加练8 菱形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·河南数学 数 学 加练８　菱形 （每年考查０－２道，０－４分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第５－８题） １．下列平行四边形中，根据图中所标出的数 据，不能判定是菱形的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 ２．（２０２４驻马店市一模）如图，在平面直角坐 标系中，Ｏ是菱形ＡＢＣＤ对角线ＢＤ的中点， ＡＤ∥ｘ轴且 ＡＤ＝８，∠Ａ＝６０°，则点 Ｃ的坐 标是 （　　） Ａ．（６，槡２３） Ｂ．（槡４３，－４） Ｃ．（槡４３，４） Ｄ．（６， 槡－２３） 第２题图 　　 第３题图 ３．如图，在ＡＢＣＤ中，以点Ａ为圆心，ＡＢ长为 半径画弧交ＡＤ于点Ｆ，再分别以点 Ｂ，Ｆ为 圆心，大于 １ ２ＢＦ的长为半径画弧，两弧交于 点 Ｐ，连接 ＡＰ并延长交 ＢＣ于点 Ｅ，连接 ＥＦ，则所得四边形 ＡＢＥＦ是菱形．若菱形 ＡＢＥＦ的边长为４，ＡＥ 槡＝４ ３，则∠Ｃ的度数 为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．４５° Ｃ．３０° Ｄ．５５° （猜押第１０题） ４．（２０２４信阳市九下开学考）在平面直角坐标 系中，菱形ＯＡＢＣ的位置如图所示，其中点Ｂ 的坐标为（－１，１），第１次将菱形ＯＡＢＣ绕着 点Ｏ顺时针旋转９０°，同时扩大为原来的２倍 得到菱形ＯＡ１Ｂ１Ｃ１（即ＯＢ１＝２ＯＢ），第２次将 菱形ＯＡ１Ｂ１Ｃ１绕着点Ｏ顺时针旋转９０°，同时 扩大为原来的２倍得到菱形ＯＡ２Ｂ２Ｃ２（即ＯＢ２ ＝２ＯＢ１），第３次将菱形ＯＡ２Ｂ２Ｃ２绕着点Ｏ顺 时针旋转９０°，同时扩大为原来的２倍得到菱 形ＯＡ３Ｂ３Ｃ３（即 ＯＢ３＝２ＯＢ２），…，依次类推， 则点Ｂ２０２５的坐标为 （　　） 第４题图 Ａ．（２２０２５，２２０２５） Ｂ．（２５０７，２５０７） Ｃ．（－２２００５，２２０２５） Ｄ．（－２２０２５，－２２０２５） ５．【全角度考法探究———针对乾卷第１０题】如 图①，在菱形ＡＢＣＤ中，动点Ｐ从点Ａ出发， 沿ＡＢ边运动到某一点后，再沿直线运动到 点Ｄ停止，运动速度是每秒１个单位长度， 设点Ｐ的运动时间为ｘ（秒），ｙ＝ＡＰＢＰ，ｙ关于 ｘ的函数关系图象如图②所示，则ｍ的值为 （　　） 　　 第５题图 Ａ．２π３ 槡Ｂ．３＋１ 槡                                                                  Ｃ．３ Ｄ．３ ８８ 乾卷加练·河南数学 数 学 二、填空题（每小题３分） （猜押第１４题） ６．如图，在平面直角坐标系中，菱形ＡＢＣＤ的顶 点Ａ，Ｂ在 ｘ轴上，ＡＢ＝２，Ａ（１，０），∠ＤＡＢ＝ ６０°，将菱形ＡＢＣＤ绕点Ａ旋转９０°后，得到菱 形ＡＢ１Ｃ１Ｄ１，则点Ｃ１的坐标是　　　　． 第６题图 　　 第７题图 ７．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝４５°，Ｅ，Ｆ分别 是边ＣＤ，ＢＣ上的动点，连接ＡＥ，ＥＦ，Ｇ，Ｈ分 别为ＡＥ，ＥＦ的中点，连接ＧＨ．若ＧＨ的最小 值为３，则ＢＣ的长为　　　　． ８．（２０２４河南省实验中学九上月考）如图，在 边长为５的菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝６０°，点 Ｅ，Ｆ分别在ＡＤ，ＣＤ上，且∠ＥＢＦ＝６０°，连接 ＥＦ，若ＡＥ＝２，则ＥＦ的长度为　　　　． 第８题图 ９．【全角度考法探究———针对乾卷第１４题】如 图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ 槡＝２３，∠ＡＢＣ＝６０°， 把菱形 ＡＢＣＤ绕点 Ｂ顺时针旋转 α得到菱 形Ａ′ＢＣ′Ｄ′，其中点Ｄ′落在ＢＣ的延长线上， 点Ｃ的运动路径为 ) ＣＣ′，则图中阴影部分的 面积为　　　　． 第９题图 三、解答题（每小题９分） （猜押第１９题） １０．在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｄ是ＢＣ的中点， 过点Ａ作ＡＥ∥ＢＣ，且ＡＥ＝ＣＤ，连接ＢＥ． （１）证明：四边形ＡＤＢＥ是菱形； （２）若 ＡＣ＝５，ＡＢ＝１０，求菱形 ＡＤＢＥ的 面积． 第１０题图 １１．如图，△ＡＢＣ是等腰三角形，∠ＢＡＣ＝６０°， 将△ＡＢＣ沿直线 ＢＣ平移到△ＤＣＥ的位 置，连接ＢＤ，交ＡＣ于点Ｏ． （１）线段ＢＤ与ＡＣ的位置关系是　　　　； 数量关系是　　　　； （２）连接ＡＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形． 第１１题图                                                                       ９８ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 底的等腰三角形，∴ＰＥ＝ＢＰ＝３，ＰＣ＝４－３＝１，∵∠Ｃ＝ ９０°，∴ＣＥ２＝ＰＥ２－ＰＣ２＝８，∴ＢＥ＝ ＢＣ２＋ＣＥ槡 ２＝ ４２槡 ＋８ 槡＝２６．综上所述，ＢＥ的长为 槡３２或 槡２６． 　　 第６题解图 ７． 槡２７或 槡２ １９　　【解析】当点 Ｅ′在矩形 ＡＢＣＤ内部时，如解 图①，过点 Ｅ′分别作 Ｅ′Ｆ⊥ＡＤ于点 Ｆ，Ｅ′Ｇ⊥ＡＢ于点 Ｇ， ∴Ｅ′Ｆ＝ＡＧ，Ｅ′Ｇ＝ＡＦ，∵ＡＥ′＝ＡＥ＝１２ＡＤ＝２，ＡＥ′⊥ＤＥ′，∴ ＤＥ′＝ ４２－２槡 ２ 槡＝２３，∠ＡＤＥ′＝３０°，∴Ｅ′Ｆ＝ＡＧ 槡＝３，ＤＦ＝ ３，∴ＡＦ＝Ｅ′Ｇ＝１，∴ＢＧ＝ＡＢ－ＡＧ 槡＝３ ３，∴ＢＥ′＝ Ｅ′Ｇ２＋ＢＧ槡 ２ 槡＝２７；当点 Ｅ′在矩形 ＡＢＣＤ外部时，如解图 ②，过点Ｅ′分别作 Ｅ′Ｈ⊥ＡＤ于点 Ｈ，Ｅ′Ｉ⊥ＡＢ交 ＢＡ的延长 线于点Ｉ，同①可得 Ｅ′Ｈ＝ＡＩ 槡＝３，Ｅ′Ｉ＝１，∴ＢＩ＝ＡＢ＋ＡＩ＝ 槡５３，∴ＢＥ′＝ Ｅ′Ｉ ２＋ＢＩ槡 ２ 槡＝２ １９．综上所述，ＢＥ′的长为 槡２７或 槡２ １９． 图① 　　 图② 第７题解图 ８．１５或 槡５３　【解析】设ＡＦ＝ｘ，则ＤＦ＝２ｘ，∴ＢＣ＝ＡＤ＝３ｘ，如 解图①，当∠ＥＦＣ＝９０°时，∵ＡＢ＝ＣＤ＝１０，点 Ｅ为 ＡＢ的中 心，∴ＡＥ＝ＢＥ＝１２ＣＤ＝５，∴５ ２＋（３ｘ）２＝５２＋ｘ２＋１０２＋ （２ｘ）２，解得ｘ＝５（负值已舍去），∴ＡＤ＝１５；如解图②，当 ∠ＦＥＣ＝９０°时，易得５２＋（３ｘ）２＋５２＋ｘ２＝１０２＋（２ｘ）２，解得 ｘ＝ 槡５３３（负值已舍去），∴ＡＤ 槡＝５３．综上所述，ＡＤ的长为１５ 或 槡５３． 图① 　　　　　 图② 第８题解图 ９．解：（１）ＦＧ＝ＢＧ；【解法提示】连接 ＥＧ，如解图①，∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，∵点 Ｅ是 ＡＢ的中点，∴ ＡＥ＝ＢＥ，由折叠性质可知ＡＥ＝ＥＦ，∠ＤＦＥ＝∠Ａ＝９０°，∴ＥＦ ＝ＥＢ，∠ＥＦＧ ＝９０°，在 Ｒｔ△ＥＦＧ 和 Ｒｔ△ＥＢＧ 中， ＥＦ＝ＥＢ， ＥＧ＝ＥＧ{ ，∴Ｒｔ△ＥＦＧ≌Ｒｔ△ＥＢＧ（ＨＬ），∴ＦＧ＝ＢＧ； 　　 第９题解图 （２）ＦＧ＝ＢＧ，证明如下： 如解图②，连接ＦＢ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∵点Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＡＥ＝ＢＥ， 由折叠性质可知 ＡＥ＝ＥＦ，∠Ａ＝∠ＤＦＥ，∵∠ＤＦＥ＋∠ＥＦＧ ＝１８０°， ∴ＥＦ＝ＥＢ，∠ＥＢＧ＝∠ＥＦＧ，∴∠ＥＦＢ＝∠ＥＢＦ， ∵∠ＥＦＢ＋∠ＢＦＧ＝∠ＥＢＦ＋∠ＦＢＧ，∴∠ＢＦＧ＝∠ＦＢＧ， ∴ＦＧ＝ＢＧ； （３）ＡＤ的长为槡５＋１２ ．【解法提示】∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ＡＢ＝２，∴ＣＤ＝ＡＢ＝２，∠Ｃ＝９０°，∴当 ＣＧ＝１时，ＤＧ＝ ＣＤ２＋ＣＧ槡 ２＝ ２２＋１槡 ２ 槡＝５，令 ＡＤ＝ｘ，则 ＢＣ＝ＤＦ＝ＡＤ＝ ｘ，由（１）知ＦＧ＝ＢＧ＝ｘ－１，∴ｘ＋ｘ 槡－１＝５，解得 ｘ＝槡 ５＋１ ２ ， 即ＡＤ的长为槡５＋１２ ． 加练８　菱形 １．Ｃ ２．Ｄ　【解析】如解图，设ＢＣ与ｙ轴交于点Ｈ，∵∠Ａ＝６０°，ＡＤ＝８， 四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝８，∠Ｃ＝６０°，∴△ＢＣＤ 是等边三角形，∴∠ＯＢＣ＝６０°，ＢＤ＝ＢＣ＝８，∵Ｏ是ＢＤ的中点， ∴ＢＯ＝４，∵ＡＤ∥ｘ轴，∴ＢＣ∥ｘ轴，∴∠ＢＨＯ＝９０°，∴ＢＨ＝ＯＢ ·ｃｏｓ６０°＝２，ＯＨ＝ＯＢ·ｓｉｎ６０° 槡＝２３，∴ＣＨ＝ＢＣ－ＢＨ＝６，又∵ 点Ｃ在第四象限，∴点Ｃ的坐标为（６， 槡－２３）， 第２题解图 　　 第３题解图 ３．Ａ　【解析】如解图，连接 ＢＦ交 ＡＥ于点 Ｇ．∵菱形 ＡＢＥＦ的 边长为４，ＡＥ 槡＝４ ３，∴ＡＢ＝４，ＡＧ＝ １ ２ＡＥ 槡＝２ ３，∠ＢＡＦ＝ ２∠ＢＡＥ，ＡＥ⊥ＢＦ，∴∠ＡＧＢ＝９０°，∴ｃｏｓ∠ＢＡＧ＝ＡＧＡＢ＝ 槡２３ ４ ＝ 槡３ ２，∴∠ＢＡＧ＝３０°，∴∠ＢＡＦ＝２∠ＢＡＥ＝６０°，∵四边形 ＡＢ ＣＤ是平行四边形，∴∠Ｃ＝∠ＢＡＦ＝６０°． ４．Ａ　【解析】∵点Ｂ的坐标为（－１，１），第１次将菱形                                                                       ＯＡＢＣ ３３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 绕着点Ｏ顺时针旋转９０°，同时扩大为原来的２倍得到菱形 ＯＡ１Ｂ１Ｃ１（即ＯＢ１＝２ＯＢ），∴点 Ｂ１的坐标为（２，２），同理可 得点Ｂ２的坐标为（４，－４），即（２ ２，－２２），点 Ｂ３的坐标为 （－８，－８），即（－２３，－２３），点 Ｂ４的坐标为（－１６，１６），即 （－２４，２４），…，∵２０２５÷４＝５０６……１，∴点 Ｂ２０２５的坐标为 （２２０２５，２２０２５）． 第５题解图 ５．Ｂ　【解析】如解图，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ 于点Ｅ，由题图②知当１≤ｘ≤ｍ时，ｙ＝ ＡＰ ＢＰ＝１，∴ＡＰ＝ＢＰ，即点Ｐ在线段ＡＢ 的垂直平分线上运动，∴点Ｐ的运动 轨迹是先沿ＡＢ运动到ＡＢ的中点Ｅ，再沿ＥＤ运动到点Ｄ，即 ＤＥ垂直平分ＡＢ，∴当ｘ＝１时，ＡＰ＝ＢＰ＝１，∴ＡＤ＝ＡＢ＝ＡＰ＋ ＢＰ＝２，∴ＤＥ＝ ＡＤ２－ＡＥ槡 ２ 槡＝３，∵动点Ｐ的运动速度是每秒１ 个单位长度，∴点Ｐ从点Ｅ运动到点Ｄ所用的时间为槡３秒，∴ ｍ 槡＝３＋１． ６．（ 槡１－３，３）或（ 槡１＋３，－３） ７． 槡６２　【解析】如解图，连接 ＡＦ，∵Ｇ，Ｈ分别为 ＡＥ，ＥＦ的中 点，∴ＧＨ∥ＡＦ，且ＧＨ＝１２ＡＦ，∴要使 ＧＨ最小，只要 ＡＦ最 小，当ＡＦ⊥ＢＣ时，ＡＦ最小，∵ＧＨ的最小值为３，∴ＡＦ的最 小值为６，∵∠Ｂ＝４５°，∴∠ＢＦＡ＝９０°，∠ＢＡＦ＝４５°，∴ＢＦ＝ ＡＦ＝６，∴ＡＢ＝ ＡＦ２＋ＢＦ槡 ２ 槡＝６２，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＣ＝ＡＢ 槡＝６２． 第７题解图 ８．槡１９　【解析】如解图，连接 ＢＤ，过点 Ｅ作 ＥＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ， ∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝５，ＡＢ∥ＣＤ，∵∠ＢＡＤ＝ ６０°，∴△ＡＢＤ为等边三角形，∴ＢＤ＝ＡＢ，∠ＡＢＤ＝６０°，∵ ∠ＥＢＦ＝６０°，∴∠ＡＢＤ－∠ＥＢＤ＝∠ＥＢＦ－∠ＥＢＤ，即∠ＡＢＥ ＝∠ＤＢＦ，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＦＤＢ＝∠ＡＢＤ＝６０°，∴∠ＦＤＢ＝ ∠ＥＡＢ，在△ＢＤＦ和△ＢＡＥ中， ∠ＦＢＤ＝∠ＥＢＡ， ＢＤ＝ＢＡ， ∠ＦＤＢ＝∠ＥＡＢ { ， ∴△ＢＤＦ ≌△ＢＡＥ（ＡＳＡ），∴ＢＦ＝ＢＥ，∵∠ＥＢＦ＝６０°，∴△ＢＥＦ为等 边三角形，∴ＥＦ＝ＢＥ，∵∠Ａ＝６０°，ＥＨ⊥ＡＢ，∴ＡＨ＝１２ＡＥ＝ １，∴ＥＨ 槡＝ ３ＡＨ 槡＝ ３，ＢＨ＝ＢＡ－ＡＨ＝５－１＝４，∴ＢＥ＝ （槡３） ２＋４槡 ２ 槡＝ １９，∴ＥＦ＝ＢＥ 槡＝ １９． 第８题解图 　　 第９题解图 ９． 槡３３－π　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝６０°， ∴∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ＢＣ 槡＝２ ３，又∵菱形 Ａ′ＢＣ′Ｄ′是由菱形 ＡＢＣＤ绕点Ｂ顺时针旋转 α得到，∴∠Ａ′＝∠Ａ＝１２０°，ＢＣ′ ＝ＢＣ 槡＝２３，∠Ｃ′ＢＣ＝∠Ａ′ＢＡ＝α，∵∠Ａ′ＢＤ′＝∠Ｃ′ＢＤ′，∴ ∠Ｃ′ＢＣ＝∠Ａ′ＢＡ＝α＝３０°，如解图，过点 Ｃ′作 Ｃ′Ｅ⊥ＢＤ′于 点Ｅ，在Ｒｔ△ＢＣ′Ｅ中，ＢＥ＝ＢＣ′·ｃｏｓ∠Ｃ′ＢＣ 槡＝２３×槡 ３ ２＝３， ∴Ｃ′Ｅ＝ＢＣ′·ｓｉｎ∠Ｃ′ＢＣ 槡＝２３× １ ２ 槡＝３，∵ＢＣ′＝Ｄ′Ｃ′，∴ ＢＤ′＝２ＢＥ＝６，则 Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＣ′Ｄ′－Ｓ扇形ＣＢＣ′＝ １ ２ 槡×６× ３－ ３０π×（槡２３） ２ ３６０ 槡＝３３－π． １０．（１）证明：∵Ｄ是ＢＣ的中点，∠ＢＡＣ＝９０°， ∴ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＤ，∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＡＥ＝ＢＤ， ∵ＡＥ∥ＢＣ，∴ＡＥ∥ＢＤ， ∴四边形ＡＤＢＥ是平行四边形， ∵ＡＤ＝ＢＤ，∴四边形ＡＤＢＥ是菱形； （２）解：∵ＡＢ是菱形ＡＤＢＥ的对角线，∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＤ， ∵ＢＤ＝ＣＤ， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２× １ ２×５×１０＝ ２５ ２， ∴Ｓ菱形ＡＤＢＥ＝２Ｓ△ＡＢＤ＝２× ２５ ２＝２５， 即菱形ＡＤＢＥ的面积为２５． １１．（１）解：ＢＤ⊥ＡＣ；ＢＤ 槡＝３ＡＣ；【解法提示】∵△ＡＢＣ是等腰 三角形，∠ＢＡＣ＝６０°，∴△ＡＢＣ是等边三角形，∵△ＤＣＥ是 由△ＡＢＣ平移得到，∴ＤＣ＝ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＣＤ＝ ∠Ａ＝６０°，∵∠ＡＣＢ＝６０°，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，∴ＯＣ⊥ＢＤ， 即ＢＤ⊥ＡＣ，∴∠ＣＢＯ＝３０°，∴ｔａｎ∠ＣＢＯ＝ｔａｎ３０°＝ＯＣＯＢ＝ 槡３ ３，∴ＯＣ＝ 槡３ ３ＯＢ，易得ＡＣ＝２ＯＣ，ＢＤ＝２ＯＢ，∴ＢＤ 槡＝３ＡＣ． （２）证明：由平移知，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 由（１）可知，ＢＤ⊥ＡＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是菱形． 加练９　正方形 １．Ｂ 第２题解图 ２．Ｄ　【解析】如解图，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｄ⊥ｘ轴，垂足为 Ｄ，∵将该 正方形绕着点 Ａ顺时针旋转 ４５°，∴∠ＢＡＢ′＝４５°，ＡＢ＝ＡＢ′， 又∵∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠Ｂ′ＡＤ＝ ４５°，∴△Ｂ′ＡＤ是等腰直角三 角形，∴ＡＤ＝Ｂ′Ｄ，∵Ａ（２，０）， ∴ＯＡ＝ＡＢ＝２，∴ＡＢ′＝２，∴ＡＤ＝Ｂ′Ｄ＝槡２２ＡＢ′ 槡＝２，∴ＯＤ＝ 槡２＋２，即Ｂ′（ 槡２＋２，槡２）． ３．Ｂ　【解析】由作法得 ＥＧ平分∠ＤＥＣ，∴∠ＤＥＧ＝∠ＣＥＧ， ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤ                                                                       ＝ ４３