2024年河南省普通高中招生考试乾卷·数学-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷·河南数学　第１页（共６页） 乾卷·河南数学　第２页（共６页） 乾卷·河南数学　第３页（共６页） ２０２４年河南省普通高中招生考试 乾卷·数学 注意事项： １．本试卷共６页，三个大题，满分１２０分，考试时间１００分钟。 ２．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试 卷上的答案无效。 一、选择题（每小题３分，共３０分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． １．下列各数中属于负数的是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－２０ Ｂ．｜－２｜ Ｃ．（－２）×０ Ｄ．（－２）０ ２．河南烩面是一道富有河南特色的传统美食．某烩面馆使用的大老碗如图所示，关于它的三视 图，下列说法正确的是 Ａ．主视图和左视图相同 Ｂ．主视图和俯视图相同 Ｃ．左视图和俯视图相同 Ｄ．三种视图都不相同 （第２题图） 　　　　　　　　 （第４题图） ３．化简：（１ｍ－１）· １ ｍ－１的结果是 Ａ． １ｍ－１ Ｂ．ｍ Ｃ．ｍ－１ Ｄ．－ １ ｍ ４．筷子是华夏饮食文化的标志之一．如图是用４根筷子搭建的一个几何图形，其中ＡＢ∥ＣＤ，ＯＥ⊥ ＣＤ，垂足为Ｅ，若∠１＝３０°，则∠ＰＯＥ的度数为 Ａ．９０° Ｂ．１２０° Ｃ．１３０° Ｄ．１３５° ５．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ－ｋ＝０有两个不相等的实数根，则ｋ的值不可以是 Ａ．－１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ６．下列性质中，菱形有而矩形没有的是 Ａ．对角线相等 Ｂ．对角线互相平分 Ｃ．邻边互相垂直 Ｄ．对角线互相垂直 ７．小明同学想把自己一模的各科成绩绘制成一个统计图，若要使其能直接反映数学成绩在这次 一模考试总成绩中所占的百分比，应当绘制的统计图是 Ａ．条形统计图 Ｂ．扇形统计图 Ｃ．折线统计图 Ｄ．频数分布直方图 ８．２０２３年５月我国成功发射第五十六颗北斗导航卫星，该卫星的发射将进一步提升系统服务性 能，对推广北斗系统特色服务、支撑北斗系统规模应用具有重要意义，其绕地球运动的速度被 称为第一宇宙速度，大致为７．９×１０３ｍ／ｓ，该卫星运动１０００ｍｉｎ走过的路程大致为 Ａ．７．９×１０６ｍ Ｂ．４．７４×１０７ｍ Ｃ．４．７４×１０８ｍ Ｄ．４．７４×１０６ｍ ９．如图，在７×７的正方形网格中，有线段ＰＱ和格点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ（每个小正方形的顶点称为格点）． 将线段ＰＱ沿竖直方向向下平移，平移后的线段能同时经过的两个格点是 Ａ．点Ａ和点Ｂ Ｂ．点Ａ和点Ｃ Ｃ．点Ｂ和点Ｃ Ｄ．点Ｂ和点Ｄ （第９题图） 　　　　　 （第１０题图） １０．如图①，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝４５°，点Ｅ是边ＡＢ上一个动点，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＣ于 点Ｆ，射线ＥＦ交折线Ａ－Ｄ－Ｃ于点Ｇ．设ＡＥ＝ｘ，△ＡＥＧ的面积为ｙ，ｙ关于ｘ的函数图象如图 ②所示．当点Ｅ是ＡＢ的中点时，△ＡＧＥ的面积为 Ａ．２５４ Ｂ． ２７ ８ Ｃ．７ Ｄ． １５ ２ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．若ａ－１＞０，则－ａ　　　　　－１．（填“＞”“＝”或“＜”） １２．若点Ｍ在一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象上，则点Ｍ的坐标可以是　　　　　（写出一个即可）． １３．“老家河南、天下黄河、华夏古都、中国功夫”成为河南文旅四大超级ＩＰ，若从这四项中随机选 择两项，则恰好选择的是“天下黄河”与“中国功夫”的概率是　　　　　． １４．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝１２０°，ＡＢ＝６，连接ＡＣ，ＡＥ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｅ．将线段ＢＣ绕点Ｂ 顺时针旋转，使得点Ｃ落在ＡＥ延长线上的点Ｆ处，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． （第１４题图） 　　　　　　 （第１５题图） １５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝４，点Ｄ是ＡＢ上一动点（不与点Ａ，Ｂ重合），点 Ｅ是ＢＣ的中点，连接ＣＤ，ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＥＦ，ＢＦ，若△ＣＥＦ是直角三角形，则ＢＦ的长 为　　　　　． 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １６．（１０分）（１）计算：２２ 槡－９＋３ －１；　　　　　　（２）化简：３（ｘ－２ｙ）２－ｘ（３ｘ－１２ｙ）． １７．（９分）冬季天干物燥，消防安全刻不容缓．某校为提高全校学生消防安全意识，组织了一次消 防安全演习，并对全校学生消防知识的掌握情况进行了测试（满分１０分）．测试结束后，小明 从七年级（１）班和八年级（２）班各随机抽取了１０名学生的成绩，并进行整理、分析，得到如下 信息： ａ．七年级（１）班抽取学生的成绩条形统计图 （第１７题图） ｂ．八年级（２）班抽取学生成绩的统计表 成绩 ６ ７ ８ ９ １０ 人数 １ ２ ２ ２ ３ ｃ．两班抽取的学生成绩对比表 平均数 中位数 众数 最高分 七年级（１）班 ８．４ ｎ ９ １０ 八年级（２）班 ８．４ ８．５ １０ １０ 根据以上信息，回答下列问题： （１）填空：ｍ＝　　　，ｎ＝　　　； （２）试比较七年级（１）班和八年级（２）班哪个班的成绩更好，请说明理由； （３）小明说：若这个学校七年级和八年级一共有２０００名学生，那么这次测试成绩为１０分的学 生约４００名．试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 乾卷·河南数学　第４页（共６页） 乾卷·河南数学　第５页（共６页） 乾卷·河南数学　第６页（共６页） １８．（９分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ在第一象限，ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，反比例函数ｙ＝ｋｘ （ｘ＞０）的图象经过ＯＡ的中点Ｃ，与ＡＢ交于点Ｄ，△ＡＢＯ的面积为４． （１）求反比例函数的解析式； （２）若点Ｄ的纵坐标是１，求ＡＤ的长． （第１８题图） １９．（９分）洛阳白马寺为中国第一古刹，被认为是中国佛教的发源地．寒假期间，小南和家人一起 去白马寺游玩，刚到白马寺山门，就被高大的山门所震撼．爱思考的小南想利用所学知识测量 白马寺山门的高度．如图，他发现距山门右侧１５．８米处有一个石马ＡＢ，石马ＡＢ和山门ＣＤ均 垂直于地面ＢＤ．他在石马和山门之间选取一点 Ｅ，用测角仪测得石马 ＡＢ的最高点 Ａ的仰角 为４５°，同时测得山门ＣＤ的最高点Ｃ的仰角为２７°，点Ｂ，Ｅ，Ｄ在同一条直线上．若石马ＡＢ的 高度为１．８米，求山门ＣＤ的高．（结果精确到０．１米，参考数据：ｓｉｎ２７°≈０．４５，ｃｏｓ２７°≈０．８９， ｔａｎ２７°≈０．５１） 　（第１９题图） ２０．（９分）“南阳四圣”之一的“科圣”张衡是东汉时期杰出的天文学家、发明家，他创制出了世界 上最早的“漏水转浑天仪”，如图①所示．小明在假期参观南阳张衡博物馆时，根据“漏水转浑 天仪”的形态，抽象出如图②所示的数学平面图形，右侧支撑龙ＡＢ与“浑天仪”⊙Ｏ相切于点 Ａ，交底座ＢＣ于点Ｂ．中心支撑杆ＯＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，交⊙Ｏ于点Ｐ，连接ＡＰ，过点Ａ作ＡＮ⊥ＢＣ 于点Ｎ，交⊙Ｏ于点Ｆ．请你根据小明提供的条件，回答下列问题： （１）求证：∠Ｂ＝２∠ＯＰＡ； （２）若ＡＦ＝２，ＭＮ 槡＝３，ＰＭ＝１，求ＡＢ的长． （第２０题图） ２１．（９分）汴绣是汉族传统刺绣工艺之一，素有“国宝”之称，２００６年，汴绣被确定为河南省首批非 物质文化遗产之一．某电商购进 Ａ，Ｂ两种汴绣产品，已知每件 Ａ种汴绣产品的进价比每件 Ｂ 种汴绣产品的进价高９５元，用３０６０元购买的Ａ种汴绣产品比Ｂ种汴绣产品少１９件． （１）求Ａ，Ｂ两种汴绣产品每件的进价分别是多少元； （２）该电商计划购进Ａ，Ｂ两种汴绣产品共１００件．他打算按Ａ种汴绣产品每件２５０元，Ｂ种汴 绣产品每件１２０元的价格出售，且要求销售完这批汴绣产品所得的利润不低于５７００元， 求该电商最少应购进Ａ种汴绣多少件． ２２．（１０分）已知二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋１）２－２的图象与ｙ轴交于点（０，－１），点Ｐ（ｍ，ｎ）是该二次函 数图象上一动点． （１）求该二次函数的解析式； （２）若ｗ＝４ｍ－ｎ，则当ｍ为何值时，ｗ有最大值，最大值是多少； （３）若点Ｑ（ｍ＋２，ｄ）也是该二次函数图象上一点，当ｍ≤ｘ≤ｍ＋２时，二次函数的最大值比最 小值大２，请直接写出ｍ的值． ２３．（１０分）在复习图形与几何部分时，老师举例“如图①，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ 于点Ｄ，已知ＡＢ＝８，ＡＣ＝６，求ＡＤ的长度”后，提出一个解决问题的特殊方法———等面积法： 利用“同一个图形的面积相等”“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”“同底等 高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，可以使解题思路更加清晰， 解题过程更加简便快捷．针对这个方法，智慧学习小组用等面积法完成了老师的例子，并进行 了新的探索： 　（第２３题图①） 解：∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝８，ＡＣ＝６，∴ＢＣ＝１０， ∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＡＣ＝ １ ２ＢＣ·ＡＤ，即６×８＝１０ＡＤ，即直角三 角形斜边上的高线与斜边的乘积等于两条直角边的乘积，很快得出ＡＤ ＝４．８． （１）非直角三角形等面积法的应用 如图②，点Ｄ是△ＡＢＣ的边ＣＢ延长线上一点，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＢＣ，交ＡＣ 于点Ｅ．若ＡＤ＝５，ＢＤ＝４，ＢＣ＝６，求ＢＥ的长； （第２３题图） （２）特殊四边形等面积法的应用 ①如图③，已知菱形ＡＢＣＤ的边长是ａ，对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，ＡＣ＝ｂ，ＢＤ＝ｃ，ＡＥ⊥ＢＣ 于点Ｅ，设ＡＥ＝ｘ，求ｘ与ａ、ｂ、ｃ之间的数量关系，并说明理由； ②如图④，已知ＡＢＣＤ的面积是３０，点Ｐ在ＡＢＣＤ内，若Ｓ△ＰＡＢ＝５，求△ＰＣＤ的面积； （３）综合拓展的应用 如图⑤，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝１２，Ｅ是线段 ＢＣ上一点，连接 ＡＥ，以 ＡＥ为边作 ＡＥＦＧ，且边ＦＧ所在直线过矩形的顶点Ｄ，如果点Ｇ到ＡＤ的距离是４，请直接写出点Ｆ 到ＡＤ的距离． 河南数学·乾卷答题卡·第１页（共２页） 　　　　 　　　　 ２０２４年河南省普通高中招生考试 乾卷·数学答题卡 姓　　名　　　　　　　　 　　　　　　　　 准考证号 考 场 号　　　　　 　　 座号　　　　　 　 贴条形码区 注 意 事 项 １．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座号，然后 将本人姓名、准考证号、考场号和座号填写在答题卡相应位置。 ２．答选择题时，必须使用２Ｂ铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号。修改时， 要用橡皮擦干净，再选择填涂其他答案。 ３．答非选择题时，必须使用０．５毫米黑色签字笔，在题号所指示的答题区域内 书写作答，超出答题区域书写的答案无效。要求字体工整，笔迹清晰。 ４．保持答题卡清洁、完整、严禁折叠，严禁做任何标记，严禁使用涂改液、 修正带。 填涂样例 正确填涂 　 缺考标记 （考生禁填） 缺考考生，由监考号贴条形码，并用 ２Ｂ铅笔填涂右面的缺考标记。 选择题（请用２Ｂ铅笔均匀填涂） 一、选择题（每小题３分，共３０分） １ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　　　 ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １０ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ３ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ７ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ８ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 非选择题（请用０．５毫米黑色墨水的钢笔或签字笔答题） 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．　　　　　　　　１２．　　　　　　　　１３．　　　　　 １４．　　　　　　　　１５．　　　　　 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １６．（１０分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 １７．（９分） （１）　　　　　　　　，　　　　　　　　 （２） （第１７题图）　　 （３） １８．（９分） （１） （第１８题图）　　 （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 １９．（９分） （第１９题图）　　　 ２０．（９分） （１） （第２０题图）　　 （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 河南数学·乾卷答题卡·第２页（共２页） 　　　　 　　　　 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２１．（９分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２２．（１０分） （１） （２） （３） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２３．（１０分） （１） （第２３题图②）　　 （２） （第２３题图③） （第２３题图④） （３） （第２３题图⑤） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 乾卷答案及解析·河南数学 数 学 第五场　数学 快速对答案 一、选择题（每小题３分，共３０分） １．Ａ　２．Ａ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ａ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｃ　９．Ｃ　１０．Ｂ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．＜　１２．（０，－１）（答案不唯一）　１３．１６　１４． ６π 槡＋９－９３ ２ 　１５． 槡４ １０ ５ 或 槡２２ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １６．（１０分）（１）原式＝４３；（２）原式＝１２ｙ ２． １７．（９分）（１）４，８．５；（２）八年级（２）班的成绩更好，理由略；（３）不正确，理由：小明选择的样本不具备代表性． １８．（９分）（１）反比例函数的解析式为ｙ＝２ｘ；（２）ＡＤ的长为３． １９．（９分）山门ＣＤ的高约为７．１米． ２０．（９分）（１）证明略；（２）ＡＢ的长为 槡８３３． ２１．（９分）（１）Ａ种汴绣产品每件的进价是１８０元，Ｂ种汴绣产品每件的进价是８５元；（２）最少应购进Ａ种汴绣产品６３件． ２２．（１０分）（１）该二次函数的解析式为ｙ＝（ｘ＋１）２－２；（２）当ｍ＝１时，ｗ有最大值，最大值为２； （３）ｍ的值为 槡－２－１或槡２－３． ２３．（１０分）（１）ＢＥ的长是３；（２）①ｘ＝ｂｃ２ａ；②１０；（３）点Ｆ到ＡＤ的距离是６或１４． 详解详析 １．Ａ　２．Ａ　３．Ｄ ４．Ｂ　【解析】如解图，过点 Ｏ作 ＭＮ∥ＡＢ，∴∠ＰＯＭ＝∠１＝ ３０°，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ＭＮ∥ＣＤ，∵ＯＥ⊥ＣＤ，∴ＯＥ⊥ＭＮ，∴ ∠ＭＯＥ＝９０°，∴∠ＰＯＥ＝∠ＰＯＭ＋∠ＭＯＥ＝１２０°． 第４题解图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 方 法 指 导 拐点平行线求角度的四种辅助线作法 作法 一： 作平 行线 作法 二： 延长 相交 角度 关系 ∠ＡＢＥ＋∠ＤＣＥ＝ ∠ＢＥＣ ∠ＡＢＥ＋∠ＤＣＥ＋ ∠ＢＥＣ＝３６０ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ° 方 法 指 导 续表 作法 三： 作平 行线 作法 四： 延长 相交 角度 关系 ∠ＡＢＥ－∠ＤＣＥ＝ ∠ＢＥＣ ∠ＡＢＥ－∠ＤＣＥ＝ ∠ＢＥＣ ５．Ａ　【解析】根据题意得Δ＝（－２）２－４×１·（－ｋ）＞０，解得 ｋ＞－１，∴ｋ的值不可以为－１ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 方 法 指 导 一元二次方程根的判别式 （１）当Δ＝ｂ２－４ａｃ＞０时，原方程有两个不相等的实 数根； （２）当Δ＝ｂ２ －４ａｃ＝０时，原方程有两个相等的实 数根； （３）当Δ＝ｂ２－４ａｃ＜０时，原方程没有实数根 ６．Ｄ　７．Ｂ　８．                                     Ｃ ４１ 乾卷答案及解析·河南数学 数 学 ９．Ｃ　【解析】如解图，平移ＰＱ可以发现，平移后的线段能同时 经过Ｂ，Ｃ两点． 第９题解图 １０．Ｂ　【解析】由题图②可知，当点 Ｅ与点 Ｂ重合时，如解图 ①，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，交 ＡＣ于点 Ｎ，此时 Ｓ△ＡＥＧ＝ ９，ＡＢ＝６，∴ １２ＡＢ·ＧＭ＝ １ ２×６ＧＭ＝９，∴ＧＭ＝３；由题图 ②可知，当点Ｇ与点 Ｄ重合时，如解图②，过点 Ｇ作 ＧＭ⊥ ＡＢ于点Ｍ，交ＡＣ于点Ｎ，此时Ｓ△ＡＥＧ＝６，ＡＥ＝ａ，∴ １ ２ａ×３ ＝６，∴ａ＝４，∵∠ＤＡＢ＝４５°，∴ＡＭ＝ＤＭ＝３，∴ＭＥ＝１．如 解图③，当点Ｅ是ＡＢ的中点时，ＡＥ＝ＢＥ＝３，过点Ｄ作ＤＰ ∥ＥＧ交 ＡＢ于点 Ｐ，则 ＡＰ＝４，△ＡＧＥ∽△ＡＤＰ，∴ Ｓ△ＡＧＥ Ｓ△ＡＤＰ ＝ （ ＡＥ ＡＰ） ２＝（３４） ２，∴Ｓ△ＡＧＥ＝ ２７ ８． 　　　 第１０ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 题解图 方 法 指 导 分析判断函数图象题中的要点 （１）确定横轴和纵轴表示的量：看横轴和纵轴表示的 变量的意义； （２）找特殊点（起点、终点、转折点、交点），理解此刻 的状态或变化； （３）分析每一段运动过程的变化规律，与图象上升、下 降的变化趋势，排除部分选项； （４）注意是否需要分类、分段讨论．注意分类、分段讨 论时自变量的取值范围 １１．＜　１２．（０，－１）（答案不唯一） １３．１６　【解析】设Ａ代表“老家河南”，Ｂ代表“天下黄河”，Ｃ 代表“华夏古都”，Ｄ代表“中国功夫”，根据题意，列表 如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ — ＡＢ ＡＣ ＡＤ Ｂ ＢＡ — ＢＣ ＢＤ Ｃ ＣＡ ＣＢ — ＣＤ Ｄ ＤＡ ＤＢ ＤＣ — 由表可知共有１２种等可能的情况，其中恰好选择 Ｂ与 Ｄ 的情况共有２种，∴Ｐ（恰好选择的是“天下黄河”与“中国 功夫”）＝２１２＝ １ ６． １４．６π 槡＋９－９３２ 　【解析】如解图，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ＢＣ于点 Ｇ． ∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝ ∠Ｄ＝１２０°，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝３０°，∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，ＢＦ 是由ＢＣ旋转得到的，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＦ＝６，∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ ＝∠ＡＦＢ＝１５°，∴ＡＣ∥ＢＦ，∴∠ＦＢＣ＝∠ＡＣＢ＝３０°，∵ＦＧ ⊥ＢＣ，∴ＦＧ＝１２ＢＦ＝３，∴ＢＧ＝ 槡３ ２ＢＦ 槡＝３ ３，∵∠ＦＥＧ是 △ＦＢＥ的一个外角，∴∠ＦＥＧ＝∠ＦＢＥ＋∠ＢＦＥ＝４５°，∴ ＥＧ＝ＧＦ＝３，∴ＢＥ＝ＢＧ－ＥＧ 槡＝３ ３－３，∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＣＢＦ－ Ｓ△ＢＥＦ＝ ３０π·６２ ３６０ － １ ２×（槡３３－３）×３＝ ６π 槡＋９－９３ ２ ． 第１４题解图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 方 法 指 导 阴影部分面积的计算 直接和差法 构造和差法 等积转换法 Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＡＢＣ－ Ｓ扇形ＢＯＥ 连接ＯＣ，Ｓ阴影 ＝ Ｓ扇形ＡＯＣ－Ｓ△ＡＯＣ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＡＥ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形之和 ＝πｒ ２ ２ 连接ＥＣ，Ｓ阴影 ＝ Ｓ△ＢＣＥ＋Ｓ扇形ＥＣＤ－ Ｓ扇形ＥＢＣ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＡＢ′ １５． 槡４ １０５ 或 槡２ ２　【解析】∵ＡＦ⊥ＣＤ，即∠ＡＦＣ＝９０°，∴点 Ｆ 在以ＡＣ为直径的 ) ＡＣ上运动，如解图①．若△ＣＥＦ为直角三 角形，则可分为３种情况：①若∠ＦＣＥ＝９０°，则点 Ｄ与点 Ａ 重合，与已知矛盾，∴∠ＦＣＥ＝９０°不成立；②若∠ＣＦＥ＝ ９０°，∵ＡＦ⊥ＣＤ，∴∠ＡＦＣ＝９０°，∴Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线，如解 图②，过点Ｂ作 ＢＧ⊥ＣＤ交 ＣＤ的延长线于点 Ｇ，∴ＥＦ∥ ＢＧ，∵点Ｅ为 ＢＣ的中点，∴易得 ＥＦ是△ＣＢＧ的中位线                                                                       ， ５１ 乾卷答案及解析·河南数学 数 学 ∴ＣＦ＝ＦＧ，∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＢＧＣ＝９０°，∴∠ＡＣＦ＋∠ＢＣＧ ＝９０°，∠ＧＣＢ＋∠ＧＢＣ＝９０°，∴∠ＡＣＦ＝∠ＣＢＧ，∵∠ＡＦＣ ＝∠ＣＧＢ，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＡＣＦ≌△ＣＢＧ（ＡＡＳ），∴ＣＦ＝ＢＧ， ∴ＢＧ＝ＦＧ，∴ＣＧ＝２ＢＧ，在 Ｒｔ△ＢＧＦ中，ＢＦ 槡＝ ２ＢＧ，在 Ｒｔ△ＢＣＧ中，由勾股定理得 ＢＧ２ ＋ＣＧ２ ＝ＢＣ２，即 ＢＧ２ ＋ （２ＢＧ）２＝４２，解得ＢＧ＝ 槡４５５（负值已舍去），∴ＢＦ＝ 槡４ １０ ５ ； ③如解图③，若∠ＣＥＦ＝９０°，∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＥＦ∥ＡＣ，∵ 点Ｅ是ＢＣ的中点，∴易得 Ｆ为 ＡＢ的中点，∵ＡＦ⊥ＣＤ，∴ 点Ｆ与点Ｄ重合，∵在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＣ＝ＢＣ＝４，∴ＡＢ＝４ 槡２，∴ＢＦ＝ １ ２ＡＢ 槡＝２ ２．综上所述，ＢＦ的长为 槡４ １０ ５ 或 槡２２． 图① 　　 图② 　　 图③ 第１５ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 题解图 方 法 指 导 常见的定弦定角模型 类型 ９０°（垂直）型 ６０°或１２０°型 图示 关键点： 确 定 隐 圆的圆 心和半 径 ①ＡＢ的中点为隐圆 圆心Ｏ； ②半径长为１２ＡＢ ①在 ＡＢ上方确定隐圆 圆心 Ｏ，满足∠ＯＡＢ＝ ∠ＯＢＡ＝３０°； ②⊙Ｏ半径长为槡３３ＡＢ 类型 ４５°或１３５°型 ３０°或１５０°型 图示 关键点： 确 定 隐 圆的圆 心和半 径 ①在ＡＢ上方，以ＡＢ 为斜边作等腰直角 三角形ＡＯＢ，定隐圆 圆心Ｏ； ② ⊙Ｏ 半 径 长 为 　 槡２ ２ＡＢ ①在 ＡＢ上方，以 ＡＢ为 边作等边三角形，定隐圆 圆心Ｏ； ②⊙Ｏ半径长为ＡＢ １６．解：（１）原式＝４－３＋１３ （３分）!!!!!!!!!!! ＝４３； （５分）!!!!!!!!!!!!! （２）原式＝３（ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２）－３ｘ２＋１２ｘｙ （８分） !!!! ＝３ｘ２－１２ｘｙ＋１２ｙ２－３ｘ２＋１２ｘｙ ＝１２ｙ２． （１０分） !!!!!!!!!!!!!! １７．解：（１）４，８．５； （４分） !!!!!!!!!!!!!!! （２）八年级（２）班的成绩更好，理由： ∵八年级（２）班和七年级（１）班平均数和中位数相等，八年 级（２）班抽取学生成绩的最高分１０分有３名，七年级（１） 班有１名， ∴八年级（２）班的成绩更好；答案不唯一，合理即可． （７分） ! （３）不正确，理由：小明选择的样本不具备代表性． （９分） !!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．解：（１）过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，如解图，则ＣＥ∥ＡＢ， 第１８题解图 ∵点Ｃ是ＡＯ的中点，∴ＣＥ是△ＡＯＢ的中位线， ∴ＣＥ＝１２ＡＢ， ∴Ｓ△ＣＯＥ＝ １ ４Ｓ△ＡＯＢ＝１， （２分）!!!!!!!!!!!! ∵点Ｃ在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象上， ∴｜ｋ｜＝２Ｓ△ＣＯＥ＝２， ∵ｋ＞０，∴ｋ＝２， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝２ｘ； （４分）!!!!!!! （２）∵点Ｄ在反比例函数 ｙ＝２ｘ的图象上，点 Ｄ的纵坐标 是１， ∴点Ｄ的横坐标是２， （６分） !!!!!!!!!!!! ∵ＡＢ⊥ｘ轴， ∴点Ａ的横坐标是２， ∵点Ｃ是ＯＡ的中点， ∴点Ｃ的横坐标是１， 又∵点Ｃ在反比例函数ｙ＝２ｘ的图象上， ∴点Ｃ的纵坐标是２， 则点Ａ的纵坐标是４， ∴ＡＤ＝４－１＝３． （９分） !!!!!!!!!!!!!! １９．解：在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ＝１．８米，∠ＡＢＥ＝９０°，∠ＡＥＢ＝４５°， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ＝４５°，∴ＢＥ＝ＡＢ＝１．８米， （３分）!! ∵ＢＤ＝１５．８米，∴ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝１４米， （５分） !!!! 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ｔａｎ∠ＣＥＤ＝ＣＤＤＥ， ∴ＣＤ＝ＤＥ·ｔａｎ∠ＣＥＤ＝１４×ｔａｎ２７°≈７．１米． （７分）!! 答：山门ＣＤ的高约为７．１米． （９分） !!!!!!!! ２０．（１）证明：∵ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ                                                                       ， ６１ 乾卷答案及解析·河南数学 数 学 ∴∠ＯＡＢ＝９０°， ∵ＯＭ⊥ＢＣ于点Ｍ， ∴∠ＯＭＢ＝９０°， （２分）!!!!!!!!!!!!!! ∵四边形ＯＡＢＭ的内角和为３６０°， ∴∠ＡＯＭ＋∠Ｂ＋１８０°＝３６０°， ∴∠ＡＯＭ＋∠Ｂ＝１８０°， ∵ＯＡ＝ＯＰ， ∴∠ＯＰＡ＝∠ＯＡＰ，∴∠ＡＯＭ＝１８０°－２∠ＯＰＡ， ∴１８０°－２∠ＯＰＡ＋∠Ｂ＝１８０°， ∴∠Ｂ＝２∠ＯＰＡ； （５分）!!!!!!!!!!!!!! （２）解：如解图，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＮ于点Ｅ， ∵∠ＯＥＮ＝∠ＥＮＭ＝∠ＯＭＮ＝９０°， ∴四边形ＯＭＮＥ是矩形， （７分） !!!!!!!!!! ∴ＯＥ＝ＭＮ 槡＝３，ＥＮ＝ＯＭ＝ＯＰ＋ＰＭ， ∵ＯＥ⊥ＡＦ，ＡＦ＝２，∴ＡＥ＝ＥＦ＝１， 在Ｒｔ△ＡＯＥ中，由勾股定理得ＡＯ＝ （槡３） ２＋１槡 ２＝２， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的切线， ∴∠ＯＡＥ＋∠ＢＡＮ＝９０°， 又∵ＡＮ⊥ＢＣ， ∴∠Ｂ＋∠ＢＡＮ＝９０°， ∴∠ＯＡＥ＝∠Ｂ， ∵ｓｉｎ∠ＯＡＥ＝ＯＥＯＡ＝ 槡３ ２，∴∠ＯＡＥ＝∠Ｂ＝６０°， ∵ＯＡ＝ＯＰ＝２，ＰＭ＝１，∴ＥＮ＝ＯＭ＝３， ∴ＡＮ＝ＡＥ＋ＥＮ＝４， ∴在Ｒｔ△ＡＢＮ中，ＡＢ＝ＡＮｓｉｎＢ＝ ４ ｓｉｎ６０°＝ 槡８３ ３． （９分）!!! 第２０题解图 ２１．解：（１）设Ａ种汴绣产品每件的进价是ｘ元，则Ｂ种汴绣产 品每件的进价是（ｘ－９５）元， 根据题意得 ３０６０ ｘ ＋１９＝ ３０６０ ｘ－９５， （３分）!!!!!!!! 解得ｘ１＝１８０，ｘ２＝－８５（舍去）， 经检验，ｘ＝１８０是原方程的解，且符合题意， ∴ｘ－９５＝８５， 答：Ａ种汴绣产品每件的进价是１８０元，Ｂ种汴绣产品每件 的进价是８５元； （５分） !!!!!!!!!!!!!! （２）设购进 Ａ种汴绣产品 ｍ件，则购进 Ｂ种汴绣产品 （１００－ｍ）件， 根据题意得（２５０－１８０）ｍ＋（１２０－８５）（１００－ｍ）≥５７００， 解得ｍ≥４４０７， （７分）!!!!!!!!!!!!!!! ∵ｍ是整数，∴ｍ最小为６３． 答：最少应购进Ａ种汴绣产品６３件． （９分） !!!!! ２２．解：（１）将点（０，－１）代入二次函数的解析式得ａ－２＝－１， 解得ａ＝１， ∴该二次函数的解析式为ｙ＝（ｘ＋１）２－２； （２分） !!! （２）∵点Ｐ（ｍ，ｎ）是该二次函数图象上一动点， ∴ｎ＝（ｍ＋１）２－２， ∴ｗ＝４ｍ－ｎ ＝４ｍ－［（ｍ＋１）２－２］ ＝－（ｍ＋１）２＋４ｍ＋２ ＝－ｍ２－２ｍ－１＋４ｍ＋２ ＝－ｍ２＋２ｍ＋１ ＝－（ｍ－１）２＋２， （４分） !!!!!!!!!!! ∵－１＜０， ∴当ｍ＝１时，ｗ有最大值，最大值为２； （６分） !!!! （３）ｍ的值为 槡－２－１或槡２－３． （１０分）!!!!!!! 【解法提示】由二次函数的解析式ｙ＝（ｘ＋１）２－２可知，其 对称轴是直线ｘ＝－１，最小值是－２． ∵当ｍ≤ｘ≤ｍ＋２时，二次函数的最大值比最小值大２， ∴当ｍ＋２＜－１时，则ｍ＜－３， ∴ｎ为该二次函数的最大值，ｄ为该二次函数的最小值， ∴ｎ－ｄ＝（ｍ＋１）２－２－［（ｍ＋２＋１）２－２］＝－４（ｍ＋２）， 即－４（ｍ＋２）＝２， 解得ｍ＝－５２，不合题意，舍去； 当ｍ≤－１≤ｍ＋２时，则－３≤ｍ≤－１， ∵二次函数的最小值是－２，∴最大值是０， 令ｙ＝（ｘ＋１）２－２＝０，解得ｘ１ 槡＝２－１，ｘ２ 槡＝－２－１， ∴ｍ 槡＝－２－１或ｍ 槡＋２＝２－１， 即ｍ 槡＝－２－１或ｍ 槡＝２－３； 当ｍ＞－１时， 则ｄ－ｎ＝［（ｍ＋２＋１）２－２］－［（ｍ＋１）２－２］＝４（ｍ＋２）， 即４（ｍ＋２）＝２，解得ｍ＝－３２，不合题意，舍去， 综上可知，ｍ的值为 槡－２－１或槡２－３． ２３．解：（１）由题意知 Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ＡＤ＝Ｓ△ＥＢＣ ＋Ｓ△ＥＡＢ＝ １ ２ＢＥ·ＢＣ＋ １ ２ＢＥ·ＢＤ＝ １ ２ＢＥ·ＤＣ，即 １ ２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２ＢＥ·ＤＣ， ∵ＡＤ＝５，ＢＤ＝４，ＢＣ＝６，∴ＤＣ＝ＢＤ＋ＢＣ＝１０，∴ＢＥ＝６× ５÷１０＝３． ∴ＢＥ的长是３； （３分） !!!!!!!!!!!!!! （２）①ｘ＝ｂｃ２ａ， （４分）!!!!!!!!!!!!!!! 理由如下： ∵ＡＥ⊥ＢＣ，∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ＢＣ·ＡＥ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ， ∵ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＢＤ＝ｃ，ＡＥ＝ｘ，∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ａｘ＝ １ ２ｂｃ， ∴ｘ与ａ、ｂ、ｃ之间的数量关系是ｘ＝ｂｃ２ａ； （５分）!!!! ②设ＡＢ＝ｍ，∵ＳＡＢＣＤ＝３０，∴ＡＢ边上的高为 ３０ ｍ， ∵Ｓ△ＰＡＢ＝５，∴点 Ｐ到 ＡＢ的距离（即△ＰＡＢ中 ＡＢ边上的 高）为 １０ ｍ， ∴点Ｐ到ＣＤ的距离（即△ＰＣＤ中ＣＤ边上的高）为２０ｍ， ∵ＡＢ＝ＣＤ， ∴Ｓ△ＰＣＤ＝ １ ２ｍ· ２０ ｍ＝１０； （８分）!!!!!!!!!! （３）６或１４． （１０分）                                                                       !!!!!!!!!!!!!!! ７１ 乾卷答案及解析·河南数学 数 学 【解法提示】分两种情况：①当点Ｇ与点Ｆ在ＡＤ的异侧时， 如解图①，连接ＥＤ，ＡＦ， ∵矩形 ＡＢＣＤ与△ＡＤＥ同底等高，ＡＥＦＧ与△ＡＤＥ同底 等高， ∴ＳＡＥＦＧ＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝２Ｓ△ＡＤＥ， ∵Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝１２×１０＝１２０， ∴ＳＡＥＦＧ＝２Ｓ△ＡＦＧ＝１２０， ∴Ｓ△ＡＦＧ＝６０， ∵点Ｇ到ＡＤ的距离是４，ＡＤ＝１２， ∴Ｓ△ＡＤＧ＝２４， ∴Ｓ△ＡＤＦ＝Ｓ△ＡＦＧ－Ｓ△ＡＤＧ＝３６， ∴点Ｆ到ＡＤ的距离是６； 第２３题解图 ②当点Ｇ与点Ｆ在ＡＤ的同侧时，如解图②，连接ＥＤ，ＡＦ， ∵矩形 ＡＢＣＤ与△ＡＤＥ同底等高，ＡＥＦＧ与△ＡＤＥ同底 等高， 同理可得Ｓ△ＡＦＧ＝６０，Ｓ△ＡＤＧ＝２４， ∴Ｓ△ＡＤＦ＝Ｓ△ＡＦＧ＋Ｓ△ＡＤＧ＝８４， ∴点Ｆ到ＡＤ的距离是１４． 综上所述，点Ｆ到ＡＤ的距离是６或１４                         ． ８１