2024年河南省普通高中招生考试坤卷·数学-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

河南数学·乾卷答题卡·第１页（共２页） 　　　　 　　　　 ２０２４年河南省普通高中招生考试 坤卷·数学答题卡 姓　　名　　　　　　　　 　　　　　　　　 准考证号 考 场 号　　　　　 　　 座号　　　　　 　 贴条形码区 注 意 事 项 １．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座号，然后 将本人姓名、准考证号、考场号和座号填写在答题卡相应位置。 ２．答选择题时，必须使用２Ｂ铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号。修改时， 要用橡皮擦干净，再选择填涂其他答案。 ３．答非选择题时，必须使用０．５毫米黑色签字笔，在题号所指示的答题区域内 书写作答，超出答题区域书写的答案无效。要求字体工整，笔迹清晰。 ４．保持答题卡清洁、完整、严禁折叠，严禁做任何标记，严禁使用涂改液、 修正带。 填涂样例 正确填涂 　 缺考标记 （考生禁填） 缺考考生，由监考号贴条形码，并用 ２Ｂ铅笔填涂右面的缺考标记。 选择题（请用２Ｂ铅笔均匀填涂） 一、选择题（每小题３分，共３０分） １ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　　　 ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １０ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ７ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ８ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 非选择题（请用０．５毫米黑色墨水的钢笔或签字笔答题） 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．　　　　　　　　１２．　　　　　　　　１３．　　　　　 １４．　　　　　　　　１５．　　　　　 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １６．（１０分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 １７．（９分） （１）　　　　　　　　 （２）　　　　　　　　，　　　　　　　　 （３） （第１７题图） １８．（９分） （１） （第１８题图） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 １９．（９分） （１） （第１９题图） （２） （３） ２０．（９分） （第２０题图）　　 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 河南数学·坤卷答题卡·第２页（共２页） 　 　 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２１．（９分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２２．（１０分） （１）　　　　　　　　；　　　　　　　　 （２） （第２２题图）　　　　 （３） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２３．（１０分） （１） （第２３题图①）　 （２） （第２３题图②）　　 （３） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 坤卷·河南数学　第１页（共６页） 坤卷·河南数学　第２页（共６页） 坤卷·河南数学　第３页（共６页） ２０２４年河南省普通高中招生考试 坤卷·数学 注意事项： １．本试卷共６页，三个大题，满分１２０分，考试时间１００分钟。 ２．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试 卷上的答案无效。 一、选择题（每小题３分，共３０分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． １．２９的相反数是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－２９ Ｂ． ２ ９ Ｃ． ９ ２ Ｄ．－ ９ ２ ２．如图是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了数字．若正方体的上面是面⑤，则正方体的 底面是 Ａ．面① Ｂ．面③ Ｃ．面② Ｄ．面④ （第２题图） 　　　　 （第４题图） 　　　　 （第６题图） ３．为了加快文旅文创融合，把“行走河南·读懂中国”打造成为高识别度、高传播度、高美誉度的 国际知名文旅品牌，２０２４年河南省力争游客接待量突破１０亿人次、综合收入突破１００００亿元， 其中数据“１００００亿”用科学记数法可表示为 Ａ．１×１０１１ Ｂ．０．１×１０１１ Ｃ．１×１０１２ Ｄ．０．１×１０１２ ４．一条等宽的纸条折叠后的图形如图所示，若∠２＝６３°，则∠１的度数为 Ａ．６０° Ｂ．５０° Ｃ．５４° Ｄ．５５° ５．下列运算正确的是 Ａ．（ｘ＋１）（ｘ－１）＝ｘ２－１ Ｂ．ｘ６÷ｘ２＝ｘ３ Ｃ． 槡 槡３５－５＝３ Ｄ．（－ｘ ２）３＝ｘ６ ６．如图，将一个量角器放置在横线稿纸上，量角器的边缘与稿纸线交于Ａ，Ｂ两点，点Ｃ是ＡＢ左侧量角 器边缘上一点，则∠ＡＣＢ的度数为 Ａ．３６° Ｂ．４０° Ｃ．３０° Ｄ．３５° ７．对任意整数ｎ，（２ｎ－３）２－２５都能 Ａ．被３整除 Ｂ．被４整除 Ｃ．被５整除 Ｄ．被６整除 ８．读万卷书，不如行万里路．寒假期间某校组织研学旅行活动（每名学生只能选择一个地方），安 排了上海、哈尔滨、广州、海南四个地方，小明和小红准备参加这次研学活动，他们随机选取一 个地方研学，则他们选取同一个地方的概率为 Ａ．１３ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ８ ９．已知直线ｙ＝ｂｘ＋ｃ（ｂ≠０）经过第一、二、三象限，则抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象可能是 １０．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＯ为等边三角形，Ａ（０，４），以 ＡＢ为边，在 ＡＢ右侧构造正六 边形ＡＢＣＤＥＦ．若组合图形ＯＣＤＥＦ绕点Ｏ逆时针旋转，每次旋转１５°，则第２０２４次旋转结束 时，点Ｄ的坐标为 （第１０题图）　　　　　 Ａ．（槡６３，２） Ｂ．（ 槡－６３，２） Ｃ．（槡６３，－２） Ｄ．（ 槡－６３，－２） 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．单项式“０．７５ａ”可以解释为：一件商品标价为ａ元，若按标价的七五折出售，这件商品的售价 为０．７５ａ元．请再赋予“０．７５ａ”一个含义：　　　　　　　　　　　． １２．二元一次方程组 ｘ＋２ｙ＝３， ３ｘ－２ｙ{ ＝５的解是　　　　　　　　　　． １３．据统计，数学家群体是一个长寿群体，某数学兴趣小组通过查阅《数学家传略辞典》找到９０岁 及以上的长寿数学家的年龄作为一个样本，对数据进行整理与分析，并绘制成如下不完整的 统计图表，则抽取的这个样本中年龄不低于９６岁的数学家共有　　　　　人． 　　　　　 （第１３题图） 　　　　　 （第１４题图） １４．如图，⊙Ｏ内切于四边形 ＡＢＣＤ，切点分别为 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，其中∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝９０°，∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＤＡ，若ＡＤ＝２，则⊙Ｏ的半径为　　　　　　． １５．在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为 ＡＢ，ＢＣ的中点，若 ＡＤ＝１０，△ＤＥＦ为直角三角形，则 ＡＢ的长 为　　　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １６．（１０分）（１）计算： ＋｜３－π｜＋４－１；　　　　　（２）化简：（１＋１ｘ）÷ ｘ２－１ ｘ２－ｘ ． １７．（９分）为了弘扬中华民族的传统美德，践行社会主义核心价值观，培养学生文明意识，营造和 谐雅致、积极向上的校园环境，做好文明校园的创建工作，某校开展“创建文明城市，争做文明 少年”主题活动，对全校学生进行了文明知识宣讲，并在该校七、八年级各抽取相同人数参加 市文明办举行的文明知识竞赛活动（满分１０分），他们的成绩都为整数且均不低于７分．依据 成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： （第１７题图） 　　　 　　　　参赛人员成绩统计表 成绩 ７分 ８分 ９分 １０分 人数 １７ ５ ｍ １１ 请根据图表信息，解答下列问题： （１）ｍ＝　　　　　； （２）八年级成绩的中位数为　　　　　，众数为　　　　　； （３）分别计算七、八年级成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个年级成绩较好． １８．（９分）如图，已知△ＡＢＣ． （１）请用无刻度的直尺和圆规作ＢＣ边上的高ＡＤ；（保留作图痕迹，不写作法） （２）若在ＢＣ上存在一点Ｅ，满足ＡＥ＝ＡＣ．在（１）的条件下，求证：ＤＥ＝ＤＣ． （第１８题图） 坤卷·河南数学　第４页（共６页） 坤卷·河南数学　第５页（共６页） 坤卷·河南数学　第６页（共６页） １９．（９分）如图，已知△ＯＡＤ，点Ａ（槡２３，０），ＯＡ＝ＡＤ，∠ＤＯＡ＝３０°，将△ＯＡＤ绕点Ｏ逆时针旋转， 使得点Ａ落在ＯＤ上的点Ａ′处，得到△ＯＡ′Ｄ′．点Ｄ在双曲线ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）上． （第１９题图） （１）求该双曲线的解析式； （２）判断点Ｄ′是否在该双曲线ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）上； （３）求图中阴影部分的面积． ２０．（９分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边成直角的曲尺（即图 中的折线ＡＢＣ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”的一边仰着放平（即一边与水平地面平行，另 一边与水平地面垂直），可测量物体的高度．某同学利用这个仪器测量校园内旗杆的高度，已 知曲尺的一边ＡＢ与水平地面平行且距离为１米，∠ＡＢＣ＝９０°，旗杆ＦＥ垂直于水平地面，从Ａ 处仰视旗杆顶端Ｆ，视线与ＢＣ交于点Ｄ，测得ＡＢ＝４６厘米，ＢＤ＝３０厘米，将曲尺水平向右移 动１０米至折线Ａ′Ｂ′Ｃ′处，此时从Ａ′处仰视旗杆顶端Ｆ，视线与Ｂ′Ｃ′交于点Ｄ′，且Ａ′Ｂ′＝Ｂ′Ｄ′， 图中点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′都在同一平面内，请求出旗杆ＥＦ的高度． （第２０题图） ２１．（９分）某校准备用限额费用２３００元租用Ａ，Ｂ两种型号的大巴车载２４５名学生和５名老师去 郊区烈士陵园扫墓，要求每辆车至少载一名老师．Ａ，Ｂ两种型号的大巴车载客量和租金如下 表所示： Ａ型号大巴车 Ｂ型号大巴车 载客量（人／辆） ５５ ４５ 租金（元／辆） ４８０ ３８０ 根据以上信息，解答下列问题： （１）共需租用多少辆大巴车？ （２）请设计出一个费用最低的租车方案． ２２．（１０分）为了维护环境，城市施工扬尘治理已成为重点防治项目，其中施工湿法作业是必不可 少的一项举措．为了防止扬尘，某工地在施工作业区外围围墙上安装了防尘喷水头，施工时喷 水降尘．某数学兴趣小组对某喷水设施进行了多次测量，喷水设施喷出的水在空中呈抛物线 型，喷出的水距水平地面的竖直距离ｙ（单位：米）和距出水口的水平距离ｘ（单位：米）的关系 如下表所示： ｘ ０ １ ２ ３ ４ ｎ ｙ ２．４ ３ ３．２ ｍ ２．４ ０ 　　 （第２２题图） 根据以上信息，解答下列问题： （１）表格中的ｍ＝　　　　　；此抛物线的顶点坐标为　　　　　　； （２）求出 ｙ关于 ｘ的函数解析式及 ｎ的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出其函数 图象； （３）根据环境防治要求，需在喷水墙前方距出水口水平距离１．５米处安装高３米的隔音板，请 问这样安装会阻挡喷水设施喷水吗？（判断并说明理由） ２３．（１０分）综合与实践 【问题背景】已知在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＢ＝ ，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｐ为射线ＢＣ上一点，连接 ＡＰ，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＰ交ＡＰ的延长线于点Ｄ，连接ＣＤ． 【操作探究】 （１）如图①，当点Ｐ在线段ＢＣ上（点Ｐ不与点Ｂ，Ｃ重合）时，∠ＣＤＢ的度数是　　　　　； （第２３题图） （２）如图②，当点Ｐ在点Ｃ左侧时，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＤＣ交ＤＣ的延长线于点Ｅ，过点Ｄ作ＤＦ∥ ＡＣ交直线ＢＥ于点Ｆ，连接ＣＦ．请判断四边形ＡＤＦＣ的形状，并说明理由； 【拓展运用】 （３）在【操作探究】基础上，当ＣＤ＝１２ＡＰ时，直接写出ＢＰ的长． 坤卷答案及解析·河南数学 数 学 第五场　数学 快速对答案 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ａ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｃ　９．Ｂ　１０．Ｂ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．若每个作业本０．７５元，则买ａ个作业本共需０．７５ａ元（答案不唯一） １２． ｘ＝２， ｙ＝{ １２　１３．２６　１４．槡３　１５． 槡５２或 槡１０２ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １６．（１０分）（１）原式＝π－３４；（２）原式＝１． １７．（９分）（１）７；（２）７．５分，７分；（３）七年级成绩的平均数为８．３分，八年级成绩的平均数为８．３分，七年级成绩较好，分 析略． １８．（９分）（１）作图略；（２）证明略． １９．（９分）（１）该双曲线的解析式为ｙ＝ 槡９３ｘ（ｘ＞０）；（２）点Ｄ′在该双曲线ｙ＝ 槡９３ ｘ（ｘ＞０）上；（３）阴影部分的面积为 槡６３－π． ２０．（９分）旗杆ＥＦ的高度为１９．７５米． ２１．（９分）（１）共需租用５辆大巴车；（２）费用最低的租车方案是租用３辆Ａ型号大巴车，２辆Ｂ型号大巴车． ２２．（１０分）（１）３，（２，３．２）；（２）ｙ关于ｘ的函数解析式为ｙ＝－０．２（ｘ－２）２＋３．２，ｎ的值为６，画图略；（３）不会，理由略． ２３．（１０分）（１）１３５°；（２）平行四边形，理由略；（３）槡４２或 槡８－４２． 详解详析 １．Ａ ２．Ｂ　【解析】∵该多面体是正方体，且面⑤和面③是相对面， ∴当正方体的上面是面⑤时，底面是面③ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 方 法 指 导 找正方体展开图中相对面的一般方法 （１）同一行或同一列有三个面及以上相连的，隔着一 面的两个面必定是相对的面，可归纳为“上下隔一 行，左右隔一列”，如： ； （２）不在同一行的，找Ｚ字形，Ｚ字形两端的面一定是相对 的面．如： ． ３．Ｃ ４．Ｃ　【解析】延长纸条的边如解图，由折叠和平行线的性质可 知，∠１＝∠４，∠２＝∠３，∴∠２＋∠３＋∠４＝１８０°，即２∠２ ＋∠１＝１８０°，又∵∠２＝６３°，∴∠１＝５４°． 第４题解图 ５．Ａ ６．Ｄ　【解析】如解图，连接ＡＯ，∵Ａ，Ｂ，Ｃ三点均在半圆 Ｏ上， ∴∠ＡＣＢ＝１２∠ＡＯＢ，由量角器读出∠ＡＯＢ＝７０°，∴∠ＡＣＢ ＝３５°． 第６题解图 ７．Ｂ　【解析】∵（２ｎ－３）２－２５＝（２ｎ－３＋５）（２ｎ－３－５）＝ （２ｎ＋２）（２ｎ－８）＝４（ｎ＋１）（ｎ－４），∴对任意整数 ｎ，（２ｎ －３）２－２５都能被４整除． ８．Ｃ　【解析】把上海、哈尔滨、广州、海南分别记为 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ， 由题意列表如下： 　　小红 小明　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ａ） （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｂ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｃ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） （Ｄ，Ｄ） 共有１６种等可能的结果，其中他们选取同一个地方的结果 有４种，∴Ｐ（他们选取同一个地方）＝４１６＝ １ ４                                    ． ２１ 坤卷答案及解析·河南数学 数 学 ９．Ｂ　【解析】∵直线ｙ＝ｂｘ＋ｃ经过第一、二、三象限，∴ｂ＞０，ｃ ＞０．Ａ．∵抛物线与 ｙ轴交点在负半轴上，∴ｃ＜０，故不符合 题意；Ｂ．∵抛物线与ｙ轴交点在正半轴上，开口向下，∴ｃ＞ ０，ａ＜０，∵对称轴在ｙ轴右侧，∴ｂ＞０，故符合题意；Ｃ．∵抛 物线与ｙ轴交点在正半轴上，开口向下，∴ｃ＞０，ａ＜０，∵对 称轴在ｙ轴左侧，∴ｂ＜０，故不符合题意；Ｄ．∵抛物线与ｙ轴 交点在负半轴上，∴ｃ＜０，故不符合题意 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 方 法 指 导 二次函数图象与ａ，ｂ，ｃ的关系 ａ 决定抛物线 的 开 口 方 向，｜ａ｜决定 开口大小 当ａ＞０时，抛物线开口向上； 当ａ＜０时，抛物线开口向下 ａ，ｂ 决定抛物线 对称轴（对 称轴为直线 ｘ＝ － ｂ２ａ） 的位置 当ａ，ｂ同号时，－ｂ２ａ＜０，对称轴 在ｙ轴左侧； 当 ｂ＝０时，－ｂ２ａ＝０，对称轴为 ｙ轴； 当ａ，ｂ异号时，－ｂ２ａ＞０，对称轴 在ｙ轴右侧 ｃ 决定抛物线 与 ｙ轴交点 的位置 当ｃ＞０时，抛物线与 ｙ轴的交点 在正半轴上； 当ｃ＝０时，抛物线经过原点； 当ｃ＜０时，抛物线与 ｙ轴的交点 在负半轴上 ｂ２－４ａｃ 决定抛物线 与 ｘ轴的交 点个数 当ｂ２－４ａｃ＞０时，抛物线与 ｘ轴 有２个交点； 当ｂ２－４ａｃ＝０时，抛物线与 ｘ轴 有唯一交点（顶点）； 当ｂ２－４ａｃ＜０时，抛物线与 ｘ轴 没有交点 １０．Ｂ　【解析】由题意可知，组合图形ＯＣＤＥＦ绕点Ｏ逆时针旋 转，每次旋转１５°，则第２０２４次旋转结束时，共旋转２０２４ ×１５°＝３０３６０°，３０３６０÷３６０＝８４……１２０，即该组合图形 绕点Ｏ逆时针旋转８４圈后再逆时针旋转１２０°，如解图，旋 转后的图形为ＯＣ′Ｄ′Ｅ′Ｆ′，此时点Ｄ′在第二象限，∵旋转不 改变图形的形状和大小，Ａ（０，４），∴ＯＡ＝Ａ′Ｏ＝Ａ′Ｂ′＝４，∴ 正六边形的边长为４，易得∠ＢＯＢ′＝１２０°，∠ＡＯＢ＝６０°，∴ ＯＢ′与ｙ轴夹角为６０°，则ＯＢ′与ｘ轴负半轴夹角为３０°，∴ Ａ′Ｂ′⊥ｘ轴，在正六边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′Ｆ′中，Ｄ′Ｅ′∥Ａ′Ｂ′，设 Ｄ′Ｅ′，Ａ′Ｂ′分别交ｘ轴于点Ｍ，Ｎ，在等边三角形ＯＡ′Ｂ′中，∵ ＯＮ⊥Ａ′Ｂ′，∴ＮＯ 槡＝２３，在正六边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′Ｆ′中，易得 ＭＮ 槡＝３Ａ′Ｂ′ 槡＝４ ３，Ｄ′Ｍ＝ １ ２Ｄ′Ｅ′＝ １ ２Ａ′Ｂ′＝２，∴ＯＭ＝ ＭＮ＋ＯＮ 槡＝６３，又∵点 Ｄ′在第二象限，∴第２０２４次旋转 结束时，点Ｄ的坐标为（ 槡－６３，２）． 第１０题解图 １１．若每个作业本０．７５元，则买 ａ个作业本共需０．７５ａ元（答 案不唯一） １２． ｘ＝２， ｙ＝{ １２ １３．２６　【解析】由统计图表知，９８－９９岁有１０人，在样本中所 占百分比为１０％，∴样本容量为１０÷１０％ ＝１００，其中１００ －１０１岁占样本的５％，∴人数为１００×５％ ＝５，则样本中 年龄不低于９６岁的数学家人数为１１＋１０＋５＝２６． １４．槡３　【解析】如解图，延长 ＢＡ和 ＣＤ交于点 Ｍ，连接 ＯＭ， ＯＨ，ＯＤ，ＯＧ，则⊙Ｏ为△ＢＭＣ的内切圆，∴ＭＯ平分 ∠ＡＭＤ，∵∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ，∴∠ＭＡＤ＝∠ＭＤＡ，又∵∠Ｂ＝ ３０°，∴∠ＡＭＤ＝６０°，∴△ＡＭＤ为等边三角形，∴ＭＤ＝ＡＤ ＝２，∠ＯＭＧ＝１２∠ＡＭＤ＝３０°，ＭＯ⊥ＡＤ，又∵ＯＨ⊥ＡＤ，∴ 点Ｍ，Ｈ，Ｏ三点共线，则Ｈ为ＡＤ的中点，∴ＡＨ＝ＤＨ＝１，易 知△ＯＨＤ≌△ＯＧＤ，∴ＤＨ＝ＤＧ＝１，∴ＭＧ＝３，在 Ｒｔ△ＯＭＧ 中，∠ＯＭＧ＝３０°，∴ＯＧ 槡＝３． 第１４题解图 １５． 槡５ ２或 槡１０ ２　【解析】∵△ＤＥＦ在矩形 ＡＢＣＤ内部，∴ ∠ＥＤＦ＜∠ＡＤＣ，即∠ＥＤＦ＜９０°，∴△ＤＥＦ为直角三角形 分两种情况： 　　　　 第１５题解图 第一种情况：当∠ＤＥＦ＝９０°时，如解图①，在矩形                                                                       ＡＢＣＤ ３１ 坤卷答案及解析·河南数学 数 学 中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，又∵∠ＤＥＦ＝９０°，∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＥ， ∴△ＤＡＥ∽△ＥＢＦ，∴ＡＤＢＥ＝ ＡＥ ＢＦ，∵Ｅ，Ｆ分别为 ＡＢ，ＢＣ的中 点，∴ＡＥ＝ＢＥ，ＢＦ＝１２ＢＣ＝ １ ２ＡＤ＝５，则 ＢＥ ２＝１０×５＝ ５０，∴ＢＥ 槡＝５２（负值已舍去），∴ＡＢ＝２ＢＥ 槡＝１０２；第二种 情况：当∠ＤＦＥ＝９０°时，如解图②，同理可得△ＥＢＦ∽ △ＦＣＤ，∴ＥＢＦＣ＝ ＢＦ ＣＤ，易知 ＣＤ＝２ＢＥ，ＢＦ＝ＣＦ＝５，∴２ＢＥ ２＝ ２５，∴ＢＥ＝ 槡５２２（负值已舍去），∴ＡＢ＝２ＥＢ 槡＝５ ２，综上所 述，ＡＢ的长为 槡５２或 槡１０２． １６．解：（１）原式＝２＋π－３＋１４ （３分）!!!!!!!!! ＝π－３４； （５分）!!!!!!!!!!! （２）原式＝ｘ＋１ｘ ÷ （ｘ－１）（ｘ＋１） ｘ（ｘ－１） ＝ｘ＋１ｘ· ｘ（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１） （８分）!!!!!!! ＝１． （１０分） !!!!!!!!!!!!!!! １７．解：（１）７；【解法提示】∵七、八年级参加人数一样，七年级 有７＋４＋５＋４＝２０（人）参加，则八年级也有２０人参加，∴ ｍ＝２０＋２０－１７－５－１１＝７． （２分） !!!!!!!!! （２）７．５分，７分；【解法提示】八年级得分情况，如下表 所示： 成绩 ７分 ８分 ９分 １０分 人数 １０ １ ２ ７ ∴八年级成绩的中位数是７．５分，众数是７分． （６分） ! （３）七年级成绩的平均数为（７×７＋４×８＋５×９＋４×１０） ÷２０＝８．３（分）， 由（２）中表格知，八年级成绩的平均数为（７×１０＋８×１＋９ ×２＋１０×７）÷２０＝８．３（分）， 七年级成绩的中位数为 ８分，八年级成绩的中位数为 ７．５分， 由平均数看，七、八年级平均水平相当，从中位数看，七年级 成绩的中位数大于八年级，所以综合来看，此次文明知识竞 赛，七年级成绩较好． （９分） !!!!!!!!!!!! １８．（１）解：如解图，线段ＡＤ即为所求作； （４分） !!!!! 第１８题解图 （２）证明：如解图，∵ＡＥ＝ＡＣ， ∴△ＡＥＣ为等腰三角形， （６分）!!!!!!!!!!! 又由作图知，ＡＤ⊥ＣＥ， ∴ＤＥ＝ＤＣ． （９分） !!!!!!!!!!!!!!!! １９．解：（１）如解图，过点Ｄ作ＤＧ⊥ｘ轴，垂足为Ｇ， 在△ＯＡＤ中，ＯＡ＝ＡＤ，Ａ（槡２３，０）， ∴ＡＤ＝ＡＯ 槡＝２３，∠ＡＤＯ＝∠ＤＯＡ＝３０°， ∴∠ＤＡＧ＝６０°， ∴在Ｒｔ△ＤＡＧ中，ＤＧ＝３，ＡＧ 槡＝３， ∴ＯＧ 槡＝３３，即点Ｄ（槡３３，３）， ∵点Ｄ在双曲线ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）上，∴ｋ 槡＝９３， ∴该双曲线的解析式为ｙ＝ 槡９３ｘ（ｘ＞０）； （３分）!!!! （２）如解图，过点Ａ′作Ａ′Ｍ⊥ｘ轴，垂足为Ｍ， （４分）!! 由题意知∠Ａ′ＯＤ′＝∠ＯＤ′Ａ′＝Ａ′ＯＭ＝３０°， ∴∠ＯＡ′Ｄ′＝１２０°，∠ＯＡ′Ｍ＝６０°， ∴∠ＯＡ′Ｄ′＋∠ＯＡ′Ｍ＝１８０°， ∴Ｄ′，Ａ′，Ｍ三点共线， ∴Ｄ′Ｍ⊥ｘ轴， 易得ＯＤ′＝ＯＤ＝６，∠Ｄ′ＯＭ＝６０°， 则ＯＭ＝３，Ｄ′Ｍ＝３×ｔａｎ６０° 槡＝３３， （５分）!!!!!! ∴点Ｄ′（３，槡３３）， 槡 槡∵３×３３＝９３， ∴点Ｄ′在该双曲线ｙ＝ 槡９３ｘ（ｘ＞０）上； （７分）!!!!! （也可以证明△ＯＤ′Ｍ≌△ＤＯＧ，利用ｋ的几何意义证明） 第１９题解图 （３）如解图，由题意可知△ＤＯＡ≌△Ｄ′ＯＡ′， ∴Ｓ△ＤＯＡ＝Ｓ△Ｄ′ＯＡ′，即为 １ ２ＯＡ·ＤＧ 槡＝３３， ∵扇形ＡＯＡ′的面积为３０π·（槡２３） ２ ３６０ ＝π， ∴阴影部分的面积为 槡２×３３－π 槡＝６３－π． （９分）!! ２０．解：如解图，过点Ａ作ＡＧ⊥ＥＦ于点Ｇ， 由题意知，Ｂ′Ｄ′∥ＦＧ， ∴∠Ａ′Ｄ′Ｂ′＝∠ＡＦＧ， 又∵∠Ｄ′Ａ′Ｂ′＝∠ＦＡ′Ｇ， ∴△Ａ′Ｂ′Ｄ′∽△Ａ′ＧＦ， ∴Ａ′Ｂ′Ａ′Ｇ＝ Ｂ′Ｄ′ ＦＧ， （３分）!!!!!!!!!!!!!!! 又∵Ａ′Ｂ′＝Ｂ′Ｄ′，∴Ａ′Ｇ＝ＦＧ， 设Ａ′Ｇ＝ＦＧ＝ｘ米，则ＡＧ＝ＡＡ′＋Ａ′Ｇ＝（１０＋ｘ）米， 同理可得△ＡＢＤ∽△ＡＧＦ，∴ＡＢＡＧ＝ ＢＤ ＦＧ， （６分）!!!!! 又∵ＡＢ＝０．４６米，ＢＤ＝０．３米，ＡＧ＝（１０＋ｘ）米，ＦＧ                                                                       ＝ ４１ 坤卷答案及解析·河南数学 数 学 ｘ米， ∴０．４６ｘ＝（１０＋ｘ）·０．３， ∴ｘ＝１８．７５，即ＦＧ＝１８．７５米， 又∵ＥＦ＝ＦＧ＋１＝１９．７５米， ∴旗杆ＥＦ的高度为１９．７５米． （９分） !!!!!!!! 第２０题解图 ２１．解：（１）由题意可知，Ａ，Ｂ两种型号大巴车共需载客 ２５０人， ∵２５０÷５５＝４．５５， ∴至少需要５辆车才能将全部师生载完， 又∵要求每辆车至少一名老师， ∴车辆数不超过５辆， 综上可知，共需租用５辆大巴车； （４分） !!!!!!! （２）设租车费用为ｙ元，租用Ａ型号大巴车ｘ辆， 由（１）知，共租用５辆大巴车， ∴租用Ｂ型号大巴车（５－ｘ）辆， 则ｙ＝４８０ｘ＋３８０（５－ｘ）＝１００ｘ＋１９００， 又∵这５辆大巴车的载客量不得少于２５０人， ∴５５ｘ＋４５（５－ｘ）≥２５０， ∴ｘ≥２．５， 又∵ｘ为整数， ∴租用Ａ型号车辆不得少于３辆， ∴３≤ｘ≤５， ∵ｙ＝１００ｘ＋１９００，１００＞０， ∴ｙ随ｘ的增大而增大， （７分） !!!!!!!!!!! 又∵３≤ｘ≤５， ∴当 ｘ＝３时，ｙ有最小值，最小值为 ３×１００＋１９００＝ ２２００， ∵２２００＜２３００，符合题意， ∴费用最低的租车方案是租用３辆 Ａ型号大巴车，２辆 Ｂ 型号大巴车． （９分） !!!!!!!!!!!!!!!! ２２．解：（１）３，（２，３．２）；【解法提示】由题意知，ｙ与ｘ成二次函 数关系，由表格可知，当ｘ＝０或ｘ＝４时，ｙ＝２．４，∴抛物线 的对称轴为直线 ｘ＝（０＋４）÷２＝２，∴顶点坐标为（２， ３．２），当ｘ＝１和ｘ＝３时，函数值相同，则当ｘ＝３时，ｙ＝３， 即ｍ＝３． （４分） !!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设ｙ关于ｘ的函数解析式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋３．２， 由表格知，当ｘ＝０时，ｙ＝２．４， ∴２．４＝ａ（０－２）２＋３．２，解得ａ＝－０．２， ∴ｙ关于ｘ的函数解析式为ｙ＝－０．２（ｘ－２）２＋３．２， （６分） !! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 将（ｎ，０）代入，得－０．２（ｎ－２）２＋３．２＝０，解得ｎ＝６或ｎ＝ －２（不符合题意，舍去）， ∴ｎ＝６， 画出其函数图象如解图； （８分） !!!!!!!!!!! 第２２题解图 （３）不会，理由如下：由（２）知，ｙ＝－０．２（ｘ－２）２＋３．２， 当ｘ＝１．５时，ｙ＝３．１５， 即在距出水口水平距离为１．５米的位置，水柱距水平地面 的竖直距离为３．１５米， ∵３．１５＞３， ∴这样安装不会阻挡喷水设施喷水． （１０分） !!!!! ２３．解：（１）１３５°； （２分） !!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∴点 Ｃ，Ｄ在以 ＡＢ为 直径的圆上，∴四边形ＡＢＤＣ为圆内接四边形，∴∠ＣＤＢ＋ ∠ＢＡＣ＝１８０°，∵∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＢＡＣ＝ ４５°，∴∠ＣＤＢ＝１３５°． （２）平行四边形， （３分） !!!!!!!!!!!!!! 理由如下： ∵∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°， ∴Ｃ，Ｄ在以ＡＢ为直径的圆上， ∴Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆， ∴在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∵∠ＡＤＣ＋∠ＰＤＣ＝１８０°， ∴∠ＰＤＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°， ∵ＢＤ⊥ＤＰ，∴∠ＢＤＥ＝４５°， ∵∠ＤＥＢ＝９０°，∴△ＢＤＥ为等腰直角三角形， （５分）!! ∴ＤＥ＝ＢＥ， ∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＣ，∴ＤＦ⊥ＢＣ， ∴∠ＦＤＥ＝∠ＣＢＥ， 又∵∠ＤＥＦ＝∠ＢＥＣ，ＢＥ＝ＤＥ， ∴△ＤＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＳＡ）， ∴ＣＥ＝ＥＦ， ∵ＤＥ⊥ＢＦ， ∴△ＣＥＦ为等腰直角三角形，即∠ＦＣＥ＝４５°， ∴∠ＦＣＥ＝∠ＰＤＥ，∴ＣＦ∥ＡＰ， 又∵ＤＦ∥ＡＣ， ∴四边形ＡＤＦＣ为平行四边形； （８分） !!!!!!!! （３）槡４２或 槡８－４２． （１０分）!!!!!!!!!!!! 【解法提示】由题图②，得当点Ｐ在点Ｃ左侧时， ∵在Ｒｔ△ＡＣＰ中，ＣＤ＝１２ＡＰ，∴点Ｄ为ＡＰ的中点，则易知 △ＡＢＰ为等腰三角形，∴ＢＰ＝ＡＢ 槡＝４２； 当点Ｐ在点Ｃ的右侧时，如解图，在 Ｒｔ△ＡＣＰ中，取 ＡＰ的 中点Ｍ，连接ＣＭ，则ＡＭ＝ＭＣ＝ＣＤ＝１２ＡＰ，由（２）同理可 知，△ＢＤＥ为等腰直角三角形，∠ＢＤＥ＝４５°                                                                       ， ５１ 坤卷答案及解析·河南数学 数 学 ∵∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＡＤＣ＝４５°， ∵ＣＤ＝１２ＡＰ，∴ＣＭ＝ＣＤ， ∴∠ＣＭＤ＝∠ＡＤＣ＝４５°， 又∵ＡＭ＝ＭＣ，∴∠ＣＡＰ＝２２．５°， 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＢ 槡＝４２，∴ＡＣ＝ＢＣ＝４， 过点 Ｍ作 ＭＯ⊥ＡＰ，连接 ＰＯ，∴ＡＯ＝ＯＰ，∴∠ＯＡＰ＝ ∠ＯＰＡ＝２２．５°，∴∠ＣＯＰ＝４５°， 则△ＣＯＰ为等腰直角三角形，∴ＣＰ＝ＣＯ，设 ＣＰ＝ＣＯ＝ａ， 则ＡＯ＝ＯＰ 槡＝２ａ，∵ＡＣ＝４，即ａ 槡＋２ａ＝４， ∴ａ 槡＝４２－４，即ＣＰ 槡＝４２－４， ∴ＢＰ＝ＣＢ－ＣＰ 槡＝８－４２． 综上所述，ＢＰ的长为 槡４２或 槡８－４２． 第２３题解图                  ６１