加练9 正方形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·河南数学 数 学 加练９　正方形 （每年考查０－３道，０－５分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第９题） １．如图，已知四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，下 列三个结论：①当ＡＢ＝ＢＣ时，它是菱形；② 当ＡＣ⊥ 獉 ＢＤ时，它是矩形；③当∠ＡＢＣ＝９０° 时，它是正方形．其中正确的结论有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＯ 的顶点Ａ的坐标为（２，０），将该正方形绕着 点Ａ顺时针旋转４５°得到正方形 ＡＢ′Ｃ′Ｏ′， 则点Ｂ′的坐标是 （　　） Ａ．（１，３） Ｂ．（３，１） Ｃ．（槡２， 槡２＋２） Ｄ．（ 槡２＋２，槡２） ３．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为边 ＡＤ上的 点，连接 ＣＥ．①以点 Ｅ为圆心，任意长为半 径作弧分别交 ＥＣ，ＥＤ于点 Ｎ，Ｍ；②分别以 Ｍ，Ｎ为圆心，大于１２ＭＮ的长为半径作弧， 两弧在∠ＣＥＤ内交于点 Ｐ；③连接 ＥＰ并延 长交ＤＣ于点Ｈ，交 ＢＣ的延长线于点 Ｇ．若 ＡＢ＝１６，ＡＥ∶ＡＤ＝１∶４，则ＥＨ的长为 （　　） 第３题图 Ａ．１４ 槡Ｂ．６５ Ｃ．１６ 槡Ｄ．８３ （猜押第１０题） ４．（２０２４郑州市中原区九上期末）如图①，在 正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＤＣ边的中点，点Ｐ 为线段ＢＥ上的一个动点．设ＢＰ＝ｘ，ＡＰ＝ｙ， 图②是点Ｐ运动时ｙ随ｘ变化的关系图象， 则正方形的周长为 （　　） 　　　 第４题图 槡 槡Ａ．４５ Ｂ．８ Ｃ．８２ Ｄ．１０ 二、填空题（每小题３分） （猜押第１４题） ５．如图，在正方形ＡＢＣＤ和正方形ＣＥＦＧ中，连接 ＡＦ交ＣＤ于点Ｈ，ＡＢ＝６，ＤＨ＝３ＧＨ，Ｉ是ＡＦ的 中点，连接ＣＩ，那么ＣＩ的长为　　　　． 第５题图 　　 第６题图 ６．（２０２４新乡市九上期末）如图，将边长为 槡２３ 的正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针旋转３０°后得 到正方形ＡＢ′Ｃ′Ｄ′，则图中阴影部分的面积 为　　　　． （猜押第１５题） ７．（２０２４周口市九下开学考）如图，正方形ＡＢ ＣＤ的边长为４，点Ｅ是ＡＢ上一点，将△ＢＣＥ 沿ＣＥ折叠至△ＦＣＥ．若ＣＦ，ＣＥ恰好与以正 方形ＡＢＣＤ的中心为圆心的⊙Ｏ相切，则折 痕ＣＥ的长为　　　　． 第７题图                                                                  ０９ 乾卷加练·河南数学 数 学 ８． 优质原创 如图，已知正方形ＡＢＣＤ的边 长 ＡＢ＝６，点 Ｅ是 ＡＤ上一点，沿 ＣＥ折叠 △ＣＤＥ得到△ＣＤ′Ｅ，点Ｄ的对应点为Ｄ′．当 点Ｄ′到正方形 ＡＢＣＤ边的距离为３时，ＡＥ 的长为　　　　． 第８题图 　　 第９题图 ９．如图，四边形ＡＢＣＤ是边长为１ｃｍ的正方 形，点 Ｆ是边 ＢＣ延长线上一个动点，点 Ｅ 在直线 ＢＣ的上方，且 ＥＦ＝ＢＦ，ＥＦ⊥ＢＦ， 若△ＤＥＦ恰为等腰三角形，则 ＣＦ的长 为　　　　ｃｍ． 三、解答题 （猜押第２３题） １０．（１０分）（２０２４平顶山市九上期末）如图①， 四边形ＡＢＣＤ和四边形ＡＥＦＧ均为正方形， 点Ｅ，Ｇ分别在ＡＢ，ＡＤ上，ＡＣ，ＡＦ分别为两 正方形的对角线． （１）猜想：图①中ＦＣＥＢ的值为　　　　； （２）探究：将正方形ＡＥＦＧ绕点Ａ旋转到图 ②位置，连接 ＢＥ，ＦＣ，判断ＦＣＥＢ的值是否保 持不变？并说明理由； 　　　 第１０题图 （３）延伸：若将正方形ＡＥＦＧ绕点Ａ旋转到 图③位置，其中Ｇ，Ｅ，Ｂ三点在一条直线上， 延长ＡＦ交边ＣＤ于点Ｈ，连接ＦＣ，若ＢＥ＝ 槡３２，ＦＨ 槡＝２ ２，请直接写出正方形 ＡＥＦＧ 与正方形ＡＢＣＤ的边长．                                                                       １９ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 绕着点Ｏ顺时针旋转９０°，同时扩大为原来的２倍得到菱形 ＯＡ１Ｂ１Ｃ１（即ＯＢ１＝２ＯＢ），∴点 Ｂ１的坐标为（２，２），同理可 得点Ｂ２的坐标为（４，－４），即（２ ２，－２２），点 Ｂ３的坐标为 （－８，－８），即（－２３，－２３），点 Ｂ４的坐标为（－１６，１６），即 （－２４，２４），…，∵２０２５÷４＝５０６……１，∴点 Ｂ２０２５的坐标为 （２２０２５，２２０２５）． 第５题解图 ５．Ｂ　【解析】如解图，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ 于点Ｅ，由题图②知当１≤ｘ≤ｍ时，ｙ＝ ＡＰ ＢＰ＝１，∴ＡＰ＝ＢＰ，即点Ｐ在线段ＡＢ 的垂直平分线上运动，∴点Ｐ的运动 轨迹是先沿ＡＢ运动到ＡＢ的中点Ｅ，再沿ＥＤ运动到点Ｄ，即 ＤＥ垂直平分ＡＢ，∴当ｘ＝１时，ＡＰ＝ＢＰ＝１，∴ＡＤ＝ＡＢ＝ＡＰ＋ ＢＰ＝２，∴ＤＥ＝ ＡＤ２－ＡＥ槡 ２ 槡＝３，∵动点Ｐ的运动速度是每秒１ 个单位长度，∴点Ｐ从点Ｅ运动到点Ｄ所用的时间为槡３秒，∴ ｍ 槡＝３＋１． ６．（ 槡１－３，３）或（ 槡１＋３，－３） ７． 槡６２　【解析】如解图，连接 ＡＦ，∵Ｇ，Ｈ分别为 ＡＥ，ＥＦ的中 点，∴ＧＨ∥ＡＦ，且ＧＨ＝１２ＡＦ，∴要使 ＧＨ最小，只要 ＡＦ最 小，当ＡＦ⊥ＢＣ时，ＡＦ最小，∵ＧＨ的最小值为３，∴ＡＦ的最 小值为６，∵∠Ｂ＝４５°，∴∠ＢＦＡ＝９０°，∠ＢＡＦ＝４５°，∴ＢＦ＝ ＡＦ＝６，∴ＡＢ＝ ＡＦ２＋ＢＦ槡 ２ 槡＝６２，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＣ＝ＡＢ 槡＝６２． 第７题解图 ８．槡１９　【解析】如解图，连接 ＢＤ，过点 Ｅ作 ＥＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ， ∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝５，ＡＢ∥ＣＤ，∵∠ＢＡＤ＝ ６０°，∴△ＡＢＤ为等边三角形，∴ＢＤ＝ＡＢ，∠ＡＢＤ＝６０°，∵ ∠ＥＢＦ＝６０°，∴∠ＡＢＤ－∠ＥＢＤ＝∠ＥＢＦ－∠ＥＢＤ，即∠ＡＢＥ ＝∠ＤＢＦ，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＦＤＢ＝∠ＡＢＤ＝６０°，∴∠ＦＤＢ＝ ∠ＥＡＢ，在△ＢＤＦ和△ＢＡＥ中， ∠ＦＢＤ＝∠ＥＢＡ， ＢＤ＝ＢＡ， ∠ＦＤＢ＝∠ＥＡＢ { ， ∴△ＢＤＦ ≌△ＢＡＥ（ＡＳＡ），∴ＢＦ＝ＢＥ，∵∠ＥＢＦ＝６０°，∴△ＢＥＦ为等 边三角形，∴ＥＦ＝ＢＥ，∵∠Ａ＝６０°，ＥＨ⊥ＡＢ，∴ＡＨ＝１２ＡＥ＝ １，∴ＥＨ 槡＝ ３ＡＨ 槡＝ ３，ＢＨ＝ＢＡ－ＡＨ＝５－１＝４，∴ＢＥ＝ （槡３） ２＋４槡 ２ 槡＝ １９，∴ＥＦ＝ＢＥ 槡＝ １９． 第８题解图 　　 第９题解图 ９． 槡３３－π　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ＢＣ 槡＝２ ３，又∵菱形 Ａ′ＢＣ′Ｄ′是由菱形 ＡＢＣＤ绕点Ｂ顺时针旋转 α得到，∴∠Ａ′＝∠Ａ＝１２０°，ＢＣ′ ＝ＢＣ 槡＝２３，∠Ｃ′ＢＣ＝∠Ａ′ＢＡ＝α，∵∠Ａ′ＢＤ′＝∠Ｃ′ＢＤ′，∴ ∠Ｃ′ＢＣ＝∠Ａ′ＢＡ＝α＝３０°，如解图，过点 Ｃ′作 Ｃ′Ｅ⊥ＢＤ′于 点Ｅ，在Ｒｔ△ＢＣ′Ｅ中，ＢＥ＝ＢＣ′·ｃｏｓ∠Ｃ′ＢＣ 槡＝２３×槡 ３ ２＝３， ∴Ｃ′Ｅ＝ＢＣ′·ｓｉｎ∠Ｃ′ＢＣ 槡＝２３× １ ２ 槡＝３，∵ＢＣ′＝Ｄ′Ｃ′，∴ ＢＤ′＝２ＢＥ＝６，则 Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＣ′Ｄ′－Ｓ扇形ＣＢＣ′＝ １ ２ 槡×６× ３－ ３０π×（槡２３） ２ ３６０ 槡＝３３－π． １０．（１）证明：∵Ｄ是ＢＣ的中点，∠ＢＡＣ＝９０°， ∴ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＤ，∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＡＥ＝ＢＤ， ∵ＡＥ∥ＢＣ，∴ＡＥ∥ＢＤ， ∴四边形ＡＤＢＥ是平行四边形， ∵ＡＤ＝ＢＤ，∴四边形ＡＤＢＥ是菱形； （２）解：∵ＡＢ是菱形ＡＤＢＥ的对角线，∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＤ， ∵ＢＤ＝ＣＤ， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２× １ ２×５×１０＝ ２５ ２， ∴Ｓ菱形ＡＤＢＥ＝２Ｓ△ＡＢＤ＝２× ２５ ２＝２５， 即菱形ＡＤＢＥ的面积为２５． １１．（１）解：ＢＤ⊥ＡＣ；ＢＤ 槡＝３ＡＣ；【解法提示】∵△ＡＢＣ是等腰 三角形，∠ＢＡＣ＝６０°，∴△ＡＢＣ是等边三角形，∵△ＤＣＥ是 由△ＡＢＣ平移得到，∴ＤＣ＝ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＣＤ＝ ∠Ａ＝６０°，∵∠ＡＣＢ＝６０°，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，∴ＯＣ⊥ＢＤ， 即ＢＤ⊥ＡＣ，∴∠ＣＢＯ＝３０°，∴ｔａｎ∠ＣＢＯ＝ｔａｎ３０°＝ＯＣＯＢ＝ 槡３ ３，∴ＯＣ＝ 槡３ ３ＯＢ，易得ＡＣ＝２ＯＣ，ＢＤ＝２ＯＢ，∴ＢＤ 槡＝３ＡＣ． （２）证明：由平移知，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 由（１）可知，ＢＤ⊥ＡＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是菱形． 加练９　正方形 １．Ｂ 第２题解图 ２．Ｄ　【解析】如解图，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｄ⊥ｘ轴，垂足为 Ｄ，∵将该 正方形绕着点 Ａ顺时针旋转 ４５°，∴∠ＢＡＢ′＝４５°，ＡＢ＝ＡＢ′， 又∵∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠Ｂ′ＡＤ＝ ４５°，∴△Ｂ′ＡＤ是等腰直角三 角形，∴ＡＤ＝Ｂ′Ｄ，∵Ａ（２，０）， ∴ＯＡ＝ＡＢ＝２，∴ＡＢ′＝２，∴ＡＤ＝Ｂ′Ｄ＝槡２２ＡＢ′ 槡＝２，∴ＯＤ＝ 槡２＋２，即Ｂ′（ 槡２＋２，槡２）． ３．Ｂ　【解析】由作法得 ＥＧ平分∠ＤＥＣ，∴∠ＤＥＧ＝∠ＣＥＧ， ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤ                                                                       ＝ ４３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 ＡＢ＝１６，∵ＡＥ∶ＡＤ＝１∶４，∴ＡＥ＝４，ＤＥ＝１２，在 Ｒｔ△ＣＤＥ中， ＣＥ＝ ＤＥ２＋ＣＤ槡 ２＝ １２２＋１６槡 ２＝２０，∵ＤＥ∥ＣＧ，∴∠ＤＥＧ ＝∠Ｇ，∴∠ＣＥＧ＝∠Ｇ，∴ＣＧ＝ＣＥ＝２０，∵ＤＥ∥ＣＧ，∴ △ＤＥＨ∽△ＣＧＨ，∴ＤＨＣＨ＝ ＤＥ ＣＧ＝ １２ ２０＝ ３ ５，∴ ＤＨ ＣＨ＋ＤＨ＝ ３ ５＋３， 即 ＤＨ ＤＣ＝ ３ ８，∴ＤＨ＝ ３ ８ＤＣ＝ ３ ８×１６＝６，在 Ｒｔ△ＤＥＨ中，ＥＨ ＝ ＤＨ２＋ＤＥ槡 ２＝ ６２＋１２槡 ２ 槡＝６５． ４．Ａ　【解析】由题图②可知，当 ＡＰ⊥ＢＥ时，ＡＰ的值最小，此 时ＡＰ＝２，∵Ｅ为ＤＣ边的中点，∴ＣＥ∶ＣＤ＝１∶２，∴ＣＥ∶ＢＣ＝ １∶２，∵∠Ｃ＝９０°，∴ＣＥ∶ＢＣ∶ＢＥ 槡＝１∶２∶５，∵∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝ ∠ＡＰＢ＝９０°，∴∠ＡＢＰ＋∠ＣＢＥ＝∠ＣＢＥ＋∠ＢＥＣ＝９０°，∴ ∠ＡＢＰ＝∠ＢＥＣ，∴△ＡＢＰ∽△ＢＥＣ，∴ＡＰ∶ＡＢ＝ＢＣ∶ＢＥ＝２∶ 槡５，∴ＡＢ 槡＝５，∴正方形的周长为 槡４５． ５． 槡２５　【解析】如解图，过点 Ｉ作 ＩＫ⊥ＢＣ于点 Ｋ，∵四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＣＥＦＧ是正方形，∴∠Ｄ＝∠ＣＧＦ＝９０°＝ ∠ＨＧＦ，ＡＤ＝ＡＢ＝ＢＣ＝６，∵∠ＡＨＤ＝∠ＧＨＦ，∴△ＡＤＨ∽ △ＦＧＨ，∴ＤＨＧＨ＝ ＡＤ ＧＦ，∵ＡＤ＝６，ＤＨ＝３ＧＨ，∴ ３ＧＨ ＧＨ ＝ ６ ＧＦ， ∴ＧＦ＝２，∴ＥＦ＝ＧＦ＝ＣＥ＝２，∴ＢＥ＝ＢＣ＋ＣＥ＝６＋２＝８， ∵∠Ｂ＝∠ＩＫＥ＝∠Ｅ＝９０°，∴ＡＢ∥ＩＫ∥ＥＦ，∵Ｉ为 ＡＦ中点， ∴Ｋ为ＢＥ中点，∴ＩＫ＝ＡＢ＋ＥＦ２ ＝ ６＋２ ２ ＝４，ＢＫ＝ １ ２ＢＥ＝ １ ２ ×８＝４，∴ＣＫ＝ＢＣ－ＢＫ＝６－４＝２，∴ＣＩ＝ ＩＫ２＋ＣＫ槡 ２＝ ４２＋２槡 ２ 槡＝２５． 第５题解图 　　 第６题解图 ６． 槡１２－４３　【解析】如解图，连接ＡＥ，∵边长为 槡２３的正方形 ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针旋转３０°后得到正方形 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′，∴ＡＤ ＝ＡＢ′ 槡＝２ ３，∠ＢＡＢ′＝３０°，在 Ｒｔ△ＡＤＥ与 Ｒｔ△ＡＢ′Ｅ中， ＡＤ＝ＡＢ′， ＡＥ＝ＡＥ{ ，∴Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＢ′Ｅ（ＨＬ），∴∠ＥＡＤ＝∠ＥＡＢ′ ＝３０°，∴ＤＥ＝ＡＤ·ｔａｎ３０° 槡＝２３×槡 ３ ３＝２，∴Ｓ阴影 ＝Ｓ正方形ＡＢＣＤ －２Ｓ△ＡＤＥ＝（槡２３） ２－２×１２ 槡 槡×２３×２＝１２－４３． 第７题解图 ７． 槡８３３　【解析】如解图，连接ＯＣ，∵Ｏ为正 方形 ＡＢＣＤ的中心，∴∠ＤＣＯ＝∠ＢＣＯ， 又∵ＣＦ与 ＣＥ都为⊙Ｏ的切线，∴易得 ＣＯ平分∠ＥＣＦ，即∠ＦＣＯ＝∠ＥＣＯ，∴ ∠ＤＣＯ－∠ＦＣＯ＝∠ＢＣＯ－∠ＥＣＯ，即 ∠ＤＣＦ＝∠ＢＣＥ，又∵△ＢＣＥ沿着 ＣＥ折叠至△ＦＣＥ，∴ ∠ＢＣＥ＝∠ＥＣＦ，∴∠ＢＣＥ＝∠ＥＣＦ＝∠ＤＣＦ＝１３∠ＢＣＤ＝ ３０°，在Ｒｔ△ＢＣＥ中，设ＢＥ＝ｘ，则ＣＥ＝２ｘ，又∵ＢＣ＝４，∴在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ２＝ＢＣ２＋ＢＥ２，即４ｘ２＝４２＋ｘ２，解得 ｘ＝ 槡４３３ （负值已舍去），∴ＣＥ＝２ｘ＝ 槡８３３． ８． 槡６３－６或 槡６－２３　【解析】①当点Ｄ′到ＡＢ的距离为３时， 点Ｄ′到ＣＤ的距离也为３，∴点 Ｄ′在线段ＡＤ的垂直平分线 上，如解图①，过点 Ｄ′作 Ｄ′Ｍ⊥ＢＣ于点 Ｍ，延长 ＭＤ′交 ＡＤ 于点Ｎ，易得ＭＮ⊥ＡＤ，ＭＣ＝ＢＭ＝ＤＮ＝ＡＮ＝３，由折叠性质 得ＣＤ′＝ＣＤ＝ＡＢ＝６，∠ＣＤ′Ｅ＝∠Ｄ＝９０°，∴ｓｉｎ∠ＣＤ′Ｍ＝ ＣＭ ＣＤ′＝ １ ２，∴∠ＣＤ′Ｍ＝３０°，则∠ＮＤ′Ｅ＝６０°，∴ＭＤ′ 槡＝３ＣＭ 槡＝３３，∴ＮＤ′＝ＮＭ－Ｄ′Ｍ 槡＝６－３３，ＥＮ 槡＝３Ｄ′Ｎ 槡＝６３－９， ∴ＡＥ＝ＡＮ＋ＮＥ 槡＝６３－６；②当点 Ｄ′到 ＡＤ的距离为３时， 点 Ｄ′到 ＢＣ的距离也为 ３，同理可得∠ＭＣＤ′＝３０°，则 ∠ＤＣＤ′＝６０°，∴∠ＤＣＥ＝∠Ｄ′ＣＥ＝３０°，∴ｔａｎ∠ＤＣＥ＝ＤＥＤＣ， ∴ＤＥ＝槡３３ＤＣ 槡＝２３，∴ＡＥ 槡＝６－２３．综上所述，ＡＥ的长为 槡６３－６或 槡６－２３． 　　　　 第８题解图 ９．槡２＋１或１　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是边长为１ｃｍ的正方 形，∴ＡＢ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＡＤ＝１ｃｍ，ＡＤ∥ＢＣ，ＣＤ⊥ＡＤ，设 ＣＦ＝ ｘ，即ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ＝（１＋ｘ）ｃｍ，∴ＢＦ＝ＥＦ＝（１＋ｘ）ｃｍ，∵ △ＤＥＦ恰为等腰三角形，∴分为三种情况：①当 ＤＥ＝ＤＦ 时，延长ＡＤ交ＥＦ于点 Ｎ，如解图①，∵ＥＦ⊥ＢＦ，ＡＤ∥ＢＣ， ∴ＤＮ⊥ＥＦ，易得四边形 ＤＣＦＮ是矩形，∵ＤＥ＝ＤＦ，∴ＮＥ＝ ＮＦ＝１２ＥＦ＝ ｘ＋１ ２ ｃｍ，∵四边形ＤＣＦＮ是矩形，∴ＤＣ＝ＮＦ， 图① 　　 图② 图③ 第９                                                                       题解图 ５３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 即 ｘ＋１ ２ ＝１，解得ｘ＝１，即此时 ＣＦ＝１ｃｍ；②当 ＤＦ＝ＥＦ时， 如解图②，∴ＤＦ＝ＥＦ＝（ｘ＋１）ｃｍ，∵在Ｒｔ△ＤＣＦ中，ＤＦ２＝ ＣＦ２＋ＤＣ２，∴（１＋ｘ）２＝ｘ２＋１２，解得 ｘ＝０，此时点 Ｄ，Ｅ重 合，不符合题意，此种情况舍去；③当ＤＥ＝ＥＦ＝（１＋ｘ）ｃｍ 时，延长 ＡＤ交 ＥＦ于点 Ｍ，如解图③，同上可证四边形 ＤＣＦＭ是矩形，∴ＤＣ＝ＦＭ，ＣＦ＝ＤＭ，∵ＢＦ＝ＥＦ，ＢＣ＝ＣＤ＝ ＦＭ，∴ＣＦ＝ＥＭ＝ｘｃｍ，∴ＤＭ＝ＥＭ＝ｘｃｍ，在 Ｒｔ△ＤＭＥ中， ＤＥ 槡＝２ＤＭ 槡＝２ＥＭ，∴１＋ｘ 槡＝２ｘ，解得ｘ 槡＝２＋１，此时ＣＦ＝ （槡２＋１）ｃｍ．综上所述，ＣＦ的长为１ｃｍ或（槡２＋１）ｃｍ． １０．解：（１）槡２；【解法提示】∵四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＡＥＦＧ均 为正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ，ＡＥ＝ＥＦ，∠Ｂ＝∠ＡＥＦ＝９０°，设 ＡＢ＝ ＢＣ＝ａ，ＡＥ＝ＥＦ＝ｂ，则ＡＣ 槡＝２ａ，ＡＦ 槡＝２ｂ，ＥＢ＝ａ－ｂ，∴ＦＣ ＝ＡＣ－ＡＦ 槡＝２ａ 槡－２ｂ 槡＝２（ａ－ｂ），∴ ＦＣ ＥＢ＝ 槡２（ａ－ｂ） ａ－ｂ 槡＝２． （２）ＦＣＥＢ的值保持不变． 理由：∵四边形ＡＢＣＤ与四边形ＡＥＦＧ均是正方形， ∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ＝４５°，ＦＡＡＥ＝ ＡＣ ＡＢ 槡＝２， ∴∠ＥＡＦ＋∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＥ，即∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＥ， ∴△ＣＡＦ∽△ＢＡＥ，∴ＦＣＥＢ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ＦＡ ＡＥ 槡＝２； （３）正方形ＡＥＦＧ的边长为３，正方形ＡＢＣＤ的边长为 槡３５． 【解法提示】同（２）可得△ＣＡＦ∽△ＢＡＥ，∴ＦＣＥＢ 槡＝２，∠ＡＦＣ＝ ∠ＡＥＢ，∵ＦＣＥＢ 槡＝ ２，ＢＥ 槡＝３ ２，∴ＦＣ 槡 槡＝３ ２× ２＝６， ∵∠ＡＥＧ＝４５°，∴∠ＡＥＢ＝１３５°，∴∠ＡＦＣ＝１３５°，∴∠ＣＦＨ ＝４５°，∵∠ＡＣＨ＝４５°，∴∠ＣＦＨ＝∠ＡＣＨ，又∵∠ＣＨＦ＝ ∠ＡＨＣ，∴△ＣＨＦ∽△ＡＨＣ，∴ＦＨＣＨ＝ ＣＨ ＡＨ＝ ＣＦ ＡＣ，设 ＡＤ＝ＣＤ＝ ａ，则ＡＣ 槡＝２ａ，∵ ＦＨ ＣＨ＝ ＣＦ ＡＣ，∴ 槡２２ ＣＨ＝槡 ６ ２ａ ，∴ＣＨ＝２３ａ，∴ＤＨ ＝ＣＤ－ＣＨ＝ａ－２３ａ＝ １ ３ａ，∴ＡＨ＝ ＡＤ ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ ａ２＋（１３ａ）槡 ２＝槡１０３ ａ，∵ ＦＨ ＣＨ＝ ＣＨ ＡＨ，∴ 槡２２ ２ ３ａ ＝ ２ ３ａ 槡１０ ３ ａ ，解得 ａ１ 槡＝３５，ａ２＝０（舍去），∴ＡＤ＝ＣＤ 槡＝３５，ＡＨ＝槡 １０ ３ 槡×３５ 槡＝５２，∴ＡＦ＝ＡＨ－ＦＨ 槡 槡 槡＝５ ２－２ ２＝３ ２，∵∠ＡＥＦ＝ ９０°，∴ＡＥ２＋ＥＦ２＝２ＡＥ２＝ＡＦ２，∴２ＡＥ２＝（ 槡３２） ２，∴ＡＥ＝３ （负值已舍去），∴正方形 ＡＥＦＧ的边长为３，正方形 ＡＢＣＤ 的边长为 槡３５． 加练１０　圆 １．Ａ　２．Ｄ ３．５４π　【解析】如解图，连接ＡＣ，取ＡＣ中点Ｏ，连接ＯＢ，ＯＥ，设 ＡＤ交ＢＣ于点Ｆ，∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＣ是半圆Ｏ的直径，∵ＡＣ ＝ ３２＋４槡 ２＝５，∴半圆Ｏ的半径是 ５２，∵△ＡＢＦ是等腰直角三 角形，∴∠ＢＡＥ＝４５°，∴∠ＢＯＥ＝９０°，∴ ) ＢＥ的长为 ９０π×５２ １８０ ＝ ５ ４π． 第３题解图 　　　　 第４题解图 ４． 槡３２　【解析】如解图，设ＡＣ与ＥＦ交于点Ｍ，∵△ＡＥＦ是等 腰直角三角形，∴∠ＡＥＦ＝４５°，∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＣＡＥ＝４５°，∴△ＡＭＥ是等腰直角三角形，∴ＡＭ２＋ＥＭ２ ＝ＡＥ２，即２ＡＭ２＝４２，解得 ＡＭ 槡＝２ ２（负值已舍去），∵四边 形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝１０ｃｍ，∠Ｂ＝９０°，∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ 槡＝１０２，∴ＡＯ＝ＯＣ＝ １ ２ＡＣ 槡＝５ ２，∴ＯＭ＝ＡＯ －ＡＭ 槡＝３２，即⊙Ｏ的半径为 槡３２． ５．２７π４ 槡－９３　【解析】如解图，连接ＯＤ，则ＯＤ＝ＯＢ 槡＝３３，由 折叠得 ＯＢ＝ＤＢ，∠ＯＢＣ＝∠ＤＢＣ，∴ ＯＤ＝ＯＢ＝ＤＢ， ∴△ＯＤＢ是等边三角形，∴∠ＯＢＤ＝６０°，∴∠ＯＢＣ＝∠ＤＢＣ ＝３０°，∵∠ＡＯＢ＝９０°，∴ＯＣ＝ＯＢ·ｔａｎ∠ＯＢＣ 槡＝３３×槡 ３ ３＝ ３，∴Ｓ△ＯＢＣ ＝Ｓ△ＤＢＣ ＝ １ ２ 槡×３×３ ３＝ 槡９３ ２，∵Ｓ扇形ＡＯＢ ＝ ９０π·（槡３３） ２ ３６０ ＝ ２７π ４，∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＯＢ－Ｓ△ＯＢＣ－Ｓ△ＤＢＣ＝ ２７π ４ 槡－９３． 第５题解图 　　 第７题解图 ６．９π４ ７．（１）证明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＤＡ＝９０°，∴ＡＤ⊥ＢＣ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＤ； （２）解：如解图，点Ｅ即是劣弧 ) ＢＤ的中点． ８．解：（１）９π＋１８； （２）如解图，连接ＯＤ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＤＥ于点Ｆ，易得ＤＥ为 ⊙Ｏ的切线． ∵ＡＢ∥ＤＥ， ∴∠ＡＯＤ＝∠ＯＤＦ＝９０°＝∠ＡＦＤ， ∴四边形ＡＯＤＦ为矩形                                                                       ， ６３