加练7 矩形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 （３）ＤＨ′的长为 槡６－２６或 槡６＋２６．【解法提示】当点 Ｈ′在线 段ＤＦ上时，如解图①，连接ＣＤ交ＡＢ于点Ｏ，过点Ｈ′作Ｈ′Ｇ ⊥ＣＤ于点Ｇ，则∠ＣＧＨ′＝∠ＤＧＨ′＝９０°，∵四边形 ＡＤＢＣ是 菱形，ＡＣ 槡＝４３，∴ＡＤ＝ＡＣ 槡＝４３，ＣＤ垂直平分 ＡＢ，∴ＣＦ＝ ＤＦ，∵∠ＣＡＤ＝６０°，∴△ＡＣＤ是等边三角形，∴∠ＢＡＣ＝ ∠ＢＡＤ＝１２∠ＣＡＤ＝３０°，ＣＤ＝ＡＤ＝ＡＣ 槡＝４３，由（２）中小明 的证明思路，可知 ＡＨ＝ＤＨ＝１２ＡＤ 槡＝２ ３，∴ＣＨ垂直平分 ＡＤ．∴ＡＦ＝ＤＦ，∠ＡＨＣ＝∠ＤＨＣ＝９０°，∴∠ＦＤＡ＝∠ＦＡＤ＝ ３０°，∵∠ＣＤＨ′＝∠ＡＤＣ－∠ＦＤＡ＝６０°－３０°＝３０°，在 Ｒｔ△ＣＤＨ中，ＣＨ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＡＤＣ 槡＝４ ３×槡 ３ ２＝６．∴ＣＨ′＝ ＣＨ＝６，在Ｒｔ△ＤＨ′Ｇ中，∠ＣＤＨ′＝３０°，∴ＧＨ′＝１２ＤＨ′，ＤＧ ＝ＤＨ′·ｃｏｓ∠ＣＤＨ′＝槡３２ＤＨ′，∴ＣＧ＝ＣＤ－ＤＧ 槡＝４ ３－ 槡３ ２ ＤＨ′，在Ｒｔ△ＣＧＨ′中，ＧＨ′２＋ＣＧ２＝ＣＨ′２，（１２ＤＨ′） ２＋（ 槡４ ３ －槡３２ＤＨ′） ２＝６２，解得ＤＨ′ 槡＝６±２６，∵ＤＨ′＜ＤＦ，ＤＦ＝ＣＦ， ＣＦ＜ＣＨ，∴ＤＨ′＜６，∴ＤＨ′ 槡＝６－２６； 第９题解图 当点Ｈ′在线段ＤＦ的延长线上时，如解图②，连接 ＣＤ交 ＡＢ 于点Ｏ，过点Ｈ′作Ｈ′Ｇ⊥ＤＣ的延长线于点 Ｇ，同理可得 ＣＨ′ ＝ＣＨ＝６，ＧＨ′＝１２ＤＨ′，ＤＧ＝ 槡３ ２ＤＨ′，∴ＣＧ＝ＤＧ－ＣＤ＝ 槡３ ２ＤＨ′ 槡－４ ３，在 Ｒｔ△ＣＧＨ′中，ＧＨ′ ２ ＋ＣＧ２ ＝ＣＨ′２， ∴（１２ＤＨ′） ２＋（槡３２ＤＨ′ 槡－４３） ２＝６２，解得ＤＨ′ 槡＝６±２６，∵ ＤＨ′＞ＣＨ′，ＣＨ′＝６，∴ＤＨ′ 槡＝６＋２６．综上所述，ＤＨ′的长为 槡６－２６或 槡６＋２６． 加练７　矩形 １．Ｃ　【解析】如解图，第１次碰到点 Ｑ，第２次碰到点 Ｍ，第３ 次碰到点Ｎ，第４次碰到点 Ａ，第５次碰到点 Ｂ，第６次碰到 点Ｐ，第７次碰到点 Ｑ，第８次碰到点 Ｍ，…，∴从点 Ｑ到点 Ｐ，每６次循环１次，∴２０２４÷６＝３３７……２，∴第２０２４次碰 到是第３３８组的第２次，即碰到点Ｍ． 第１题解图 　　 第３题解图 ２．Ｂ　【解析】∵四边形ＡＢＯＣ是矩形，∴ＯＡ＝ＢＣ＝２，∵每秒旋 转４５°，８次一个循环，２０２５÷８＝２５３……１，∴２０２５秒时，点 Ａ的对应点Ａ２０２５落在ｙ轴正半轴上，∴点 Ａ２０２５的坐标为（０， ２）． ３．Ａ　【解析】延长ＣＢ交射线ＡＦ于点Ｑ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＡＦ于 点Ｈ，如解图，∵ＡＥ⊥ＡＦ，四边形 ＡＢＣＯ是矩形，∴∠ＥＡＦ＝ ∠ＯＡＢ＝９０°，∴∠ＯＡＥ＝∠ＢＡＦ，∵ＧＨ⊥ＡＦ，∴∠ＧＨＦ＝ ∠ＡＢＱ＝∠ＡＯＥ＝９０°，∵∠ＡＱＢ＝∠ＧＱＨ，∴△ＧＨＱ∽△ＡＢＱ ∽△ＡＯＥ，∴ＧＨＨＱ＝ ＡＢ ＢＱ＝ ＡＯ ＯＥ＝ ２ １，∴ＧＨ＝２ＨＱ，ＢＱ＝ １ ２ＡＢ＝ ２，∴ＡＱ＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２ ５．由作图的步骤，可知 ＡＰ平分 ∠ＥＡＦ，∴∠ＨＡＧ＝４５°，又∵ＧＨ⊥ＡＦ，∴ＡＨ＝ＨＧ．设ＨＱ＝ｘ， 则ＡＨ＝ＨＧ＝２ｘ，∴ＡＱ＝ＡＨ＋ＨＱ＝３ｘ，即 ３ｘ 槡＝２ ５，∴ｘ＝ 槡２５ ３， ∴ ＨＧ ＝ 槡４５ ３， ∴ ＧＱ ＝ ＨＱ ２＋ＨＧ槡 ２ ＝ （槡 ２５ ３） ２＋（槡４５３）槡 ２＝１０３，∴ＣＧ＝ＢＣ＋ＢＱ－ＧＱ＝２＋２－ １０ ３＝ ２ ３，∴点Ｇ的坐标为（４， ２ ３）． ４．Ｄ ５．２６３或７　【解析】连接 Ａ′Ｄ，①当∠ＥＡ′Ｄ＝９０°时，如解图①， ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴∠Ａ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ＝１２，ＡＢ＝５， ∴ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２＝１３，根据折叠的性质可得ＡＥ＝Ａ′Ｅ，ＡＢ ＝Ａ′Ｂ＝５，∴Ａ′Ｄ＝ＢＤ－Ａ′Ｂ＝８，设ＡＥ＝Ａ′Ｅ＝ｘ，则 ＤＥ＝１２ －ｘ，在Ｒｔ△Ａ′ＤＥ中，Ａ′Ｅ２＋Ａ′Ｄ２＝ＤＥ２，∴ｘ２＋８２＝（１２－ ｘ）２，解得ｘ＝１０３，∴ＡＥ＝ １０ ３，ＤＥ＝ ２６ ３；②当∠Ａ′ＥＤ＝９０°时， 如解图②，∴∠ＡＥＡ′＝９０°，根据折叠的性质可得∠ＡＥＢ＝ ∠Ａ′ＥＢ，∵∠ＡＥＢ＋∠Ａ′ＥＢ＝９０°，∴∠Ａ′ＥＢ＝∠ＡＥＢ＝４５°， 又∵∠Ａ＝９０°，∴△ＡＢＥ为等腰直角三角形，∴ＡＢ＝ＡＥ＝５， ∴ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝１２－５＝７．综上所述，ＤＥ的长为２６３或７． 图① 　　 图② 第５题解图 ６． 槡３２或 槡２６　【解析】①当点Ｅ在ＡＤ边上时，如解图①，此时 △ＢＰＥ是等腰直角三角形，即 ＢＰ＝ＰＥ＝３，∴ＢＥ 槡＝２ＢＰ＝３ 槡２；②如解图②，当点Ｅ在 ＣＤ边上时，∵△ＢＰＥ是以 ＢＥ                                                                       为 ２３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 底的等腰三角形，∴ＰＥ＝ＢＰ＝３，ＰＣ＝４－３＝１，∵∠Ｃ＝ ９０°，∴ＣＥ２＝ＰＥ２－ＰＣ２＝８，∴ＢＥ＝ ＢＣ２＋ＣＥ槡 ２＝ ４２槡 ＋８ 槡＝２６．综上所述，ＢＥ的长为 槡３２或 槡２６． 　　 第６题解图 ７． 槡２７或 槡２ １９　　【解析】当点 Ｅ′在矩形 ＡＢＣＤ内部时，如解 图①，过点 Ｅ′分别作 Ｅ′Ｆ⊥ＡＤ于点 Ｆ，Ｅ′Ｇ⊥ＡＢ于点 Ｇ， ∴Ｅ′Ｆ＝ＡＧ，Ｅ′Ｇ＝ＡＦ，∵ＡＥ′＝ＡＥ＝１２ＡＤ＝２，ＡＥ′⊥ＤＥ′，∴ ＤＥ′＝ ４２－２槡 ２ 槡＝２３，∠ＡＤＥ′＝３０°，∴Ｅ′Ｆ＝ＡＧ 槡＝３，ＤＦ＝ ３，∴ＡＦ＝Ｅ′Ｇ＝１，∴ＢＧ＝ＡＢ－ＡＧ 槡＝３ ３，∴ＢＥ′＝ Ｅ′Ｇ２＋ＢＧ槡 ２ 槡＝２７；当点 Ｅ′在矩形 ＡＢＣＤ外部时，如解图 ②，过点Ｅ′分别作 Ｅ′Ｈ⊥ＡＤ于点 Ｈ，Ｅ′Ｉ⊥ＡＢ交 ＢＡ的延长 线于点Ｉ，同①可得 Ｅ′Ｈ＝ＡＩ 槡＝３，Ｅ′Ｉ＝１，∴ＢＩ＝ＡＢ＋ＡＩ＝ 槡５３，∴ＢＥ′＝ Ｅ′Ｉ ２＋ＢＩ槡 ２ 槡＝２ １９．综上所述，ＢＥ′的长为 槡２７或 槡２ １９． 图① 　　 图② 第７题解图 ８．１５或 槡５３　【解析】设ＡＦ＝ｘ，则ＤＦ＝２ｘ，∴ＢＣ＝ＡＤ＝３ｘ，如 解图①，当∠ＥＦＣ＝９０°时，∵ＡＢ＝ＣＤ＝１０，点 Ｅ为 ＡＢ的中 心，∴ＡＥ＝ＢＥ＝１２ＣＤ＝５，∴５ ２＋（３ｘ）２＝５２＋ｘ２＋１０２＋ （２ｘ）２，解得ｘ＝５（负值已舍去），∴ＡＤ＝１５；如解图②，当 ∠ＦＥＣ＝９０°时，易得５２＋（３ｘ）２＋５２＋ｘ２＝１０２＋（２ｘ）２，解得 ｘ＝ 槡５３３（负值已舍去），∴ＡＤ 槡＝５３．综上所述，ＡＤ的长为１５ 或 槡５３． 图① 　　　　　 图② 第８题解图 ９．解：（１）ＦＧ＝ＢＧ；【解法提示】连接 ＥＧ，如解图①，∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，∵点 Ｅ是 ＡＢ的中点，∴ ＡＥ＝ＢＥ，由折叠性质可知ＡＥ＝ＥＦ，∠ＤＦＥ＝∠Ａ＝９０°，∴ＥＦ ＝ＥＢ，∠ＥＦＧ ＝９０°，在 Ｒｔ△ＥＦＧ 和 Ｒｔ△ＥＢＧ 中， ＥＦ＝ＥＢ， ＥＧ＝ＥＧ{ ，∴Ｒｔ△ＥＦＧ≌Ｒｔ△ＥＢＧ（ＨＬ），∴ＦＧ＝ＢＧ； 　　 第９题解图 （２）ＦＧ＝ＢＧ，证明如下： 如解图②，连接ＦＢ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∵点Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＡＥ＝ＢＥ， 由折叠性质可知 ＡＥ＝ＥＦ，∠Ａ＝∠ＤＦＥ，∵∠ＤＦＥ＋∠ＥＦＧ ＝１８０°， ∴ＥＦ＝ＥＢ，∠ＥＢＧ＝∠ＥＦＧ，∴∠ＥＦＢ＝∠ＥＢＦ， ∵∠ＥＦＢ＋∠ＢＦＧ＝∠ＥＢＦ＋∠ＦＢＧ，∴∠ＢＦＧ＝∠ＦＢＧ， ∴ＦＧ＝ＢＧ； （３）ＡＤ的长为槡５＋１２ ．【解法提示】∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ＡＢ＝２，∴ＣＤ＝ＡＢ＝２，∠Ｃ＝９０°，∴当 ＣＧ＝１时，ＤＧ＝ ＣＤ２＋ＣＧ槡 ２＝ ２２＋１槡 ２ 槡＝５，令 ＡＤ＝ｘ，则 ＢＣ＝ＤＦ＝ＡＤ＝ ｘ，由（１）知ＦＧ＝ＢＧ＝ｘ－１，∴ｘ＋ｘ 槡－１＝５，解得 ｘ＝槡 ５＋１ ２ ， 即ＡＤ的长为槡５＋１２ ． 加练８　菱形 １．Ｃ ２．Ｄ　【解析】如解图，设ＢＣ与ｙ轴交于点Ｈ，∵∠Ａ＝６０°，ＡＤ＝８， 四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝８，∠Ｃ＝６０°，∴△ＢＣＤ 是等边三角形，∴∠ＯＢＣ＝６０°，ＢＤ＝ＢＣ＝８，∵Ｏ是ＢＤ的中点， ∴ＢＯ＝４，∵ＡＤ∥ｘ轴，∴ＢＣ∥ｘ轴，∴∠ＢＨＯ＝９０°，∴ＢＨ＝ＯＢ ·ｃｏｓ６０°＝２，ＯＨ＝ＯＢ·ｓｉｎ６０° 槡＝２３，∴ＣＨ＝ＢＣ－ＢＨ＝６，又∵ 点Ｃ在第四象限，∴点Ｃ的坐标为（６， 槡－２３）， 第２题解图 　　 第３题解图 ３．Ａ　【解析】如解图，连接 ＢＦ交 ＡＥ于点 Ｇ．∵菱形 ＡＢＥＦ的 边长为４，ＡＥ 槡＝４ ３，∴ＡＢ＝４，ＡＧ＝ １ ２ＡＥ 槡＝２ ３，∠ＢＡＦ＝ ２∠ＢＡＥ，ＡＥ⊥ＢＦ，∴∠ＡＧＢ＝９０°，∴ｃｏｓ∠ＢＡＧ＝ＡＧＡＢ＝ 槡２３ ４ ＝ 槡３ ２，∴∠ＢＡＧ＝３０°，∴∠ＢＡＦ＝２∠ＢＡＥ＝６０°，∵四边形 ＡＢ ＣＤ是平行四边形，∴∠Ｃ＝∠ＢＡＦ＝６０°． ４．Ａ　【解析】∵点Ｂ的坐标为（－１，１），第１次将菱形                                                                       ＯＡＢＣ ３３ 乾卷加练·河南数学 数 学 加练７　矩形 （每年考查０－２道，０－１０分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第１０题） １．弹性小球从点 Ｐ出发，沿如图所示方向运 动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹 时反射角等于入射角，小球第１次碰到矩 形的边为点 Ｑ，第２次碰到矩形的边为点 Ｍ，…，则第２０２４次碰到矩形的边为图中 的 （　　） 第１题图 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．点Ｐ Ｂ．点Ｑ Ｃ．点Ｍ Ｄ．点Ｎ ２．（２０２４驻马店市一模）如图，矩形ＡＢＯＣ的顶 点Ｏ为坐标原点，ＢＣ＝２，对角线ＯＡ在第二象 限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点 Ｏ以每秒４５°的速度顺时针旋转，则第２０２５秒 时，点Ａ的对应点的坐标为 （　　） Ａ．（２，０） Ｂ．（０，２） Ｃ．（槡２，槡２） Ｄ．（ 槡－２， 槡－２） 第２题图 　　 第３题图 ３．如图，在平面直角坐标系中，四边形ＯＡＢＣ为 矩形，且 Ａ（０，２），Ｃ（４，０）．点 Ｅ为 ＯＣ上一 点，连接ＡＥ，射线ＡＦ⊥ＡＥ．以点Ａ为圆心，适 当长为半径作弧，分别交ＡＥ，ＡＦ于点Ｎ，Ｍ， 再分别以点Ｍ，Ｎ为圆心，大于１２ＭＮ的长为 半径作弧，两弧交于点 Ｐ，作射线 ＡＰ，交 ＢＣ 于点Ｇ．若ＯＥ＝１，则点Ｇ的坐标为 （　　） Ａ．（４，２３） Ｂ．（４，１） Ｃ．（４，槡２５３） Ｄ．（４， 槡５ ３） ４．（２０２４南阳市九上期末）如图①，Ｅ为矩形 ＡＢＣＤ的边ＡＤ上一点，点 Ｐ从点 Ｂ出发沿 折线Ｂ－Ｅ－Ｄ运动到点 Ｄ停止，点 Ｑ从点 Ｂ出发沿 ＢＣ运动到点 Ｃ停止，它们的运动 速度都是０．５ｃｍ／ｓ，现Ｐ，Ｑ两点同时出发， 设运动时间为 ｘ（ｓ），△ＢＰＱ的面积为 ｙ（ｃｍ２），ｙ与 ｘ的对应关系图象如图②所 示，则矩形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） 　　　 第４题图 Ａ．１６ｃｍ２ Ｂ．１２ｃｍ２ Ｃ．２１ｃｍ２ Ｄ．１８ｃｍ２ 二、填空题（每小题３分） （猜押第１５题） ５．（２０２４洛阳市偃师区八上期末）如图，在矩形ＡＢ ＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝１２，点Ｅ是边ＡＤ上的一个动 点，把△ＢＡＥ沿 ＢＥ折叠，点 Ａ落在 Ａ′处，当 △Ａ′ＤＥ是直角三角形时，ＤＥ的长为　　　　． 第５题图 ６．（２０２４驻马店市一模）在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ ３，ＡＤ＝４，点Ｐ在ＢＣ边上，ＢＰ＝３．若点Ｅ是 矩形ＡＢＣＤ边上一点，且△ＢＰＥ是以ＢＥ为底 边的等腰三角形，则ＢＥ的长是　　　　                                                                  ． ６８ 乾卷加练·河南数学 数 学 ７．（２０２４周口市一模）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ 槡＝４ ３，ＡＤ＝４．取 ＡＤ的中点 Ｅ，将线段 ＡＥ绕点 Ａ旋转得到线段 ＡＥ′，在旋转过程 中，当ＡＥ′⊥ＤＥ′时，ＢＥ′＝　　　　． 第７题图 ８．【全角度考法探究———针对坤卷第１５题】在 矩形ＡＢＣＤ中，ＣＤ＝１０，点Ｅ为ＡＢ的中点， 点Ｆ在边 ＡＤ上，且２ＡＦ＝ＤＦ，连接 ＥＦ，ＦＣ 和ＥＣ，当△ＣＥＦ为直角三角形时，ＡＤ的长 为　　　　． 三、解答题 （猜押第２３题） ９．（１０分）（２０２４驻马店市一模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形 和平行四边形的折叠”为主题开展数学 活动． （１）操作判断： 如图①，先用对折的方式确定矩形 ＡＢＣＤ边 ＡＢ的中点 Ｅ，再沿 ＤＥ折叠，点 Ａ落在点 Ｆ 处，延长 ＤＦ，与 ＢＣ交于点 Ｇ．请写出线段 ＦＧ与ＢＧ的数量关系：　　　　； （２）迁移思考： 如图②，把ＡＢＣＤ按照（１）中的操作进行 折叠和作图，请判断 ＦＧ，ＢＧ这两条线段之 间的数量关系，并仅就图②证明你的判断； （３）拓展探索： 如图①，若 ＡＢ＝２，根据（１）中的操作，请直 接写出当ＣＧ＝１时，ＡＤ的长．                                                                       ７８