三问，写出一个“函数”并利用其性质证明满足题设条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$